高考数学单元复习测试题29-数列的综合运用
2020高考数学刷题首秧第四章数列考点测试29等差数列文含解析
考点测试29 等差数列高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度考纲研读1．理解等差数列的概念2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系一、基础小题1．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝5，S n ＝64，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 因为d ＝＝2，所以S n ＝na 1＋d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8．故a 3－a 12n (n －1)2选C ．2．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝( )A ．10B ．18C ．20D ．28答案 C解析 由题意可知a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝10，所以3a 5＋a 7＝2a 5＋a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝20，故选C ．3．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98答案 C解析 由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3得a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }为等差数列，公差为3，由a 4＋a 5＝23得2a 1＋7d ＝23，所以a 1＝1，S 8＝8＋×8×7×3＝92．故选C ．124．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5答案 D解析 由a 1＝1，公差d ＝2，得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，解得k ＝5．故选D ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＋a 11＝30，则S 13＝( )A ．130B ．65C ．70D ．140答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 2＋a 8＋a 11＝30，可得a 1＋6d ＝10，故S 13＝＝13(a 1＋6d )＝130．故选A ．13(a 1＋a 13)26．设{a n }是公差不为0的等差数列，且a ＋a ＝a ＋a ，则该数列的前10项和S 10＝( )24252627A ．－10 B ．－5 C ．0 D ．5答案 C解析 由a ＋a ＝a ＋a 得a －a ＝a －a ，即(a 4－a 6)(a 4＋a 6)＝(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，2425262724262725也即－2d ×2a 5＝2d ×2a 6，由d ≠0，得a 6＋a 5＝a 1＋a 10＝0，所以S 10＝5(a 1＋a 10)＝0．故选C ．7．在等差数列{a n }中，已知S 4＝1，S 8＝4，设S ＝a 17＋a 18＋a 19＋a 20，则S 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 B解析 由S 4＝1，S 8＝4得S 8－S 4＝3，所以S 12－S 8＝5，所以S 16－S 12＝7，所以S ＝S 20－S 16＝9．故选B ．8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a m －1＋a m ＋1－a ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________．2m 答案 10解析 因为a m －1＋a m ＋1－a ＝0，数列{a n }是等差数列，所以2a m －a ＝0，解得a m＝02m 2m 或a m ＝2．又S 2m －1＝38，所以a m ＝0不符合题意，所以a m ＝2．所以S 2m －1＝＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2(2m －1)a m ＝38，解得m ＝10．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12答案 B解析 设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3×＝2×2(3×2＋3×22·d )＋d ＋4×2＋·d ，解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10，故选B ．4×3210．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 在等差数列{a n }中，S 6＝＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5．又a 4＋a 5＝(a 1＋a 6)×6224，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4．故选C ．11．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a ＝a 2·a 6，即(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，23解得d ＝－2或d ＝0(舍去)，又a 1＝1，所以S 6＝6×1＋×(－2)＝－24．故选A ．6×5212．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及通项公式，得Error!解得Error!a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －2，所以a 100＝100－2＝98．故选C ．13．(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝6n －3解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋5d ＝6＋5d ＝36，∴d ＝6，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋6(n －1)＝6n －3．14．(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a ＝－3，S 5＝10，2则a 9的值是________．答案 20解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设可得Error!解得Error!从而a 9＝a 1＋8d ＝20．三、模拟小题15．(2018·深圳4月调研)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝S 3＝3，则S 4的值为( )A ．－3B ．0C ．3D ．6答案 B解析 解法一：由S 3＝3a 2＝3，得a 2＝1，又a 1＝3，则公差d ＝－2，故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3＋1＋(－1)＋(－3)＝0，故选B ．解法二：a 2＋a 3＝S 3－a 1＝0，则S 4＝2(a 2＋a 3)＝0，故选B ．16．(2018·青岛质检)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且S 9＝λa 4，则λ的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．25答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．由a 6＝3a 4，得a 1＋5d ＝3(a 1＋3d )，所以a 1＝－2d ．由S 9＝λa 4，得9a 1＋36d ＝λ(a 1＋3d )，代入a 1＝－2d ，得λ＝18．故选A ．17．(2018·沈阳质检一)在等差数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60答案 A解析 依题意有a 7－(a 8－a 7)＝5，即a 7－d ＝5(d 为{a n }的公差)，亦即a 6＝5．从而S 11＝11a 6＝11×5＝55．故选A ．18．(2018·安徽江南十校模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A ，B ，C ，D ，E 五人分5钱，A ，B 两人所得与C ，D ，E 三人所得相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E 所得为( )A ．钱B ．钱C ．钱D ．钱23435632答案 A解析 由题意，设A 所得为a －4d ，B 所得为a －3d ，C 所得为a －2d ，D 所得为a －d ，E所得为a ，则Error!解得a ＝，故E 所得为钱．故选A ．232319．(2018·衡阳二模)已知在等差数列{a n }中，－1<<0，若它的前n 项和S n 有最大值，a 7a 6则当S n >0时，n 的最大值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14答案 B解析 由数列{a n }为等差数列，且它的前n 项和S n 有最大值，可得d <0．因为－1<<0，a 7a 6由<0，得a 6>0，a 7<0，由>－1，得>0，所以a 6＋a 7>0，所以a 1＋a 12>0，所以S 12>0，a 7a 6a 7a 6a 6＋a 7a 6又S 13＝13a 7<0，则当S n >0时，n 的最大值为12，故选B ．20．(2018·合肥质检三)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列为等差数列，若S 2＝1，S n n S 2018－S 2016＝5，则S 2018＝________．答案 3027解析 依题意，设＝xn ＋y (x ，y ∈R )，则＝＝2x ＋y ，且S 2018－S 2016＝20182x ＋2018y S n n S 2212－(20162x ＋2016y )＝5，联立可解得x ＝，y ＝．则S n ＝n 2＋n ，S 2018＝3027．120165031008120165031008一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15．(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15．由a 1＝－7，得d ＝2．所以{a n }的通项公式为a n ＝－7＋(n －1)×2＝2n －9．(2)由(1)，得S n ＝n ×(－7)＋×2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16．n (n －1)2所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16．2．(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2．(1)求{a n }的通项公式；(2)求e a 1＋e a 2＋…＋e an ．解 (1)设{a n }的公差为d ．因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2．又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2．(2)因为e a 1＝e ln 2＝2，＝e a n －an －1＝e ln 2＝2，e a ne a n －1所以{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×＝2(2n －1)＝2n ＋1－2．1－2n1－23．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6．(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得Error!解得q ＝－2，a 1＝－2．故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n ．(2)由(1)可得S n ＝＝－＋(－1)n ·．a 1(1－q n )1－q232n ＋13由于S n ＋2＋S n ＋1＝－＋(－1)n ·432n ＋3－2n ＋23＝2－＋(－1)n ·＝2S n ，232n ＋13故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．二、模拟大题4．(2018·福建龙岩检测)已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)·(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝．1a n －1(1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)证明：－＝1a n ＋1－11a n －1a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝，∴b n ＋1－b n ＝，∴数列{b n }是等差数列．1313(2)由(1)及b 1＝＝＝1，知b n ＝n ＋，1a 1－112－11323∴a n －1＝，∴a n ＝．3n ＋2n ＋5n ＋25．(2018·福建外国语中学调研)已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝45，S 4＝28．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．S nn ＋c 解 (1)∵S 4＝28，∴＝28，(a 1＋a 4)×42∴a 1＋a 4＝14，∴a 2＋a 3＝14，又a 2·a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，a 2＝5，a 3＝9，∴Error!解得Error!∴a n ＝4n －3．(2)由(1)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝＝，S nn ＋c 2n 2－n n ＋c ∴b 1＝，b 2＝，b 3＝．11＋c 62＋c 153＋c又{b n }是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×＝＋，62＋c 11＋c 153＋c解得c ＝－(c ＝0舍去)．126．(2019·河南郑州质检)在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23．(1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．解 (1)∵a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，①a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)－44，②由②－①，得a n ＋2－a n ＝2．又∵a 2＋a 1＝2－44，a 1＝－23，∴a 2＝－19，同理得，a 3＝－21，a 4＝－17．故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…是以a 2为首项，2为公差的等差数列．从而a n ＝Error!(2)当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2(n －1)－44]＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－×44＝－22n ，n 2n 22故当n ＝22时，S n 取得最小值为－242．当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝a 1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n －1)－44]＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋·(－44)n －12＝－23＋－22(n －1)(n ＋1)(n －1)2＝－22n －．n 2232故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243．综上所述：当n 为偶数时，S n 取得最小值为－242；当n 为奇数时，S n 取得最小值为－243．。
高考数学复习数列的运算专题训练(含答案)
高考数学复习数列的运算专题训练（含答案）数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，是一列有序的数。
查字典数学网为考生整理了数列的运算专题训练，请考生认真做题。
一、填空题1.把1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是________.[解析] 由题图可知，第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. [答案] 282.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10=________.[解析] a10=S10-S9=(S9+S1)-S9=S1=a1=1.[答案] 13.(2019苏州中学检测)已知数列{an}中，anN*，对于任意nN*，anan+1，若对于任意正整数k，在数列中恰有k个k出现，求a50=________.[解析] 从定义可知数列{an}不是递减数列，小的数一定在前面，故数列各项依次为1个1,2个2,3个3,4个4，，k个k，由于1+2+3++9=45，说明a45=9，a46=10，又1+2+3++9+10=55，故a50=10.[答案] 104.(2019南京模拟)已知数列{an}中，an=n2+n(是与n无关的实数常数)，且满足a1-3.[答案] (-3，+)5.已知a1=1，an=n(an+1-an)(nN*)，则数列{an}的通项公式an=________.[解析] an=n(an+1-an)，=，an=a1=1=n.[答案] n6.已知a1=2，an+1-an=2n+1(nN*)，则an=________.[解析] 由an+1-an=2n+1得an-an-1=2n-1，an-1-an-2=2n-3，，a3-a2=5，a2-a1=3，则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)++(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2+3+5+7++(2n-3)+(2n-1)=2+=n2+1.[答案] n2+17.(2019广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，则a2等于________.[解析] Sn=2an-2，a1=S1=2a1-2，a1=2，S2=2a2-2=a1+a2，即a2=a1+2=4.[答案] 48.数列{an}中，a1=1，对于所有的n2，nN*，都有a1a2a3an=n2，则a3+a5=________.[解析] 由题意知：a1a2a3an-1=(n-1)2，an=2(n2)，a3+a5=2+2=.[答案]二、解答题9.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6(nN*).(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项，它是第几项?(3)该数列从第几项开始各项都是正数?[解] (1)当n=4时，a4=42-47+6=-6.(2)令an=150，即n2-7n+6=150，解得n=16或n=-9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令an=n2-7n+60，解得n6或n1(舍).nN*，数列从第7项起各项都是正数.10.(1)已知数列{an}满足：a1=1，an=an-1+3n-1(n2，nN*)，求数列{an}的通项公式an;(2)设{an}是首项为1的正数数列，且(n+1)a-na+an+1an=0(n=1,2,3，)，求其通项公式an. [解] (1)a1=1，an-an-1=3n-1，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-1-an-2)+(an-an-1)=1+3+32 ++3n-1==.即an=.(2)由已知递推关系式分解因式可得：(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.又an0，an+1+an0，(n+1)an+1-nan=0，=，an=a1=1=.数列的运算专题训练的全部内容就是这些，查字典数学网希望考生可以考上自己理想的大学。
高考数学一轮复习：29 等比数列及其前n项和
高考数学一轮复习：29 等比数列及其前 n 项和姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高一下·彭州期中) 设 a＞0，b＞0，若 为（ ）是 3a 和 3b 的等比中项，则A.6的最小值B. C.8 D.9 2. （2 分） 已知各项不为 0 的等差数列 满足 （） A.2 B.4 C.8 D . 16， 数列 是等比数列，且，则 =3. （2 分） 已知 是等比数列，， 则公比ｑ＝ （ ）A.－ B . －2 C.2D.第1页共8页4. （2 分） 已知等比数列 中有 A.2 B.4 C.8 D . 16， 数列 是等差数列，且，则5. （2 分） 随着市场的变化与生产成本的降低，每隔 4 年计算机的价格降低 ， 则 2000 年价格为 8100 元 的计算机到 2016 年价格应为（ ）A . 3000 元B . 2400 元C . 1600 元D . 1000 元6. （2 分） 三个实数成等差数列，首项是 9，若将第二项加 2、第三项加 20 可使得这三个数依次构成等比数列， 则 的所有取值中的最小值是（ ）A.1B.4C . 36D . 497. （2 分） (2017 高三上·伊宁开学考) 已知{an}为等比数列，设 Sn 为{an}的前 n 项和，若 Sn=2an﹣1，则 a6=（ ）A . 32B . 31第2页共8页C . 64D . 628. （2 分） 若数列 的前 n 项和为 ， 则下列命题：（1）若数列 是递增数列，则数列 也是递增数列；（2）数列 是递增数列的充要条件是数列 的各项均为正数；（3）若 是等差数列（公差 ），则的充要条件是（4）若 是等比数列，则的充要条件是其中，正确命题的个数是（ ）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个9. （2 分） 已知数列{an}满足：an=log(n+1)(n+2)，定义使 a1a2...ak-1ak 为整数的 则区间[1，2013] 内所有希望数的和 M=（ ）A . 2026B . 2036C . 32046D . 2048叫做希望数，10. （2 分） (2019 高二上·吉林期中) 已知 是等比数列，A. B.第3页共8页，则公比 =（ ）C.2D. 11. （2 分） 已知数列 的前 n 项和为常数，那么下述结论正确的是（ ）A . k 为任意实数时， 是等比数列B . k =－3 时， 是等比数列C . k =－1 时， 是等比数列D . 不可能等比数列12. （2 分） (2018 高三上·湖南月考) 设等比数列 成等差数列，则 等于（ ）的前 项和为 ，公比为 ，且 ， ，A . -4B . -2C.2D.4二、 填空题 (共 5 题；共 6 分)13. （1 分） (2019 高三上·番禺月考) 等比数列 的前 项和为 ，若，，则公比 等于________.14. （2 分） 在各项均为正数的等比数列{an}中，a2=3，a6=48，则公比 q=________15. （1 分） (2016 高一下·岳阳期末) 数列{an}的首项为 1，数列{bn}为等比数列且 bn= 则 a21=________．，若 b10b11=2，16. （1 分） 现有 10 个数，它们能构成一个以 l 为首项，﹣3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取第4页共8页一个数，则这个数大于 8 的概率是________．17. （1 分） (2020·重庆模拟) 已知等比数列 的前 n 项和 满足三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)18. （10 分） (2018 高二上·湖南月考) 已知数列{an}中，，（1） 求 ；（2） 若，求数列{bn}的前 5 项的和 ．，则________.．19. （10 分） (2016 高二上·南宁期中) 已知等比数列{an}中， 项和．，求其第 4 项及前 520.（10 分）(2018 高一下·重庆期末) 已知正项等比数列 的前 项和 满足： （1） 求数列 的首项 和公比 ；（2） 若，求数列 的前 项和 ．21. （10 分） (2018 高三上·丰台期末) 等差数列 中，，为正数，且满足.，等比数列 的各项均（Ⅰ）求数列 的通项公式及数列 的公比 ；（Ⅱ）求数列的前 项和 .22. （10 分） (2018 高一下·黑龙江期末) 等比数列 中，．（1） 求 的通项公式；（2） 记 为 的前 项和．若，求 ．第5页共8页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、答案：略 2-1、答案：略 3-1、答案：略 4-1、答案：略 5-1、答案：略 6-1、答案：略 7-1、答案：略 8-1、答案：略 9-1、答案：略 10-1、 11-1、答案：略 12-1、答案：略二、 填空题 (共 5 题；共 6 分)13-1、 14-1、 15-1、16-1、参考答案第6页共8页17-1、三、 解答题 (共 5 题；共 50 分)18-1、18-2、 19-1、答案：略 20-1、答案：略 20-2、答案：略21-1、第7页共8页22-1、答案：略 22-2、答案：略第8页共8页。
2020年高考数学一轮复习考点29等差数列及其前n项和必刷题理含解析
考点29 等差数列及其前n 项和1、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝( )A.12 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2.2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( ) A ．30 B ．29 C ．28 D ．27【答案】C【解析】由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7a 1＋a 72＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝8，S 6＝54，则数列{a n }的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．92 【答案】A【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝8，S 6＝6a 1＋15d ＝54，解得a 1＝4，d ＝2.故选A.4、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6【答案】D【解析】.由题意得S 11＝11a 1＋a 112＝112a 1＋10d2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.5、已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为 ( ) A ．24 B ．39 C ．104 D ．52【答案】D【解析】因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48.所以a 4＋a 10＝8.其前13项的和为13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝13×82＝52，故选D.6、在等差数列{a n }中，a 1＝－2 017，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 020＝( )A ．2 020B ．－2 020C ．4 040D ．－4 040【答案】C【解析】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．∵S 1212－S 1010＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1，又S 11＝a 11＝－2 017，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2 017为首项，1为公差的等差数列，∴S 2 0202 020＝－2 017＋2019×1＝2，∴S 2 020＝4 040.故选C.7、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，公差d ≠0，若S 11＝132，a 3＋a k ＝24，则正整数k 的值为 ( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】A【解析】依题意，得S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6＝132，a 6＝12，于是有a 3＋a k ＝24＝2a 6，因此3＋k ＝2×6＝12，k ＝9，故选A.8、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＜2T nB ．b 4＝0C ．T 7＞b 7D ．T 5＝T 6【答案】D【解析】因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，所以S n ＝n 2－10n ，所以a n ＝2n －11，又b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，数列{b n }为等差数列，设公差为d ，所以2b 1＋d ＝－9,2b 1＋3d ＝－7，解得b 1＝－5，d ＝1，所以b n ＝n －6，所以b 6＝0，所以T 5＝T 6，故选D.9、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9【答案】C【解析】由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n7.该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8.故选C.10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B ．6766升 C.4744升 D ．3733升 【答案】B【解析】设该等差数列为{a n }，公差为d ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766.∴a 5＝1322＋4×766＝6766.故选B.11、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S 3S 5＝25，则a 6a 12＝( )A ．4B ．2 C.14 D ．12【答案】D【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝25，可得a 1＝d ，故a 6a 12＝a 1＋5d a 1＋11d ＝6d 12d ＝12.故选D.12、下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a nn}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4【答案】D【解析】{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以{a n }是递增数列，故p 1正确；对p 2，举反例，令a 1＝－3，a 2＝－2，d ＝1，则a 1＞2a 2，故{na n }不是递增数列，p 2不正确；a n n ＝d ＋a 1－dn，当a 1－d ＞0时，{a n n}递减，p 3不正确；a n ＋3nd ＝4nd ＋a 1－d,4d ＞0，{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确．故p 1，p 4是正确的，选D.13、设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则 ( ) A ．S n 的最大值是S 8 B ．S n 的最小值是S 8 C ．S n 的最大值是S 7 D ．S n 的最小值是S 7【答案】D【解析】由条件，得S n n ＜S n ＋1n ＋1，即n a 1＋a n 2n ＜n ＋1a 1＋a n ＋12n ＋1，所以a n ＜a n ＋1.所以等差数列{a n }为递增数列．又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零．所以S n 的最小值为S 7.故选D.14、数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11【答案】B【解析】∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 由b 3＝－2，b 10＝12，∴7d ＝b 10－b 3＝12－(－2)＝14，∴d ＝2， ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6， ∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3， ∴a 8－3＝0，∴a 8＝3.故选B.15、在等差数列{a n }中，已知a 3＝5，a 7＝－7，则S 10的值为( ) A ．50 B ．20 C ．－70 D ．－25【答案】D【解析】设等差数列{a n }的公差为d .∵a 7－a 3＝4d ＝－12，∴d ＝－3，∴a 10＝a 7＋3d ＝－16，a 1＝a 3－2d ＝11，∴S 10＝10a 1＋a 102＝－25.故选D.16、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列 D ．{d 2n }是等差数列【答案】A【解析】作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ，则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|， ∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|.设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ，则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)， ∴S n ＝12c [(n －1)b －(n －2)a ]＝12c [(b －a )n ＋(2a －b )]， ∴S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝12c (b －a )，∴数列{S n }是等差数列．17、已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n ＞0的n 的最大值为________． 【答案】19． 【解析】∵a 11a 10＜－1，且S n 有最大值， ∴a 10＞0，a 11＜0，且a 10＋a 11＜0， ∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10＞0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)＜0，故使得S n ＞0的n 的最大值为19.18、若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为________． 【答案】23．【解析】因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473＞0，得n ＜23.5，所以使a k ·a k ＋1＜0的k 值为23.19、在等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________. 【答案】99【解析】∵a 25－a 15＝10d ＝66－33＝33，∴a 35＝a 25＋10d ＝66＋33＝99.20、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布． 【答案】21【解析】由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有305＋a 302＝390，解得a 30＝21，即该女最后一天织21尺布．21、已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝________. 【答案】－1【解析】因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11，即(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋10d )，解得a 1＝－1.22、设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 【答案】1941【解析】因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941.23、设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 【答案】130【解析】由a n ＝2n －10(n ∈N *)，知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0；当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.24、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足a 1＋a 2＝10，S 5＝40. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】(1) 2n ＋2 (2) －n 2＋10n T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.25、记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 【答案】(1) (－2)n. (2) S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列 【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q2＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 11－q n 1－q ＝－23＋(－1)n·2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n·2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋－1n·2n ＋13＝2S n，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．26、在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列． (1)若数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差． 【答案】(1)n ＋83. (2) －1或1【解析】(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得a 24＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1·(a 1＋7d )，解得a 1＝9d . 由数列{a n }的前10项和为45得10a 1＋45d ＝45，即90d ＋45d ＝45，所以d ＝13，a 1＝3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×13＝n ＋83.(2)因为b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1，即T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 1＋nd ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫19－19＋n ＝19－19＋n， 因此1d2＝1，解得d ＝－1或d ＝1.故数列{a n }的公差为－1或1.27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 【答案】(1) a ＝2，k ＝10 (2)n n ＋32【解析】(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k k －12·d ＝2k ＋k k －12×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0， 解得k ＝10或k ＝－11(舍去)， 故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)，得S n ＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n 2＋n ＋12＝n n ＋32.28、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13＝34，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n ＝a na n ＋t，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m ≥3，m ∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 2n －1 n2(2) 存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列【解析】(1)设{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋16d ＝34，3a 1＋3d ＝9，解得a 1＝1，d ＝2， 故a n ＝2n －1，S n ＝n 2. (2)由(1)知b n ＝2n －12n －1＋t，要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须有2b 2＝b 1＋b m ， 即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t， 移项得2m －12m －1＋t ＝63＋t －11＋t ＝6＋6t －3－t3＋t 1＋t，整理得m ＝3＋4t －1. 因为m ，t 为正整数， 所以t 只能取2,3,5.当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5； 当t ＝5时，m ＝4.所以存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．。
高考数学复习第五单元第29讲等比数列及其前n项和练习理新人教A版06
高考数学复习第五单元第29讲等比数列及其前n 项和练习理新人教A 版06第29讲 等比数列及其前n 项和1.已知{a n },{b n }都是等比数列,那么 ( ) A .{a n +b n },{a n ·b n }都一定是等比数列B .{a n +b n }一定是等比数列,但{a n ·b n }不一定是等比数列C .{a n +b n }不一定是等比数列,但{a n ·b n }一定是等比数列D .{a n +b n },{a n ·b n }都不一定是等比数列2.[2018·太原模拟] 在递减的等比数列{a n }中,若a 3=1,a 2+a 4=52,则a 1=( )A .2B .4C .√2D .2√23.[2018·云南十一校跨区调研] 已知数列{a n }是等比数列,S n 为其前n 项和,若a 1+a 2+a 3=4,a 4+a 5+a 6=8,则S 12=( )A .40B .60C .32D .504.已知等比数列{a n }中,a 3=3,a 10=384,则数列{a n }的通项公式为a n = .5.[2018·浙江嵊州模拟] 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,可求得该女子第1天所织布的尺数为 .6.[2018·安徽池州模拟] 已知等比数列{a n }的公比q=2,前100项的和S 100=90,则a 2+a 4+…+a 100=( ) A .15 B .30 C .45D .607.[2018·辽宁凌源模拟] 已知正项等比数列{a n }满足lo g 12(a 1a 2a 3a 4a 5)=0,且a 6=18,则数列{a n }的前9项和S 9= ( ) A .73132B .83132C .76364D .863648.[2018·天津南开中学模拟] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则S SS S=( )A .4n-1B .4n-1C .2n-1D .2n-19.[2018·福建南平二检] 各项均为正数的等比数列{a n }中,若3a 2+2a 1=5,则2S 32+3S 3S 4-20S 4S 3的最小值为( )A .-20B .-25C .0D .2010.等比数列{a n }中,a 1=1,a 4=8,令b n =a n +1S S,且数列{b n }的前n 项和为T n ,下列式子一定成立的是( )A .a n-1=2a nB .b n+1=2b nC .T n =S S 2-1S S+1D .b n+1>b n11.[2018·四川泸县模拟] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=12,则S 9S 3= ( )A .23B .34C .56D .82512.[2018·江苏常州模拟] 各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2a 3a 4=a 2+a 3+a 4,则a 3的最小值为 .13.[2018·湖南永州三模] 记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和,若S 4-2S 2=2,则S 6-S 4的最小值为 .14.[2018·兰州诊断] 在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1=1,a 2,a 4,a 8成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =2S S ,T n =b 1+b 2+…+b n ,求T n .15.[2018·合肥模拟] 设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式;(2)设q ≠1,证明数列{a n +1}不是等比数列.16.[2018·山东济宁模拟] 已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1,前n 项积为T n ,且a 2a 4=a 3,则使得T n >1的正整数n 的最小值为 ( ) A .4B .5C .6D .717.[2018·郑州质检] 已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =2S 2,且对任意n ∈N *都有1S 1+1S 2+…+1S S<t ,则实数t 的取值范围为 ( )A .13,+∞ B .13,+∞ C .23,+∞ D .23,+∞课时作业(二十九)1.C [解析] 两个等比数列的和不一定是等比数列,两个等比数列的积一定是等比数列.2.B [解析] 在等比数列{a n }中,a 2a 4=S 32=1,又a 2+a 4=52,数列{a n }为递减数列,所以a 2=2,a 4=12,设公比为q ,则q=S 3S 2=12,所以a 1=S2S =4.3.B [解析] 由等比数列的性质可知,数列S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9是等比数列,即数列4,8,S 9-S 6,S 12-S 9是等比数列,因此S 9-S 6=16,S 6=12,S 12-S 9=32,所以S 12=32+16+12=60.4.3×2n-3[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,则{S 3=S 1S 2=3①,S 10=S 1S 9=384②,②÷①得q 7=128,即q=2,把q=2代入①,得a 1=34,所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1q n-1=34×2n-1=3×2n-3.5.531[解析] 由题知,该女子每天织布的尺数构成公比为2的等比数列,设第一天织布的尺数为a 1,则由题知S 1(1-25)1-2=5,得a 1=531,故答案为531.6.D [解析]S 100=a 1+a 2+…+a 100=90,设S=a 1+a 3+…+a 99,则2S=a 2+a 4+…+a 100,∵S+2S=90,∴2S=60.故选D .7.C [解析]∵正项等比数列{a n }满足lo g 12(a 1a 2a 3a 4a 5)=0,∴a 1a 2a 3a 4a 5=1,即S 35=1,∴a 3=1,又a 6=18,∴a 1=4,公比q=12,∴S 9=S 1(1-S 9)1-S =4×[1-(12) 9]1-12=76364.故选C .8.D [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,所以q=S 2+S4S 1+S 3=12,所以a 1+a 3=a 1(1+q 2)=a 11+14=52,解得a 1=2,所以a n =2×12n-1=12n-2,S n =2(1-12S )1-12=41-12S,所以S S S S =4(1-12S )(12)S -2=2n-1.故选D .9.A[解析] 设{a n }的公比为q ,由3a 2+2a 1=5,得2S 32+3S 3S 4-20S 4S 3=2a 3+3a 4-20q=q 2(3a 2+2a 1)-20q=5q 2-20q=5(q-2)2-20≥-20,因为q>0,所以当q=2时,上式取得最小值-20,故选A .10.D [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,由a 1=1,a 4=8,可得q 3=S 4S 1=8,即q=2,所以a n-1=12a n (n ≥2),所以A 中等式不成立;易知数列1S S是以1为首项,12为公比的等比数列,所以b n+1=a n+1+1SS +1=2a n +12·1S S≠2a n +2·1S S=2b n ,所以B 中等式不成立;又T n =(a 1+a 2+…+a n )+1S 1+1S 2+…+1SS=1×(1-2S )1-2+1×[1-(12) S]1-12=2n -1+2-12S -1=2n -12S -1+1,S S 2-1S S+1=2n-2-12S -1+1,所以T n ≠S S 2-1S S+1,所以C 中等式不成立;由b n =a n +1S S,得b n+1-b n =2n +12S -2n-1-12S -1=2n-1-12S >0,所以b n+1>b n ,所以D 中不等式恒成立.故选D .11.B [解析] 令S 3=2,S 6=1,则S 6-S 3=-1,由等比数列的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6是等比数列,则S 9-S 6=12,所以S 9=1+12=32,所以S 9S 3=34.12.√3 [解析] 因为{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 2a 3a 4=a 2+a 3+a 4,所以S 33-a 3=a 2+a 4,则S 33-a 3=a 2+a 4≥2√S 2S 4=2a 3,当且仅当a 2=a 4时等号成立,即(S 32-3)a 3≥0,即S 32≥3,所以a 3≥√3,即a 3的最小值为√3.13.8 [解析] 在等比数列{a n }中,根据等比数列的性质,可得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4构成等比数列,所以(S 4-S 2)2=S 2·(S 6-S 4),因为a n >0,所以S 2>0,所以S 6-S 4=(S 4-S 2)2S 2.又因为S 4-2S 2=2,即S 4-S 2=S 2+2,所以S 6-S 4=(S 2+2)2S 2=S 22+4S 2+4S 2=S 2+4S 2+4≥2√S 2·4S 2+4=8,当且仅当S 2=4S 2时,等号成立,所以S 6-S 4的最小值为8.14.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则依题意有{S 1=1,(S 1+3S )2=(S 1+S )(S 1+7S ),解得d=1或d=0(舍去), ∴a n =1+(n-1)=n. (2)由(1)知a n =n ,∴b n =2n ,∴S S +1S S=2, ∴{b n }是首项为2,公比为2的等比数列, ∴T n =2(1-2S )1-2=2n+1-2.15.解:(1)设{a n }的前n 项和为S n ,当q=1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1;当q ≠1时,S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1①, qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n ②, ①-②得(1-q )S n =a 1-a 1q n ,∴S n =S 1(1-S S )1-S. ∴S n ={SS 1,S =1,S 1(1-S S )1-S,S ≠1.(2)证明:假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N *,都有(a k+1+1)2=(a k +1)(a k+2+1), 即S S +12+2a k+1+1=a k a k+2+a k +a k+2+1,即S 12q 2k +2a 1q k =a 1q k-1·a 1q k+1+a 1q k-1+a 1q k+1. ∵a 1≠0,∴2q k =q k-1+q k+1,∵q ≠0,∴q 2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾. 故数列{a n +1}不是等比数列.16.C [解析]∵{a n }是各项均为正数的等比数列,a 2a 4=a 3,∴S 32=a 3,∴a 3=1.又公比q>1,∴a 1<a 2<1,a n >1(n>3),∴T n >T n-1(n ≥4),又T 1<1,T 2=a 1·a 2<1,T 3=a 1·a 2·a 3=a 1a 2=T 2<1,T 4=a 1·a 2·a 3·a 4=a 1<1,T 5=a 1·a 2·a 3·a 4·a 5=S 35=1,T 6=T 5·a 6=a 6>1,∴满足T n >1的n 的最小值为6,故选C . 17.D[解析] 依题意得,当n ≥2时,a n =S 1S 2S 3…S S S 1S 2S 3…S S -1=2S 22(S -1)2=2S 2-(S -1)2=22n-1,又a 1=21=22×1-1,所以a n =22n-1,所以1S S =122S -1,所以数列1S S是以12为首项,14为公比的等比数列,等比数列1S S的前n 项和为12(1-14S )1-14=231-14S <23,因此实数t 的取值范围是23,+∞.。
高考数学总复习 课时作业(二十九)第29讲 等差数列及其前n项和 理-人教版高三全册数学试题
课时作业(二十九)第29讲等差数列及其前n项和基础热身1.[2017·某某诊断]设S n为等差数列的前n项和,a1=-2,S3=0,则的公差为()A.1B.2C.3D.42.在等差数列中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=()A.30B.27C.24D.213.[2017·某某期末]已知S n为等差数列的前n项和,若a4+a9=10,则S12=()A.30B.45C.60D.1204.[2017·某某模拟]在等差数列中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,那么a5=.5.在等差数列中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d=.能力提升6.[2017·某某八市联考]在等差数列中,若a2+a4+a6=3,则a1+a3+a5+a7=()A.3B.4C.5D.67.[2017·某某质检]设是等差数列,S n为其前n项和.若正整数i,j,k,l满足i+l=j+k(i ≤j≤k≤l),则()A.a i a l≤a j a kB.a i a l≥a j a kC.S i S l<S j S kD.S i S l≥S j S k8.已知等差数列的前n项和为S n,且a1+a5=-14,S9=-27,则使得S n取最小值时,n的值为()A.1B.6C.7D.6或79.[2017·某某模拟]《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及解法,其中一个问题可用现代汉语描述为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节容积之和为4升,求中间一节的容积为多少?”则该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为()A.升B.升C.升D.升10.[2017·某某质检]已知数列满足a1=0,数列为等差数列,且a n+1=a n+b n,b15+b16=15,则a31=()A.225B.200C.175D.15011.[2017·某某、崇左、某某模拟]已知S n是等差数列的前n项和,若a1=-2017,-=6,则S2017=.12.[2017·某某五校联考]已知数列,满足a1=2,b1=1,(n≥2,n∈N*),则(a1008+b1008)(a2017-b2017)=.13.(15分)[2017·海淀区期中]已知等差数列满足a1+a2=6,a2+a3=10.(1)求数列的通项公式;(2)求数列{a n+a n+1}的前n项和.14.(15分)[2017·某某师大附中期中]已知正项数列的前n项和为S n,且是1与a n 的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.难点突破15.(5分)[2017·某某期中]已知等差数列的前n项和为S n,且S3=9,a2a4=21,数列满足++…+=1-(n∈N*),若b n<,则n的最小值为 ()A.6B.7C.8D.916.(5分)[2017·某某一模]已知数列满足a1=-,a n+1b n=b n+1a n+b n,且b n=(n∈N*),则数列的前2n项和S2n取最大值时,n=.课时作业(二十九)1.B[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题设可得3×(-2)+·d=0,解得d=2,故选B.2.B[解析] 根据等差数列的性质可得,等差数列第1,4,7项的和,第2,5,8项的和与第3,6,9项的和成等差数列,所以a3+a6+a9=2×33-39=27,故选B.3.C[解析]S12==6×(a4+a9)=60,故选C.4.9[解析] 根据等差数列的性质可知a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.5.7[解析]由(a5+a8)-(a3+a6)=39-11=4d=28,得d=7.6.B[解析]由a2+a4+a6=3得a4=1,则a1+a3+a5+a7=4a4=4,故选B.7.A[解析]设等差数列{a n}的公差为d.可以令i=1,j=2,k=3,l=4,则a i a l-a j a k=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d2≤0,S1S4-S2S3=a1(4a1+6d)-(2a1+d)(3a1+3d)=-2-3a1d-3d2=-2a1+d2-d2≤0,故只有A选项正确.8.B[解析] 设等差数列{a n}的公差为d,由题意,得解得则a n=2n-13.令解得≤n≤.因为n∈N*,所以n=6,即当n=6时,S n取得最小值,故选B.9.A[解析] 设最上面一节竹子的容积为a1,则依题意可知根据等差数列的性质可知a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=3,a7+a8+a9=3a8=4,则有a2+a3=,a8=,所以a2+a3+a8=+=,故选A.10.A[解析] 设等差数列{b n}的公差为d,则由题设可得b n=a n+1-a n=b1+(n-1)d,则a2-a1=b1,a3-a2=b1+d,a4-a3=b1+2d,…,a31-a30=b1+29d,累加得a31-a1=30b1+(1+2+…+29)d=30b1+d,即a31=15(2b1+29d),又b15+b16=2b1+29d=15,所以a31=15(2b1+29d)=15×15=225,故选A.11.-2017[解析]∵S n是等差数列的前n项和,∴是等差数列,设其公差为d.∵-=6,∴6d=6,d=1.∵a1=-2017,∴=-2017,∴=-2017+(n-1)×1=-2018+n,∴S2017=(-2018+2017)×2017=-2017.12.[解析] 由题意可得,当n≥2时,a n+b n=a n-1+b n-1+2,a n-b n=a n-1-b n-1=(a n-1-b n-1),所以数列{a n+b n}是以a1+b1=3 为首项,2为公差的等差数列,数列{a n-b n}是以a1-b1=1 为首项,为公比的等比数列,所以(a1008+b1008)(a2017-b2017)=(3+2×1007)×1×=.13.解:(1)设等差数列的公差为d,因为a1+a2=6,a2+a3=10,所以a3-a1=4,所以2d=4,d=2.又a1+a2=a1+a1+d=6,所以a1=2,所以a n=a1+(n-1)d=2n.(2)记b n=a n+a n+1,所以b n=2n+2(n+1)=4n+2,又b n+1-b n=4(n+1)+2-4n-2=4,所以数列是首项为6,公差为4的等差数列,其前n项和S n===2n2+4n.14.解:(1)由题意知2=1+a n,即4S n=(1+a n)2.当n=1时,可得a1=1.当n≥2时,有4S n-1=(a n-1+1)2,又4S n=(a n+1)2,两式相减得(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0,∵a n>0,∴a n-a n-1=2,则数列{a n}是以1为首项,2为公差的等差数列,即a n=2n-1.(2)==-,∴T n=1-+-+…+-=1-=.15.C[解析] 设等差数列{a n}的公差为d.∵S3=a1+a2+a3=3a2=9,a2a4=21,∴a2=3,a4=7,d=2,a n=2n-1.设T n=++…+=++…+=1-,则T n+1=++…++=1-,两式作差得T n+1-T n==-=,所以b n+1=,则b n=.当b n<,即<时,得n的最小值为8,故选C.16.8[解析] 由题知当n为奇数时,b n=-2,当n为偶数时,b n=3.又a2b1=b2a1+b1,可得a2=.当n=2k时,有a2k+1b2k=b2k+1a2k+b2k,即3a2k+1=-2a2k+3①.当n=2k-1时,有a2k b2k-1=b2k a2k-1+b2k-1,即-2a2k=3a2k-1-2②.当n=2k+1时,有a2k+2b2k+1=b2k+2a2k+1+b2k+1,即-2a2k+2=3a2k+1-2③.由①③可得a2k+2-a2k=-,由①②可得a2k+1-a2k-1=,则数列,都是等差数列,首项分别为a2=,a1=-,公差分别为-,.则S2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=na1+×+na2+×=-+n.则当n=8时,S2n取得最大值.。
高考数学-数列的通项与求和(综合篇)-专题练习有答案
1．设数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
2．已知在数列 中， ，且 .
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和
3．已知 是各项均为正数的等比数列， 是 与 的等差中项且 ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
1．
【解析】（1）由题意， 时， ，∴ ， ，又 适合上式，∴ ， ．
（2） ， ，
则 ，∴
，∴ ．
2．
3．
【解析】（Ⅰ）令 ，得 ，所以有 ，解得
又 ，得 ，所以 ．
（Ⅱ）
所以
．
解答题（20*5=100分）
1．【2016高考新课标Ⅲ文数】
【解析】（Ⅰ）由题意得 .
（Ⅱ）由 得 .
因为 的各项都为正数，所以 ，
当 时，
所以
所以
所以数列 是等比数列，
（2）
设 ，
①
2 ②
由①—②得：
由 可得
2
5．
【解析】（1）当 时，由 ，得：
由 ①
②
上面两式相减，得：
所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，得：
（2）
由 ，即 ，可解得 ，
所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
又 ，
得 ，
，
两式作差，得
所以
例2【2016高考天津文数】
【解析】（Ⅰ）设数列 的公比为 ，由已知有 ，解之可得 ，又由 知 ，所以 ，解之得 ，所以 .
（Ⅱ）由题意得 ，即数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
设数列 的前 项和为 ，则
例3
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解29--- 等比数列及其前n项和(解析版)
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题7.3 等比数列及其前n项和【考纲解读与核心素养】1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；2.了解等比数列与指数函数的关系.3.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用；4.会用数列的等比关系解决实际问题.5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.6.高考预测：（1）利用方程思想应用等比数列通项公式、前n项和公式求基本量；（2）等比数列的性质及应用.（3）更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性．7.备考重点:（1）与等差数列及其它知识的综合问题；（2）根据已知递推式构造等比数列求解相关问题.【知识清单】知识点1．等比数列的有关概念1. 等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：)0(1≠=+q q a a nn ,（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n .说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=. 3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）4. 等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}n a A (n a A 总有意义)必成等比数列．(2)如果数列{}n a 成等比数列，且0n a >，那么数列{log }a n a (0a >，且1a ≠)必成等差数列．(3)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列．数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．知识点2．等比数列的前n 项和 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a q S q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）.说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况.（4）若已知首项1a 和末项n a ，则11n n a a qS q-=-；若等比数列{a n }的首项是1a ，公比是q ，则其前n 项和公式为qq a S n n --=1)1(1.知识点3．等比数列的相关性质 1.等比数列的性质：（1）在等比数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；（2）在等比数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等比数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，m n m n q a a -=；（4）在等比数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 也就是：=⋅=⋅=⋅--23121n n na a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321.（5）若数列{}n a 是等比数列，且公比不为－1，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列.如下图所示：k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++. （6）两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．（7）若数列{}n a 是等比数列,则{}n ka ，2{}n a 仍为等比数列．2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即21a a -，32a a -，43a a -，…成等比数列，且公比为()21322121a a qa a q a a a a --==--.3.等比数列的单调性当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 为递增数列，当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 为递减数列．4. 等差数列和等比数列比较【典例剖析】高频考点一 ：等比数列的基本运算【典例1】（2017全国卷3理）设等比数列{}n a 满足12–1a a +=， 13––3a a =，则4a = ___________．【答案】8-【解析】因为{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， 所以()3341128a a q ==⨯-=-．【典例2】（2019·全国高考真题（理））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【答案】1213. 【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【总结提升】1.求解等比数列的基本量要用好方程的思想：等比数列的通项公式11n n a a q -=⋅及前n 项和公式q q a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-，共涉及五个量1,,,,n n a q n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想解决问题.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、q ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．2.运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为,,aa aq q ；四个数成等比数列，一般设为33,,,a aaq aq q q. 这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便. 【变式探究】1.（2012·浙江高考真题（理））设公比为q(q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{Sn}．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．【答案】32【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子．即1112331111132{32a a q a q a a q a q a q a q +=++++=+，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：(舍去)2.（2019·天津高三月考）数列{}n a 是各项为正且单调递增的等比数列，前n 项和为35,3n S a 是2a 与4a 的等差中项，5484S =，则公比q =_______；3a =__________.【答案】3 36 【解析】由题意得()2311151510314841a q a q a q a q S q ⎧⋅=⋅+⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得13,4q a ==，∴23136a a q =⋅=. 高频考点二 等比数列的判定与证明【典例3】26．（2020·江苏高三其他）定义数列{}n a ，先给出11a =，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是231,2a a ==，接下来再复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继（1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1．．．），设n S 是n a 的前n 项和，则2020S =__.【答案】3990 【解析】根据题意设每操作一次形成的数列和为n b ，n b 的前n 项和为n T ，故11b =，11n n b T n +=++，1n n b T n -=+，()2n ≥，两式相减得到121n n b b +=+.即()1121n n b b ++=+，故{}1n b +是首项为2，公比为2的等比数列，21nn b =-，验证1n =时成立，故21n n b =-，122n n T n +=--.设每操作一次形成的数列的个数为n c ，其前n 项和为n K ，故11c =，11n n c K +=+，故()11,2n n c K n -=+≥，相减得到：12n n c c +=，故12n n c -=，验证1n =时满足.21n n K =-，101121202021-<<-，()10202021997--=，10299727-=，故2020S =()101111109...11211321121143211T b +-++++++++++++++++++++1111210221933990=--+--=.（括号内是2020a 开始的倒数27个数）.故答案为：3990.【典例4】（2018·全国高考真题（文））已知数列满足，，设．（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求的通项公式．【答案】(1) b 1=1，b 2=2，b 3=4．(2) {b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析. (3) a n =n ·2n -1． 【解析】（1）由条件可得a n +1=．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得，所以a n =n ·2n -1．【规律方法】 等比数列的判定方法(1)定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列； (2)等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法 n n a cq = (,c q 均是不为0的常数，n N ∈*)⇔{}n a 是等比数列． 【变式探究】1.（2020·浙江高一期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足()*23n n S a n N =-∈，则6S =（ ）A ．192B ．189C ．96D ．93【答案】B【解析】()*23n n S a n N =-∈，1n ∴= 时，11123S a a ==-，解得13a = ． 2n = 时，21222236S a a a a =+=-⇒=， 2n ≥ 时，1123n n S a ++=-，可得：111112323232n n n n n n n n a a S a a a a a ++++++=-⇒+-=-⇒=，又212aa = ∴数列{}n a 是等比数列，首项为3，公比为2．6612318912S -∴=⨯=- ，选B2.（2019·安徽省定远中学高考模拟（文））已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.【答案】（1）见证明；（2）()221141322n n n --- 【解析】（1）证明：∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++.又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+. 又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.（2）由（1）求解知，124n n b -=⨯，∴124n n n a b n n -=-=⨯-，∴()()211221412(1444)(123)142n n n n n n S a a a n --+=++⋯+=++++-++++=--()221141322n n n =---. 高频考点三 等比数列的性质及应用【典例5】（2020·全国高三二模（理））已知数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则151959149a a a a a a ++（ ） A ．有最小值72B ．有最大值72C ．有最小值52D ．有最大值52【答案】C 【解析】 分析：根据等比中项的性质得325858a a a a ==-，5140a a q=<，21954a a a ==，代入构造基本不等式的形式，运用基本不等式求得最值.详解：设等比数列{}n a 的公比q ，∵2588a a a =-，∴325858a a a a ==-，∴52a =-，∴5140a a q=<，21954a a a ==，∴9519115195915949981498a a a a a a a a a a a a a a +++-++==- ()111415191236882a a ⎡⎤⎛⎫=+-+≥+⨯=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦，当且仅当1149a a -=-，即1203a =-<时，取等号，故选：C.【典例6】（2018届浙江省温州市一模）已知数列是公差不为0的等差数列，，数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】是公差不为0的等差数列，是以公比不为的等比数列，由等比数列的性质，可得成等比数列，可得，故选D.【总结提升】1.等比数列的性质多与其下标有关，故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．2.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．3.在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．【变式探究】1．（2020·山西太原�高一期末）在等比数列{}n a 中，若1358a a a =，则42a a =（ ）A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】B 【解析】由等比中项的性质可得313538a a a a ==，解得32a =，因此，2224324a a a ===.故选：B.2.（2018·浙江高考模拟）设各项均为正数的等比数列中,若,则公比=___________，5a = .【答案】3,162【解析】由题意可得：，代入得等比数列各项均为正数，解得，故【温馨提醒】应用等比数列性质解题时的两个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…也成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．高频考点四 等比数列的前n 项和公式的综合应用【典例7】（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一期末）已知数列{}n a 满足递推公式1121,1n n a a a +=+=.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n a =__________，471n nn n S a +--+的最小值是__________.【答案】21n -；174【解析】因为121n n a a +=+，所以()1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列，所以12nn a +=，所以21n n a =-；所以()23121222222212n n n n S n n n +-=+++⋅⋅⋅+-=-=---，所以()1427472222921n n n nn n nn n n S a n ++--+--==+-+--，由对勾函数的性质可得，当1n =时，22n =，9992222222nn +-=+-=； 当2n ≥时，24n ≥，所以9222nny =+-单调递增， 当2n =时，9917922422442nn +-=+-=<；所以471n n n n S a +--+的最小值是174.故答案为：21n -；174. 【典例8】（2019·浙江高三期末）已知等比数列{}n a 的公比(0,1)q ∈，前n 项和为n S .若331S a +=，且2116a +是1a 与3a 的等差中项. （I ）求n a ；（II ）设数列{}n b 满足10b =，1()n n n b b a n *+-=∈N ，数列{}n n a b 的前n 项和为n T .求证：1()3n T n *<∈N .【答案】（Ⅰ）1()2n n a n *=∈N （II ）见证明 【解析】（I ）由33=1S a +，得12321a a a ++=①.再由2116a +是1a ，3a 的等差中项，得1321216a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即132128a a a +-=②. 由①②，得()123132282a a a a a a ++=+-， 即32161770a a a -+=，亦即261770q q -+=， 解得12q =或73，又()0,1q ∈，故12q =. 代入①，得1211122a q q ==++，所以111111222n nn n a a q --⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即()*12n n a n N =∈； （II ）证明：对任意*n N ∈，()111111*********nn n nna q S a q⎛⎫-⎪-⎝⎭===-=---，()()()11213211201n n n n n n b b b b b b b b a a a S a ++=+-+-++-=++++==-，即11n n b a +=-. 又10b =，若规定00112a ==，则()*11n n b a n N -=-∈. 于是()*1n n n n n a b a a a n N -=-∈，从而()()1201121111111241123214n n n n n n nT a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪=+++-+++=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭12121113211323323n n n ---⋅-=-<⋅⋅，即()*13n T n N <∈. 【规律方法】1.等比数列前n 项和S n 相关的结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q1＋q(q ≠1且q ≠－1)．(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n ＝S n ＋m －S nS m(q 为公比)． 2.等比数列最值有关问题的解题思路求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．3.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．【变式探究】1.（2018·浙江高三新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解 专题练习）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S t <恒成立，则实数t 的最小值为________.【答案】14【解析】令1m =，可得{}11,5n n n a a a +=∴是首项为15，公比为15的等比数列，所以111551111145415nnn S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 14t ≥，实数t 的最小值为14，故答案为14.2.（2019·浙江高考模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，公差0d ≠，且1S ，3S ，9S 成等比数列，数列{}n b 满足2*112246...6()2n n nn n b S b S b S n N +++++=-∈，{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记12231111...n n n R a a a a a a +=+++，试比较n R 与12n T 的大小. 【答案】（Ⅰ）21n a n =-，*1()2n n b n N =∈（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）由已知得2319S S S =⋅，即()233936d d +=+，又0d ≠，∴2d =，∴21n a n =-，2n S n =.由2222124612...62n nn n b b b n ++⨯+⨯++⨯=-得112b =. 2n ≥时，()()22211416466622n n n n n n n b n --+-+++⨯=--+ 22n n =. ∴12n n b =，显然112b =也满足， ∴()*12n n b n N =∈. （Ⅱ）112n n T =-，1111222n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()()111...13352121n R n n =+++⨯⨯-+111111111...123352121221n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， 当1n =时，122113<⨯+=，1112R T >，当2n =时，222215<⨯+=，2212R T >，当3n ≥时，()()12312111 (12)nn n n n n n C C C n -=+=++++>++21n ≥+，∴12n n R T <.综上，当2n ≤时，12n n R T >；当3n ≥时12n n R T <.高频考点五 等比数列与传统文化【典例9】（2017新课标全国II 理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【答案】B 【解析】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：B．【典例10】（2020·浙江杭州�高三二模）我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过________次截取.【答案】16411【解析】记第n天后剩余木棍的长度{}n a，则{}n a是首项为12，公比为12的等比数列，所以12n na=，所以6611264a==，由1122018n na=<得10n>，所以n的最小值为11.所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是164尺，要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过11次截取.故答案为：164；11.【变式探究】1．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里 【答案】D【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得6161[1()]2378112-==-a S ， 解可得1192a =， 则211192962a a q =⨯=⨯=；即此人第二天走的路程里数为96；故选：D ．2．（2020·安徽黄山�高一期末）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( )A ．531B ．1031C ．9D ．10【答案】B【解析】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为q ，首项为1a ，前n 项和为n S ， 由题意可得5152(1)51q a q S q =⎧⎪-⎨==⎪-⎩，解得12531q a =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以第二天织的布为211031a a q ==. 故选B。
高考复习方案高考数学一轮复习 第5单元 第29讲 等差数列及其前n项和同步作业 理
1 课时作业(二十九) [第29讲 等差数列及其前n项和] (时间：45分钟 分值：100分) 基础热身 1．已知{an}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是( ) A．4 B．14
C．－4 D．－14
2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S4＝20，则S6＝( ) A．16 B．24 C．36 D．48
3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( ) A．12 B．16
C．20 D．24
4．已知等差数列{an}共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．
6．[2014·沈阳四校联考] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S412－S39＝1，则公差为________． 能力提升 7．[2014·辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( ) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( ) A．12 B．14
C．16 D．18
9．[2014·安庆二模] 已知Sn表示数列{an}的前n项和，若对任意的n∈N*满足an＋1＝an＋a2，且a3＝2，则S2014＝( )
A．1006×2013 B．1006×2014 C．1007×2013 D．1007×2014 10．等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1，2，3，…)，当首项a1和公差d变化时，a5
＋a8＋a11恒为一个定值，则下列选项中为定值的是( )
A．S17 B．S18
C．S15 D．S16
11．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93.若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为( ) A．20 B．22 C．24 D．25 12．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________． 13．[2014·锦州一模] 在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m＝________． 14．(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋a4＝14，S7＝70. (1)求数列{an}的通项公式． 2
高中数学数列测试题
高中数学数列测试题数列作为高中数学的重要内容之一，是高考数学中的常客。
本次数列测试题旨在全面考查同学们对数列概念、性质、通项公式、求和公式等知识的掌握程度和运用能力。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）1、已知数列{an}的通项公式为 an ＝ 2n 1，则 a5 的值为（）A 9B 11C 13D 152、在等差数列{an}中，若 a3 ＋ a7 ＝ 10，则 a5 ＝（）A 4B 5C 6D 73、等比数列{an}中，a1 ＝ 1，公比 q ＝ 2，则 a4 ＝（）A 8B 16C 32D 644、数列 1，3，6，10，15，…的通项公式 an 为（）A n(n ＋ 1)／2B n(n 1)／2C n²D 2n 15、已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S9 ＝ 81，则 a5 ＝（）A 9B 18C 27D 366、在等比数列{an}中，a2 ＝ 2，a5 ＝ 16，则公比 q ＝（）A 2B －2C 4D －4二、填空题（每题 5 分，共 30 分）7、等差数列{an}中，a1 ＝ 3，d ＝ 2，则 a10 ＝＿___。
8、等比数列{an}中，a3 ＝ 9，a6 ＝ 243，则 q ＝＿___。
9、数列{an}的前 n 项和 Sn ＝ n²＋ 2n，则 a3 ＝＿___。
10、等差数列{an}中，若 a1 ＋ a2 ＋ a3 ＝ 12，a4 ＋ a5 ＋ a6 ＝ 18，则 a7 ＋ a8 ＋ a9 ＝＿___。
11、等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3 ＝ 7，S6 ＝ 63，则公比q ＝＿___。
12、已知数列{an}满足 an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 1，a1 ＝ 1，则 an ＝＿___。
三、解答题（每题 20 分，共 40 分）13、已知等差数列{an}的公差 d ＝ 3，且 a1，a3，a9 成等比数列，求数列{an}的通项公式。
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课时训练20 数列的综合运用 【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分） 1.已知-9，a1,a2,a3,-1五个实数成等比数列，-9，b1,b2，-1四个实数成等差数列，则a2(b1-b2)等于（ ）
A.-89 B.8 C.-8 D.±8 【答案】B 【解析】由已知得a2=-3,b1=-319,b2=-311,
∴a2(b1-b2)=-3×(-38)=8. 2.在等差数列{an}中，a1+a2+a3=3,a28+a29+a30=165，则此数列前30项的和等于（ ） A.810 B.840 C.870 D.900 【答案】B
【解析】由已知得a2=1,a29=55,故S30=2)(30311aa=15(a2+a29)=840. 3.已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1，且bi＞0（i=1,2,3,…,n），若a1=b1,a11=b11,则（ ） A.a6=b6 B.a6＞b6 C.a6＜b6 D.a6＞b6或a6＜b6 【答案】B
【解析】a6=11111111122bbbbaa=b6.
4.已知数列{an}的通项公式an=5n-1，数列{bn}满足b1=21,bn-1=32bn,若an+logλbn为常数，则满足条件的λ（ ） A.唯一存在，且值为21 B.唯一存在，且值为2 C.至少存在1个 D.不一定存在 【答案】B
【解析】bn=b1qn-1=21(321)n-1=26-5n， ∴an=logλbn=5n-1+(6-5n)·logλ2为常数. ∴5-5logλ2=0，即λ=2.
5.若数列{an}满足an+1=),121(,12),210(,2nnnnaaaa若a1=76,则a2 006的值为( )
A.76 B.75 C.73 D.71 【答案】B 【解析】因a1=76，故a2=2a1-1=75,a3=2a2-1=73,a4=2a3=76. 故{an}是以3为周期的数列，a2 006=a2=75. 6.(2010福建厦门一中模拟，8)已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1=8，S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为( ) A.S1 B.S2 C.S3 D.S4 【答案】C
【解析】由a1=8,知S1=8，若S2=20，则q=23,此时S3=qqa1)1(31=38,S4=qqa1)1(41=65,故S3算错了. 7.在如右图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a+b+c的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A
【解析】易知每列均为公比为21的等比数列，即a=2×(21)2=0.5,b=2.5×(21)3=165,c=3×
(21)4=163,a+b+c=1. 二、填空题（每小题5分，共15分） 8.一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩2只羊，牧羊人原来有_____________只羊. 【答案】2 解法一：（逆推）过最后一个关口有两只羊，则过第35个关口也是2只羊，依次类推，原来有2只羊.
解法二：设原有羊x只，则过第n个关口有an，则a1=2x+1,an=21an-1+1,∴an-2=21(an-1-2),{an-2}
为等比数列，∴an=2+(x2-1)(21)n-1.依题意，2+（2x-1）(21)n-1=2x=2. 9.64个正数排成8行8列，如下所示 a11 a12 … a18 a21 a22 … a28 … … … … a81 a82 … a88 在符号aij（1≤i≤8,1≤j≤8）中，i表示该数所在的行数，j表示该数所在的列数，已知每一
行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等），a11=21,a24=1,a32=41,则aij 的通项公式为aij=_________________. 【答案】j·（21）i
【解析】由题设第二行的公差为d，每一列的公比为q,则q=dd21412131. 解得d=41或d=127(舍，此时a21＜0＝),q=21, ∴aij=a2j·（21）i-2=［a24+(j-4)·41］·（21）i-2=j·（21）i. 10.三个实数6、3、-1排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和-1之间插入一个实数，使得这6个数中的前三个，后三个分别成等差数列，且插入的3个数本身顺次成等比数列，
那么所插入的这3个数的和可能是：①47;②3;③419;④7.其中正确的序号是（把正确的序号都填上）. 【答案】①④ 【解析】设插入的三个数为x、y、z，
则.132,62,2zyxxzy解得.1,2,4,1,23,49zyxzyx或 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.已知An（n,an）为函数y1=12x图象上的点，Bn(n,bn)为函数y2=x图象上的点，设cn=an-bn,其中n∈N*. (1)求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列; (2)试比较cn与cn+1的大小.
(1)证明：依题意，an=12n,bn=n,cn=12n-n. 假设{cn}是等差数列，则2c2=c1+c3, 2(5-2)=2-1+10-3.
有25=2+10，产生矛盾，∴{cn}不是等差数列. 假设{cn}是等比数列，则c22=c1c3, 即（5-2）2=（2-1）（10-3），有215=47，产生矛盾. ∴{an}也不是等比数列. (2)【解析】∵cn+1=1)1(2n-(n+1)＞0, cn=12n-n＞0, ∴nnnnccnn1)1(1)1(221=)1(1)1(122nnnn. 又∵0＜1)1(122nn,0＜n＜n+1, ∴1)1(122nnn+n+1, ∴0＜)1(1)1(122nnnn＜1,
∴nncc1＜1,即cn+1＜cn. 12.设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1-an}(n∈N*)是等差数列，数列{bn-2}(n∈N*)是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）是否存在k∈N*,使ak-bk∈(0,21)?若存在，求出k；若不存在，说明理由. 【解析】(1)由已知a2-a1=-2,a3-a2=-1,d=-1-(-2)=1. ∴an+1-an=(a2-a1)+(n-1)·1=n-3. n≥2,an=(an-an-1)+(an-1-an-2+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1) =(n-4)+(n-5)+…+(-1)+(-2)+6
=21872nn. n=1也合适. ∴an=21872nn(n∈N*). 又b1-2=4,b2-2=2.即q=42=21， ∴bn-2=(b1-2)·（21）n-1, 即bn=2+8·（21）n.
∴数列{an}{bn}的通项公式为：an=21872nn,bn=2+(21)n-3. (2)设f（k）=ak-bk=21k2-27k+7-8·（21）k=21(k-27)2+87-8·（21）k. 当k≥4时21（k-27）2+87为k的增函数，-8·（21）k也为k的增函数， 而f(4)= 21. ∴当k≥4时ak-bk≥21. 又f(1)=f(2)=f(3)=0, ∴不存在k，使f(k)∈(0,21).
13.（2010全国大联考，22）已知正项数列{an} 满足a1=a(0＜a＜1＝,且an+1=nnaa1.求证: (1)0＜an+1＜21； (2)an=ana)1(1;
(3)3221aa+…+1nan＜1. 证明：(1)∵y=xxx1111, ∴函数y=xx1(0＜x＜1)是增函数.
由已知an+1=nnaa1,0＜an＜1, ∴0＜an+1＜21. (2)∵an+1=nnaa1(n∈N*),
∴nnnnnnaaaaaa11,1111111(n∈N*), 即数列{na1}是首项为a1,公差为1的等差数列. ∴na1=a1+(n-1),an=ana)1(1(n∈N*). (3)由已知an=nnaana1)1(11)1(1(∵0＜a＜1), ∴432321aaa+…+3212111nan+…+)1(1nn =1-11n＜1. 14.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=2(1+n1)2an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(An2+Bn+C)·2n,试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N*都有an=bn+1-bn成立？说明你的理由; (3)求证：a1+a2+a3+…+an≥2n+2-6.
(1)【解析】由已知an+1=2·（nn1）2an,即2212)1(nanann.
∴数列{2nan}是公比为2的等比数列,又211a=2,∴2nan=2n.∴an=2n ·n2. (2)【解析】∵bn+1-bn=［An2+(4A+B)n+2A+2B+C］·2n 若an=bn+1-bn恒成立，则n2=An2+(4A+B)n+2A+2B+C恒成立.
∴.6,4,1.022,04,1CBACBABAA故存在常数A、B、C满足条件. （3）证明：a1+a2+…+an=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn+1-bn)=bn+1-b1 =［(n+1)2-4(n+1)+6］·2n+1-6=(n2-2n+3)·2n+1-6=［(n-1)2+2］·2n+1-6≥2n+2-6.