黑龙江省哈三中2014-2015学年度高二上学期期中考试文科数学试卷(扫描版)
黑龙江省哈六中2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题
黑龙江省哈六中2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知点(2,0)A -，点(2,0)B ，若1MA MB k k ⋅=-，则动点M 的轨迹方程为（ ） A. 224x y -=(2)x ≠± B. 224x y -= C. 224x y +=(2)x ≠± D.224x y +=2.“0,0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为2y x =，它的一个焦点在抛物线212y x =的准线上，则此双曲线的方程为（ ）A. 22136x y -=B. 22163x y -=C. 2211224x y -=D. 2212412x y -= 4.如果一个棱锥的所有棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（ ）A. 三棱锥B. 四棱锥C. 五棱锥D. 六棱锥5.下列命题正确的个数是（ ）①梯形的四个顶点在同一平面内 ②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合 ④每两条相交的且交点各不相同的四条直线一定共面A. 1个B.2个C. 3个D.4 个 6.已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（ ） A.2 B. 62 C.13D. 227. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）所示，则该几何体的侧视图为 （ ）8.若“01x ≤≤”是“[]((2)0x a x a --+<）”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A.0][1,)-∞+∞（，B. [1,0]-C. (1,0)-D. (,1)(0,)-∞-+∞9.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>,12,F F 为左、右焦点，1212,,,A A B B 分别是其左、右、下、上顶点，直线12B F 交直线22B A 于P 点，若P 点在以12B A 为直径的圆周上，则椭圆离心率（ ） A.212 B.512 C. 22D. 3210.下列有关命题的说法正确的是（ ）A.命题“若αβ=，则sin sin αβ=”的逆命题为真命题B.已知命题p ：函数()tan f x x =的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈ ， 命题q ：2,10x R x x ∀∈-+≥； 则命题p q ∧为真命题 C.“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14ay x =-—垂直”的必要不充分条件 D.命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定形式是真命题 11.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A .83+B ．310+C ．312+D ．12（A ） （B ） （C ） （D ）侧视→ 图112. 过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为原点，若)(21+=，则此双曲线的离心率为（ ）A.12+B. 12+C. 27D.27第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13.在极坐标系中，已知两点,A B 的极坐标分别为(3,)3π、(4,)6π-（其中O 为极点），则AOB ∆ 的面积为14.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积为15.在平面直角坐标系xoy 中，曲线2:2(0)C x py p =->的焦点F ，点()M M p y ，在曲线C上，若以点M 为圆心的圆与曲线C 的准线相切，圆M 面积为36π，则p =16.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）已知圆的极坐标方程为2cos()604πρθ--+=（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若点(,)P x y 在该圆上，求x y +的最大值与最小值.18.（本小题满分12分）已知p :不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集q :不等式2290x x a -+<的解集正视图 侧视图 俯视图若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知圆锥曲线C:2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点A ,12,F F 是此圆锥曲线的左、右焦点（1）以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程； （2）经过1F 且与直线2AF 垂直的直线交此圆锥曲线于,M N 两点，求11MF NF -的值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且点3(1,)2在该椭圆上（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若AOB ∆，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程.21.（本小题满分12分）已知动圆过定点(4,0)A 且在y 轴上截得弦MN 的长为8 （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点(1,0)B -，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点,P Q ,若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明：直线l 过定点.22.（本小题满分12分）已知椭圆C 方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别为12,l l .过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设直线l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为,A B（1）若1l 与2l 夹角为60，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程； 一、（2）求FA AP的最大值. 选择题（5⨯12=60）1.C2.B3.A4.D5.B6.A7.D8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题（5⨯4=20）13. 6 14.16π 15. 6 16. 3242π-17.（1）224460x y x y +--+=——————（5分） （2）min max ()2,()6x y x y +=+=------------------(10分) 18. :23p x <<，(2)0:30f q f ≤⎧⎨≤⎩（） 9a ∴≤————————（12分）19.（1cos sin 0θρθ+-=即2sin()3πρθ+=（5分）（2）MN k =将直线的参数方程代入曲线，213360t --=，121212(12MF MF t t t t -=-=+=分）20.（1）22143x y +=————（4分） （2）2222(34)84120k x k x k +++-=联立，韦达定理，0∆>显然成立------------------（6分）2212(1)34k AB k +=+——————————（8分）AOB S ∆==42217180,1(10k k k +-==分）2r ∴=圆的方程为221(122x y +=分）21、（1）设动圆圆心1(,)O x y ，由题意，1O A 1O M =，当1O 不在y 轴上时，过1O 作1O H MN ⊥于H ，则H 是MN 的中点所以1O M =1O A ==28(0)y x x =≠又当1O 在y 轴上时，1O 与O 重合，点1O 的坐标(0,0)也满足方程28y x =， 所以动圆圆心的轨迹C 的方程为28y x =.(2)由题意，设直线l 的方程为(0)y kx b k =+≠，1122(,),(,)P x y Q x y ，将y kx b =+代入28y x =中，得222(28)0k x kb x b +-+=，其中32640kb ∆=-+>。
哈三中2023-2024学年上学期高二期中考试数学试卷含答案解析
哈三中2023—2024学年上 学期高二学年期中考试数学试卷考试说明：(1)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间为120分钟；(2)第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 (选择题, 共60分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线28y x =−的准线方程为( )A ．=2y −B ．4x =−C ．2x =D ．2x =−2．双曲线22916144x y −=的焦点坐标是( )A ．(B ．(0,C ．(5,0),(5,0)−D ．(0,5),(0,5)−3．若点P 到点)0,2(的距离比它到直线03=+x 的距离小1，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x y 82= B ．x y 82−= C ．y x 82= D ．y x 82−=6．已知双曲线22:13x E y −=，直线:1l y kx =+，若直线l 与双曲线E 的两个交点分别在双曲线的两支上，则k 的取值范围是( )A ．k <k >B ．k <<C ．k <或k > D ．k <<7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合.斜率为(0)k k >的直线l 经过点F ，且与C 的交点为,A B .若||2||AF BF =，则直线l 的斜率为( )合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．2211B. 若123F MF π∠=，则22123b b =C. 若OM F F 221=则31112221=+e e D. 若212MF MF =则2(1,2]e ∈12．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>的左，右焦点，直线4:3l y x =与双曲线E 交于,A B 两点，220F A F B ⋅= .M 为双曲线E 上异于,A B 的点，且,MA MB 与坐标轴不垂直，过2F 作12F MF ∠平分线的垂线，垂足为N ，则下列结论正确的是( ) A ．双曲线E 的离心率为B ．双曲线E 的渐近线方程是2y x =±C ．直线MA 与MB 的斜率之积为4D ．若||1ON =，则12AF F ∆的面积为4第Ⅱ卷 (非选择题, 共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．点P 为椭圆C 上异于12,A A 的一点，则直线1PA 和2PA 的斜率之积等于_________. 15．已知直线1+−=x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于B A ,两点，且线段AB 的中点在直线04:=−y x l 上，则此椭圆的离心率为_______．16．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A B 、是抛物线上的两个动点，且满足0AF BF ⋅=.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则2MN AB 的最大值是 .四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知直线:120()l kx y kk R −++=∈,(1,1),(2,1)P Q −−. (1)若经过,P Q 两点的直线与直线l 垂直，求此时直线l 的斜率; (2)1k =时，若点P 关于直线l 的对称点为点P ′，求线段P Q ′的长度.18．(本小题满分12分)已知半径为4的圆C 与双曲线221916x y −=的渐近线相切，且圆心C 在x 轴正半轴上. (1)求圆C 的方程；(2)经过(8,0)点，且斜率为k 的直线l 交圆C 于,A B 两点，若||AB =,求直线l 的方程.19．(本小题满分12分)21．(本小题满分12分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的焦点与椭圆22212x y +=的焦点相同，且双曲线C 经过点(1,1)P .(1)求双曲线C 的标准方程;(2)设,A B 为双曲线C 上异于点P 的两点，记直线,PA PB 的斜率为12,k k ,若12(1)(1)1k k −−=.求直线AB 恒过的定点.哈三中2023—2024学年上 学期高二学年期中考试数学答案1. C2. C3. A4. B5. C6. B7. D8. B 9．BCD 10. AB 11. ABD 12. BCD 13.15 14. 3−或13−15.16.17. (1)32k = (2)518.（1） (2)或 解析：（1）因为圆心C 点在轴正半轴上，设圆心C .圆C 的标准方程为：.双曲线的渐近线方程为：.因为双曲线的渐近线与圆C 相切，所以圆心C到双曲线一条渐近线的距离与圆的半径相等。
2014年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(文科)
2014年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合C U A∩B=（）A.{x|-1≤x≤4}B.{x|2＜x≤3}C.{x|2≤x＜3}D.{x|-1＜x＜4}【答案】B【解析】解：由不等式的解法，容易解得A={x|x＞3或x＜-1}，B={x|2＜x＜4}．则C U A={x|-1≤x≤3}，于是（C U A）∩B={x|2＜x≤3}，故选B．分析可得，A、B都是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得A、B，进而可得C U A，对其求交集可得答案．本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可．2.复数1+i+i2+…+i10等于（）A.iB.-iC.2iD.-2i【答案】A【解析】解：因为i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1，故原式=1+i+i2+0+0=i，故选A．本题考查的知识点是复数的基本及复数代数形式的乘除运算及复数单位i的性质，由i n 呈周期性变化，易得结论．i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1（n∈Z）．3.已知a=0.20.3，b=log0.23，c=log0.24，则（）A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞b＞a【答案】A【解析】解：由于函数y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，故有c＜b＜0．由a=20.3＞20=1，可得a＞b＞c，故选：A．由函数y=log0.2x在（0，+∞）上是减函数，可得b，c的大小．再由a的范围推出a，b，c大小关系．本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．4.已知直线m n和平面α，则m∥n的一个必要条件是（）A.m∥α，n∥αB.m⊥α，n⊥αC.m∥α，n⊂αD.m，n与α成等角【答案】D【解析】解：A．m、n可以都和平面垂直，不必要B．m、n可以都和平面平行，不必要C．n没理由一定要在平面内，不必要D．平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以是必要非充分故选：Dm、n可以都和平面垂直，推断A是不必要条件；m、n可以都和平面平行，可推断B是不必要条件；n没理由一定要在平面内，可推断出C是不必要条件；最后平行所以成的角一定相等，但反之如果两直线相交成等边三角形之势则不平行，所以推断D是必要非充分本题主要考查了空间直线与直线之间的关系，必要条件，充分条件与充要条件的判断．熟练掌握判断充分条件，必要条件和充分必要条件的原理，是解题的关键．已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85，则m的值为（）A.1B.0.85C.0.7D.0.5【答案】D【解析】解：∵==，=，∴这组数据的样本中心点是（，），∵关于y与x的线性回归方程=2.1x+0.85，∴=2.1×+0.85，解得m=0.5，∴m的值为0.5．故选：D．求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值．本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．6.等比数列{a n}中，a1+a2+…+a n=2n-1，则a12+a22+…+a n2=（）A.（2n-1）2B.C.4n-1D.【答案】D【解析】解：∵a1+a2+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+…+a n-1=2n-1-1，…②，①-②得a n=2n-1，∴a n2=22n-2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴=，故选：D．首先根据a1+a2+…+a n=2n-1，求出a1+a2+…+a n-1=2n-1-1，两式相减即可求出数列{a n}的关系式，然后求出数列{a n2}的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答．本题主要考查数列求和和求数列递推式的知识点，解答本题的关键是求出数列{a n}的通项公式，本题难度一般．7.执行如图所示的程序框图．若输出S=15，则框图中①处可以填入（）A.n＞4B.n＞8C.n＞16D.n＜16【答案】B【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/01第一圈是12第二圈是34第三圈是78第四圈是1516，因为输出：S=15．所以判断框内可填写“n＞8”，故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量k的平方到S并输出S，模拟程序的执行过程，分析出进行循环的条件，可得答案．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．8.已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵z=2x+y既存在最大值，又存在最小值，∴不等式表示的平面区域为一个有界区域，可得m＜1作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（m，m），C（m，2-m）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值；当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最大值=F（1，1）=3；z最小值=F（m，m）=3m∵z的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3m，解之得m=故选：A根据题意，可得m＜1且不等式的表示的平面区域为一个有界区域．由此作出不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时z取得最大值3，当x=y=m时z取得最小值3m．结合题意建立关于m的方程，解之即可得到m的值．本题给出含有字母参数的二元一次不等式组，求在目标函数z=2x+y的最大值等于最小值的4倍的情况下求参数m的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．9.已知双曲线＞，＞的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A，B两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=-x，设A（m，），B（n，-），∵，∴（c-m，-）=4（n-c，-），∴c-m=4（n-c），-=-4，解之可得m=，n=，∴B（，），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，即•=-1，化简可得5b2=3a2，即5（c2-a2）=3a2，解之可得5c2=8a2，即e==故选D由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=-x，设A（m，），B（n，-），由可得方程，解之可得m=，n=，可得B（，），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，进而可得ab的关系式，结合双曲线abc的关系，可得离心率．本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题．10.已知函数f（x）=3sin（2x-），则下列结论正确的是（）A.若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2=kπ（k∈Z）B.函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象相同C.函数f（x）的图象关于（-，0）对称D.函数f（x）在区间[-π，π]上是增函数【答案】D【解析】解：∵f（x）=3sin（2x-），若f（x1）=f（x2）=0，则，，，，∴，．∴选项A错误；当x=0时，f（0）=3sin（-）=-，g（0）=3cos=．∴函数f（x）的图象与g（x）=3cos（2x+）的图象不同．∴选项B错误；∵f（）=3sin[2×（）-]=-3，∴函数f（x）的图象不关于（-，0）对称．∴选项C错误；当x∈[-π，π]时，2x-∈[，]，∴函数f（x）在区间[-π，π]上为增函数．故选：D．由f（x1）=f（x2）=0求解x1-x2的取值集合判断A；取x=0求对应的函数值否定B；直接代值验证否定C；由x的范围得到2x-的范围判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了特值验证思想方法，是中档题．11.已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为3的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为（）A.6πB.54πC.12πD.48π【答案】A【解析】解：∵正四面体的俯视图是如图所示的边长为3正方形ABCD，∴此四面体一定可以放在正方体中，∴我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD 满足题意，由题意可知，正方体的棱长为3，∴正四面体的边长为6，∴正四面体的高为2∴正四面体的内切球的半径为，∴正四面体的内切球的表面积为4πR2=6π故选：A．由正四面体的俯视图是边长为2的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为2的正方体中，求出正四面体的边长，可得正四面体的内切球的半径，即可求出正四面体的内切球的表面积．本题的考点是由三视图求几何体的表面积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的表面积公式分别求解，考查了空间想象能力．12.定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x；记函数g（x）=f （x）-k（x-1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A.[1，2）B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f （x）=2-x所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为＜故选C．根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k （x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.从1，2，3，4，5，6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是______ ．【答案】【解析】解：其中偶数有2，4，6；奇数有1，3，5，2数之和为偶数有两种情况，一、2数都为奇数，有=3个，二、2数都为偶数，有=3个，从6个数中任取2个有=15个，∴2个数的和为偶数的概率为=．故答案为：．利用分类计数原理计算2数之和为偶数的情况种数，再计算从6个数中任取2个数的情况种数，代入古典概型的概率公式计算．本题考查了排列、组合的应用及古典概型的概率计算，熟练掌握分类计数原理及组合数公式是解答本题的关键．14.若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则•= ______ ．【答案】【解析】解：∵等边△ABC的边长为2，∴CA=CB=2，=2×2×cos60°=2．∵=+，∴，，∴=，=．∴•==-=--=-．故答案为：-．由等边△ABC的边长为2，可得=2×2×cos60°．由=+，可得，，进而得到=，=．即可得出•=．本题考查了数量积的运算及其性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15.已知cos（θ+）=-，θ∈（0，），则sin（2θ-）= ______ ．【答案】【解析】解：∵cos（θ+）=-，θ∈（0，），∴θ+∈（，），sin（θ+）=，∴sin2θ=-cos（2θ+）=1-2=，cos2θ=sin2（θ+）=2sin（θ+）cos（θ+）=-，sin（2θ-）=sin2θcos-cos2θsin=+=，故答案为：．由题意可得θ+∈（，），sin（θ+）=，再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ=-cos（2θ+）的值、cos2θ=sin2（θ+）的值，从而求得sin（2θ-）=sin2θcos-cos2θsin的值．本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．16.若在由正整数构成的无穷数列{a n}中，对任意的正整数n，都有a n≤a n+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k-1个k，则a2014= ______ ．【答案】45【解析】解：∵对任意的正整数k，该数列中恰有2k-1个k，∴数列是1，2，2，2，3，3，3，3，3，…设a2014在第n+1组中，则1+3+5+…+（2n-1）=n2＜2014，解得：n＜45．∴a2014在第45组中，故a2014=45故答案为：45．由对任意的正整数k，该数列中恰有2k-1个k，可知数列为：1，2，2，2，3，3，3，3，3，…假设a2014在第n+1组中，由等差数列的求和公式求出前n组的和，解不等式n2＜2014，得到n值后加1得答案．本题考查数列递推式，解答的关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2asin A=（2b-c）sin B+（2c-b）sin C．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又A∈（0，π），故．（Ⅱ）由正弦定理可知，又a=2，，，所以．又，，故或．若，则，于是；若，则，于是．【解析】（Ⅰ）△ABC中，由正弦定理得，再由余弦定理求得cos A=，A=；（Ⅱ）△ABC中，由正弦定理得到，进而得到角B，再由内角和为π得到角C，由三角形面积公式即得结论．本题主要考查正弦定理、余弦定理，以及三角形面积公式的应用，属于中档题18.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率．【答案】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，∴小矩形的高为0.030，补全频率分布直方图如图：（Ⅱ）由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4，∴中位数在第四组，设中位数为70+x，则0.4+0.030×x=0.5⇒x=，∴数据的中位数为70+=，（Ⅲ）第1组有60×0.1=6人（设为1，2，3，4，5，6）第6组有60×0.05=3人（设为A，B，C）从9人中任取2人有=36种方法；其中抽取2人成绩之差的绝对值大于10的抽法是从第1组与第6组各抽取1人，抽法由=18种，∴抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为．【解析】（I）利用所有小矩形的面积之和为1，求得分数在[70，80）内的频率，再根据小矩形求得小矩形的高，补全频率分布直方图；的高=频率组距（II）根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等，求从左数频率之和等于0.5的横坐标的值；（III）利用组合数公式计算从从第1组和第6组所有人数中任取2人的取法种数，再计算从第1组与第6组各抽取1人的取法种数，代入古典概型概率公式计算．本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数、频数，考查了古典概型的概率计算，．在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=频数样本容量19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC=2，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥C-BB1D的体积．【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB1．因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD．…（3分）由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，所以OD⊥平面ABB1A1．又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1．…（6分）（Ⅱ）解：三棱锥C-BB1D的体积=三棱锥B1-BCD的体积由（Ⅰ）知，平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1=AB，OB1⊥AB，OB1⊂平面ABB1A1所以OB1⊥平面ABC，即OB1⊥平面BCD，B1O即点B1到平面BCD的距离，…（9分）…（11分）所以…（12分）【解析】（Ⅰ）取AB中点为O，连接OD，OB1，证明AB⊥平面B1OD，可得AB⊥OD，又OD⊥BB1，因为AB∩BB1=B，即可证明平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）证明B1O即点B1到平面BCD的距离，即可求三棱锥C-BB1D的体积．本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．Q为抛物线y2=12x的焦点，且•=0，2+=0．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过定点P（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点（M在P，N之间），设直线l的斜率为k（k＞0），在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由已知Q（3，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=3+c，所以c=1．…（1分）在R t△F1BQ中，F2为线段F1Q的中点，故|BF2|=2c=2，所以a=2．…（2分）于是椭圆C的标准方程为．…（4分）（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AE⊥MN．⇒，＞⇒＞，又k＞0，所以＞．…（6分）因为，所以，．…（8分）因为AE⊥MN，所以，即，整理得．…（10分）因为＞时，，，，所以，．…（12分）【解析】（Ⅰ）由已知Q（3，0），F1B⊥QB，|QF1|=4c=3+c，解得c=1．在R t△F1BQ中，|BF2|=2c=2，所以a=2，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），取MN的中点为E（x0，y0）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，由⇒，由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形的确定与实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=lnx-ax+1（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若a=，且关于x的方程f（x）=-x+b在[1，4]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{a n}满足a1=1，a n+1=lna n+a n+2（n∈N*），求证：a n≤2n-1．【答案】（Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），＞，，，＞，单调递增，，∞，＜，单调递减当时，f（x）取最大值…（4分）（Ⅱ）解：，由得在[1，4]上有两个不同的实根，设，，，，x∈[1，3）时，g'（x）＞0，x∈（3，4]时，g'（x）＜0，所以g（x）max=g（3）=ln3，因为，，＜，得g（1）＜g（4）所以，…（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知当a=1时，lnx＜x-1．由已知条件a n＞0，a n+1=lna n+a n+2≤a n-1+a n+2=2a n+1，故a n+1+1≤2（a n+1），所以当n≥2时，＜，＜，…，＜，相乘得＜，又a1=1，故，即…（12分）【解析】（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，，，求出函数的最大值，比较g（1），g（4），即可求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明a n+1+1≤2（a n+1），可得当n≥2时，＜，＜，…，＜，相乘得＜，即可证明结论．本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，有难度．22.选修4-1：几何证明选讲．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．证明：（1）AD•AE=AC2；（2）FG∥AC．【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AD•AE=AC2．（2）由（1）有=，∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC．【解析】（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC 进行证明．（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．本题考查圆的切线、割线长的关系，平面的基本性质．解决这类问题的常用方法是利用成比例的线段证明角相等、三角形相似等知识．23.在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）求极点在直线l上的射影点P的极坐标；（2）若M、N分别为曲线C、直线l上的动点，求|MN|的最小值．【答案】解：（1）由直线的参数方程消去参数t得l：，则l的一个方向向量为，，设，，则，，又，则，得：，将代入直线l的参数方程得，，化为极坐标为，．（2）ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ，由ρ2=x2+y2及x=ρcosθ得（x-2）2+y2=4，设E（2，0），则E到直线l的距离，则．【解析】（1）由直线的参数方程设设，，得向量的坐标，再利用它与l的一个方向向量垂直得到一个关于参数t的方程，解得t值，最后将P的坐标化成极坐标即可；（2）欲求|MN|的最小值，即求出圆上一点何时到直线的距离最小，先转化为圆心到直线的距离最小值求解，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．本题考查点的极坐标、直线的参数方程和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．24.已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m．（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|-5≤x≤-1}，求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）因为g（x）=-|x+3|+m≥0，所以|x+3|≤m，所以-m-3≤x≤m-3，由题意，所以m=2；…（5分）（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x-2|+|x+3|＞m恒成立，因为|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，当且仅当（x-2）（x+3）≤0时取等，所以m＜5．…．（10分）【解析】（Ⅰ）利用关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|-5≤x≤-1}，建立方程组，即可求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x-2|+|x+3|＞m恒成立，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．此题主要考查绝对值不等式的应用问题，有一定的灵活性，属于中档题．。
黑龙江省哈师大附中2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试卷Word版含答案
EA D CBPF哈师大附中2014-2015学年度高二上学期期中考试 数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点的椭圆的标准方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．椭圆的一个焦点是，那么（ ）A ．B ．C ．D ． 3．在空间中，下列命题正确的个数是（ ） ①平行于同一直线的两直线平行 ②垂直于同一直线的两直线平行 ③平行于同一平面的两直线平行 ④垂直于同一平面的两直线平行 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )5．设抛物线上一点到轴距离是6，则点到该抛物线焦点的距离是（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ． 26．正方体AC1中，点P 、Q 分别为棱A1B1、DD1的中点， 则PQ 与AC1所成的角为( )A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o7．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、 BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦 值为( )A ．15B ．25C ．55D ．2558．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 9．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ） A ． B ． C ． D ． 10．为椭圆上的一点，分别为左、右焦点，且则（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 12．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点， 为坐标原点，则与的大小关系为（ ） A ． B. C ． D.不确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）侧视图 正视图DC 1B 1A 1CBA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知过抛物线焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 . 14．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程为 .15．在四面体中，则二面角的大小为 .16．若抛物线的焦点是，准线是，则经过两点、且与相切 的圆共有 个.三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）已知抛物线，直线与抛物线交于两点 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积.18. （本题满分12分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，是棱的中点，且. （Ⅰ）求证： //平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角.19. （本题满分12分） 如图，在四棱锥中， //，，，平面，. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.20. （本题满分12分）已知椭圆：的右焦点为，且椭圆过点. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，若直线的斜率成等差数列，求的值.zyx DC1B1A1C BAABCA1B1C1DO21. （本题满分12分）如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.22. （本题满分12分）已知，直线：，椭圆：的左、右焦点分别为，（Ⅰ）当直线过时，求的值；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，△、△的重心分别为、，若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.哈师大附中2014-2015学年度高二上学期期中考试数学答案（理科）一、选择题：DCBCA DCDCB AB二、填空题：13．45o或135o 14．15．60o 16．2三、解答题：17．解：（Ⅰ）设，显然成立，……2分……4分……5分（Ⅱ）原点到直线的距离，……7分，……9分……10分18．解：（法一）（Ⅰ）连结交于点，侧棱底面侧面是矩形，为的中点，且是棱的中点，，……4分∵平面，平面平面……6分（Ⅱ），为异面直线与所成的角或其补角．……8分，为等边三角形，，异面直线与所成的角为. ……12分（法二）（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，设为平面的一个法向量，令则……3分，又平面平面……6分（Ⅱ），……8分OHEAD CBQ P异面直线与所成的角为. ……12分 19．（法一）（Ⅰ）证明：以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则…3分又，平面 ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面的一个法向量为， ……8分 设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角的正弦值为． ……12分 （法二）（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O ，∵CD ∥AB ，∴OB:OD=OA:OC=AB:CD=2 Rt △DAB 中，DA=，AB=4，∴DB=，∴DO=DB=同理，OA=CA=，∴DO2+OA2=AD2，即∠AOD=90o ，∴BD ⊥AC ……3分 又PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD ……5分 由AC∩PA=A ，∴BD ⊥平面PAC ……6分（Ⅱ）解：连PO ，取PO 中点H ，连QH ，则QH ∥BO ，由（Ⅰ）知，QH ⊥平面PAC∴∠QCH 是直线QC 与平面PAC 所成的角． ……8分由（Ⅰ）知，QH=BO=，取OA 中点E ，则HE=PA=2，又EC=OA+OC=Rt △HEC 中，HC2=HE2+EC2= ∴Rt △QHC 中，QC=，∴sin ∠QCH=∴直线与平面所成的角的正弦值为． ……12分20．解：（Ⅰ）由已知，因为椭圆过，所以解得，椭圆方程是 ……4分 （Ⅱ）由已知直线的斜率存在，设其为， 设直线方程为，易得 由，所以……6分 ，， ……8分 而+……10分 因为、、成等差数列，故，解得 ……12分 21．（Ⅰ）证明：菱形ABCD 中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o ，∴DE=．∴AD2=AE2+DE2，即∠AED=90o ，∵AB ∥DC ，∴DE ⊥DC …① ……1分∵平面ADNM ⊥平面ABCD ，交线AD ，ND ⊥AD ，ND 平面ADNM ，∴ND ⊥平面ABCD ， ∵DE 平面ABCD ，∴ND ⊥DE …② ……2分 由①②及ND∩DC=D ，∴DE ⊥平面NDC∴DE ⊥NC ……4分 （Ⅱ）解：设存在P 符合题意．由(Ⅰ)知，DE 、DC 、DN 两两垂直，以D 为原点，建立空间直角坐标系D-xyz （如图）， 则D,A,E,C,P ．∴，设平面PEC 的法向量为， 则，令，则平面PEC 的一个法向量为……7分 取平面ECD 的法向量， ……9分n∴，解得，即存在点P，使二面角P-EC-D的大小为，此时AP=．……12分22．解：（Ⅰ）由已知，交轴于为，，得…3分（Ⅱ）设，因为的重心分别为，所以因为原点在以线段为直径的圆内，所以……5分，∴①…6分∴……7分∵，∴，即…②…10分由及①②，得实数的取值范围是. ……12分。
2015哈三中二模 黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第二次模拟考试数学(文)试卷 扫描版含答案
2015年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学（文史）答案一、选择题BDDAC CCDBA BB二、填空题 （13）41 （14）39 （15）)10,5( （16）32 17. （Ⅰ）由c B a B a 3cos 3sin =+，得分2sin 3cos sin 3sin sin C B A B A =+ ),sin(3cos sin 3sin sin B A B A B A +=+分4sin cos 3sin sin B A B A = 分63,3tan π==A A （Ⅱ）分87cos 22222 b A bc c b a =-+=分107212cos 222 -=-+=ab c b a C 分1233tan ,7233sin -==C C18．解：(1) 由题知，25.0=a ，设该群中某成员抢到钱数不小于3元为事件A ，则35.01.025.0)(=+=A P . ………………………………6分(2) 由直方图知，抢到4元及以上红包的共6人，设除甲，乙外其他四人为A ，B ，C ，D ，则抽取的两人可能有的情况为：甲乙，甲A ，甲B ，甲C ，甲D ，乙A ，乙B ，乙C ，乙D ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， 共计15种， ………………………………8分 其中甲、乙至少有一人被选中的情况有9种，所以此事件概率为53159==P . ………………………………12分19.（Ⅰ）连结C B 1，交1BC 于点M ,则M 为1BC 中点,又D 为AC 中点,故MD ∥1AB ,又因为11BDC AB 平面⊄,1BDC MD 平面⊂,所以1AB ∥面1BDC .-----------------------6分（Ⅱ）不存在.--------------------------12分20.126)1(22=+y x ----------4分 024)3(1262),(),()2(22222211=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=my y m y x my x y x N y x M θθcos 364sin =⋅ON OM ,90οθ=当02121=+y y x x ,0434232)1(,04)(2)1(22221212=++-+-+=++-+m m m m m y y m y y m 315±=m ----------7分 当,90οθ≠θθcos 364sin =⋅ON OM ，364sin ||||=θON OM 21362sin ||||21y y ON OM S -===θ 384)(21221=-+y y y y 38324)34(222=+++m m m 0,3=±=m m 综上所述，0,3=±=m m ，315±=m - ---------12分 21.（Ⅰ）当29=a 时, 22)1(125)(++-='x x x x x f , ………………………………2分 单调区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0和()+∞,2为增函数；⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21上为减函数 …………………4分 （Ⅱ）由22)1(1)2()(++-+='x x x a x x f ,要使)(x f 在),0(+∞上为增函数 只需1)2(2+-+x a x 在),0(+∞恒大于等于0,得x x x a 122++≤恒成立,由421122≥++=++xx x x x ，得实数a 的取值范围为]4,(-∞；……………12分22. （Ⅰ）由DBC ACD ∠=∠，得DBC ∆∽分3 DCE ∆ DCDB DE DC =,分52 DB DE DC ⋅=（Ⅱ）设M AC OD =⋂222r CM OM =+;分8222 CD CM MD =+分103,12)1(122 ==-+-r r r23. （Ⅰ）由已知[]2,2,1:2-∈-=x x y M ； 分2: t y x N =+联立方程有一个解，可得11t +<≤+或54t =-分5（Ⅱ）当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x，则823243)21(2120020≥++=++=x x x d ， 当012x =-，所以所求的最小距离为823分10 24. （Ⅰ）2-=a ，原不等式分1122 +≤-⇔x x31221221≤⇔+≤-⇔+≤-≥x x x x x x 时分3311221221≥⇔+≤-⇔+≤-≤x x x x x x 时 综上原不等式的解集为分53,31 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （Ⅱ）323)(+≤++⇔+≤x x a x x x f 分7 23233232a x a a x x x a x -≤≤--⇔≤+⇔+≤++15223123-≤≤-⇔≥-≤--a a a 且分10注明：数学勘误文理第6题，改为文理第19题及答题卡中，立体图形中左下角的改为。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．圆()()22342x y +++=的圆心和半径分别是（）A ．()3,4-，2B ．()3,4-，2C ．()3,4--D ．()3,4-2．下列命题是真命题的是（）A ．经验回归方程 y bxa =+ 至少经过其样本数据点()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 中的一个B ．可以用相关系数r 来刻画两个变量x 和y 线性相关程度的强弱，r 的绝对值越小，说明两个变量线性相关程度越强C ．线性回归分析中决定系数用2R 来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好D ．残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好3．某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布()11,N μσ，()22,N μσ，()33,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则（）A ．123μμμ=>B ．123μμμ=<C ．123μμμ>=D ．123μμμ<=4．将1，2，3，4，5，6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，则表格内每一行数字之和均相等的概率为（）A ．16B ．112C ．115D ．1305．设a 为实数，已知直线1l ：310ax y a +++=，2l ：()6340x a y +-+=，若12l l ∥，则a =（）A ．6B ．3-C ．6或3-D ．6-或36．已知直线l ：410x ty +-=，其中t 为321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则点()2,1P 到直线l的距离为（）A ．1B ．2C ．5D ．107．某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据(),i i y ，其中1i =，2，3，i y 为第i 次人流量数据（单位：千人），由此得到y 关于i 的回归方程 26log y i a=+.已知4y =，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（）千人.参考数据：2log 3 1.6≈A ．9.6B ．10.8C ．12D ．13.28．已知函数()11,0231,01x x f x x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨+⎪≤⎪-+⎩，则()9723f x x --的取值范围为（）A ．404,,2121⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．220,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．[)40,0,21⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ D ．()20,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．关于函数()ππsin 2cos 266f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列命题中正确的是（）A ．()y f x =是以π为最小正周期的周期函数B ．()y f x =C ．将函数2y x =的图象向左平移7π24个单位后，与已知函数的图象重合D ．()y f x =的图象关于直线π24x =对称10．在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点1,1，2,2的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，则下列命题中正确的是（）A ．12,6M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，4,13N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()7,6d M N =B ．O 为坐标原点，动点R 满足(),1d O R =，则R 的轨迹为圆C ．对任意三点A 、B 、C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥D ．已知点()1,3P 和直线l ：210x y -+=，则()4,3d P l =三、单选题11．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是23，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分，则（）A ．()()()346P X P Y P Y ===+=B ．()()E Y E X <C ．()74D X =D ．()()294E X D X -=四、填空题12．下列说法中正确的有（填正确说法的序号）10y ++=的倾斜角为2π3②直线1x +=③直线()23y a x a =-+（a ∈R ）过定点()3,6-④点()0,1到直线20y +=的距离为113．对于随机事件,M N ，若()12P M =，()34P M N =，()38P M N =，则()P N =.14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 为空间内两点且12AE AD =，BF BA BC λμ=+，[],0,1λμ∈.当三棱锥11A FC E -的体积最大时，其外接球的表面积为.五、解答题15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos cos 2sin b C c B a A +=(1)求锐角A 的大小；(2)在（1）的条件下，若sin cos C C =，且ABC V 的周长为求ABC V 的面积.16．已知ABC V 的三个顶点分别是()2,1A ，()1,0B -，()3,3C (1)求边AC 的高BH 所在直线方程；(2)已知M 为AB 中点，试在直线CM 上求一点P ，在x 轴上求一点Q ，使APQ △的周长最小，并求最小值.17．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求x 的值并估计该评分的上四分位数；(2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在[)70,80，[)80,90的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取4人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X 的分布列和数学期望；(3)为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++α0.050.010.001x α3.8416.63510.82818．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M 为正方体中心，将四棱锥11M BCC B -绕1CC 逆时针旋转α（0πα<<）后得到四棱锥11M B CC B '''-，如图1.(1)求四棱锥11M BCC B -的表面积和体积；(2)若π2α=（如图2），求证：平面1MBB ⊥平面1M B B '''；(3)求α为多少时，直线1M B ''与直线DC 所成角最小，并求出最小角的余弦值.19．某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n 位同学，每次活动均需k 位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k 位同学，且所发信息都能收到.(1)当8n =，3k =时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；(2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X ①设5n =，2k =，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求使()P X m =取得最大值的整数m .。
【解析】黑龙江省齐齐哈尔四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析[ 高考]
2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔四中高二（上）期中数学试卷一．选择题（共12道小题，每题5分，共60分）1．已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．32．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l( )A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交3．到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于5的点M的轨迹( ) A．椭圆 B．线段 C．双曲线D．两条射线4．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离( )A．2 B．3 C．5 D．75．已知E、F、G、H依次为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且直线EF交直线HG于点P，则点P的位置是必处在( )的上面．A．BD B．AD C．AC D．平面BCD之内6．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( ) A．B．C．D．27．已知双曲线﹣=1（a＞）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( ) A． B． C．D．28．（理科做）方程表示双曲线，则k的取值范围是( )A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜﹣19．曲线=1与曲线=1（k＜9）的( )A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等10．椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于( )A．﹣1 B．1 C．D．11．如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为( )A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣312．如图，正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的余弦值是( )A．B．C．D．二．填空题.（共四小题，每题5分，共20分）13．已知E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1中点，则BD1与平面ACE位置关系是__________．14．已知，则x2+y2的最小值是__________．15．直线l：x﹣y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为__________．16．已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β=m，n∥m；且n∉α，n∉β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题（共70分，写出规范的解题的过程）17．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．18．椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8，求该椭圆标准方程．19．求与椭圆有共同焦点，且过点（0，2）的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．20．已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC 于点E，求证：AE⊥平面PBC．21．椭圆中心在原点，焦点在x轴上且过两点，Q（﹣6，）求椭圆的标准方程．22．已知点和圆O1：，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|=|PA|，求动点P的轨迹方程．2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔四中高二（上）期中数学试卷一．选择题（共12道小题，每题5分，共60分）1．已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型．【分析】依据空间点、线、面位置关系的相关结论对四个命题逐一验证，即可得到正确结论．【解答】解：①由于不在一条直线上的三点确定一个平面，故①错；②若A、B、C三点共线，则P、A、B、C四点必在同一平面内，故②错；③若三条直线交于一点，例如正方体从同一顶点出发的三条棱，此时此三条直线不共面，故③错；④反例：菱形沿其中一条对角线折起后得到的空间四边形，故④错．故答案为A．【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，我们可以根据空间点、线、面位置关系的一些定义、结论、定理、公理对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．2．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l( )A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n 中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．【点评】本题的考点是异面直线，利用异面直线的定义和共面直线的关系判断．3．到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于5的点M的轨迹( ) A．椭圆 B．线段 C．双曲线D．两条射线【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的定义判断出动点的轨迹，即可得出结论．【解答】解：根据双曲线的定义知：M的轨迹是以F1（﹣3，0）、F2（3，0）为焦点，以实轴长为5的双曲线．故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，比较基础．4．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离( )A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．5．已知E、F、G、H依次为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且直线EF交直线HG于点P，则点P的位置是必处在( )的上面．A．BD B．AD C．AC D．平面BCD之内【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知得EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，由此利用公理二，能得到点P的位置是必在直线AC的上面．【解答】解：∵E、F、G、H依次为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且直线EF交直线HG于点P，∴EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，∵EF∩GH=P，平面ABC∩平面ADC=AC，∴由公理二，得：点P的位置是必处在直线AC的上面．故选：C．【点评】本题考查点的位置的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意公理二的合理运用．6．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )A．B．C．D．2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，可得b=c，结合，可得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，∴b=c∴= c∴e===故选B．【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．已知双曲线﹣=1（a＞）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )A． B． C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得斜率为的渐近线的倾斜角为，由tan=，求得a的值，可得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞）的两条渐近线的夹角为，可得斜率为的渐近线的倾斜角为，∴tan==，求得a=，∴双曲线的离心率为==，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程和简单性质，属于基础题．8．（理科做）方程表示双曲线，则k的取值范围是( )A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜﹣1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据双曲线的标准方程，可得只需k+1与1﹣k只需异号即可，则解不等式（k+1）（1﹣k）＜0即可求解．【解答】解：由题意知（k+1）（1﹣k）＜0，即（k+1）（k﹣1）＞0解得k＞1或k＜﹣1．故选D．【点评】本题主要考查了双曲线的定义，属基础题，解答的关键是根据双曲线的标准方程建立不等关系．9．曲线=1与曲线=1（k＜9）的( )A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选D．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．10．椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于( )A．﹣1 B．1 C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k，再进行判定即可．【解答】解：椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，故选：A．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．11．如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为( )A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x﹣y=t过点A（0，﹣1）时，t最大是1，故选B．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．12．如图，正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的余弦值是( )A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】连接AC，BD交于O，连接OE，可得OE∥PA，且OE=PA，故∠OEB（或其补角）即为异面直线BE与PA所成角，由三角形的知识可得．【解答】解：设正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长都为2，连接AC，BD交于O，连接OE，可得OE∥PA，且OE=PA=1，故∠OEB（或其补角）即为异面直线BE与PA所成角，在△OBE中，OE=1，OB=，BE=，故可得OE2+OB2=BE2，△OBE为直角三角形，故cos∠OEB===故选D【点评】本题考查异面直线所成的角，作出角并能由三角形的知识求解是解决问题的关键，属中档题二．填空题.（共四小题，每题5分，共20分）13．已知E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1中点，则BD1与平面ACE BD1∥平面ACE．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】连接AC，BD，交点为F，连接EF，由三角形中位线定理可得EF∥BD1，由线面平行的判定定理，可得BD1∥平面ACE．【解答】解：连接AC，BD，交点为F，连接EF∵在△BDD1中，E，F为DD1，BD的中点故EF∥BD1，∵EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE，故答案为：BD1∥平面ACE【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理是解答的关键．14．已知，则x2+y2的最小值是5．【考点】简单线性规划．【专题】压轴题；数形结合．【分析】（1）画可行域；（2）设目标函数z=x2+y2z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方）；（3）利用目标函数几何意义求最值．【解答】解：已知，如图画出可行域，得交点A（1，2），B（3，4），令z=x2+y2，z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方），因此点A（1，2），使z最小代入得z=1+4=5则x2+y2的最小值是5．【点评】本题那点在于目标函数的几何意义15．直线l：x﹣y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分别令直线方程中y=0和x=0，进而求得b和c，进而根据b，c和a的关系求得a，则椭圆的离心率可得．【解答】解：在l：x﹣y+2=0上，令y=0得F1（﹣2，0），令x=0得B（0，2），即c=2，b=2．∴a=2，e==．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和椭圆的标准方程．考查了学生对椭圆基础知识的掌握和灵活运用．16．已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β=m，n∥m；且n∉α，n∉β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题的序号是②④．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；压轴题．【分析】由题材设条件知道，要由线面、面面的位置关系来对四个命题正确性做逐一判断①用面面平垂直线线垂直；②用面面平行证线线平行③线面垂直与线线垂直的问题；④线与面的交线平行，研究此线与两面的位置关系问题．【解答】解：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；正确性无法判断，直线n在与交线m垂直的平面上，故位置关系不确定．②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；正确，由面面平行的性质定理可证得．③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；不正确，任意一条直线都可以在平面内有无数条与之垂直的直线．④若α∩β=m，n∥m；且n∉α，n∉β，则n∥α且n∥β．正确，由线面平行的判定定理知线n与两平面都是平行的．故应填②④．【点评】本题考点是面面之间的位置关系，考查到了线面平行与垂直的判断定理，性质定理，面面平行与垂直的判定定理与性质定理．②④三、解答题（共70分，写出规范的解题的过程）17．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．【解答】（Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，∴AC⊥AB，AC⊥PA，又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，∵PB⊂平面PAB，∴AC⊥PB．（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又E是PD的中点，∴EO∥PB，又PB不包含于平面AEC，EO⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．18．椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8，求该椭圆标准方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】依题意，e==，a=4，求出b，分焦点在x轴与焦点在y轴讨论即可求得答案．【解答】解：依题意，e==，a=4，∴c=2，b2=a2﹣c2=16﹣4=12，∴当焦点在x轴时，椭圆的标准方程为=1；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程为=1．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题．19．求与椭圆有共同焦点，且过点（0，2）的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求出椭圆的焦点，进而设出双曲线方程，再根据条件求出双曲线方程，即可得到结论．【解答】解：椭圆的焦点是：（0，﹣5）（0，5），焦点在y轴上；于是可设双曲线的方程是，（a＞0，b＞0）．又双曲线过点（0，2）∴c=5，a=2，∴b2=c2﹣a2=25﹣4=21．∴双曲线的标准方程为：．所以：双曲线的实轴长为4，焦距为10，离心率e==．渐近线方程是y=±x．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质．是对双曲线基础知识的综合考查，属于基础题目．20．已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC 于点E，求证：AE⊥平面PBC．【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】根据底面是圆，得到BC⊥AC，再根据PA⊥平面ABC得到PA⊥BC，最后综合即可证明AE⊥平面PBC．【解答】证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC．又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE．∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，通过对已知条件的分析，得到线面垂直，属于基础题．21．椭圆中心在原点，焦点在x轴上且过两点，Q（﹣6，）求椭圆的标准方程．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆方程，代入点的坐标，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0），则∵过两点，Q（﹣6，），∴，∴a2=45，b2=35，∴椭圆的标准方程为=1．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．22．已知点和圆O1：，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|=|PA|，求动点P的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据题意，可得|O1P|+|PA|=|O1M|=4，得到P的轨迹是以点A（0，），O1（0，）为焦点的椭圆．根据椭圆的基本概念求出椭圆方程，即可得到动点P的轨迹方程．【解答】解：由题意，可得圆O1：是以O1（0，﹣）为圆心，半径r=4的圆∵点P在半径O1M上，且|PM|=|PA|，∴|O1P|+|PA|=|O1P|+|PM|=|O1M|=4，可得点P到A（0，），O1（0，）的距离之和为4（常数）因此，点P的轨迹是以点A（0，），O1（0，）为焦点的椭圆，∵焦点在y轴上，c=且2a=4，∴a=2得a2=4，b2=a2﹣c2=4﹣3=1，椭圆方程为综上所述，点P的轨迹方程为．【点评】本题给出圆O1上动点P和定点A，求点P的轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程和动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题．。
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题
黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题4分，共48分）1．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点 的距离为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．72．抛物线y =-x 2 的焦点坐标为（ ）A ．(0,41) B ． (0, -41) C ．(41, 0) D ． (-41, 0) 3．过抛物线x y 42=的焦点F 作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB|的值（ ） A ．738 B ．316 C ．38 D ．73164．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是（ ）A ．522=+y x B ．2522=+y x C ．422=+y xD ．1622=+y x5．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 6．双曲线12222=-ay b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．237．设k>1，则关于x ，y 的方程(1-k) x 2+ y 2=k 2-1所表示的曲线是 （ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线 8 231y x -=所表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分9 椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为（ ）A ．45B ．25 C ．32D ．4510 抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ）A ．y x 82= B ．y x 82-=C ．y x 162=D ．y x 162-=11 如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值 （ ） A ．21B ．33 C ．23 D ．312. 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ） A 03222=--+x y xB 0422=++x y xC 03222=-++x y x D 0422=-+x y x二、填空题（每空4分，共16分）13. 椭圆1422=+y m x 的一个焦点坐标是（0，1），则m= ． 14. 椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的 等差中项，则椭圆的方程为_____________________________．15. 双曲线x 2-42y=1截直线y =x +1所得弦长是 ． 16．若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________ ．哈32中2014～2015学年度上学期中考试数学（理）试题答题卡一、 选择题：(本大题共12小题，每小题4分，共48分。
2014-2015年黑龙江省哈尔滨六中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知x与y之间的一组数据如表，则y与x的线性回归方程=x+必过（）A．点（2，2）B．点（1.5，0）C．点（1，2）D．点（1.5，4）2．（5分）下列结论正确的是（）①当a＜0时，（a2）=a3；②函数f（x）=（x﹣2）﹣（3x﹣7）0的定义域是{x|x≥2且x≠}；③=|a|（n∈N*，n是偶数）；④若2x=16，3y=，则x+y=7．A．①②B．②③C．③④D．②④3．（5分）函数f（x）=的值域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）4．（5分）下列函数中，同时具有性质：（1）图象过点（0，1）；（2）在区间（0，+∞）上是减函数；（3）是偶函数．这样的函数是（）A．y=x3+1B．y=log2（|x|+2）C．y=（）|x|D．y=2|x|5．（5分）一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体侧视图的面积为（）A．4+πB．C．6+3πD．6+π6．（5分）双曲线x2+ky2=1的一条渐近线斜率是2，则k的值为（）A．4B．C．﹣4D．7．（5分）根据如图所示的求公约数方法的程序框图，输入m=2146，n=1813，则输出的m的值为（）A．36B．37C．38D．398．（5分）下列说法正确的个数为（）①“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；②∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递减；③已知点A（﹣2，1）在抛物线y2=2px（p＞0）的准线上，记其焦点为F，则直线AF的斜率等于﹣4；④命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”；⑤在正三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P﹣ABC ＜V S﹣ABC的概率是．A．1B．2C．3D．49．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a 的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣2，1）C．D．11．（5分）已知y=f （x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f （x）=ln x﹣ax （a ＞），当x∈（﹣2，0）时，f （x）的最小值为1，则a的值等于（）A．B．C．D．112．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）已知集合{0，﹣1，2a}={a﹣1，﹣|a|，a+1}，则实数a的值为．14．（5分）利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程x=﹣2a ﹣无实根的概率为．15．（5分）已知A，B，C三点在同一球面上，若球心到平面ABC的距离为1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球的体积为．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1则（1）2是函数f（x）的周期；（2）函数f（x）在（2，3）上是增函数；（3）函数f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）直线x=2是函数f（x）的一条对称轴．其中正确的命题是．三、选修题【选修4-4：坐标系与参数方程】17．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sin θ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．四、解答题：本大题共5小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S﹣ABC的体积．20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，其中a＞0．（1）当a=1时，求f（x）在[1，e]上的最大值；（2）若1≤x≤e时，函数f（x）的最大值为﹣4，求函数f（x）的表达式．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知x与y之间的一组数据如表，则y与x的线性回归方程=x+必过（）A．点（2，2）B．点（1.5，0）C．点（1，2）D．点（1.5，4）【解答】解：由题意知，y与x的线性回归方程=x+必过样本中心点，==1.5，==4，∵=x+=x+（﹣=（x﹣）+，∴线性回归方程必过（1.5，4）．故选：D．2．（5分）下列结论正确的是（）①当a＜0时，（a2）=a3；②函数f（x）=（x﹣2）﹣（3x﹣7）0的定义域是{x|x≥2且x≠}；③=|a|（n∈N*，n是偶数）；④若2x=16，3y=，则x+y=7．A．①②B．②③C．③④D．②④【解答】解：①当a＜0时，（a2）=﹣a3，因此不正确；②由函数f（x）=（x﹣2）﹣（3x﹣7）0，可得，解得x≥2且x≠，因此其定义域是{x|x≥2且x≠}，正确；③=|a|（n∈N*，n是偶数），正确；④若2x=16，3y=，则x=4，y=﹣3，则x+y=1，因此不正确．故选：B．3．（5分）函数f（x）=的值域为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【解答】解：∵2x＞0，∴2x﹣2＞﹣2，由f（x）=得2x﹣2≠0，若2x﹣2＞0，则f（x）＞0，若﹣2＜2x﹣2＜0，则，则＜﹣1，即此时f（x）＜﹣1，综上f（x）＞0或f（x）＜﹣1，即函数的值域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故选：D．4．（5分）下列函数中，同时具有性质：（1）图象过点（0，1）；（2）在区间（0，+∞）上是减函数；（3）是偶函数．这样的函数是（）A．y=x3+1B．y=log2（|x|+2）C．y=（）|x|D．y=2|x|【解答】解：当x=0时，对于A：y=x3+1=1；对于B：y=log2（|x|+2）=1；对于C：y=（）|x|；对于D：y=2|x|=1．故四个函数都满足性质（1），而满足性质（2）在区间（0，+∞）上是减函数的只有C．且C：y=（）|x|是偶函数．故选：C．5．（5分）一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体侧视图的面积为（）A．4+πB．C．6+3πD．6+π【解答】解：由题设条件，俯视图为边长为2的正三角形，且圆与三角形内切知俯视图中三角形的高为=3，故此三角形的面积为×3×2=3，此三角形的周长为6，又此三角形的面积又可表示为×r×6，故可解得内切圆的半径为1，则侧视图上部圆的表面积为π侧视图下部是一个矩形由图示及求解知，此两边长分别为为3与2，故其面积为6由上计算知侧视图的面积为6+π故选：D．6．（5分）双曲线x2+ky2=1的一条渐近线斜率是2，则k的值为（）A．4B．C．﹣4D．【解答】解：∵双曲线的方程为x2+ky2=1即，所以焦点在x轴上，其中∵一条渐近线斜率是2，∴，∴解得k=故选：D．7．（5分）根据如图所示的求公约数方法的程序框图，输入m=2146，n=1813，则输出的m的值为（）A．36B．37C．38D．39【解答】解：∵2146÷1813=1 (333)1813÷333=5 (148)333÷148=2 (37)148÷37=4∴m=2146，n=1813的最大公约数是37故选：B．8．（5分）下列说法正确的个数为（）①“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；②∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•x是幂函数，且在（0，+∞）上递减；③已知点A（﹣2，1）在抛物线y2=2px（p＞0）的准线上，记其焦点为F，则直线AF的斜率等于﹣4；④命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1＜0”；⑤在正三棱锥S﹣ABC内任取一点P，使得V P﹣ABC ＜V S﹣ABC的概率是．A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于①“p∨q”为真，说明p，q中至少一个为真，故不能推出“p ∧q”为真，而“p∧q”为真，说明p，q同为真，故能推出“p∨q”为真，故前者是后者的必要不充分条件，故不正确；对于②m=2时，f（x）=x﹣1是幂函数，且在（0，+∞）上递减，故正确；对于③∵点A（﹣2，1）在抛物线C：y2=2px的准线上，∴=2，∴F（2，0），则直线AF的斜率为=﹣，故不正确；对于④命题“∃x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”；故不正确；对于⑤如图所示，O是正△ABC的中心，分别取棱SA，SB，SC的中点D，E，F，则在△DEF及其内部任取一点P，则V P﹣ABC=S△ABC×SO=V S﹣ABC，因此使得使得V P﹣ABC ＜V S﹣ABC的概率是1﹣=，故正确；故选：B．9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a 的零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：D．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A．B．（﹣2，1）C．D．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），函数的周期为4，则f（﹣7）=f（8﹣7）=f（1）=﹣f（﹣1），又f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）==﹣f（﹣1），∴﹣＞﹣2，即，即解得a∈，故选：D．11．（5分）已知y=f （x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f （x）=ln x﹣ax （a ＞），当x∈（﹣2，0）时，f （x）的最小值为1，则a的值等于（）A．B．C．D．1【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，当x∈（0，2）时，，令f'（x）=0得，又，∴．令f'（x）＞0时，，f（x）在上递增；令f'（x）＜0时，，f（x）在上递减；∴，∴，得a=1．故选：D．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4【解答】解：根据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M（（x1+2），y1），N（（﹣x1+2），﹣y1）．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM=90°，可得=（4﹣）﹣=0．…①又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②．由①②联解消去x1、y1，得﹣=，…③又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴代入③，化简整理得a4﹣8a2+7=0，解之得a2=1或7，由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．故a2=1，得a=1，离心率e==2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．（5分）已知集合{0，﹣1，2a}={a﹣1，﹣|a|，a+1}，则实数a的值为±1．【解答】解：令A={0，﹣1，2a}，B={a﹣1，﹣|a|，a+1}，∵{0，﹣1，2a}={a﹣1，﹣|a|，a+1}，若a﹣1=0，则a=1，则A={0，﹣1，2}，B={0，﹣1，2}，满足要求；若﹣|a|=0，则a=0，则A={0，﹣1，0}，不满足集合元素的互异性；若a+1=0，则a=﹣1，则A={0，﹣1，﹣2}，B={0，﹣1，﹣2}，满足要求；故实数a的值为±1故答案为：±114．（5分）利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程x=﹣2a﹣无实根的概率为．【解答】解：设在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，记为（a，b），对于区域的面积为边长为1的正方形的面积1，而在此条件下满足方程x=﹣2a﹣整理得x2+2ax+b2=0，方程有实根，△≥0即4a2﹣4b2≥0∴b≤a．在aOb坐标系中画出图形．如图．∴方程有实根的概率为P==故答案为：．15．（5分）已知A，B，C三点在同一球面上，若球心到平面ABC的距离为1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球的体积为．【解答】解：在三角形ABC中，∠BAC=60°，AB=1，AC=2，∴BC=，则三角形ABC是以AC为斜边的直角三角形，如图所示：取AC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM 即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MA=1，∴OA=，即球球的半径为．∴球的体积为：=．故答案为：．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1则（1）2是函数f（x）的周期；（2）函数f（x）在（2，3）上是增函数；（3）函数f（x）的最大值是1，最小值是0；（4）直线x=2是函数f（x）的一条对称轴．其中正确的命题是（1）（2）（4）．【解答】解：（1）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），取x=x+1则f（x+1+1）=f（x+1﹣1）=f（x），即f（x+2）=f（x），所以2是函数f（x）的周期，所以（1）正确；（2）因为当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1为增函数，又因为函数f（x）的周期是2，所以函数在[2，3]上的图象与在[0，1]上的图象完全相同，所以函数f（x）在（2，3）上是增函数，所以（2）正确；（3）因为当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1为增函数，且函数f（x）为偶函数，所以在[﹣1，1]上函数的最小值为f（0）=，再由函数图象以2为周期周期出现，所以函数f（x）的最小值是，所以（3）不正确；（4）由函数f（x）的周期是2，且函数f（x）是偶函数，所以f（4+x）=f（x）=f（﹣x），所以函数的一条对称轴是x=2，所以（4）正确．故答案为（1）（2）（4）．三、选修题【选修4-4：坐标系与参数方程】17．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sin θ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），即x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．l 的参数方程为（t为参数，t∈R），（Ⅱ）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，解得，t1=，t2=．则|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．四、解答题：本大题共5小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：（1）请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量K 2，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？ 下面的临界值表供参考：（参考公式K 2=，其中n=a+b+c+d ）【解答】（本题满分12分） 解：（1）表格如下：…（3分）在患三高疾病人群中抽9人，则抽取比例为∴女性应该抽取人．…（6分）（2）∵…（8分）=10＞7.879，…（10分）那么，我们有99.5%的把握认为是否患三高疾病与性别有关系．…（12分） 19．（12分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA=SD ，E ，P ，Q 分别是棱AD ，SC ，AB 的中点． （Ⅰ）求证：PQ ∥平面SAD ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面SEQ ；（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S ﹣ABC 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF．因为P，F分别是棱SC，SD的中点，所以FP∥CD，且FP=CD．又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，所以AQ∥CD，且AQ=CD．所以FP∥AQ且FP=AQ．所以AQPF为平行四边形．所以PQ∥AF．又因为PQ⊄平面SAD，AF⊂平面SAD，所以PQ∥平面SAD．…（5分）（Ⅱ）证明：连结BD，因为△SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，所以SE⊥AD．又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE⊂平面SAD，所以SE⊥平面ABCD，所以SE⊥AC．因为底面ABCD为菱形，E，Q分别是棱AD，AB的中点，所以BD⊥AC，EQ∥BD．所以EQ⊥AC，因为SE∩EQ=E，所以AC⊥平面SEQ．…（11分）（Ⅲ）解：因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，=AB•BCsin∠ABC=．所以S△ABC因为SA=AD=SD=2，E是AD的中点，所以SE=．由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，•SE=1．…（14分）所以三棱锥S﹣ABC的体积V=S△ABC20．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=（x＞0），∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），即y=x﹣1，所求切线方程为y=x﹣1；（2）∵又g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b，且g（x）在x=2处取得极值﹣2．∴，可得解得，b=2．所求g（x）=（x∈R）．（3）∵，h′（x）=（x＞0）．依题存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，∵不等式x2﹣bx+1＜0等价于（*）令，∵．∴λ（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，故，+∞），∵存在x＞0，不等式（*）成立，∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，其中a＞0．（1）当a=1时，求f（x）在[1，e]上的最大值；（2）若1≤x≤e时，函数f（x）的最大值为﹣4，求函数f（x）的表达式．【解答】解：f′（x）=﹣a=，（a＞0，x＞0）（1）当a=1时，f′（x）=，∴x∈[1，e]时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，e]上单调递减，最大值为f（1）=﹣1．（2）∵f′（x）=﹣a，令f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．①当0＜＜1，即a＞1时，f（x）max=f（1）=﹣4，解得a=4符合题意；②当1≤≤e，即≤a≤1时，f（x）max=f（）=﹣4，解得：a=e3＞1（舍去）；③当＞e，即0＜a＜时，f（x）max=f（e）=﹣4，解得：a=＞（舍去）．综上，f（x）=lnx﹣4x．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线=1的焦点重合，过P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．【解答】解：（I）由双曲线=1得焦点，得b=．又，a2=b2+c2，联立解得a2=4，c=1．故椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立，（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴=，∴=x1x2+y1y2==，∵，∴，∴．故的取值范围为．。
2014年黑龙江省哈三中下学期高二数学(文)试卷
2014年黑龙江省哈三中下学期高二数学（文）试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数z ()i i 43-=，则z 的虚部为A. i 3 B . 3 C. i 4 D. 4 2. 命题“0232,2≥++∈∀x x R x ”的否定A.0232,0200<++∈∃x x R x B. 0232,0200≤++∈∃x x R x C. 0232,2<++∈∀x x R x D. 0232,2≤++∈∀x x R x 3. 已知直线a 、b ，平面α、β，那么下列命题中正确的是A ．若b a ⊥，α⊥b ，则α//aB ．若α⊂a ，β⊂b ，b a //，则βα//C ．若α//a ，b a ⊥，则α⊥bD ．若α//a ，β⊥a ，则βα⊥4. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.()()q p ⌝∨⌝B.()q p ⌝∨C.()()q p ⌝∧⌝D.q p ∨ 5. 若不等式6<+a x 的解集为()11,1-，则实数a 等于A. -1B. -7C. 7D. -5 6. 在极坐标系中，圆2cos 2sin ρθθ=+的圆心的极坐标是是侧视图俯视图A. (1,)2πB. (1,4πC. )4πD. )2π7. 已知2=x 是函数23)(3+-=ax x x f 的极小值点, 那么函数)(x f 的极大值为A. 15B. 16C. 17D. 18 8. 阅读右侧程序框图， 如果输出5=i , 那么在空白矩形框中应填入的语句为A. 22-*=i SB. 12-*=i SC. i S *=2D. 42+*i9. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球 面上，O 为SC 的中点，且6=SC ，2=AB ，30=∠=∠BSC ASC ，则此棱锥的体积为 A ．7310B ．932C ．223D．2310. 积为A ．B ．C ．D ．11. 圆222r y x =+在点()00,y x 处的切线方程为200r y y x x =+，类似地，可以求得椭圆183222=+y x 在()2,4处的切线方程为 A ．084=+y x B. 184=+y x C. 148=+y x D. 048=+yx12. 若函数x x f a log )(=的图象与直线x y 31=相切，则a 的值为A. 2e e B. e3e C. e e5D. 4ee第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 曲线⎩⎨⎧==ααsin 4cos 6y x （α为参数）与曲线 ⎩⎨⎧==θθsin 24cos 24y x （θ为参数）的交点个数为__________个. 14. 执行右面的程序框图，若输入的()0>εε的 值为25.0，则输出 的n 的值为15. 目前四年一度的世界杯在巴西举行，为调查哈三中高二学生是否熬夜看世界杯用简单随机抽样的方法调查了110名高二学生，结果如下表：能否有99%以上的把握认为“熬夜看球与性别有关”？ _____________________。
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哈三中2014—2015学年度上学期
高二学年第一模块数学(文科)试卷答案
一．选择题
1.A 2.B 3.A 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9.C 10.B 11.C 12.C
二．填空题
13.3 14.xy22 15.40k 16.①③④
三．解答题
17. 3636kk或
18. （1）1322yx （2）3
19. （1）056622yxyx
（2）112;2xy
20. 13622yx
21. （1）41413 （2）43,3434,43
22. （1）1675;522yxm （2）2,1