函数的基本性质ppt
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奇偶性ppt课件
二、奇函数定义：
一般地，设函数()的定义域为 ,如果∀ ∈ ,
都有− ∈ ,且(−) = −(),那么函数()就叫做
奇函数。
定义理解： 1.定义域关于原点对称。
2.图象关于原点对称。
例析
例.判断下列函数的奇偶性.
(1)() = 4 ;
(3)() = +
(2)() = 5 ;
(2)再判断f (-x)=-f (x)或f (-x)=f (x)是否恒成立；
(3)根据定义下结论．
三、达标检测
1．下列函数是偶函数的是(
A．f(x)＝x
)
B．f(x)＝2x2－3
C．f(x)＝ x
C
D．f(x)＝x2，x∈(－1,1]
3. 若函数y = f x , x ∈ −1, a a > −1 是奇函数，则 = （
答：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值()也是一对相反数.
推理证明
例如，对于函数f(x) = x，有
(−3) = −(3)
(−2) = −(2)
(−1) = −(1)
实际上，∀x ∈ R, 都有 f −x = −x = −f(x)
这时称函数() = x为奇函数.
新课讲解——奇函数
3.2函数的基本性质
➢3.2.2 奇偶性
一、观察探究：
画出并观察函数f x = x 2 和g x = 2 − x 的图象，你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
两个函数图象都关于y轴对称
一、观察探究
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
相反数
发现：当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
. > −3 > (−2)
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
4.4 4.4.2对数函数的图象和性质PPT课件(人教版)
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线 y＝1 与所 给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自 左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
[对点练清] 1．[函数图象的识别]函数 f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( )
解析：由 f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得 f(x)是 偶函数，由此知 C、D 错误．又当 x＞0 时，f(x)＝lg(x－1) 是(1，＋∞)上的增函数，故选 B. 答案：B
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(二十六)” (单击进入电子文档)
谢观 看
谢
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当 x＞0 时，f(x)＝lg x 在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为
f(x)为偶函数，所以 f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．
答案：D
4．设 a>1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值 之差为12，则 a＝________.
解析：∵a>1，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上递增， ∴loga(2a)－logaa＝12，即 loga2＝12，
1
∴a 2 ＝2，∴a＝4.
答案：4
二、创新应用题 5．已知函数 f(x)＝log3x.
(1)在所给的平面直角坐标系中作出函数 f(x)的图象；
(2)由图象观察当 x＞1 时，函数的值域． 解：(1)作出函数图象如图所示．
(2)当 x＞1 时，f(x)＞0.故当 x＞1 时，函数值域为(0，＋∞)．
)
A．－log23
B．－log32
C．19
D． 3
解析：y＝f(x)＝log3x，∴f 12＝log312＝－log32.
[对点练清] 1．[函数图象的识别]函数 f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( )
解析：由 f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得 f(x)是 偶函数，由此知 C、D 错误．又当 x＞0 时，f(x)＝lg(x－1) 是(1，＋∞)上的增函数，故选 B. 答案：B
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当 x＞0 时，f(x)＝lg x 在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为
f(x)为偶函数，所以 f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．
答案：D
4．设 a>1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值 之差为12，则 a＝________.
解析：∵a>1，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上递增， ∴loga(2a)－logaa＝12，即 loga2＝12，
1
∴a 2 ＝2，∴a＝4.
答案：4
二、创新应用题 5．已知函数 f(x)＝log3x.
(1)在所给的平面直角坐标系中作出函数 f(x)的图象；
(2)由图象观察当 x＞1 时，函数的值域． 解：(1)作出函数图象如图所示．
(2)当 x＞1 时，f(x)＞0.故当 x＞1 时，函数值域为(0，＋∞)．
)
A．－log23
B．－log32
C．19
D． 3
解析：y＝f(x)＝log3x，∴f 12＝log312＝－log32.
新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
证明 ∀x1，x2∈R，且 x2>x1， 则 x2－x1>0， ∵当 x>0 时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0， ∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， ∴f(x)为减函数.
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
3.4(1)函数的基本性质—奇偶性
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有更好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第三章 函数
一、问题引入
赵州桥又名安济桥，建于隋炀帝大 业年间 (公元595-605)年间，是著名匠 师李春建造。桥长64.40米，跨径37.02 米，是当今世界上跨径最大、建造最早 的单孔敞肩型石拱桥，这是世界造桥史 的一个奇迹。
四、概念深化
2 f ( x ) x , x [2,2)是偶函数吗？为什么？ 提问1：
提问2：能否改变条件，使得它是偶函数? 提问3：函数f(x)=x+2具有奇偶性吗？为什么不具有奇偶性常用方法是“举反例”; •即：自变量相反，函数值不相等，或不相反。 提问4：如何证明一个函数具有奇偶性？
三、概念形成
类似地，我们应该如何定义一个函数 是偶函数呢，说说看？
定义：对于函数f(x),x∈D，若对于定义域内的 任意实数x，都有f(-x)=f(x),那么把函数f(x),x∈D 叫做偶函数。
三、概念形成
重复上述研究过程，试分析 g x
y
1 x
的性质.
O
x
1 g ( x) x
•问题（1）：计算g(1)，g(-1)，g(2)，g(-2)，g(3)，g(-3)； 你能发现什么规律？ •问题（2）：这个规律对其它的实数x是否成立？ •问题（3）：有没有不符合这个规律的实数x呢？ •结论：称 g x
例1: 求证函数f x 2x 4 3x 2是偶函数 . 4 例2 : 求证函数 f x x 是奇函数 . x x 3 x 1 例3 : 判断函数f x 的奇偶性. x 1
第三章 函数
一、问题引入
赵州桥又名安济桥，建于隋炀帝大 业年间 (公元595-605)年间，是著名匠 师李春建造。桥长64.40米，跨径37.02 米，是当今世界上跨径最大、建造最早 的单孔敞肩型石拱桥，这是世界造桥史 的一个奇迹。
四、概念深化
2 f ( x ) x , x [2,2)是偶函数吗？为什么？ 提问1：
提问2：能否改变条件，使得它是偶函数? 提问3：函数f(x)=x+2具有奇偶性吗？为什么不具有奇偶性常用方法是“举反例”; •即：自变量相反，函数值不相等，或不相反。 提问4：如何证明一个函数具有奇偶性？
三、概念形成
类似地，我们应该如何定义一个函数 是偶函数呢，说说看？
定义：对于函数f(x),x∈D，若对于定义域内的 任意实数x，都有f(-x)=f(x),那么把函数f(x),x∈D 叫做偶函数。
三、概念形成
重复上述研究过程，试分析 g x
y
1 x
的性质.
O
x
1 g ( x) x
•问题（1）：计算g(1)，g(-1)，g(2)，g(-2)，g(3)，g(-3)； 你能发现什么规律？ •问题（2）：这个规律对其它的实数x是否成立？ •问题（3）：有没有不符合这个规律的实数x呢？ •结论：称 g x
例1: 求证函数f x 2x 4 3x 2是偶函数 . 4 例2 : 求证函数 f x x 是奇函数 . x x 3 x 1 例3 : 判断函数f x 的奇偶性. x 1
函数的基本性质
题型方法
一、函数的单调性及其应用 1.判断函数单调性(单调区间)的常用方法 (1)定义法:先求定义域,再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论. (2)图象法:若函数是以图象形式给出的,或者函数的图象可作出,可由图象的升、降判断它的单调 性或写出单调区间. (3)复合函数法:根据“同增异减”判断,即内外层函数的单调性相同时,为增函数,单调性不同时为 减函数. (4)导数法:先求导,再利用导数的正负,确定函数的单调性(区间). (5)性质法:①在公共定义域内,增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减; ②已知f(x)单调递增,若k>0,则kf(x)单调递增;若k<0,则kf(x)单调递减.
例3
已知函数f(x)=asin
x+b
3
x
+cx+1,若f(ln
2)=4,则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
ln
1 2
的值为
(
)
A.4 B.-1 C.-2 D.-3
解析 设g(x)=asin x+b 3 x +cx,x∈R,则g(-x)=asin(-x)+b 3 x +c(-x)=-asin x-b 3 x -cx=-(asin x+b 3 x +cx)
x
y2+…+y6=
.
答案 12
四、函数周期性问题的求解策略 1.周期函数的几个结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: (1)f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a; (2)f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;
(3)f(x+a)=- 1 (f(x)≠0),则函数的周期为2a;
函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
问题3：.你能归纳求二次函数最值的方法吗？
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).
《正弦余弦函数》PPT课件全文
2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数.一般地，y=Asinωx是奇函数， y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
思切2 值考时如8,：何正当变切x化大值？于又当如2x且何小无变于限化2接？且近由无此限2 接分时近析，正 ， 正切函数的值域是什么?
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？
函数
y Asin( x和 ) y Acos( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
思切2 值考时如8,：何正当变切x化大值？于又当如2x且何小无变于限化2接？且近由无此限2 接分时近析，正 ， 正切函数的值域是什么?
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？
函数
y Asin( x和 ) y Acos( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？
正比例函数图像课件ppt
正比例函数的应用场景
总结词
正比例函数在现实生活中有许多应用场景，如速度-时间关系 、加速度-时间关系等。
详细描写
在物理学中，速度和时间是成正比的，可以用正比例函数表 示。同样地，加速度和时间的关系也可以用正比例函数表示 。此外，在经济学、统计学等领域中也有许多应用场景，如 收入与工作时间的关系等。
k值变化时
当k的值产生变化时，图像的斜率也 会相应变化，但始终保持垂直于x轴 。
03 正比例函数图像的性质
函数的单调性
单调递增
当比例系数大于0时，随着x的增大 ，y的值也增大。
单调递减
当比例系数小于0时，随着x的增大，y 的值减小。
函数的对称性
关于原点对称
正比例函数的图像总是经过原点，并且关于原点对称。
正比例函数的基本性质
总结词
正比例函数具有一些基本性质，包括斜率固定、过原点、y 随 x 增大而增大或 减小等。
详细描写
正比例函数的斜率为 k，即当 x 增加时，y 会以 k 的比例增加或减少。如果 k>0，则函数图像为增函数；如果 k<0，则函数图像为减函数。由于图像过原 点，因此当 x=0 时，y=0。
解决代数问题
正比例函数是线性函数的一种特殊情势，通过正比例函数图像可以直观地表示函数的增减性、交点等性质，有助 于解决代数方程、不等式等问题。
在物理中的应用
描写光强与距离的关系
在光学中，光强与光源的距离成正比。通过正比例函数图像，可以表示光强与距离之间的关系，进而 分析光学现象。
描写声音强度与距离的关系
续的学习打下坚实的基础。
提高练习题
总结词：深化理解
详细描写：提高练习题是在学生掌握正比例函数的基本概念后，进一步深化对正 比例函数的理解。这些练习题将涉及更复杂的函数情势、参数变化对函数图像的 影响等内容，有助于培养学生的思维能力和解决问题的能力。
函数的基本性质之函数的最值ppt课件演示文稿
2
• ∴a2＋1＞a • 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， • ∴f(a2＋1)＜f(a)成立，故选D.
•
总结评述：(1)本题为选择题，故还可用 排除法解之，如令 a ＝ 1 ，则有 f(a) ＞ f(2a) ， f(a2)＝f(a)，可排除A、B，令a＝0可排除C. • (2)此类问题的解法依据是增函数、减函数 的定义．即若 f(x) 在区间 I 上具有单调性， 则欲比较f(x2)与f(x1)的大小，(x1，x2∈I)， 则只须比较x1与x2的大小． • 因此，比较两个实数大小时，我们可将这 两个实数转化为同一函数在同一单调区间 上的两个函数值，再利用单调性比较大 小．
• 若 函 数 y ＝ f(x) 在 R 上 单 调 递 增 ， 且 有 f(a2)>f(－a)，则实数a的取值范围是 ( ) • A．(－∞，－1) B．(－∞，－1)∪(0， ＋∞) 2 [ 解析 ] 由条件知， a >－a， D．(－1,0) • C．(0，＋∞) a>0 a<0 • [答案 ] B ∴a(a＋1)>0，∴ 或 ，
• (4) 若将 (1) 中的“ f(x)≤M”改为“ f(x)≥M”， 则需将最大值定义中的 “最大值”改为 “最小值”．这就是函数 f(x) 的最小值的 定义． • 2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m， n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、 f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)， f(n)． • 3 ．单调性是函数的重要性质，应用它可 以解决许多函数问题．如判断函数在给定 区间上的单调性；求函数在给定区间上的 最大值、最小值；求已知函数的单调区间；
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2－2x－3在[－2,0]上的最小值为 • (4) 函数 y ＝ x 0. 0 －4 ，最大值为 ；在[2,3]上的最小 值为 ，最大值为 ；在[－1,2]上 的最小值为 ，最大值为
• ∴a2＋1＞a • 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， • ∴f(a2＋1)＜f(a)成立，故选D.
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总结评述：(1)本题为选择题，故还可用 排除法解之，如令 a ＝ 1 ，则有 f(a) ＞ f(2a) ， f(a2)＝f(a)，可排除A、B，令a＝0可排除C. • (2)此类问题的解法依据是增函数、减函数 的定义．即若 f(x) 在区间 I 上具有单调性， 则欲比较f(x2)与f(x1)的大小，(x1，x2∈I)， 则只须比较x1与x2的大小． • 因此，比较两个实数大小时，我们可将这 两个实数转化为同一函数在同一单调区间 上的两个函数值，再利用单调性比较大 小．
• 若 函 数 y ＝ f(x) 在 R 上 单 调 递 增 ， 且 有 f(a2)>f(－a)，则实数a的取值范围是 ( ) • A．(－∞，－1) B．(－∞，－1)∪(0， ＋∞) 2 [ 解析 ] 由条件知， a >－a， D．(－1,0) • C．(0，＋∞) a>0 a<0 • [答案 ] B ∴a(a＋1)>0，∴ 或 ，
• (4) 若将 (1) 中的“ f(x)≤M”改为“ f(x)≥M”， 则需将最大值定义中的 “最大值”改为 “最小值”．这就是函数 f(x) 的最小值的 定义． • 2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m， n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、 f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)， f(n)． • 3 ．单调性是函数的重要性质，应用它可 以解决许多函数问题．如判断函数在给定 区间上的单调性；求函数在给定区间上的 最大值、最小值；求已知函数的单调区间；
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2－2x－3在[－2,0]上的最小值为 • (4) 函数 y ＝ x 0. 0 －4 ，最大值为 ；在[2,3]上的最小 值为 ，最大值为 ；在[－1,2]上 的最小值为 ，最大值为
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函数的基本性质
1. 函数的定义
函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到唯一的输出值。
数学上，函数被表示为f(x)，其中x是函数的输入值，f(x)是对应的输出值。
函数可以用图像、映射关系、表格或公式来表示。
每个输入值对应唯一的输出值。
2. 函数的图像
函数的图像是函数在坐标系中的图形表示。
在二维坐标系中，函数的图像通常是一条曲线。
函数的图像描述了函数的性质，包括函数的增减性、奇偶性、最值等。
通过观察函数的图像，我们可以得到很多关于函数的信息。
3. 函数的定义域和值域
函数的定义域是指函数所有可能输入值的集合。
函数的值域是指函数所有可能输出值的集合。
函数的定义域可以是实数集、整数集、有限集或者其他数学对象的集合，具体根据函数的性质而定。
函数的值域取决于定义域和函数本身的性质。
例如，一个一元线性函数的值域是实数集，而一个常值函数的值域只有一个值。
4. 函数的性质
4.1. 奇偶性
一个函数被称为奇函数，如果对于定义域内的每个x，都有f(-x) = -f(x)。
换句话说，奇函数的图像关于原点对称。
一个函数被称为偶函数，如果对于定义域内的每个x，都有f(-x) = f(x)。
换句话说，偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性是函数的基本性质之一，在分析函数的图像时常常用到。
4.2. 单调性
一个函数被称为单调递增，如果对于定义域内的任意两个不同的x和y，都有x < y时，f(x) < f(y)。
一个函数被称为单调递减，如果对于定义域内的任意两个
不同的x和y，都有x < y时，f(x) > f(y)。
4.3. 最值
函数的最大值是定义域内的最大输出值，函数的最小值是
定义域内的最小输出值。
4.4. 周期性
一个函数被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对
于所有的x，有f(x+T) = f(x)。
这个正数T被称为函数的周期。
周期函数的图像在一个周期内是重复的，我们可以通过观
察一个周期内的图像来推断函数的性质。
5. 函数的应用
函数是数学中非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的
应用。
在物理学中，函数被用于描述物体的运动、力学、电磁学
等现象。
在经济学中，函数被用于描述市场供求关系、消费者效用函数等经济现象。
在计算机科学中，函数是程序设计的基本模块，用于实现特定的功能。
总之，函数在数学和科学领域起到了至关重要的作用。
6. 总结
本文介绍了函数的基本性质，包括定义、图像、定义域和值域、奇偶性、单调性、最值、周期性等。
函数是数学中的重要概念，具有广泛的应用。
对函数的理解和掌握对于数学和科学的学习都至关重要。
希望本文能帮助读者更好地理解函数的基本性质，提高数学和科学的学习能力。