高数16个基本初等函数
基本初等函数公式总结推荐文档
基本初等函数公式总结推荐文档在数学中，基本初等函数是指由已知的基本函数通过基本运算（如加、减、乘、除和函数复合）而产生的函数。
基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
1.常数函数：常数函数是指函数的取值在一个集合上恒为常数。
常见的常数函数有零函数和单位函数。
零函数的公式为f(x)=0，单位函数的公式为f(x)=12.幂函数：幂函数是指以一个固定的实数为底，以自变量的不同次幂为指数的函数。
常见的幂函数包括平方函数和立方函数等。
平方函数的公式为f(x)=x^2，立方函数的公式为f(x)=x^33.指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，其中底数为常数且大于0且不等于1、常见的指数函数包括以e为底的自然指数函数和以10为底的常用对数函数。
自然指数函数的公式为 f(x)=e^x，常用对数函数的公式为 f(x)=log(x)。
4.对数函数：对数函数是指以对数为自变量的函数，其中底数为常数且大于0且不等于1、常见的对数函数包括自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数的公式为 f(x)=ln(x)，常用对数函数的公式为f(x)=log(x)。
5.三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，其中常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的公式为f(x)=sin(x)，余弦函数的公式为 f(x)=cos(x)，正切函数的公式为f(x)=tan(x)。
6.反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，其中常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
反正弦函数的公式为f(x)=asin(x)，反余弦函数的公式为 f(x)=acos(x)，反正切函数的公式为 f(x)=atan(x)。
总结起来，基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
掌握这些基本函数的公式和性质，能够帮助我们解决很多数学问题。
推荐的文档是《初等函数与普通函数》一书，该书详细介绍了基本初等函数的公式和性质，同时还包括了基本初等函数的图像和应用等内容。
最全高数基本初等函数概念图像及性质完整版
基本初等函数. 幂函数(a 为实数 )要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形..指数函数定义域：，值域：，图形过（ 0， 1）点， a>1 时，单调增加； a 时，单调减少。
今后用的较多。
.对数函数定义域：，值域：，与指数函数互为反函数，图形过（1， 0）点， a>1 时，单调增加；a<1 时，单调减少。
.三角函数，奇函数、有界函数、周期函数；，偶函数、有界函数、周期函数；，的一切实数，奇函数、周期函数，的一切实数，奇函数、周期函数；，.反三角函数；；；。
以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握注：（ 1）指数式与对数式的性质由此可知，今后常用关系式，如：（ 2）常用三角公式积化和差sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2和差化积sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10 题已知抛物线y x2mx 2m 2 (m 0)．（ 1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（ 2）过点P(0，n)作y 轴的垂线交该抛物线于点 A 和点 B （点 A 在点 P 的左边），是否存在实数 m，n ，使得 AP2PB ？若存在，则求出m，n 满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（ 1）证法 1：29 m2，y x2mx 2m2x m24当 m0 时，抛物线顶点的纵坐标为9 m20 ，4顶点总在 x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当 m 0 时，抛物线与y 轴的交点(0，2m2)在x轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点．）证法 2：m2 4 1 ( 2m2 ) 9m2，当 m0时， 9m20 ，该抛物线与 x 轴有两个不同的交点．（ 2）存在实数m，n，使得AP2PB ．设点 B 的坐标为(t，n)，由 AP2PB 知，y①当点 B 在点 P 的右边时， t0，点 A 的坐标为(2t， n) ，A PBx 且 t， 2t是关于 x 的方程 x2mx2m2n 的两个实数根．O m24( 2m2n) 9m24n 0 ，即 n9 m2．4且 t ( 2t )m （I）， t ( 2)t2（II）m n由（ I）得，t m，即m 0．将 t m代入（II）得， n0 ．y 当 m0且 n0 时，有 AP2PB ．②当点 B 在点 P 的左边时， t0，点 A 的坐标为(2 t，n)，且 t，2t 是关于x的方程 x 2mx2m2n 的两个实数根．xOm24( 2m2n) 9m24n 0 ，即 n9 m2．4AB P且 t 2t m （I），t 2t2m2n （II）由（ I）得，t m0 ．3，即m将 t m代入（ II ）得，n20 m2且满足 n9 m2．32094当 m0 且n m2时，有AP2PB9第 11 题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为S 10t t 2，若滑到坡底的时间为 2 秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ． 12 3 米Ｄ．6米答案：Ｂ第 12 题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月 25日起的 180 天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（ 1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．y (天)z(元 )16060140（ 180， 92）5012040100858036020401020140160100120O20 40 6080 100 120150 180t(天)O204060 80110140160 180t(天 )（ 1）直接写出图（1）中表示的市场销售单价y （元）与上市时间t （天）（t0）的函数关图 (1)图 (2)系式；（ 2）求出图（ 2）中表示的种植成本单价z（元）与上市时间t （天）（t 0）的函数关系式；（ 3 ）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明： 市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500 克．）答案：解：（ 1）依题意，可建立的函数关系式为：2 t 160 (0t，3 120)y 80 (120 ≤ t，150)2 20 (150 ≤t ≤ ．5（ 2）由题目已知条件可设za(t 110) 220 ．85图象过点 (60， ) ，385 a(60 110) 2 20． a1 ． 3300z1(t 110) 2 20 (t 0 )． 300（ 3）设纯收益单价为W 元，则 W =销售单价 成本单价．2 1601110) 220 (0 t，t(t120)3300故W 801 (t 220(120 ≤t，300 110)150)2 201 220 (150 ≤ t≤．5300化简得1 2100(0，300W1(t 110)2 60 (120≤ t 150)， 30012 56 (150 ≤ t ≤．300①当 W1 (t 10)2 100(0 t 120) 时，有 t 10时， W 最大，最大值为 100；300②当 W1 (t 110)2 60(120 ≤ t 150) 时，由图象知，有 t 120 时， W 最大，最大300值为 59 2 ；3③当 W1 (t 170)2 56(150 ≤ t ≤ 180) 时，有 t 170 时， W 最大，最大值为 56．300综上所述，在 t 10 时，纯收益单价有最大值，最大值为100 元．第 13 题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1 米的 A 处飞出（ A 在 y 轴上），运动员乙在距O 点6 米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（ 1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（ 2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 43 7）（ 3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取26 5）y4 M2 1 AOBCDx答案：解：（ 1）（ 3 分）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为ya(x6) 2 4．y由已知：当 x 0 时 y 1．即 1 36a 4， a1 ． 4M12E FN表达式为 y124． 2 ( x 6)1 A1 x2 12OBCDx（或 yx 1 ）12 1（ 2）（3 分）令 y0， ( x6)2 4 0．12(x6)2 48． x 4 3 6 ≈ 13，x4 3 6 0 （舍去）．12足球第一次落地距守门员约 13 米．（ 3）（4 分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意： CDEF （即相当于将抛物线 AEMFC 向下平移了 2 个单位）21( x 6) 24解得 x6 2 6，x2 6 26．121CD x 1 x 2 4 6 ≈10．BD 13 6 1017 （米）．解法二： 令1( x 6) 2 4 0．12解得x 1 6 4 3 （舍）， x 26 4 3 ≈13．点 C 坐标为（ 13， 0）．设抛物线 CND 为 y1( x k) 2 2．12将 C 点坐标代入得：1(13 k) 2 2 0．12解得：k 1 13 2 613 （舍去），k 2 6 4 3 2 6 ≈ 6 7 5 18．y1( x 18)2 212 令 y0， 01( x 18)2 2．12x 118 2 6 （舍去）， x 2 18 2 6≈23．BD 23 6 17 （米）．解法三：由解法二知， k 18，所以 CD 2(18 13) 10， 所以 BD(136) 10 17．答：他应再向前跑17 米．第 14 题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费 2.7 万元；购置滴灌 设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为 0.9 ；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支 0.3 万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5 万元．y （万元），（ 1）基地的菜农共修建大棚 x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为写出 y 关于 x 的函数关系式．（ 2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得 5 万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（ 3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外， 其它设施 3 年内不需增加投资仍可继续使用． 如果按 3 年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（ 1） y 7.5x2.7x 0.9x 20.3x0.9x 2 4.5x ．（ 2）当 0.9x 24.5x5 时，即 9x 245x 50 0 ， x 15 ， x 2 1033从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建5公顷大棚．（3）设3Z （万元）3年内每年的平均收益为Z 7.5x0.9x 0.3x20.3x0.3x2 6.3x20.3 x 10.5 33.075（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5 公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益．②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当 0.3x2 6.3x0时， x10 ， x2 21．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第 15 题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18 元，按定价 40元出售，每月可销售 20 万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价 1元，月销售量可增加 2 万件．（1）求出月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（2）求出月销售利润z（万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不必写 x 的取值范围）；（3）请你通过（ 2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于 480 万元．答案：略．第 16 题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为 2m ，隧道最高点P 位于 AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？yPA BO Cx答案：（ 1）由题意可知抛物线经过点A0，2 ，P 4，6 ，B 8，2设抛物线的方程为y ax2bx c将 A，P，D 三点的坐标代入抛物线方程．解得抛物线方程为y1x22x 24（ 2）令 y4 ，则有 1 x 2 2x2 44解得x 14 2 2， x 2 4 2 2x 2 x 14 2 2货车可以通过．（ 3）由（ 2）可知1x 2 x 1 2 2 22 货车可以通过．第 17 题如图，在矩形ABCD 中， AB 2 AD ，线段 EF 10 ．在 EF 上取一点 M ，分别以EM ， MF 为一边作矩形 EMNH 、矩形 MFGN ，使矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD ．令 MN x ，当 x 为何值时，矩形 EMNH 的面积 S 有最大值？最大 D C值是多少？ABHN GEMF答案：解：矩形 MFGN ∽ 矩形 ABCD ，MN MF ．AD ABAB2 AD ， MN x ，MF 2x ．EMEFMF 10 2x ．Sx(10 2x) 2 x 2 10x22 52 x52．2当 x5时， S 有最大值为25．22第 18 题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润 y A （万元）与投资金额 x （万元）之间存在正比例函数关系： y A kx ，并且当投资 5 万元时，可获利润 2 万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润y B （万元）与投资金额 x （万元）之间存在二次函数关系：y B ax 2 bx ，并且当投资2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资4 万元时，可获利润 3.2 万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资 10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当x 5 时，y1，，0.4 ，2 25k ky A0.4x ，当x 2 时，y B 2.4 ；当x 4 时，y B 3.2．2.44a2b3.216a4ba0.2解得1.6by B0.2x2 1.6 x ．（ 2）设投资B种商品x万元，则投资 A 种商品(10x) 万元，获得利润W万元，根据题意可得W0.2x2 1.6 x0.4(10 x)0.2 x2 1.2x4W0.2( x3)2 5.8当投资 B 种商品 3 万元时，可以获得最大利润 5.8 万元，所以投资A种商品7万元， B种商品 3 万元，这样投资可以获得最大利润 5.8 万元．第 19 题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱 A3 B3 50m ， 5 根支柱 A1 B1， A2 B2， A3 B3， A4 B4，A5 B5之间的距离均为15m ，B1B5∥ A1 A5，将抛物线放在图（ 2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（ 2）中点 B1， B3， B5的坐标；（2）求图（ 2）中抛物线的函数表达式；（ 3）求图（ 1）中支柱 A2 B2， A4 B4的长度．B3yB2B430m B3B1B5B1B5A1A2 A3 A4 A5O l图 (1)图(2)答案：B1 ( 30， 0) ， B3 (0，30) ， B5 (30，0) ；（1）（ 2）设抛物线的表达式为y a(x 30)( x30) ，把 B3 (0，30) 代入得 y a(030)(030)30 ．∴ a 1．301( x∵ 所求抛物线的表达式为：y30)( x30) ．30（ 3）∵B4点的横坐标为15，∴ B4的纵坐标 y41(1530)(1530)45．302∵ A3B350 ，拱高为30，∴立柱 A4B4 204585(m) ．2285(m) 。
初等函数包括哪些
初等函数elementary function ，数学术语，包括代数函数和超越函数。
在研究函数的一般理论中起着很重要的作用。
最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
①常数函数。
对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。
②幂函数。
形如y＝xa的函数，式中a为不等于零的常数。
③指数函数。
形如y ＝ax的函数，式中a为不等于1的正常数。
④对数函数。
指数函数的反函数，记作y＝log a x，式中a为不等于1的正常数。
指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax＝x。
⑤三角函数。
即正弦函数y＝sinx ，余弦函数y＝cosx ，正切函数y＝tgx，余切函数y＝ctgx ，正割函数y＝secx，余割函数y＝cscx（见三角学）。
⑥反三角函数。
三角函数的反函数——反正弦函数y ＝arc sinx ，反余弦函数y＝arc cosx （－1≤x≤1，0≤y≤π），反正切函数y=arc tgx ，反余切函数y ＝arc ctgx（－∞＜x＜＋∞，θ＜y＜π）等。
以上这些函数常统称为基本初等函数。
一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如，三角函数y＝sinx 可以用无穷级数表为初等函数可以按照解析表达式分类为：初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。
为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。
(完整版)高数知识点总结
高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df •= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f •∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
高数总结：基本初等函数图像及其性质
⾼数总结：基本初等函数图像及其性质基本初等函数图像及其性质⼀、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数n4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为⼤于零的⼀切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的⼀切实数。
三、指数函数xa y =(x 是⾃变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[⽆界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上⽅； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的⼤⼩⽐较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ?=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越⼤，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=?m n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n m(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a amnm nm yxf x xxx g ?=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [⽆界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式⼦N a log 叫做对数式。
大一高数之函数
……
……
t 年后人口为p＝9.6259×(1+12‰) t
即
p 9.6259 1.012t
到2005年底,即27年后, 我国人口为 p 9.6259 1.012 .
27
两边取常用对数, lg p lg 9.6259 27 lg1.012 4.9835 27 0.0051 5.1212, 查反对数表, p 13.22(亿).
即根据1978年的数据,可推算出2005年底 我国人口为13.22亿.
人口模型 : 设某地某年人口为p0，人口自然 增长率为r，那么t 年后的人口p为 p p0 (1 r ) .
t
马尔萨斯（malthus，英，1776 — 1834） 根据上述模型提出了他的人口理论，这一模 型只适用于生物种群的生存环境较为优雅宽 松的情况.当生物种群数量增长到一定值时， 恶化的生态环境将抑制种群数量的增长，进 而出现负增长，此时马尔萨斯人口模型就不 适用了.
A1 A(1 r )t ；
r 若每期结算m次，则每次利率为 ， m t期内共结算mt次，t期后的本利和为
r mt Am A(1 ) . m 如果，即按照每个瞬间“即存即算” 来计算本利和，则归结为求极限
r mt lim A(1 ) m m
这个求极限问题将在第二章的应用中 介绍.
y cos x
正切函数
y tan x
π π 定义域 : ( kπ , kπ ), k Z; 值域( , ), 2 2 π π 以π 为周期, 在每个开区间( kπ , kπ )上 2 2 递增.
余切函数
y cot x
定义域 : kπ ,( k 1)π ), k Z；值域( , ), （ 以π 为周期, 在每个开区间( π ,( k 1)π ) k 上 递减.
高数第一章初等函数
2）反余弦函数 余弦函数
反余弦函数
y cos x
y
1
0
2
x [0, ]
y arccos x x [1,1]
y
y [1,1]
y [0, ]
x
1
1
0
x 1
余弦函数 y cos x 在 [0, ] 上的反函数，称为
反余弦函数，记为 y arccos x x [1,1] y [0, ]
10
例2 判断函数 f ( x) ln ( x 2 1 x) 的奇偶性. 解
f x f x
ln [ x 2 1 x] [ x 2 1 x]
ln1 0
则此函数为奇函数
11
（4）三角函数 1）正弦函数的性质
y sin x
x ,
解：
x e ln x , x 0
ln x 1 0 e 1 f ln x ln x ln x e e 1
ye
y
x
1 f x x e
0 e 1
x
e 1
x
0,1
x
1 x 0 f x x e 0 x
22
反余弦函数的性质
y arccos x
x [1,1]
y
y [0, ]
（1）在[ -1, 1 ]是有界函数；
0 arccos x
（2）是非奇非偶函数；
1
0
x 1
（3）在 [1, 1] 上是单调减函数。
23
3）反正切函数 正切函数 y tan x 在 (
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高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。
这些函数在数
学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。
一、常数函数
常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。
这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。
常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。
二、幂函数
幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。
幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
幂函数在实
际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。
三、指数函数
指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像随着a的不同而变化，当
a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
指
数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细
胞的增长等。
四、对数函数
对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。
对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。
对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。
五、三角函数
三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波
动的曲线，它们的周期为2π。
正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。
三角函数在实
际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。
六、反三角函数
反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。
反三角函数
的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。
反三角函
数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。
七、双曲函数
双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
双曲函数的图像都是一条无
限延伸的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数不同。
双曲函数在实际应用中常用
于描述一些具有双曲形变的现象，如弹性变形、电场的分布等。
八、反双曲函数
反双曲函数是指双曲正弦函数的反函数、双曲余弦函数的反函数和双曲正切函数的反函数。
反双曲函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的双曲函数相反。
反双曲函数在实际应用中常用于求解双曲函数的反函数值，如材料的弹性模量、电容的计
算等。
九、指数型函数
指数型函数是指函数f(x)=a^x+b，其中a和b为常数。
指数型函数的图像是一条上升的曲线，它们的斜率随着x的增大而增大。
指数型函数在实际应用中常用于描述一些具有指数
增长的现象，如病毒的传播、物种的扩散等。
十、对数型函数
对数型函数是指函数f(x)=loga(x)+b，其中a和b为常数。
对数型函数的图像是一条上升的曲线，它们的斜率随着x的增大而减小。
对数型函数在实际应用中常用于描述一些具有
对数增长的现象，如城市的规模、科技的进步等。
十一、多项式函数
多项式函数是指函数f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0，其中an、an-1、...、a1、a0都
是常数。
多项式函数的图像是一条平滑的曲线，它们的斜率和曲率随着x的变化而变化。
多项式函数在实际应用中常用于描述一些复杂的现象，如经济的发展、物理的运动等。
十二、有理函数
有理函数是指函数f(x)=p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)都是多项式函数。
有理函数的图像
是一条平滑的曲线，它们的斜率和曲率随着x的变化而变化。
有理函数在实际应用中常用
于描述一些复杂的现象，如电路的分析、化学反应的速率等。
十三、指数分布函数
指数分布函数是指函数f(x)=λe^(-λx)，其中λ为常数。
指数分布函数的图像是一条下降的曲线，它们的斜率随着x的增大而减小。
指数分布函数在实际应用中常用于描述一些
具有指数衰减的现象，如放射性物质的衰变、设备的寿命等。
十四、正态分布函数
正态分布函数是指函数f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ和σ为常数。
正态分布函数的图像是一条钟形曲线，它们的最高点在x=μ处。
正态分布函数在实际应
用中常用于描述一些具有随机性的现象，如人口的身高、温度的变化等。
十五、逻辑函数
逻辑函数是指函数f(x)=1/(1+e^(-x))，它的图像是一条S形曲线。
逻辑函数在实际应用
中常用于描述一些具有二元关系的现象，如人口的性别、电子的状态等。
十六、分段函数
分段函数是指函数f(x)在不同的定义域内采用不同的函数表达式。
分段函数的图像是由多条曲线组成的，它们的形状和特点随着定义域的不同而不同。
分段函数在实际应用中常用
于描述一些具有不同特征的现象，如经济的发展、物理的运动等。
总之，这16个基本初等函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
掌握这些函数的特
点和用法，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。