4.3 线性算子的正则集与谱

4.3 线性算子的正则集与谱4.3.1 特征值与特征向量有限维线性空间上线性变换的特征值与特征向量的概念是大家了解的。

在微分方程和积分方程中也有特征值与特征向量的概念。

现在把它拓广到一般的线性空间上来。

就有限维空间看，线性变换的特征值一般是复的，因此算子谱论一般总是在复空间上进行讨论。

例如伏特拉 (V olterra) 型积分方程：()()(,)()d xa x f x K x y y y ϕλϕ=+⎰， (4.3.1) 其中λ是一个常数。

考察[,]C ab 到[,]C a b 的映射A ：对[,]C a b ϕ∈，A ϕϕ： ()(,)()d x aA x K x y y y ϕϕ=⎰. (4.3.2) 对比(4.3.2)，考察一般的算子方程()I A x y λ-=. (4.3.3)显然(4.3.3)式的解是否存在及唯一，都与λ的值有关：(1) 对λ的某些值，算子方程(4.3.3)可能存在唯一解；(2) 对λ的某些值，算子方程(4.3.3)可能存在解，但不唯一；(3) 对λ的某些值，算子方程(4.3.3)可能不存在解。

定义 4.3.1 设X 是线性空间，λ是一个数，:A X X →是线性算子。

若X 中的非零向量()x A ∈D ，使得Ax x λ=, (4.3.4)则称λ是A 的特征值（或本征值），而称x 为A （相应于特征值λ）的特征向量（或本征向量）。

设λE 为算子A 的（相应于特征值λ的）特征向量全体，在加入零向量，称λE 为算子A 的（相应于特征值λ的）特征向量空间。

称λE 的维数dim λE 为特征值λ的重复度，也就是方程(4.3.4)的最大线性无关组中向量的个数。

注 显然，相应于非零特征值的特征向量在算子A 的值域()A R 中。

E λ是方程(4.3.1)的所有解的全体，容易看出：E λ是X 的线性子空间。

若X 是赋范线性空间，A 是连续算子，则E λ是闭子空间。

例如，线性空间X 上相似算子I α的特征值只有α，而且全空间X 就是特征向量空间E α.由上述各例可见，算子的特征值及特征向量概念概括了线性代数、微分方程、积分方程的特征值及特征向量的概念。

不仅许多经典的数学物理问题（如微分方程、积分方程、变分方程问题）可以归结为求特征值及特征向量的问题。

在量子物理学中许多重要问题也是要求出特征值及特征向量的问题。

在数学物理（例如微分方程）问题中，除去求解形如()0I A x λ-=的齐次方程外，还经常遇到非齐次方程()I A x f λ-=，其中A 是给定的算子，f 是已知向量，x 是未知向量。

为了研究这种方程的求解问题，需要引进算子A 的正则点和谱点的概念。

4.3.2 算子的正则点和谱点定义4.3.2 设X 是复的赋范线性空间，A 是X 的线性子空间()A D 到X 的线性算子，λ是一复数。

若I A λ-是正则算子，则称λ是A 的正则点，或正则值(regular value )；并称1()()R A I A λλ-=-是A 的豫解算子(resolvent operator ) ，或豫解式.复平面上正则点的全体称为A 的正则集（或豫解集(resolvent set)），记为()B ρ； 不是正则点的复数λ称为A 的谱点(spectral point 或 spectral value)。

谱点全体称为B 的谱集(spectral set)，或谱(spectrum)，记为()A σ.显然()()A A σρ就是整个复平面。

从方程的可解性来分类，谱一般可分为三类：(1) λ是A 的特征值。

这时算子I A λ-就是不可逆的，因此特征值是谱点。

算子的特征值全体称为算子的点谱，记作()p A σ.(2) λ不是A 的特征值，然而算子的值域()I A X λ-≠R .也就是说：1()I A λ--虽然存在，但1(())I A X λ--≠D .即：虽然齐次方程()0I A x λ-=没有非零解，但非齐次方程()I A x f λ-=不是对每个右端项f X ∈都存在解。

(3) 算子1()I A λ--在全空间有定义，但不是有界的.即：虽然对每个f X ∈，方程()I A x f λ-=有唯一的解x ，但x 不连续地依赖于右端项f .不是特征值的谱点全体称为算子的连续谱，记作()c A σ.注意：有的书将满足：I A λ-是一对一的，并且()I A λ-R 在X 中稠密的λ称为连续谱。

例4.3.1 在n 维空间n C 中考察由下三角矩阵 11212212000n n nn a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 定义的算子A ：对12(,,,)n n x ξξξ∀=∈C ，:x =y Ax =y A . (4.3.5)显然n y ∈C ，若记12(,,,)n y ηηη=，则(4.3.5)为(1,2,,).n k ik ii k a k n ηξ===∑ (4.3.6)由线性代数知：矩阵A 主对角线上的元素1122,,,nn a a a 是算子A 的特征值。

而当(1,2,,)kk a k n λ≠=时，λ就是算子A 的正则值。

例4.3.2 设复空间[,],X C a b A =为V olterra 积分算子()()()d ,[,]ta Ax t x s s x C ab =∈⎰. (4.3.7) 对0λ∀≠，于是方程()()()I A x t y t λ-= 即 ()()d (),[,]ta x t x s s y t x C ab λ-=∈⎰ (4.3.8) 等价于方程11()()()d ,[,].t a x t y t x s s x C a b λλ=+∈⎰ (4.3.9)因为对[,]y C a b ∀∈，方程(4.3.9)存在唯一解。

由逆算子定理知：I A λ-存在有界逆算子，故任何复数0λ≠都是A 的正则点；故()\{0}A ρ=C .现设0λ=，因为从方程()()()d ,[,]ta Ax t x s s x C ab =∈⎰ (4.3.10) 容易看出：A 的值域是{}1()()[,],()0x t x t C a b x a ∈=，且是[,]X C a b =的真子空间。

若()()()d 0ta Ax t x s s ==⎰，则由()x t 的连续性知：在[,]ab 上，()0x t ≡.所以0λ=不是A 的特征值。

又因为1d (0)d I A t --=存在，但0I A -的值域(0)I A -R 是所有形如0()d t x t t ⎰的函数全体（可微函数），不是全空间[,]X C a b =，即(0)I A X -≠R ；因此0λ=是算子A 的属于情形(2)的连续谱，且(){0}A σ=.例4.3.3 设复连续函数空间[0,1],C A 是乘法算子()()(),[0,1]Ax t t x t x C =∈. (4.3.7)设[0,1]λ∉，令()()()x t B x t tλλ=-. 不难验证：B λ是定义在[0,1]C 上，值域[0,1]C ⊂的有界线性算子，且[()]()()[()]()B I A x t x t I A B x t λλλλ-==-对一切[0,1]x C ∈都成立，故1()B I A λλ-=-；因此λ是A 的正则值。

现设[0,1],λ∈ 由()()()(),[0,1]I A x t t x t x C λλ-=-∈可知，当t λ=时，()()0t x t λ-=；因此()()t x t λ-的全体组成的集合在[0,1]C 中不稠密，其中[0,1]x C ∈是任意的。

其次，不难证明：λ不可能是A 的特征值。

In fact , 若有0[0,1]x C ∈，使00()()()()0I A x t t x t λλ-=-=，则当t λ≠时，0()0x t =.由0()x t 的连续性可知：0()0x λ=，因此对一切[0,1],t ∈ 0()0x t =. 这说明方程()()0I A x t λ-=没有非零解。

综上所述，λ属于A 的连续谱，且()[0,1]c A σ=.例 4.3.4 0l 表示1l 中只有前有限个坐标不为零的元素全体，0l 上的范数1i i x x∞==∑. 取10(,,,0,0,)n x x x l =∈时，在0l 上定义算子 2121(,,,,0,0,),,,,0,0,2n n x x A x x x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 显然B 是0l 到0l 上的一对一的有界线性算子，即0λ=不是A 的特征值。

易知：11212(,,,,0,0,)(,2,,,0,0,)n n A x x x x x nx -=. 显然1A -是定义在整个0l 上，但在0l 上是无界的算子。

注1 例4.3.4中0λ=不是算子A 的特征值。

显然1(0)I A --在整个0l 上有定义，但在0l 上是无界的算子；因此0是算子A 属于(3)的谱。

注2 若X 是Banach 空间，B 是X 到X 上的有界线性算子，而且B 是可逆算子时，根据逆算子定理，这时1B -是有界线性算子。

故当X 是Banach 空间时，情况(3)是不会出现的。

引理4.3.1 设A 是复的赋范线性空间X 上的有界线性算子。

(1) λ是A 的正则点 ⇔ 方程()I A g f λ-=对任何f X ∈都有解，且存在常数0m >，使得g m f ≤.(2) λ不是A 的特征值 ⇔I A λ-是X 到()I A X λ-上的一一对应（即I A λ-是可逆算子）；设λ不是A 的特征值，若X 是有限维空间，则λ是A 的正则点。

注1 引理1的(1)说明：对于A 的正则点，方程()I A g f λ-=对任何右端项f 有唯一的解g ，而且g 是连续地依赖于右端项f ，即：若{}n f 是一列向量，且n f f →，则相应于n f 的解n g ，也有n g g →，其中g 是相应于f 的解。

注2 引理1的(2)说明：在有限维空间中，情况属于(2)、(3)的谱不出现。

在无限维空间中，情况属于(2)、(3)的谱会出现。

下面的例4.3.2, 例4.3.3，例4.3.4中算子的谱是分别在无限维空间中，属于情况(2)，(3) 的谱。

4.3.3 正则集与谱的性质定理4.3.1 设X 是复Banach 空间，()A X ∈B .(1) 若λ是A 的特征值，则A 对于λ的全部特征向量以及零元素组成X 的一个闭子空间，并称之为特征向量空间。

(2) 设(1,2,,)k k n λ=是A 的n 个不同的特征值；k x 是A 对应于k λ的任一特征向量，则12,,,n x x x 线性无关。

定理4.3.2 设X 是复Banach 空间，()A X ∈B ，λ是复数. 则当A λ>时，λ是A 的正则值，且 110()nn n A I A λλ∞-+=-=∑， (4.3.11)(4.3.11)的右端级数按算子范数收敛；且11()I A Aλλ--≤-. (4.3.12)定理4.3.3 设X 是复Banach 空间，下列结论成立：(1) ()X B 中可逆算子全体是()X B 中的开集。