线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数

线性代数这门课的特点主要有两个:一就是试题的计算量偏大,无论就是行列式、矩阵、线性方程组的求解,还就是特征值、特征向量与二次型的讨论都涉及到大量的数值运算,稍有不慎,即会出错;二就是前后内容紧密相连,纵横交织,既相对独立又密不可分,形成了一个完整、独特的知识体系、

在掌握好基本概念、基本原理与基本方法的前提下,下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题、

一、加强计算能力训练,切实提高计算的准确性

二、扩展公式结论蕴涵,努力探索灵活解题途径

三、注重前后知识联系,努力培养综合思维能力

线性代数不仅概念多,公式结论多,而且前后知识联系紧密,环环相扣,几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查

四、加强综合题型训练,全面系统地掌握好知识

计算能力的提高不就是一朝一夕的事,除了要不断归纳总结一些重要公式与结论并加以巧妙、适当的应用外,还要靠平时的积累,要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯,只要持之以恒、坚持练习,计算准确性的提高并不就是一件困难的事、而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习,

第一章行列式

一、概念复习

1、形式与意义

形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:

a11 a12 (1)

a21 a22 (2)

………、

a n1 a n2… a nn

如果行列式的列向量组为α1, α2, …,αn,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn|、

意义:就是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值、

请注意行列式与矩阵在形式上与意义上的区别、

当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同、)

每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|、

行列式这一讲的的核心问题就是值的计算,以及判断一个行列式的值就是否为0、

2、定义(完全展开式)

一般地,一个n阶行列式

a11 a12 (1)

a21 a22 (2)

………

a n1 a n2… a nn

的值就是许多项的代数与,每一项都就是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:

n

nj

j

j

a

a

aΛ

2

1

2

1

,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值就是n!项的代数与。

所谓代数与就是在求总与时每项先要乘+1或-1、规定τ(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数、逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的与就就是逆序数、例如求436512的逆序数:

2

3

2

3

215

6

3

4, τ(436512)=3+2+3+2+0+0=10、

则项

n

nj

j

j

a

a

aΛ

2

1

2

1

所乘的就是.

)1

()

(2

1n

j

j jΛ

τ

-即逆序数就是偶数时,该项为正;逆序数就是奇数时,该项为负;在一个n元排列的n!项中,奇排列与偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值:

a11 a12 (1)

a21 a22… a2n =.

)1

(

2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

n

n

n

nj

j

j

j

j j

j

j j

a

a

aΛ

Λ

Λ

τ

-

∑

………

a n1 a n2… a nn

这里∑

n

j

j jΛ

2

1

表示对所有n元排列求与、称此式为n阶行列式的完全展开式、用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大、只在有大量元素为0,使得

只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算、 3、对角行列式计算

行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线、

对角行列式,上三角、下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的乘积。 关于副对角线:

(1)2

1121

21

1211

1

(1)

n n n

n

n n n n n n n a a a a a a a a a ο

οο

---*

=

=-K N N

4、代数余子式

把n 阶行列式的第i 行与第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij

的余子式,记作M ij 、称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式、

定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之与、

5、化零降阶法

化零降阶法 用行列式的性质把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理、于就是化为计算一个低1阶的行列式;或者直接把行列式化成三角行列式,

化零降阶法就是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握、 6、行列式的性质

① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | 、

② 某一行(列)的公因子可提出、于就是, |c A |=c n |A |、

③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ ,则原行列式等于两个行列式之与,这两个行列式分别就是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ 所得到的行列式、例如|α,β1+β2,γ |=|α,β1,γ |+|α,β2,γ |、

④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号、

⑤ 如果一个行(列)向量就是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0、 ⑥ 如果在行列式某一行、列的元素,加上另一行、列对应元素的K 倍,则行列式的值不变。

⑦某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之与=0、

7、范德蒙行列式:

形如

1 1 1 … 1 a 1 a

2 a

3 … a n

a 12 a 22 a 32 … a n 2

… … … …

a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-I 的行列式(或其转置)、它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j j

i a a -∏<

因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同、

对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等、

8、克莱姆法则

克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形、此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),这里D 就是系数行列式的值, D i 就是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值。

说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大,没有实用价值,因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断。

法则的改进:系数行列式不等于0就是非齐次线性方程组有唯一解的充要条件、

用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 就是方阵,则它只有零解的充分必要条件就是|A |≠0,或者表述为:如果齐次方程组有非0解,则它的系数行列