1古典概率典型题解

概率论与数理统计典型题解

第一章 随机事件与概率典型题解

1．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率． 解 令A ={甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有1,2,,n 这n 个位置，由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么A 发生当且仅当乙坐2号或n 号位置，从而

1,2,()2, 2.1

n P A n n =⎧⎪=⎨>⎪-⎩ 2．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷1n +次，乙掷n 次，求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率．

解 令A ={甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}，

B ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}，

由硬币的均匀性知，()()P A P B =，容易看出，,A B S AB ==∅，由此可知

1()2

P A =

． 3．某班有N 个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，跳了10分钟后把绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率． 解 令i A ={第i 个学生拿到自己原先使用的绳子}（1,2,,i N =）， A ={至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子}，

则

111()(

)()()N

N i i i j i i j N i P A P A P A P A A =≤<≤===-+∑∑

1121()(1)()N i j k N i j k N P A A A P A A A -≤<<≤-+-∑

1

2311111(1)(1)(1)(2)!

N N N N N N C C C C N N N N N N N -=-+-+---- 11111(1)2!3!!

N N -=-+-+-． 4．若事件A 与B 互不相容，且()0P B ≠，证明：(|)()/()P A B P A P B =． 证明 由于A 与B 互不相容，则AB A =，而()0P B ≠，故

(|)()/()()/()P A B P AB P B P A P B ==．

5．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为

/2p ．

（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．

解 令i A ={该学生第i 次考试及格}（1,2i =），A ={该学生取得该资格}，则

（1）1121121()()()()()(|)P A P A P A A P A P A P A A =+=+

2

3(1)222

p p p p p =+-=-． （2）12112121121()(|)2(|)()(|)()(|)(1)/21P A P A A p p p P A A P A P A A P A P A A p p p p p

===++-+． 6．设口袋里装有b 个黑球，r 个红球，任意取出一个，然后放回并放入c 个与取出的颜色相同的球，再从袋里取出一球，问：

（1）最初取出的球是黑球，第二次取出的也是黑球的概率；

（2）如将上述手续进行n 次，用归纳法证明任何一次取得黑球的概率都是b b r +，任何一次取得红球的概率都是r b r

+． 解 令n A ={第n 次取出的球是黑球}（1,2,

n =），则 （1）21(|)b c P A A b r c +=

++； （2）1()b P A b r =+，假设()n b P A b r

=+，则 11(|)n b c P A A b r c ++=++，11(|)n b P A A b r c

+=++， 所以

1111111()()(|)()(|)n n n P A P A P A A P A P A A +++=+

b b

c r b b b r b r c b r b r c b r

+=

+=+++++++， 于是()n b P A b r =+（1,2,n =），()n r P A b r

=+（1,2,n =）． 7．利用概率论的思想证明恒等式（其中A a >，且均为正整数） ()(1()2111(1)(2)(1)(1)A a A a A a A a A A A A A a a a

-----++++=----+．

证明 设一口袋中共有A 只球，其中有a 红球，不放回地从袋中一次取一只球，令

n B ={第n 次取出的球是红球}（1,2,

,1n A a =-+），则1

1A a n n B S -+==，所以

111212111()(

)()()()A a n A a A a n P S P B P B P B B P B B B B -+--+====+++

11111a A a a A a A a a A A A A A a a

----=+⋅+⋅⋅⋅⋅--+L ， 即 ()(1()2111(1)(2)(1)(1)A a A a A a A a A A A A A a a a -----+

++⋅⋅⋅+=----+L g L ． 8．学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测，现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率：

（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是12

； （2）学生知道正确答案的概率是0.2．

解 令B ={学生知道正确答案}，A ={学生题目答对}，则

（1）()(|)0.51(|)0.8()(|)()(|)0.510.50.25

P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯===+⨯+⨯； （2）()(|)0.21(|)0.5()(|)()(|)0.210.80.25P B P A B P B A P B P A B P B P A B ⨯=

==+⨯+⨯． 9．甲、乙比赛射击，每进行一次，胜者得一分，在一次射击中，甲胜的概率为α，乙胜的概率为β．设(1)αβαβ>+=，且独立地进行比赛到有一人超过对方2分就停止，多得2分者胜．分别求甲、乙获胜的概率．

解 令n A ={甲恰好在第n 局比赛后获胜}，n B ={乙恰好在第n 局比赛后获胜}

（1,2,n =），A ={甲获胜}，B ={乙获胜}．则22n A +发生当且仅当第1,3,

,21n -局可胜可负，第2,4,,2n 局的胜负情形恰好分别与第1,3,,21n -局的胜负情形

相反，而第21,22n n ++局连胜．因此2222()2(2)n n n n n P A αβαααβ+==，所以

2

22222000()()()(2)12n

n n n n n P A P A P A αααβαβ∞∞∞++=======-∑∑， 同理 2

()12P B βαβ

=-．