十数学归纳法极限排列组合

（1）数学归纳法证明不等式：

求证：当n 1=时，我就不说了。 假设当n k =

时成立，既1

1

()2

k k x -<成立，

那么当1n k =+时，

2211111

1((2)((2))2222

k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x +-++=--=-=-

由归纳假设1

1()

2

k k x -<

，所以只需要证1

1)2

k x -

12<，

既只需要证13,k x <<①。 因为221111133

1(1)2222

k k k k x x x x ---=-

++=--+≤

3k x <（A ） 因为由归纳假设，

11

()2

k k x -<成立，所以有

1111()()22k k k k x x ---<<+

又1

112()2

k -<，

所以1k x

由（A ），（B ）两式知①式成立。 由归纳法原理，成立。

（2）数列与数学归纳法证明数列不等式

前两个我就不求

(2)都是正数，直接两边除以两个的积（呵呵，看到

111

n n

a a -与了这就是常用处理） 那就有了

121111n n n n a

a a n a ---=，因为2111210n n n n n a a a a a n ---=+∴>>，所以11n n

a a -<

呵呵 ，则

21111

n n a a n

--<

（3）直接数学归纳法证。开始不说了。 假设

12k k a k k +<<+，则当1n k =+时。2

12

1(1)

k k k a a a k +=++，考虑二次函数2

2

1(1)y x x

k =

++的单调性可得当12k x k k +<<+时，函数增，所以 221222

11(1)1

2(1)(2)(1)

k k k a k k k k k k ++++<<+++++，呵呵，下面只需要证 221132(1)k k k k k ++<++++，22

1

1(1)

k k k k +<++即可，很简单了，直接算。 这题我感觉能用数学归纳法来做应该是倒数第二道的档次。还有，利用递推关系证明不等式时，常常可以用数学归纳法，k 到k+1那步就可以利用函数单调性，如我的方法。 3问另法放缩。

2221100131211)11()11(11n a a a a a a n n n ++++<-++-=-- n

n n 1

2)1(12111-=-++⨯+

< ．

又

2

1

0=

a 所以

n

a n <又

12212121211)1(11------+=-+<+=n n n n n n a n n n a n n a a n a a 所以n n a n n n a 122

1-+>-故

n n n n n n a n n n a n a a n a a 11122

1212121-+⨯+>+=----=112

1.1n n n a a a n n --++- ∴221111111

.11

n n a a n n n n n n -->>=-+-++ 12n n a n +>

+同理利用累加可得 综合以上知

1

.2

n n a n n +<<+

（3）数学归纳法证明一个解不出的递推关系的通项。

已知数列{}n a 中，13a =，13n a

n a -=，求证，43n a m =+（m 是非负整数）

分析：这题是一个数列递推关系问题，和以前我们能够解出的递推关系不一样，是无法求解的。不过看题目并不是要求通项，只是证明通项是一个给出的形式，故可采用归纳法证明。

证明：当1n =时，13403a ==⨯+，成立， 假设当n=k 时，43k a p =+，p 是非负整数。

那么当n =k+1时。

434301224343

1434343433(12)*2*2....2p p p P k p p p p a C C C C +++++++++==+=++++ =2434143431864(....2)p P p p p C C +++++++++=24341

43433844(....2)p P p p p C C +++++++++ =24341434334(21....2)p P p p p C C +++++++++显然24341434321. (2)

p P p p p C C ++++++++是非负整数， 所以命题成立。

(4)换元思想求函数极限

（5）数学归纳法证明一数列不等式。有点难度

112,2,:1n n n

n

a a a a +==+

<+求证当1n =时，成立，为了后面方便，多算个n=2吧

假设当n k ≤，(2)k ≥

时都成立，既111k k a a -<< 当1n k =+时，11111

1(1)

2222[]12(1)22(1)2k k k k k k ka k k k k a k k a a k a k a -+----=+

=+=+=+--+--+

易知

1(1)

02(1)

k k k a k -->-

，又11k a -<

12[22k <+=