四2020年物理竞赛全国复赛模拟试题(二)(含答案)
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对应的滑动摩擦系数为：
第三题：（40 分）
mv0 = 2 v0 ≥ 2
Ix = 2 Iy = 2 μ = Iy = 1
（8 分） （12 分） （10 分）
如上图所示，在一个光滑抛物线型轨道 y = ax2上放置着一个长度为 L 的匀质杆，由于对称性，杆水
第 3页
平放置时一定是一个平衡位置，假设
a
上图是一个长矩形被一抛物线 y = ax2截掉一部分后剩下的形状，质量为 m，其上表面是一完美反射镜， 放在光滑水平面上。一束功率为 P 的激光竖直向下照射在完美反射镜上，问： （1） 物体的平衡位置。（10 分） （2） 在平衡位置附近做小振动的周期。（30 分）
第 5页
第八题：（40 分） 在波尔模型的建立过程中，很重要的一个思想就是对应性原理。因为经典理论是先于量子理论被建立
起来的，而且我们知道经典理论对于我们的现实世界有很强的解释力，所以量子力学建立初期的一个很重 要的想法就是找到经典与量子之间的联系。波尔在建立氢原子模型的时候一个很重要的思想就是，当某个 定态的量子数 n 非常大时，这个态所对应的物理量应该接近经典物理给出的数值，这里我们来具体研究对 应原理： （1） 首先请你计算出波尔氢原子模型不同能级 n 的轨道半径与能量。（15 分） （2） 根据对应原理，当 n 很大时，氢原子在相邻两个能级之间越前辐射电磁波的频率ν 蹘 1应该等于加
2+Δ 2
=2
（4 分）
L2 + 2 Δ 2 − Δ 1 + Δ 2 − Δ 1 2 + 2 −
Δ
1+Δ
2
+
Δ
2 1
−
Δ
2 2
2=
2
上式中忽略掉二阶以上小量有：
2L Δx2 − Δ 1 + Δ 2 − Δ 1 2 + 2 2 Δ 1 + Δ 2 2 = 0
（8 分）
而杆质心位置的变化量为：
1 Δyc = 2
=
1，
2L
（1）请你分析平衡的稳定性（25 分）
（2）若是稳定平衡，求出微小震动周期（15 分）
解：
（1）为了分析平衡稳定性，我们使杆做一个微小位移，但是保持杆两端在轨道上，如下图：
杆平衡位置的高度很容易算出为：
y0 = 4 2
根据杆长不变得：
L + Δx2 − Δ 1 2 +
2
−2+Δ 1 −
22
速电子辐射的经典频率，也就是电子绕原子核运动的轨道频率，请你验证这一点。（25 分）
第 8页
第一题：(40 分)
2020 年 物理竞赛全国复赛模拟考试（二） 答案
（考试时间：180 分钟，满分：320 分）
如上图所示，一实心匀质半圆筒在光滑地面上滑动，半径为 R 质心在圆心正下方，速度大小为V0，方 向如上图所示。在某一位置开始，地面与半圆筒之间的滑动摩擦系数突然变为μ =+ ∞，问： （1）求出半圆筒质心位置。（10 分）
为 mg L ，为了使得之前所说的周期运动成立，人用腿蹬墙过程中给自己竖直方向的冲量大小应该可以抵
Vx
消重力的冲量，故：
Iy =
由于人在墙壁之间的水平方向速度一直为vx，故水平方向冲量为： Ix = 2mvx
则：
（分析加结果 10 分）
I0 = 2 + 2 =
22
2 +4 2
当vx2 = 2 时，I0取得极小值： 故： 人才能登上墙壁。 （2）在上一问临界情况下：
I
（1）求以上二端网络戴维宁等效电路。（25 分） （2）给二端网络加上一负载电阻RL，求流过负载的电流，验证第一问的结果是否正确。（15 分） 第六题：（40 分）
如上图所示，一半圆筒形绝热气缸被一个质量为 m，可以绕半圆柱轴线无摩擦转动的匀质挡板分成两 部分，挡板绝热，半径为 r，左右两部分气体相互隔离，绝热系数均为γ，摩尔数均为 n，温度均为 T 请问 温度 T 为多少时，挡板在竖直位置是一个稳定平衡？ 第七题：（40 分）
故整体动能为： 能量守恒式： 可以直接给出振动周期：
=
1 2
Δ
2 1
+
1 24
2
Δ
1
2 13 = 24
Δ
2 1
3mg 8L Δ
2 1
+
13 24
Δ
2 1
=
（8 分）
13L T = 2π 9g
（3 分）
第四题：（40 分）
如上图所示，空间中有竖直向上的电场，电场强度为 E = E0 − ，地面上有一点电荷，电荷量为Q0， 质量为 m，参量之间有关系E0 > ，问：
我们列出电荷的牛顿第二定律：
y = y0 + Δ
（5 分）
m y0 + Δ = 0 − 0 + Δ
0+Δ ⺁ −
（5 分）
我们考虑一个特别小的时间段，在这个时间段中低频项对应的运动基本不变化，高频项对应的运动在快速
变化，故我们拆出上式中的高频项对应的方程：
积分上式，得到：
mΔy = E0 − 0 Δ ⺁
2Δ
2 2
−
3 4
Δ
1+Δ
2
2
+
1 4
Δ
2 1
+
Δ
2 2
3 = 32
Δ 1+Δ 2 2 >0
我们发现，当杆有一个微小位移的时候，其质心高度在最低阶小量上是变大了，也就是在微小位移后势能
增加，故是稳定平衡。
（7 分）
（2）Δx1和Δx2之间的差别是二阶小量，故在考虑简谐震动的时候我们可以忽略他们之间的差别，认为是 一样的，则重力势能的变化是：
（2）当半圆筒达到滑动摩擦系数为正无穷位置后，半圆筒相对地面运动瞬间从滑动变为无滑滚动，问当V0 满足什么条件，半圆筒才能翻倒，也就是可以让平的一面与地面接触。（30 分）
解：
（1）半圆筒质心位置与半圆质心位置相同，由古鲁丁定理：
πR2 2 ×2
4 =3
3
得：
x
=
4 3π
（10 分）
（2）首先我们先求开始纯滚动瞬间的角速度，半圆柱对轴线的转动惯量是：
2
−2+Δ 1 +
2
2+Δ 2
−4
2
=
1 2
Δ
2−Δ
1
1 +2
(Δ
2 2
+
Δ
12)
（6 分）
带入
a
=
1 ，杆长不变公式告诉我们：
2L
Δx2 − Δ
1 1 =− 2
(2Δ
2 1
+
2Δ
2 2
−
3 4
Δ
1+Δ
2
2)
则：
1
1
Δyc = 4 Δ 2 − Δ 1 + 4
Δ
2 1
+
Δ
2 2
1 =− 8
2Δ
2 1
+
第二题：（40 分）
很多跑酷爱好者热衷于做出一些十分酷炫的操作，我们经常见到一些跑酷爱好者可以在两面平行墙面 之间来回跳跃，让自己可以攀上墙壁。现在我们假设可以将人视为一个质点，每次质点和墙面接触的时候 墙面给质点的冲量最大是I0 = 0，你可以理解为人的腿蹬墙面的力是有限制的，其中 m 是质点的质量。 两个墙面之间的距离为 L，墙足够高且人不会累，求： （1）我们先认为墙壁与质点之间的滑动摩擦系数是无穷大，请问v0满足什么条件，人才能蹬上墙壁？
第 4页
3mg 8L Δ
2 1
（4 分）
动能由两部分组成，质心动能与转动动能，质心竖直方向速度是二阶小量，我们可以忽略，水平方向速度
为：
vcx = Δ 1 转动角速度为两端点的竖直方向相对速度与杆长的比，由于：
dy
1
dx = = 2
故杆端速度为1
2
Δ
1，连个杆端相对速度为Δx1，角速度即：
ω = Δx1
（30 分） （2）当v0取上一问临界值的时候，我们要求墙壁与质点之间的滑动摩擦系数最少多大？
（10 分）
第 1页
第三题：（40 分）
如上图所示，在一个光滑抛物线型轨道 y = ax2上放置着一个长度为 L 的匀质杆，由于对称性，杆水 平放置时一定是一个平衡位置，假设 a = 1 ，
2L
（1）请你分析平衡的稳定性（25 分） （2）若是稳定平衡，求出微小震动周期（15 分） 第四题：（40 分）
（1）电荷平衡位置的高度。（5 分）
（2）现在我们人为使得点电荷的电荷量加上一随时间高频变化的项 Q = Q0 + Δ
置（ω ≫
kQ）。（35 分）
m
⺁ ，求此时的平衡位
第 5页
解： （1）受力平衡：
得：
E0 −
=
1 y= k( 0− )
（5 分） （2）由于电荷的电荷量有一个高频震动项，所以我们应该认为电荷高度也由两部分组成，一个低频项与 一个高频震动项：
1 IO = 2
2
对质心的转动惯量是：
IC = −
2=
1 16 2−9 2
2
对与地面接触点的转动惯量是：
I = IC +
−
2=
1 2
−
16 92
2+ 1− 4 2
3
2 = 3− 8
23
这一瞬间由角动量守恒：
得：
mV0 − = 0
4
ω0 =
1−3 38
0
2−3
此时的动能是：
2（10 分） （6 分）
第 1页
Δy =− E0 −
0Δ
2
⺁
（分wk.baidu.com 5 分）
（5 分） 带入牛顿第二定律公式中，并且对一个远大于高频震动项周期，远小于低频振动周期的时间进行平均，由 于：
⺁ =0
cos2
1 =2
我们可以在牛顿第二定律中拆出低频项的公式： my0 = 0 − 0 0 +
E0 − 0 Δ 22
2
− mg
平衡位置y0 = 0，故： 新的平衡位置为：
第 3页
第五题：（40 分）
上图是我们要分析的电路，其中除了常规的电源，电阻之外，菱形，中间有一横线的元件是受控电流 源，它的作用是提供一个电流，这个电流的大小是受到左上角电阻上电流的控制的，如果左上角电阻上的 电流为i1，那么受控源的电流大小为ai1，方向如上图所示。我们将上图中的网络视为一个双口网络，两个 口就是左下与右下伸出的两根线，由戴维宁定理，一个双口网络可以视为一个电源串联上一个电阻，其中 电源电压就是开路电压。我们将电路中的非受控源全部短路，保留受控源，在两个接口上加上 U 的电压， 相应流过接口电流为 I，戴维宁等效后的电阻大小即为U。
1 Ek = 2
42
2 0
=
1−3 3
8
2 0
2( 2 − 3 )
（4 分）
由于之后就是纯滚动，没有能量损失，为了让半圆筒可以翻过去，需要它此时的动能可以提供半圆筒翻过
去所需要的重力势能，对应半圆筒质心在最高位置时动能大于等于 0，如下图：质心在最高位置
此时重力势能为：
16
4
mgR( 1 + 9π2 − 1 + 3 )
临界条件为初始转动动能全部转化为此时的重力势能，对应 V0 最小，由能量守恒得：
得V0的最小值为：
42 1−3
38
2 0
= mgR(
2( 2 − 3 )
16
4
1 + 9π2 − 1 + 3 )
1
V0 =
4 2gR
1−3
16
4
1 + 9π2 − 1 + 3
38 2−3
第二题：（40 分）
（10 分）
很多跑酷爱好者热衷于做出一些十分酷炫的操作，我们经常见到一些跑酷爱好者可以在两面平行墙面 之间来回跳跃，让自己可以攀上墙壁。现在我们假设可以将人视为一个质点，每次质点和墙面接触的时候 墙面给质点的冲量最大是I0 = 0，你可以理解为人的腿蹬墙面的力是有限制的，其中 m 是质点的质量。 两个墙面之间的距离为 L，墙足够高且人不会累，求：
如上图所示，空间中有竖直向上的电场，电场强度为 E = E0
质量为 m，参量之间有关系E0
，问：
（1）电荷平衡位置的高度。（5 分）
，地面上有一点电荷，电荷量为Q0，
（2）现在我们人为使得点电荷的电荷量加上一随时间高频变化的项 Q = Q0 + Δ th
置（ω ≫
kQ）。（35 分）
m
，求此时的平衡位
第 2页
（1）我们先认为墙壁与质点之间的滑动摩擦系数是无穷大，请问v0满足什么条件，人才能蹬上墙壁？ （30 分）
（2）当v0取上一问临界值的时候，我们要求墙壁与质点之间的滑动摩擦系数最少多大？ （10 分）
解： （1）由于墙壁足够高，故我们认为人的不同次跳跃应该是完全相同的，即人做的是周期运动，设人蹬出 去之后在墙壁之间水平方向的运动速度是Vx，则在墙壁之间运动的时间为VLx，这段时间中重力对人的冲量
E0 − 0
Δ2 0+2 2 =
（分析 5 分） （5 分）
1
y0 =
0−
Δ2
0+2 2
（5 分）
第 6页
第五题：（40 分）
上图是我们要分析的电路，其中除了常规的电源，电阻之外，菱形，中间有一横线的元件是受控电流 源，它的作用是提供一个电流，这个电流的大小是受到左上角电阻上电流的控制的，如果左上角电阻上的 电流为i1，那么受控源的电流大小为ai1，方向如上图所示。我们将上图中的网络视为一个双口网络，两个 口就是左下与右下伸出的两根线，由戴维宁定理，一个双口网络可以视为一个电源串联上一个电阻，其中 电源电压就是开路电压。我们将电路中的非受控源全部短路，保留受控源，在两个接口上加上 U 的电压，
2020 年 物理竞赛全国复赛模拟考试（二）
学号：
第一题：(40 分)
姓名：
学校：
（考试时间：180 分钟，满分：320 分）
得分：
如上图所示，一实心匀质半圆筒在光滑地面上滑动，半径为 R 质心在圆心正下方，速度大小为V0，方 向如上图所示。在某一位置开始，地面与半圆筒之间的滑动摩擦系数突然变为μ =+ ∞，问： （1）求出半圆筒质心位置。（10 分） （2）当半圆筒达到滑动摩擦系数为正无穷位置后，半圆筒相对地面运动瞬间从滑动变为无滑滚动，问当V0 满足什么条件，半圆筒才能翻倒，也就是可以让平的一面与地面接触。（30 分）
第三题：（40 分）
mv0 = 2 v0 ≥ 2
Ix = 2 Iy = 2 μ = Iy = 1
（8 分） （12 分） （10 分）
如上图所示，在一个光滑抛物线型轨道 y = ax2上放置着一个长度为 L 的匀质杆，由于对称性，杆水
第 3页
平放置时一定是一个平衡位置，假设
a
上图是一个长矩形被一抛物线 y = ax2截掉一部分后剩下的形状，质量为 m，其上表面是一完美反射镜， 放在光滑水平面上。一束功率为 P 的激光竖直向下照射在完美反射镜上，问： （1） 物体的平衡位置。（10 分） （2） 在平衡位置附近做小振动的周期。（30 分）
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第八题：（40 分） 在波尔模型的建立过程中，很重要的一个思想就是对应性原理。因为经典理论是先于量子理论被建立
起来的，而且我们知道经典理论对于我们的现实世界有很强的解释力，所以量子力学建立初期的一个很重 要的想法就是找到经典与量子之间的联系。波尔在建立氢原子模型的时候一个很重要的思想就是，当某个 定态的量子数 n 非常大时，这个态所对应的物理量应该接近经典物理给出的数值，这里我们来具体研究对 应原理： （1） 首先请你计算出波尔氢原子模型不同能级 n 的轨道半径与能量。（15 分） （2） 根据对应原理，当 n 很大时，氢原子在相邻两个能级之间越前辐射电磁波的频率ν 蹘 1应该等于加
2+Δ 2
=2
（4 分）
L2 + 2 Δ 2 − Δ 1 + Δ 2 − Δ 1 2 + 2 −
Δ
1+Δ
2
+
Δ
2 1
−
Δ
2 2
2=
2
上式中忽略掉二阶以上小量有：
2L Δx2 − Δ 1 + Δ 2 − Δ 1 2 + 2 2 Δ 1 + Δ 2 2 = 0
（8 分）
而杆质心位置的变化量为：
1 Δyc = 2
=
1，
2L
（1）请你分析平衡的稳定性（25 分）
（2）若是稳定平衡，求出微小震动周期（15 分）
解：
（1）为了分析平衡稳定性，我们使杆做一个微小位移，但是保持杆两端在轨道上，如下图：
杆平衡位置的高度很容易算出为：
y0 = 4 2
根据杆长不变得：
L + Δx2 − Δ 1 2 +
2
−2+Δ 1 −
22
速电子辐射的经典频率，也就是电子绕原子核运动的轨道频率，请你验证这一点。（25 分）
第 8页
第一题：(40 分)
2020 年 物理竞赛全国复赛模拟考试（二） 答案
（考试时间：180 分钟，满分：320 分）
如上图所示，一实心匀质半圆筒在光滑地面上滑动，半径为 R 质心在圆心正下方，速度大小为V0，方 向如上图所示。在某一位置开始，地面与半圆筒之间的滑动摩擦系数突然变为μ =+ ∞，问： （1）求出半圆筒质心位置。（10 分）
为 mg L ，为了使得之前所说的周期运动成立，人用腿蹬墙过程中给自己竖直方向的冲量大小应该可以抵
Vx
消重力的冲量，故：
Iy =
由于人在墙壁之间的水平方向速度一直为vx，故水平方向冲量为： Ix = 2mvx
则：
（分析加结果 10 分）
I0 = 2 + 2 =
22
2 +4 2
当vx2 = 2 时，I0取得极小值： 故： 人才能登上墙壁。 （2）在上一问临界情况下：
I
（1）求以上二端网络戴维宁等效电路。（25 分） （2）给二端网络加上一负载电阻RL，求流过负载的电流，验证第一问的结果是否正确。（15 分） 第六题：（40 分）
如上图所示，一半圆筒形绝热气缸被一个质量为 m，可以绕半圆柱轴线无摩擦转动的匀质挡板分成两 部分，挡板绝热，半径为 r，左右两部分气体相互隔离，绝热系数均为γ，摩尔数均为 n，温度均为 T 请问 温度 T 为多少时，挡板在竖直位置是一个稳定平衡？ 第七题：（40 分）
故整体动能为： 能量守恒式： 可以直接给出振动周期：
=
1 2
Δ
2 1
+
1 24
2
Δ
1
2 13 = 24
Δ
2 1
3mg 8L Δ
2 1
+
13 24
Δ
2 1
=
（8 分）
13L T = 2π 9g
（3 分）
第四题：（40 分）
如上图所示，空间中有竖直向上的电场，电场强度为 E = E0 − ，地面上有一点电荷，电荷量为Q0， 质量为 m，参量之间有关系E0 > ，问：
我们列出电荷的牛顿第二定律：
y = y0 + Δ
（5 分）
m y0 + Δ = 0 − 0 + Δ
0+Δ ⺁ −
（5 分）
我们考虑一个特别小的时间段，在这个时间段中低频项对应的运动基本不变化，高频项对应的运动在快速
变化，故我们拆出上式中的高频项对应的方程：
积分上式，得到：
mΔy = E0 − 0 Δ ⺁
2Δ
2 2
−
3 4
Δ
1+Δ
2
2
+
1 4
Δ
2 1
+
Δ
2 2
3 = 32
Δ 1+Δ 2 2 >0
我们发现，当杆有一个微小位移的时候，其质心高度在最低阶小量上是变大了，也就是在微小位移后势能
增加，故是稳定平衡。
（7 分）
（2）Δx1和Δx2之间的差别是二阶小量，故在考虑简谐震动的时候我们可以忽略他们之间的差别，认为是 一样的，则重力势能的变化是：
（2）当半圆筒达到滑动摩擦系数为正无穷位置后，半圆筒相对地面运动瞬间从滑动变为无滑滚动，问当V0 满足什么条件，半圆筒才能翻倒，也就是可以让平的一面与地面接触。（30 分）
解：
（1）半圆筒质心位置与半圆质心位置相同，由古鲁丁定理：
πR2 2 ×2
4 =3
3
得：
x
=
4 3π
（10 分）
（2）首先我们先求开始纯滚动瞬间的角速度，半圆柱对轴线的转动惯量是：
2
−2+Δ 1 +
2
2+Δ 2
−4
2
=
1 2
Δ
2−Δ
1
1 +2
(Δ
2 2
+
Δ
12)
（6 分）
带入
a
=
1 ，杆长不变公式告诉我们：
2L
Δx2 − Δ
1 1 =− 2
(2Δ
2 1
+
2Δ
2 2
−
3 4
Δ
1+Δ
2
2)
则：
1
1
Δyc = 4 Δ 2 − Δ 1 + 4
Δ
2 1
+
Δ
2 2
1 =− 8
2Δ
2 1
+
第二题：（40 分）
很多跑酷爱好者热衷于做出一些十分酷炫的操作，我们经常见到一些跑酷爱好者可以在两面平行墙面 之间来回跳跃，让自己可以攀上墙壁。现在我们假设可以将人视为一个质点，每次质点和墙面接触的时候 墙面给质点的冲量最大是I0 = 0，你可以理解为人的腿蹬墙面的力是有限制的，其中 m 是质点的质量。 两个墙面之间的距离为 L，墙足够高且人不会累，求： （1）我们先认为墙壁与质点之间的滑动摩擦系数是无穷大，请问v0满足什么条件，人才能蹬上墙壁？
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3mg 8L Δ
2 1
（4 分）
动能由两部分组成，质心动能与转动动能，质心竖直方向速度是二阶小量，我们可以忽略，水平方向速度
为：
vcx = Δ 1 转动角速度为两端点的竖直方向相对速度与杆长的比，由于：
dy
1
dx = = 2
故杆端速度为1
2
Δ
1，连个杆端相对速度为Δx1，角速度即：
ω = Δx1
（30 分） （2）当v0取上一问临界值的时候，我们要求墙壁与质点之间的滑动摩擦系数最少多大？
（10 分）
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第三题：（40 分）
如上图所示，在一个光滑抛物线型轨道 y = ax2上放置着一个长度为 L 的匀质杆，由于对称性，杆水 平放置时一定是一个平衡位置，假设 a = 1 ，
2L
（1）请你分析平衡的稳定性（25 分） （2）若是稳定平衡，求出微小震动周期（15 分） 第四题：（40 分）
（1）电荷平衡位置的高度。（5 分）
（2）现在我们人为使得点电荷的电荷量加上一随时间高频变化的项 Q = Q0 + Δ
置（ω ≫
kQ）。（35 分）
m
⺁ ，求此时的平衡位
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解： （1）受力平衡：
得：
E0 −
=
1 y= k( 0− )
（5 分） （2）由于电荷的电荷量有一个高频震动项，所以我们应该认为电荷高度也由两部分组成，一个低频项与 一个高频震动项：
1 IO = 2
2
对质心的转动惯量是：
IC = −
2=
1 16 2−9 2
2
对与地面接触点的转动惯量是：
I = IC +
−
2=
1 2
−
16 92
2+ 1− 4 2
3
2 = 3− 8
23
这一瞬间由角动量守恒：
得：
mV0 − = 0
4
ω0 =
1−3 38
0
2−3
此时的动能是：
2（10 分） （6 分）
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Δy =− E0 −
0Δ
2
⺁
（分wk.baidu.com 5 分）
（5 分） 带入牛顿第二定律公式中，并且对一个远大于高频震动项周期，远小于低频振动周期的时间进行平均，由 于：
⺁ =0
cos2
1 =2
我们可以在牛顿第二定律中拆出低频项的公式： my0 = 0 − 0 0 +
E0 − 0 Δ 22
2
− mg
平衡位置y0 = 0，故： 新的平衡位置为：
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第五题：（40 分）
上图是我们要分析的电路，其中除了常规的电源，电阻之外，菱形，中间有一横线的元件是受控电流 源，它的作用是提供一个电流，这个电流的大小是受到左上角电阻上电流的控制的，如果左上角电阻上的 电流为i1，那么受控源的电流大小为ai1，方向如上图所示。我们将上图中的网络视为一个双口网络，两个 口就是左下与右下伸出的两根线，由戴维宁定理，一个双口网络可以视为一个电源串联上一个电阻，其中 电源电压就是开路电压。我们将电路中的非受控源全部短路，保留受控源，在两个接口上加上 U 的电压， 相应流过接口电流为 I，戴维宁等效后的电阻大小即为U。
1 Ek = 2
42
2 0
=
1−3 3
8
2 0
2( 2 − 3 )
（4 分）
由于之后就是纯滚动，没有能量损失，为了让半圆筒可以翻过去，需要它此时的动能可以提供半圆筒翻过
去所需要的重力势能，对应半圆筒质心在最高位置时动能大于等于 0，如下图：质心在最高位置
此时重力势能为：
16
4
mgR( 1 + 9π2 − 1 + 3 )
临界条件为初始转动动能全部转化为此时的重力势能，对应 V0 最小，由能量守恒得：
得V0的最小值为：
42 1−3
38
2 0
= mgR(
2( 2 − 3 )
16
4
1 + 9π2 − 1 + 3 )
1
V0 =
4 2gR
1−3
16
4
1 + 9π2 − 1 + 3
38 2−3
第二题：（40 分）
（10 分）
很多跑酷爱好者热衷于做出一些十分酷炫的操作，我们经常见到一些跑酷爱好者可以在两面平行墙面 之间来回跳跃，让自己可以攀上墙壁。现在我们假设可以将人视为一个质点，每次质点和墙面接触的时候 墙面给质点的冲量最大是I0 = 0，你可以理解为人的腿蹬墙面的力是有限制的，其中 m 是质点的质量。 两个墙面之间的距离为 L，墙足够高且人不会累，求：
如上图所示，空间中有竖直向上的电场，电场强度为 E = E0
质量为 m，参量之间有关系E0
，问：
（1）电荷平衡位置的高度。（5 分）
，地面上有一点电荷，电荷量为Q0，
（2）现在我们人为使得点电荷的电荷量加上一随时间高频变化的项 Q = Q0 + Δ th
置（ω ≫
kQ）。（35 分）
m
，求此时的平衡位
第 2页
（1）我们先认为墙壁与质点之间的滑动摩擦系数是无穷大，请问v0满足什么条件，人才能蹬上墙壁？ （30 分）
（2）当v0取上一问临界值的时候，我们要求墙壁与质点之间的滑动摩擦系数最少多大？ （10 分）
解： （1）由于墙壁足够高，故我们认为人的不同次跳跃应该是完全相同的，即人做的是周期运动，设人蹬出 去之后在墙壁之间水平方向的运动速度是Vx，则在墙壁之间运动的时间为VLx，这段时间中重力对人的冲量
E0 − 0
Δ2 0+2 2 =
（分析 5 分） （5 分）
1
y0 =
0−
Δ2
0+2 2
（5 分）
第 6页
第五题：（40 分）
上图是我们要分析的电路，其中除了常规的电源，电阻之外，菱形，中间有一横线的元件是受控电流 源，它的作用是提供一个电流，这个电流的大小是受到左上角电阻上电流的控制的，如果左上角电阻上的 电流为i1，那么受控源的电流大小为ai1，方向如上图所示。我们将上图中的网络视为一个双口网络，两个 口就是左下与右下伸出的两根线，由戴维宁定理，一个双口网络可以视为一个电源串联上一个电阻，其中 电源电压就是开路电压。我们将电路中的非受控源全部短路，保留受控源，在两个接口上加上 U 的电压，
2020 年 物理竞赛全国复赛模拟考试（二）
学号：
第一题：(40 分)
姓名：
学校：
（考试时间：180 分钟，满分：320 分）
得分：
如上图所示，一实心匀质半圆筒在光滑地面上滑动，半径为 R 质心在圆心正下方，速度大小为V0，方 向如上图所示。在某一位置开始，地面与半圆筒之间的滑动摩擦系数突然变为μ =+ ∞，问： （1）求出半圆筒质心位置。（10 分） （2）当半圆筒达到滑动摩擦系数为正无穷位置后，半圆筒相对地面运动瞬间从滑动变为无滑滚动，问当V0 满足什么条件，半圆筒才能翻倒，也就是可以让平的一面与地面接触。（30 分）