(附加15套模拟试卷)江西省九江市2020届高三第一次高考模拟统一考试(数学理)试题及答案

江西省九江市2020届高三第一次高考模拟统一考试（数学理）试题及答案数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟． 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集U R =，集合[)2,5A =，()()U ,12,B =-∞+∞ð，则AB =（ ）A ．()2,5 B ．()1,2 C ．{}2 D ．∅2、设复数21iz i -=+，则z 的共轭复数为（ ）A ．1322i -B ．1322i + C ．13i - D ．13i + 3、已知3tan 5α=-，则sin 2α=（ ）A ．1517B ．1517-C ．817-D ．8174、已知随机变量X 服从正态分布()5,4N ，且()()4k k P X >=P X <-，则k 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95、已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（ϕπ<）的图象向左平移6π个单位后得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ϕ的值为（ ）A ．23π-B ．3π-C ．3πD ．23π6、在如下程序框图中，输入()()0sin 21f x x =+，若输出的()i f x 是()82sin 21x +，则程序框图中的判断框应填入（ ）A ．6i ≤B ．7i ≤C ．8i ≤D ．9i ≤7、已知抛物线的方程为22y px =（0p >），过抛物线上一点()p M 和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则F :F N M =（ ）A． B． C ．1:2 D ．1:3 8、若实数x ，y 满足31x y -≤≤，则2x yz x y +=+的最小值为（ ）A ．53B ．2C ．35D ．129、如图，格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）A．6+ B．8+ C．6+ D．6+10、已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，点1F ，2F分别为双曲线的左、右焦点，M 为12FF ∆P 的内心，若12F F 8S S ∆PM ∆PM =+，则12F F ∆M 的面积为（ ）A． B ．10 C ．8 D ．611、平面α截球O 的球面得圆M ，过圆心M 的平面β与α的夹角为6π，且平面β截球O 的球面得圆N ．已知球O 的半径为5，圆M 的面积为9π，则圆N 的半径为（ ）A ．3 BC ．4 D12、已知定义在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()811f x x =--，且对任意的实数122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦（n +∈N ，且2n ≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．[]2,10 B． C ．()2,10 D．第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、()()6212x x +-的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答）14、已知直线1y x =-+是函数()1xf x e a =-⋅的切线，则实数a = ．15、等差数列{}n a 中，112015a =，1m a n =，1n a m =（m n ≠），则数列{}n a 的公差为 ．16、如图，在C ∆AB 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，a =S 为C ∆AB 的面积，圆O 是C ∆AB 的外接圆，P 是圆O上一动点，当cos C S +B 取得最大值时，PA⋅PB 的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11n n S a a =-．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18、（本小题满分12分）如图所示，在长方体CD C D ''''AB -A B 中，D λλ'AB =A =AA （0λ>），E 、F 分别是C ''A 和D A 的中点，且F E ⊥平面CD ''A B ．()1求λ的值；()2求二面角C '-A B-E 的余弦值．19、（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计302050()1能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ ()2经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．()3现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ． 附表及公式()2k k P ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d -K =++++．20、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为()F 1,0，A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且D ∆A B ．()1求椭圆C 的方程；()2是否存在一定点()0,0x E （00x <<，使得当过点E 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点时，2211+EAEB为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分12分）设函数()ln ab x f x x =，()()12g x x a b =-++（其中e 为自然对数的底数，a ，R b ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1y ae x =-． ()1求b 的值；()2若对任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，D CD A ⊥交O 于点E ，连接C A 、C B 、C O 、C E ，延长AB交CD 于F ．()1证明：C C B =E ； ()2证明：CFC ∆B ∆EA ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin 1sin θρθ=-．()1写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；()2若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值，并求出P 点的坐标．24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x a=---．()1当2a =时，解不等式()12f x ≤-；()2若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．九江市2015年第一次高考模拟统一考试 数 学（理科） 参考答案及评分标准一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.解：[1,2]B =，{2}A B ∴=，故选C.2.解：2(2)(1)131222i i i z i i +++===+-，故选B.3.解：222232()2sin cos 2tan 155sin 2=3sin cos tan 117()15ααααααα⨯-===-++-+，故选B.4.解：(4)52k k-+= 7k ∴= 故选B.5.解：由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++ 又2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++2+=233k ππϕπ∴+即=23k πϕπ+，k Z ∈ϕπ<=3πϕ∴ 故选C.6.解：1i =时，1()2cos(21)f x x =+；2i =时，22()2sin(21)f x x =-+；3i =时，33()2cos(21)f x x =-+；4i =时，44()2sin(21)f x x =+；…；8i =时，88()2sin(21)f x x=+，结束，故选B.7.解：:)2pl y x =-联立方程组22)2y p y x p x ⎧⎪⎨=-=⎪⎩，得(,)4p N p 3424p p NF p ∴=+=，322p MF p p ∴=+= :1:2NF FM ∴=，故选C.8.解：依题意，得实数,x y 满足303001x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩其中(3,0)A ，(2,1)C2151[,2]311yx z y y x x +==+∈++，故选A.9.解：直观图如图所示四棱锥P ABCD -12222PAB PAD PDC S S S ∆∆∆===⨯⨯=PA BCD1sin602PBCS∆=⨯=2ABCDS==四边形故此棱锥的表面积为，故选A.10.解：设内切圆的半径为R，4,3,5a b c===128PMF PMFS S∆∆=+121)82PF PF R∴-=(即8aR=2R∴=1212102MF FS c R∆∴=⋅⋅=，故选B.11.解：如图，5OA=，3AM=4OM∴=又3NMOπ∠=sin3ON OMπ∴=⋅=又5OB=NB∴==，故选B.12.解：如图所示，易得1a>依题意得log44log102aa<⎧⎨>⎩，a<<，故选D.二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.解：2x的系数为1512426622(1)2(1)144C C⨯⨯-+⨯⨯-=-.14.解设切点为00(,)x y，则1()1xf x ea'=-⋅=-，0x e a∴=，又11xe xa-⋅=-+，02x∴=2a e∴= 15.解：11(1)2015ma m dn=+-=，11(1)2015na n dm=+-=11()m n dn m∴-=-1dmn∴=111(1)2015ma mmn n∴=+-=解得112015mn=，即12015d=.16.解：222a b c bc=++2221cos22b c aAbc+-∴==-23Aπ∴=设圆O的半径为R，则22sinaRA===1R∴=1cos sin cos2S B C bc A B C∴+=+=+sin cos)B C B C B C=+=-当6B Cπ==时，cosS B C+取得最大值建立如图直角坐标系，则(0,1)A，1()2B，1)2C，设(cos,sin)Pθθ，则Ayy1(cos ,sin 1)(cos )2PA PB θθθθ⋅=-+-333sin )2223πθθθ=-+=+当且仅当cos()13πθ+=时，PA PB ⋅取最大值32.三、解答题本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解（1）当1n =时，()21111111a S a a a a ==-=-10a ≠ 12a ∴=………2分当2n ≥时，1(1)n n S a a =-………① 111(1)n n S a a --=-………②①-②得()11122n n n n n a a a a a a --=-=- 12n n a a -∴=………4分∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 2nn a ∴=………6分(2)2n n nb =………7分1231123122222n n n n n T --∴=+++++ 234111231222222nn n n nT +-=+++++两式相减得23411111(1)1111112221122222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++++-=-=--…11分222n n n T +∴=-………12分18.解：以D 为原点，DA 、DC 、DD '为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 设2AA AD '==，则=2AB λ则(0,0,0)D ，(2,02)A ',，(002)D ',,，(2,2,0)B λ，(0,20)C λ,，(1,,2)E λ，(100)F ,, ……2分(1)由已知可得(0,,2)EF λ=--，(2,0,0)D A ''=，(0,22)A B λ'=-,………3分EF D A ''⊥,EF A B'⊥ 0EF D A ''∴⋅=，0EF A B '⋅=………4分即2240λ-+= λ∴5分(2)设平面EA B '的法向量为(1,,)m y z =，则00m A B m A E ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩(0,2)A B '=- (A E '=-2010z ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩ y∴=，1z =2(1,m ∴=………7分由（1）可得EF 为平面A BC '的法向量，且(0,2)EF =- (9)分zcos,m EFm EFm EF⋅∴<>====⋅………11分又二面角C A B E-'-为锐二面角∴二面角C A B E-'-12分19.解(1)由表中数据得2K的观测值()2250221288505.556 5.024302030209K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯………2分所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关………3分(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y、分钟，则基本事件满足的区域为5768xy≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示) ………4分设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x y>………5分∴由几何概型11112()228P A⨯⨯==⨯即乙比甲先解答完的概率为18………7分(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C=种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C=种；恰有一人被抽到有1126=12C C⋅种；两人都被抽到有221C=种………8分X∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X==，123(1)287P X===，1(2)28P X==X的分布列为：………11分1512110+1+22828282EX∴=⨯⨯⨯=………12分yx11O设过点E的直线方程为x ty =+，代入C 中得224(2)03t y ++-=，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则12y y +==12243(2)y y t =-+………9分21212222222222222121212()211111111()(1)(1)11y y y y t y t y t y y t y y EM EN +-+=+=⋅+=⋅++++222228[13(2)341[]3(2)t t t ++=⋅=+-+综上得定点为E ，定值为3………12分21.解：(1)由ln ()ab x f x x =，得2(1ln )()ab x f x x -'=………1分由题意得(1)f ab ae '==………2分0a ≠ b e ∴=………3分(2)令21()(()())()ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++，则任意1[,)x e ∈+∞，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1[,)e +∞有且只有两个零点.由21()()ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()x a x e h x x --'=………5分①当1a e ≤时，由()>0h x '得x e >；由()0h x '<得1x ee <<.此时()h x 在1(,)e e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增. 2211()()ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<，242221112()()2(2)(2)(2)()0222h e e a e e ae e e e a e e e e =-++=--≥-->（或当x →+∞时，()0h x >亦可）∴要使得()h x 在1[,)e +∞上有且只有两个零点，则只需2111()ln 2a e h ae e e e e +=-+222(12)2(1)02e e e a e --+=≥，即22122(1+)e a e e -≤ ………7分②当1a e e <<时，由()>0h x '得1x ae <<或x e >；由()0h x '<得a x e <<.此时()h x 在(,)a e 上单调递减，在1(,)a e 和()e +∞，上单调递增. 此时222111()ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<∴此时()h x 在1[,)e +∞至多只有一个零点，不合题意………9分③当a e >时，由()0h x '>得1x e e <<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，此时()h x 在1(,)e e 和()a +∞，上单调递增，在(,)e a 上单调递减，且21()02h e e =-<，∴()h x 在1[,)e +∞至多只有一个零点，不合题意………11分综上所述，a 的取值范围为2212(,]2(1+)e e e --∞………12分 22.证明：(1)CD 为圆O 的切线，C 为切点， AB 为圆O 的直径 OC CD ∴⊥………1分又AD CD ⊥ OC AD ∴// OCA CAE ∴∠=∠………3分 又OC OA = OAC OCA ∴∠=∠ OAC CAE ∴∠=∠BC CE ∴=………5分(2)由弦切角定理可知，FCB OAC ∠=∠ =FCB CAE ∴∠∠四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 180ABC CEA ∴∠+∠=………8分F又+=180ABC FBC ∠∠ FBC CEA ∴∠=∠ BCF EAC ∴∆∆∽………10分23.解(1)由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得1x y -=………1分 ∴直线的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=(cos cossin sin )144ππθθ-=cos()14πθ+=………3分2sin 1sin θρθ=- 2sin cos θρθ∴= 2cos sin ρθθ∴= 2(cos )sin ρθρθ∴=即曲线C 的普通方程为2y x =………5分(2)设00(,)P x y ，200y x =P ∴到直线的距离d………8分∴当012x =时，min d = ∴此时11()24P ，∴当P 点为11(,)24时，P ………10分24.解(1)2a =1(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩………1分1()2f x ∴≤-等价于2112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩………3分 解得1134x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为11{|}4x x ≥………5分 (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----………8分∴若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得32a ≤∴实数a 的取值范围是3(,]2-∞………10分高考模拟数学试卷说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。