高一数学必修2《圆与方程》同步练习
高一数学新课标人教版必修2第四章 圆与方程练习题含答案解析 双基限时练28
双基限时练(二十八)1．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为() A．0或2B．2C. 2 D．无解解析依题意得|m|2＝m，∴m2＝2m，∵m>0，∴m＝2.答案B2．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为()A．2 2 B.2－1C．22－1 D．1解析圆心(－2,1)到直线y＝x－1的距离是d＝|－2－1－1|2＝2 2.∴直线上的点到圆的最近距离是22－1.答案C3．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能解析由题意可得1a2＋b2<1，∴a2＋b2>1.∴点P(a，b)在圆外．答案B4．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a 的值为()A．±4 B．±22C ．±2D ．±2解析 直线方程为y －a ＝x ，即x －y ＋a ＝0.该直线与圆x 2＋y 2＝2相切，∴|a |2＝2，∴a ＝±2. 答案 C5．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交不过圆心解析 将圆的方程配方得(x －1)2＋(y －12)2＝34.圆心(1，12)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|3×1＋4×12－5|32＋42＝0. ∴直线与圆相交且通过圆心．答案 C6．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝_________________ _______________________________________________________.解析 当直线l 与过圆心(2,0)和点(1，2)的直线垂直时，直线l截得的劣弧最短，此时其对的圆心角最小，可求得k ＝22.答案 227．若直线y ＝x ＋k 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则k 的取值范围是__________．答案 k ＝－2，或k ∈(－1,1]8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析 由题意知，若圆上有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13， ∴0≤|c |13<1，即0≤|c |<13.解得－13<c <13.答案 (－13,13)9．求与直线y ＝x ＋3平行且与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相切的直线方程．解 解法1：设直线的方程为y ＝x ＋m ，即x －y ＋m ＝0.圆(x －2)2＋(y －3)2＝8的圆心坐标为(2,3)，半径为2 2.由|2－3＋m |2＝22，得m ＝5，或m ＝－3. 所以直线方程为y ＝x ＋5，或y ＝x －3.解法2：设直线的方程为y ＝x ＋m ，和圆的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，(x －2)2＋(y －3)2＝8， 消去y ，得2x 2＋(2m －10)x ＋m 2－6m ＋5＝0.由直线与圆相切，Δ＝(2m －10)2－8(m 2－6m ＋5)＝0，即m 2－2m －15＝0，解得m ＝5，或m ＝－3，所以直线的方程为y ＝x ＋5，或y ＝x －3.10．在直线x －y ＋22＝0上求一点P ，使P 到圆x 2＋y 2＝1的切线长最短，并求出此时切线的长．解 设P (x 0，y 0)，则切线长S ＝x 20＋y 20－1＝x 20＋(x 0＋22)2－1＝2(x 0＋2)2＋3，故当P 为(－2，2)时，切线长最短，其值为 3.11．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知可知，直线x ＋2y ＝0过圆心，∵a ＋2b ＝0①又点A 在圆上，∴(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.② ∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为2 2.∴(2)2＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －b ＋112＋(－1)2＝r 2.③ 解由①②③组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.故所求方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.12．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点；(2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程．解 (1)证法1：由已知可得直线l ：(x －1)m －y ＋1＝0， ∴直线l 恒过定点P (1,1)．又∵12＋(1－1)2＝1<5，∴点P 在圆内．∴对m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点．证法2：圆心C (0,1)，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－1＋1－m |m 2＋1＝|m |m 2＋1<|m ||m |＝1<5，∴直线l 与圆C 相交．∴对m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点．(2)解法1：如图所示，由(1)知直线l 恒过定点P (1,1)，而M 是AB 的中点，∴CM ⊥MP .∴点M 在以CP 为直径的圆上，以CP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14. 即点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14. 解法2：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 21＋(y 1－1)2＝5，x 22＋(y 2－1)2＝5.二式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－(y 1＋y 2－2)(y 1－y 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－(y 1＋y 2－2)＝2x －(2y －2)＝x 1－y. 而直线l 恒过点P (1,1)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －1， ∴y －1x －1＝x 1－y，即x 2－x ＋(y －1)2＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14， ∴点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14.。
高一数学人教A版必修2课后训练：4.1.2 圆的一般方程 Word版含解析
课后训练1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是()A．以(1，－2)B．以(1,2)为半径的圆C．以(－1，－2)D．以(－1,2)2．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝03．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆()A．关于直线y＝x对称B．关于直线x＋y＝0对称C．其圆心在x轴上，且过原点D．其圆心在y轴上，且过原点4．圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0关于原点对称的圆的方程是()A．x2＋y2＋2x＋4y－4＝0B．x2＋y2－2x＋4y－4＝0C．x2＋y2－2x－4y－4＝0D．x2＋y2＋2x－4y＋4＝05．要使圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧，则有() A．D＝0，F＝0 B．F＞0C．D≠0，F≠0 D．F＜06．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线的中点Q的轨迹方程是________．7．圆心在y＝－x上且过两点(2,0)，(0，－4)的圆的一般方程为________．8．已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，直线l：3x－4y＋k＝0，圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，则k的值为__________．9．已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．10．求经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．参考答案1答案：D2答案：C3答案：B4答案：B5答案：D6答案：x2＋y2－3x－y＋2＝07答案：x2＋y2－6x＋6y＋8＝08答案：3或－79答案：点C的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m为半径的圆，除去(－3a＋2m,0)和(－3a －2m,0)两点.10答案：所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.。
高中数学_必修二_圆与方程_经典例题 整理
习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x(C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x二、位置关系问题例2 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=四、弦长问题例4设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .五、夹角问题例5 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21 (B)53 (C)23 (D) 0六、圆心角问题例6 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .七、最值问题例7 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25八、综合问题例8 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2E D --)，半径为r ＝2422F E D -+ 2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A CBb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切；｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切；０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含.●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2 2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜1313.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b <r 时，圆与x 轴相交●典例剖析【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =02.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy 的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.“求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。
高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解
第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋5 5－5典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)， 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.[题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义；②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围． 针对训练若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ， 则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根．故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫2552， 解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32， 则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2012·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7B ．2 2C ．3D. 2解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜ 3.答案：(－3， 3)5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．典题导入[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能[自主解答] 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， 所以点P (3,0)在圆内．故过点P 的直线l 定与圆C 相交． [答案] A本例中若直线l 为“x －y ＋4＝0”问题不变． 解：∵圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心(2,0)，r ＝2. 又圆心到直线的距离为d ＝62＝32＞2. ∴l 与C 相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1.故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k2≤1，解得－33≤k ≤ 33.典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝2×100－68＝8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[尝试解题]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为__________________．解析：显然x＝2为所求切线之一．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝02．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________． 解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； 当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0， 即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3.3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1， 所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝ 12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx－2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k.1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值； (3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2. (3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．2．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知，问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43. 答案：43 3．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案：1或1774．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 2的半径为r 2，∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 因为圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为 |r 22－12|42＝ 4－⎝⎛⎭⎫2222＝2， 解得r 22＝4或r 22＝20.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
2020高中数学必修2同步练习：4.1.1 圆的标准方程含解析
4.1.1 圆的标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.已知圆C:(x-3)2+(y+√3)2=16,则圆心C的坐标和半径分别为()A.(3,−√3),16B.(3,−√3),4C.(-3,√3),4D.(−3,−√3),42.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)()A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,所以点P在圆内3.圆心坐标为(0,4),且经过点(3,0)的圆的方程为()A.x2+(y-4)2=25B.x2+(y+4)2=25C.(x-4)2+y2=25D.(x+4)2+y2=25r=√(0-3)2+(4-0)2=5,则圆的方程为x2+(y-4)2=25.4.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是()A.x2+y2=2B.x2+y2=√2C.x2+y2=1D.x2+y2=4A,B的中点为圆心,则圆心的坐标为(0,0).又|AB|=√(1+1)2+(-1-1)2=2√2,所以半径r=√2.故圆的方程为x2+y2=2.5.圆C:(x−√2)2+(y+√3)2=4的面积等于()A.πB.2πC.4πD.8πr=√4=2,则面积S=πr2=4π.6.若直线y=ax+b通过第一、第二、第四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限-a,-b)为圆的圆心,由直线经过第一、第二、第四象限,得到a<0,b>0,即-a>0,-b<0,再由各象限内点的坐标的性质得解.7.圆C:(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C到直线4x+3y-1=0的距离等于.C(-4,3),则所求的距离d=√22=85.8.已知圆C:x2+y2=1,则圆上的点到点(3,4)距离的最大值为.C的方程为x2+y2=1,所以圆心坐标为(0,0),半径r=1.又圆心(0,0)到点(3,4)的距离为√32+42=5,所以圆上的点到点(3,4)的距离的最大值为5+1=6.9.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,1),B(1,4),C(5,1),求它的外接圆的方程.△ABC 外接圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),则{(1-a )2+(1-b )2=r 2,(1-a )2+(4-b )2=r 2,(5-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =3,b =2.5,r =2.5.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2.5)2=6.25.AB 的垂直平分线的方程为y=2.5,线段AC 的垂直平分线的方程为x=3,则圆心坐标为(3,2.5),半径r =√(1-3)2+(1-2.5)2=2.5,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2.5)2=6.25.二、能力提升1.经过圆(x-2)2+(y+3)2=13和(x-3)2+y 2=9的圆心的直线方程是( )A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=02.若圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k 的值是( )A.2B.-2C.1D.-1,过圆心的直线都是它的对称轴,所以直线y=kx+3过圆心(1,1),即1=k+3,所以k=-2.★3.在平面直角坐标系xOy 中,动点P 的坐标满足方程(x-1)2+(y-3)2=4,则点P 的轨迹经过( )A.第一、第二象限B.第二、第三象限C.第三、第四象限D.第一、第四象限4.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2−5=10−5=5.5.若圆C 与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C 的标准方程是 .(x+2)2+(y-1)2=1的圆心为M (-2,1),半径r=1,则点M 关于原点的对称点为C (2,-1),圆C 的半径也为1,则圆C 的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1.x-2)2+(y+1)2=16.若点P (-1,√3)在圆x 2+y 2=m 上,点Q(x0,y0)在圆x 2+y 2=m 内,则d =√x 02+y 02的取值范围为____________.P (-1,√3)在圆x 2+y 2=m 上,所以12+(√3)2=m,解得m=4.又因为点Q (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=m 内,所以x 02+y 02<4.故0≤d =√x 02+y 02<2.7.求经过点A (1,-1),B (-1,1),且圆心C 在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.AB 的垂直平分线的方程是x-y=0,解方程组{x -y =0,x +y -2=0,得{x =1,y =1,即圆心C (1,1),则半径r=|AC|=2.所以圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=4.★8.已知A (0,1),B (2,1),C (3,4),D (-1,2),问这四点能否在同一个圆上?为什么?.理由如下:设经过A ,B ,C 三点的圆的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,则{a 2+(1-b )2=r 2,(2-a )2+(1-b )2=r 2,(3-a )2+(4-b )2=r 2,解此方程组,得{a =1,b =3,r 2=5.所以经过A ,B ,C 三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5.把点D 的坐标(-1,2)代入上面圆的方程的左边,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以点D 在经过A ,B ,C 三点的圆上,所以A ,B ,C ,D 四点在同一个圆上,且圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5。
21人教版高中a版数学同步必修2 第四章 圆与方程达标检测(可编辑word)
本章达标检测一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知圆C的圆心为(2,-1),半径长是方程(x+1)(x-4)=0的根,则圆C的标准方程为( )A.(x+1)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y-1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=16D.(x+2)2+(y-1)2=162.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为√2的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.若将直线3x-y+c=0向右平移1个单位再向下平移1个单位,平移后的直线与圆x2+y2=10相切,则c的值为( )A.14或-6B.12或-8C.8或-12D.6或-144.经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积是( )A.πB.2πC.3πD.4π5.空间直角坐标系中,点A(3,4,0)和点B(1,y,5)的距离为3√5,则y的值为( )A.0B.8C.0或8D.-8或06.若圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程是( )A.x+y-1=0B.2x-y+1=0C.x-2y+1=0D.x-y+1=07.若过点A(3,0)的直线l与曲线(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为( )A.(-√3,√3)B.[-√3,√3]C.(-√33,√33)D.[-√33,√33]8.已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为( )A.√6或-√6B.√5或-√5C.√6D.√59.直线l:kx-y+k+1=0与圆x2+y2=8交于A,B两点,且|AB|=4√2,过点A,B分别作l 的垂线与y轴分别交于点M,N,则|MN|等于( )A.2√2B.4C.4√2D.810.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2√3,则直线l的方程为( )A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=011.已知圆x2+y2=4上有且仅有两个点到直线12x-5y+m=0的距离为1,则实数m的取值范围是( )A.(13,39)∪(-39,-13)B.(-∞,-13)∪(13,+∞)C.(13,+∞)D.(-∞,-13)12.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4√2=0相切.点P在直线x=8上,过点P 引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的定点的坐标为( )A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若点P(x,y)满足x2+y2=16,则x-y的最大值为.14.已知圆C:x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为.15.在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0对称的点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是.16.若A为圆C1:x2+y2=1上的动点,B为圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4上的动点,则线段AB 长度的最大值是.三、解答题(本题共6小题,共70分)17.(10分)已知圆C过点P(2,1),圆心为C(5,-3).(1)求圆C的标准方程;(2)如果过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C没有公共点,求实数k的取值范围.18.(12分)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且圆心C在直线x+y-1=0上.(1)求圆C的方程;(2)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.19.(12分)已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l和x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).(1)求证:直线l与曲线C相切的条件是(a-2)(b-2)=2;(2)求线段AB中点的轨迹方程.20.(12分)已知圆M:x2+y2=1.(1)求过点(-1,-2)的圆M的切线方程;(2)设圆M与x轴相交于A,B两点,点P为圆M上异于A,B的任意一点,直线PA,PB 分别与直线x=3交于C,D两点.(i)当点P的坐标为(0,1)时,求以线段CD为直径的圆的圆心坐标及半径长; (ii)当点P在圆M上运动时,以线段CD为直径的圆C2被x轴截得的弦长是不是定值?请说明理由.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2√3,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.22.(12分)在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(2,0),动点M(x,y)满足|MA||MB|=12,设动点M的轨迹为曲线C.(1)求动点M的轨迹方程,并说明曲线C是什么图形;(2)过点(1,2)的直线l与曲线C交于E,F两点,若|EF|=4√55,求直线l的方程; (3)设P是直线x+y+8=0上的点,过P点作曲线C的切线PG,PH,切点分别为G,H,设C'(-2,0),求证:过G,P,C'三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.答案全解全析 基础过关练一、选择题1.C 根据圆C 的半径长是方程(x+1)(x-4)=0的根,可得半径长为4,故要求的圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=16.2.C 易得圆心坐标为(-1,-2),半径长r=12√4+16+12=2√2,又圆心到直线x+y+1=0的距离d=√2=√2,∴过圆心且平行于直线x+y+1=0的直线与圆有2个交点,另一条与直线x+y+1=0的距离为√2的平行线与圆相切,只有1个交点,∴共有3个点.3.A 将直线3x-y+c=0即y=3x+c 向右平移1个单位再向下平移1个单位,平移后的直线方程为y=3(x-1)+c-1,即3x-y+c-4=0.由直线3x-y+c-4=0与圆x 2+y 2=10相切,得√32+(-1)=√10,即|c-4|=10,所以c=14或c=-6.4.D 由题意可知,线段AB 的中垂线l 1的方程为x=1,线段AC 的中点坐标为(0,1),直线AC 的方程为y=x+1,从而线段AC 的中垂线l 2的方程为x+y-1=0,联立l 1与l 2的方程可得圆心坐标为Q(1,0),从而半径长r=|QB|=√(1-3)2+(0-0)2=2,所以圆的面积S=πr 2=4π.故选D.5.C 由两点间的距离公式得|AB|=√(3-1)2+(4-y )2+(0-5)2=3√5,解得y=0或y=8.6.A 将圆的方程x 2+y 2-2x-5=0,x 2+y 2+2x-4y-4=0化为(x-1)2+y 2=6,(x+1)2+(y-2)2=9.设两圆圆心分别为C 1(1,0),C 2(-1,2).线段AB 的垂直平分线必经过C 1,C 2,所以直线C 1C 2为线段AB 的垂直平分线,直线C 1C 2的方程为x+y-1=0.7.D 作图如下,易知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则圆心(1,0)与直线kx-y-3k=0的距离应小于等于半径长1,即√1+k2≤1,解得-√33≤k≤√33.8.B 由题意知,O 到直线AB 的距离为1,由点到直线的距离公式可得√12+(-2)=1,所以a=±√5.9.D 因为圆x 2+y 2=8,所以半径长r=2√2,因为|AB|=4√2=2r,所以AB 为圆x 2+y 2=8的一条直径.所以直线AB 过圆心(0,0),所以k=-1,则直线l 的方程为y=-x,所以两条垂线的斜率均为1,倾斜角为45°, 结合图象(图略)易知|MN|=2×√2×2√2=8.10.B 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=0,联立得{x =0,x 2+y 2-2x -2y -2=0,解得{x =0,y =1-√3或{x =0,y =1+√3,∴|AB|=2√3,符合题意.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+3,∵圆x 2+y 2-2x-2y-2=0即(x-1)2+(y-1)2=4,∴圆心为C(1,1),圆的半径长r=2,易知圆心C(1,1)到直线y=kx+3的距离d=√k 2+1=√k 2+1,∵d 2+(|AB |2)2=r 2,∴(k+2)2k 2+1+3=4,解得k=-34,∴直线l 的方程为y=-34x+3,即3x+4y-12=0.综上,直线l 的方程为3x+4y-12=0或x=0.11.A 由题意得,圆心到直线的距离d 满足1<d<3,即1<|m |13<3,解得13<m<39或-39<m<-13.故选A.12.A 依题意得圆C 的半径长r=√2√12+12=4,所以圆C 的方程为x 2+y 2=16.因为PA,PB 是圆C 的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B 在以OP 为直径的圆上,设点P 的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP 的中点坐标为(4,b2),所以以OP 为直径的圆的方程为(x-4)2+(y -b 2)2=42+(b 2)2,b∈R,化简得x 2+y 2-8x-by=0,b∈R,因为AB 为两圆的公共弦,所以直线AB 的方程为8x+by=16,b∈R,即8(x-2)+by=0.所以直线AB 恒过定点(2,0).二、填空题13.答案 4√2解析 令x-y=t,则y=x-t,将其代入x 2+y 2=16得2x 2-2tx+t 2-16=0,所以Δ=4t 2-8(t 2-16)≥0,所以t 2≤32,所以t 的最大值为4√2,即x-y 的最大值为4√2. 14.答案 (0,-1)解析 圆C 的方程可化为(x +k 2)2+(y+1)2=-34k 2+1.所以当k=0时,圆C 的面积最大,此时C 的坐标为(0,-1). 15.答案 [√2-1,√2+1]解析 C 2关于直线x-y=0对称的圆为圆C:(x-1)2+(y-2)2=1,由题意知,圆C 与圆C 1有交点,所以r-1≤√2≤r+1,所以r 的取值范围是[√2-1,√2+1]. 16.答案 8解析 圆C 1:x 2+y 2=1的圆心为C 1(0,0),半径长r 1=1,圆C 2:(x-3)2+(y+4)2=4的圆心为C 2(3,-4),半径长r 2=2, ∴|C 1C 2|=5.又A 为圆C 1上的动点,B 为圆C 2上的动点, ∴线段AB 长度的最大值是|C 1C 2|+r 1+r 2=5+1+2=8.三、解答题17.解析 (1)由已知可得圆的半径长为|PC|=√(5-2)2+(-3-1)2=5.∴圆C 的标准方程为(x-5)2+(y+3)2=25.(2)由题意可知,直线方程为y=kx+1,即kx-y+1=0. 由√k 2+1>5,解得k>940.∴实数k 的取值范围是(940,+∞). 18.解析 (1)∵P(4,-2),Q(-1,3),∴线段PQ 的中点M 的坐标为(32,12),斜率k PQ =-1,则线段PQ 的垂直平分线的方程为y-12=1×(x -32),即x-y-1=0.解方程组{x -y -1=0,x +y -1=0得{x =1,y =0,∴圆心C(1,0),半径长r=√(4-1)2+(-2-0)2=√13.故圆C 的方程为(x-1)2+y 2=13.(2)由l∥PQ,设l 的方程为y=-x+m.代入圆C 的方程,得2x 2-2(m+1)x+m 2-12=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=m+1,x 1x 2=m 22-6.故y 1y 2=(m-x 1)(m-x 2)=m 2+x 1x 2-m(x 1+x 2), 依题意知OA⊥OB,∴y 1x 1·y2x 2=-1,即x 1x 2+y 1y 2=0,于是m 2+2x 1x 2-m(x 1+x 2)=0,即m 2-m-12=0.∴m=4或m=-3,经检验,都满足Δ>0. 故直线l 的方程为y=-x+4或y=-x-3.19.解析 (1)证明:设l 的方程为x a +yb =1(a>2,b>2),化为一般式方程为bx+ay-ab=0.圆C 的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1. 因为l 与圆C 相切,所以√a 2+b 2=1,即ab(ab+2-2a-2b)=0,又a>2,b>2,所以ab≠0,所以ab+2-2a-2b=0.所以(a-2)(b-2)=2. (2)设AB 的中点为M(x,y). 由题意得{x =a+02,y =0+b 2,即{a =2x ,b =2y ,代入(a-2)(b-2)=2,得(2x-2)(2y-2)=2 . 又a=2x>2,b=2y>2,所以AB 中点的轨迹方程为(x-1)(y-1)=12(x>1,y>1).20.解析 (1)因为点(-1,-2)在圆M 外,所以圆M 过点(-1,-2)的切线有两条. 当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-1,满足条件.当直线的斜率存在时,可设为y+2=k(x+1),即kx-y+k-2=0. 由圆心到切线的距离d=√k 2+1=1,解得k=34.此时切线方程为3x-4y-5=0.综上,圆M 的切线方程为x+1=0或3x-4y-5=0.(2)因为圆M 与x 轴相交于A,B 两点,所以不妨设A(-1,0),B(1,0).(i)当点P 的坐标为(0,1)时,直线PA 的斜率为k PA =1,直线PA 的方程为y=x+1. 直线PA 与直线x=3的交点坐标为C(3,4),同理,直线PB 的斜率为k PB =-1,直线PB 的方程为y=-x+1.直线PB 与直线x=3的交点坐标为D(3,-2).所以以线段CD 为直径的圆的圆心为(3,1),半径长为3. (ii)以线段CD 为直径的圆C 2被x 轴截得的弦长为定值4√2.设点P(x 0,y 0)(y 0≠0),则x 02+y 02=1.直线PA 的斜率为k PA =y 0x 0+1,直线PA 的方程为y=y 0x 0+1(x+1). 直线PA 与直线x=3的交点坐标为C (3,4y 0x 0+1). 同理,直线PB 的斜率为k PB =y 0x 0-1,直线PB 的方程为y=y 0x 0-1(x-1). 直线PB 与直线x=3的交点坐标为D (3,2y 0x 0-1). 所以所求圆的圆心为C 2(3,y 0(3x 0-1)x 02-1),半径长r=|y 0(x 0-3)x 02-1|.解法一:圆C 2被x 轴截得的弦长为2√|y 0(x 0-3)x 02-1|2-[y 0(3x 0-1)x 02-1]2=2√8y 02(1-x 02)(x 02-1)2=2√8(1-x 02)(1-x 02)(x 02-1)2=4√2.所以以线段CD 为直径的圆C 2被x 轴截得的弦长为定值4√2.解法二:圆C 2的方程为(x-3)2+[y -y 0(3x 0-1)x 02-1]2=[y 0(x 0-3)x 02-1]2. 令y=0,解得(x-3)2=[y 0(x 0-3)x 02-1]2-(-y 0(3x 0-1)x 02-1)2=8y 02(1-x 02)(x 02-1)2=8(1-x 02)(1-x 02)(x 02-1)2=8.所以x=3±2√2.所以圆C 2与x 轴的交点坐标分别为(3-2√2,0),(3+2√2,0).所以以线段CD 为直径的圆C 2被x 轴截得的弦长为定值4√2.21.解析 (1)由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,所以圆心C 1(-3,1)到直线l 的距离d=√k 2+(-1)=√4-(2√32)2=1,化简得24k 2+7k=0,解得k=0或k=-724. 所以直线l 的方程为y=0或y=-724(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P 的坐标为(m,n),不妨设直线l 1,l 2的方程分别为y-n=k'(x-m),y-n=-1k '(x-m),即k'x-y+n-k'm=0,-1k 'x-y+n+m k '=0.因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,两圆的半径长也相等,所以圆心C 1(-3,1)到直线l 1的距离与圆心C 2(4,5)到直线l 2的距离相等,即√k '+(-1)=|-4k '-5+n+m k '|√(-1k ')2+(-1),化简得(2-m-n)k'=m-n-3或(m-n+8)k'=m+n-5,关于k'的方程有无穷多解,则{2-m -n =0,m -n -3=0或{m -n +8=0,m +n -5=0, 解得{m =52,n =-12或{m =-32,n =132,故满足条件的点P 的坐标为(52,-12)或(-32,132).22.解析 (1)由题意得√(x+1)2+y 2√(x -2)+y 2=12,化简可得(x+2)2+y 2=4, 所以动点M 的轨迹方程为(x+2)2+y 2=4.曲线C 是以(-2,0)为圆心,2为半径长的圆.(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=1,不符合题意; ②当直线l 的斜率存在时,设l:y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0, 圆心C(-2,0)到l 的距离为d=√1+k 2. ∵|EF|=2√4-d 2=4√55, ∴d 2=165=(2-3k )21+k 2,即29k 2-60k+4=0,解得k 1=2,k 2=229, ∴l 的方程为2x-y=0或2x-29y+56=0.(3)证明:∵P 在直线x+y+8=0上,∴设P(m,-m-8).∵C'为曲线C 的圆心,由圆的切线的性质可得PG⊥GC',∴经过G,P,C'三点的圆是以线段PC'为直径的圆,则方程为(x+2)(x-m)+y(y+m+8)=0,整理可得x 2+y 2+2x+8y+m(-x-2+y)=0,令x 2+y 2+2x+8y=0,且-x-2+y=0,解得{x =-2,y =0或{x =-5,y =-3.则经过G,P,C'三点的圆必过定点,所有定点的坐标为(-2,0),(-5,-3).。
高中数学必修2：第四章-圆与方程测试(含解析)
第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案 C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案 A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为() A．1，－1 B．2，－2C ．1D ．－1解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案 D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0解析 ∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63. 故切线方程为y －6＝－63(x －2)． 即2x ＋6y －10＝0. 答案 D5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析 由题意可设所求的直线方程为y ＝－x ＋k ，则由|k |2＝1，得k ＝±2.由切点在第一象限知，k ＝ 2.故所求的直线方程y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.答案 A6．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．答案 A7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，∴直线与圆相交．答案 B8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．1解析两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案 B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案 A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案 B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析 设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512) B ．(512，＋∞) C ．(13，34]D ．(512，34] 解析 如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案 414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________． 解析 r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析 已知方程配方，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案 ②16．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于A ，B 两点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________．解析 圆心坐标(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线x －2y －3＝0的距离d ＝5，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h ＝35，所以△AOB 的面积为S ＝12×4×35＝655.答案 655三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如图所示，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解 如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2.化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值；(3)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．解 圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8. (1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4，故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2±3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5.消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎨⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径． 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴k ＝5±3 5.。
高中数学必修二第四章圆与方程专项练习题附答案 教师版
A. 1
B.
C. 2
D. 3
【答案】 B
【解析】【解答】切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,
圆心(3,0)到直线的距离为
t
晦
,
圆的半径为 1,故切线长的最小值为
故答案为：B
【分析】根据题意先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．
10.设直线 t
高中数学必修二第四章圆与方程专项练习题附答案
一、单选题（共 40 题；共 80 分）
1.圆
t
关于直线 t 䁜 晦 对称，则 䁜 的值是（ ）
A.
B.
【答案】B
C.
D.
【解析】【解答】解：因为圆
t
所以圆心(1,1)在直线 t 䁜 晦 上，得 䁜
故答案为：B.
关于直线 t 䁜 晦 对称，
晦
6.已知圆
t晦
，圆 晦 t
动点， 为 轴上的动点，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
【答案】 A
【解析】【解答】如图所示，两圆为内含关系，
t，
分别是圆 ， 上的 D.
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将 关于 轴对称为
′，
连结
′ 交圆于 ′ ， ，
交 轴于 ，连
交圆 于 ，
此时
最小，
最小值为 ′ ．
和圆 t t 相交或相切，
可得
，即
，
∵
∴解得
故实数 a 的取值范围是
。
故答案为：B
【分析】由题意可得，圆
t
和圆 t t 相交或相切，两圆圆心距大于等于两圆
高一数学人教A版必修二 习题 第四章 圆与方程 4.1.2 Word版含答案
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．圆＋－＋＋＝(＜)的周长等于( )．π．－π．－π．π解析：由已知得，圆的标准方程为(－)＋(＋)＝，∵＜，∴半径＝－，∴圆的周长为－π.答案：．如果方程＋＋＋＋＝(＋－＞)所表示的曲线关于直线＝对称，则必有( )．＝．＝．＝＝．＝解析：由已知＋－＞，可知方程＋＋＋＋＝表示的曲线为圆．若圆关于＝对称，则知该圆的圆心在直线＝上，则必有＝.答案：．已知圆的方程为＋－＋＋＝，那么该圆的一条直径所在直线的方程为( )．－＋＝．－－＝．＋－＝．＋＋＝解析：由已知得圆心(，－)，且圆心不在直线－＋＝－－＝＋－＝上，而在直线＋＋＝上，故该圆的一条直径所在直线的方程为＋＋＝.答案：．若圆＋－－＝的圆心到直线－＋＝的距离为，则的值为( )．－或或．－或．或解析：把圆＋－－＝化为标准方程为(－)＋(－)＝，故此圆圆心为()，圆心到直线－＋＝的距离为，则＝，解得＝，或＝.故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．若是经过点(－)和圆＋＋－＋＝的圆心的直线，则在轴上的截距是．解析：圆心(－)，则直线的斜率＝＝－，所以直线的方程是－＝－(＋)，即＝－－，所以在轴上的截距是－.答案：－．若方程＋＋＋＋＝表示以(，－)为圆心，为半径的圆，则＝.解析：由已知－＝，－＝－，所以＝－，＝，又因为半径为，即＝，＝，解之，得＝.答案：．若方程＋－＋＋－＝表示一个圆，则实数的取值范围是．解析：由方程＋－＋＋－＝，可知＝－，＝，＝－，由＋－＞，得＋－＋＞，即(－)＞，所以≠.答案：≠三、解答题(每小题分，共分)．求圆心在直线＝上，且经过点(－)，(，－)的圆的一般方程．解析：设圆的方程为＋＋＋＋＝，则圆心是，由题意知，(\\(－()＝－()，－＋＋＝，＋－＋＝，))解得＝＝－，＝－，即所求圆的一般方程是＋－－－＝.．求一个动点在圆＋＝上移动时，它与定点()连线的中点的轨迹方程．解析：设点的坐标是(，)，点的坐标是(，)．由于点的坐标为()且是线段的中点，所以＝，＝，于是有＝－，＝.因为点在圆＋＝上移动，所以点的坐标满足方程＋＝，则(－)＋＝，整理得＋＝.所以点的轨迹方程为＋＝.。
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高一数学必修《圆与方程》同步练习一、选择题.1. 若圆的一条直径的两个端点分别是(2，0)和(2，- 2)，则此圆的方程是( )A. x2 + y2 - 4x + 2y + 4＝0 B. x2 + y2 - 4x - 2y - 4 = 0C. x2 + y2 - 4x + 2y - 4＝0 D. x2 + y2 + 4x + 2y + 4 = 02. 若点P(m2，5)与圆x2 + y2 = 24的位置关系是( )A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 不确定3. 已知点A(1，- 2，11)，B(4，2，3)，C(6，- 1，4)，则 △ABC的形状是( )A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形4. 点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于( )A. B. C. 2 D.5. 当a取不同的实数时，由方程x2 + y2 + 2ax + 2ay - 1 = 0可以得到不同的圆，则下列结论正确的是( )A. 这些圆的圆心都在直线y = x上B. 这些圆的圆心都在直线y = -x上C. 这些圆的圆心都在直线y = x，或在直线y = - x上D. 这些圆的圆心不在直线上6. 直线l :(x + y)+ 1 + a = 0与圆C : x2 + y2＝a(a＞0)的位置关系是( )A. 恒相切 B. 恒相交 C. 恒相离 D. 相切或相离7. 如果直线y = -x + m与圆x2 + y2 = 1在第一象限内有两个不同的交点，那么实数m的范围是( )A. (-，2) B.(-，3) C. D.8. 圆x2 + 2x + y2 + 4y - 3 = 0上到直线x + y + 1 = 0的距离为的点共有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9. 过原点的直线与圆x2 + y2 + 4x + 3 = 0相切，若切点在第三象限，则这条直线的方程是( )A. y =x B. y = -x C. y =x D. y = -x10. 如果圆心坐标为(2，- 1)的圆在直线x - y - 1 = 0上截得弦长为2，那么这个圆的方程为( )A.(x – 2)2 +(y + 1)2 = 4 B.(x - 2)2 +(y + 1)2 = 2C.(x - 2)2 +(y + 1)2 = 8 D.(x - 2)2 +(y + 1)2 = 16二、填空题.1. 在空间直角坐标系中，如果点P的坐标是（x，y，z），那么与点P①关于原点对称的点P1是 ______________；②关于x轴对称的点P2是 ______________；③关于y轴对称的点P3是 ______________；④关于z轴对称的点P4是 ______________；⑤关于xOy坐标平面对称的点P5是 ______________；⑥关于yOz坐标平面对称的点P6是 ______________；⑦关于zOx坐标平面对称的点P7是 ______________；2. 圆心在直线5x - 3y = 8上，又与两坐标轴相切的圆的方程是_____________.3. 经过两点A(-1，4)，B(3，2)，且圆心在 y 轴上的圆的方程是__________________.4. 过圆x2 + y2 - 6x + 4y - 3 = 0的圆心，且平行于x + 2y + 11 = 0的直线方程是 ___________.5. 若点P在圆C1：x2 + y2 - 8x - 4y + 11 = 0上，点Q在圆C2：x2 + y2 +4x + 2y + 1 = 0上，则|PQ|的最小值是__________________.6. 在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等，则点M的坐标是 ________________.三、解答题.1. 已知三条直线l1 : x - 2y = 0，l2 : y + 1 = 0，l3：2x + y - 1 = 0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.
2. 已知点A(0，2)和圆C :(x - 6)2 +(y – 4)2 = ，一条光线从A点发出射到x轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程.
3. 已知圆x2 + y2 = r2，点P(x0，y0)是圆外一点，自点P向圆作两条切线，A，B是切点，求弦AB所在直线的方程.
4. 自圆C：x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0外一点P(a，b)向圆作切线PT，点 T 为切点，且 |PT|＝|PO|(点O为原点)，求|PT|的最小值以及此刻点P的坐标.
5. 圆 A 的方程为 x2 + y2 - 2x - 7 = 0，圆 B 的方程为 x2 + y2 + 2x + 2y– 2 = 0，判断圆A和圆B是否相交，若相交，求过交点的直线的方程；若不相交，说明理由. 参考答案一、选择题.1. A【解析】半径为 = 1，圆心为(2，-1).∴ (x - 2)2 +(y + 1)2 = 1.∴ x2–4x + y2 + 2y + 4 = 0.2. A【解析】由于 m4 + 25＞24，∴ 点P在圆外.3. C【解析】可求得 |AB| ==；|BC| ==；|AC| ==.∴ |AB|2 = |BC|2 + |AC|2.∴ △ABC为直角三角形.4. B【解析】射影坐标为(2，3)，∴ |OB|=.5. A【解析】x2 + y2 + 2ax + 2ay - 1 = 0，∴ (x + a)2 +(y + a)2 = 1 + 2a2.圆心为(-a，-a).∴圆心在直线 y = x 上.6. D【解析】圆心 O 到直线 l 的距离d = .即比较 与 的大小，即 与 a 比大小，即 与 0 比大小，∴ ≥.∴ 直线与圆相切或相离.x7. D
【解析】如图所示，交点若在第一象限，则m＞1.8. C (第 7 题)【解析】(x + 1)2 +(y + 2)2 = 8，
圆心为(-1，-2).∴ 圆心到x + y + 1＝0的距离为 = .∴ 有三个点，如图，即 A，B，C 三个点. 9. A【解析】(x + 2)2 + y2 = 1， (第 8 题)∵ 圆心(-2，0)到 y =x 的距离为 1，∴ y =x符合题意.10. A【解析】圆心到直线的距离为 =，∴ R = = 2，∴ 圆的方程为(x - 2)2 + (y + 1)2 = 4.
二、填空题.1. ①(-x，-y，-z)； ②(x，-y，-z)； ③(-x，y，-z)； ④(-x，-y，z)；⑤(x，y，-z)； ⑥(-x，y，z)； ⑦(x，-y，z).2.(x－4)2+(y - 4)2 = 16，或(x - 1)2+(y + 1)2 = 1.【解析】∵ 圆与两坐标轴相切，∴ 圆心在 y = x，或 y = -x上.又圆心在5x - 3y = 8上，∴ 圆心为(4，4)，或(1，-1).∴ 圆的方程为 (x - 4)2 +(y - 4)2 = 16，或 (x - 1)2 +(y + 1)2 = 1.3. x2 +(y - 1)2 = 10.【解析】设圆的方程为x2 +(y + b)2 = R2，将 A(-1，4)，B(3，2)代入，解得 b = -1，R =.∴ x2 +(y - 1)2 = 10.4. x + 2y + 1 = 0.【解析】∵ (x - 3)2 +(y - 2)2 = 16，∴ 圆心为(3，-2).又所求直线斜率为 -，∴ 直线方程为 x + 2y + 1 = 0.5. 3- 5.【解析】把圆C1，C2的方程都化成标准形式，得(x - 4)2 +(y - 2)2 = 9，(x + 2)2 +(y + 1)2 = 4.圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(-2，-1)，半径长是2.连心线长等于所以，|PQ|的最小值是3- 5.
6. (0，0，-3).【解析】设点 M 的坐标为(0，0，a)，∴ =，∴ a = -3，∴ M (0，0，-3).三、解答题.1. 【解】l2平行于x轴，l1与l2互相垂直，三交点A，B，C构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆.解方程组 得所以点A的坐标是(-2，-1).解方程组 得所以点B的坐标是(1，-1).所以线段AB的中点坐标是，又|AB|== 3，所求圆的标准方程是+(y + 1)2 = .2. 【解】设反射光线与圆相切于点D. 点A关于x轴的对称点的坐标为A1(0，-2)，则光从点A到切点所走的路程为|A1D|.在Rt△Ａ1ＣD中，|A1D|2 = |A1C|2 - |CD|2 =(-6)2 +(-2-4)2 - = 36×.∴ |Ａ1Ｄ|＝.即光线从点A到切点所经过的路程是.3. 【解法一】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A的圆的切线方程为x1x + y1y = r2，过点B的圆的切线方程为x2x + y2y = r2.由于点P在这两条切线上，得x1x0 + y1y0 = r2， ①x2x0 + y2y0 = r2. ②由①②看出，A，B两点都在直线x0x + y0y = r2上，而过两点仅有一条直线，∴ 方程x0x + y0y = r2就是所求的切点弦AB所在直线的方程.【解法二】已知圆x2 + y2 = r2， ①A，B两点都在以OP为直径的圆上，它的方程是.②①-②得x0x + y0y = r2.这就是两圆相交弦所在直线的方程，也是切点弦AB所在的直线的方程.4. 【解】圆C :(x - 2)2+(y - 3)2 = 1，