【免费下载】郑州大学级微积分下考试试题A
郑州大学级结构力学课程试题A卷
郑州大学2003级结构力学课程试题A卷一、单选题：（每题2分，共20分）（说明：将认为正确答案的字母填写在每小题后面的括号内）1．瞬变体系在一般荷载作用下（）A 产生很小的内力 B不产生内力C 产生很大的内力 D不存在静力解答2．图示梁中C截面弯矩是多少（kN.m）（）A 12（下拉）B 3（上拉）C 8（下拉） D 11（下拉）3．图示结构弯矩图形状正确的是（）4．抛物线三角平拱的弯矩与下列哪个因素无关？（）A 跨度B 荷载 C 矢高 D 拱轴线形状5．图示结构有多少根零杆（）A 5根B 6根 C 7根 D 86．图示同一结构的两种受力状态，在图(b)结构中B点的水平位移Δ= （）7．打开连接三个刚片的复铰，相当于去掉了几个约束？（）A 2B 3 C4 D 58．图示结构弯矩图形状正确的是（）9．力矩分配法的计算对象是( )A 多余未知力B 支座反力C 结点位移 D 杆端弯矩10．图示四个相同的桁架，只是集中质量m的位置不同，它们的自振频率分别为（忽略阻尼及竖向振动作用，各杆EA为常数），那么它们的关系是（）二、是非题：（每题1分，共10分）（说明：认为陈述正确的在括号内打“√”；否则在括号内打“×”）1．图示斜梁与水平梁弯矩图相同，刚度相同，所以两者的θB也相同。
（）2．图示桁架只有2杆受力。
（）3．无荷载就无内力，这句话只适用于静定结构，不适用于超静定结构。
（）4．图示超静定结构的弯矩图的形状是正确的。
（）5．对图(a)所示结构，选(b)为基本体系，则力法典型方程为。
（）6．在图示连续梁中MBA=μBA(－70)= －40kN.m。
（）7．如特殊单元的单元刚度矩阵是非奇异矩阵。
（）8．图示两结构的位移法基本未知量的数目相同。
（）9．不论考虑不考虑阻尼的影响，动位移和动荷载都是同时达到最大值。
（）10．等效结点荷载与原荷载产生相同的杆端位移和杆端力。
（）三、作图题：（每题5 分，共15 分）（说明：不必写出过程）1．试绘制图示梁的内力图。
微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
12秋《微积分》(下)作业答案费下载.docx
作业系统-12秋《微积分》（下）作业1题号:1题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-7图形：题号:2题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-24图形：题号:4题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-46图形：题号:5题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-36图形：选项：口a、A匚b、B 本题分数：4本题分数：4d、D题号:6题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-44图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:7题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-23图形：题号:9题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-13图形：题号:10题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-12图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4d、D题号:11题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-33图形：选项：C a、A 匸b、B 匕c、C 口d、D题号:12题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-6图形：题号:14题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-37图形：题号:15题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-42图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4d、D题号:16题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-11图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:17题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-26图形：题号:19题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-19图形：题号:20题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-40图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4口d、D题号:21题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-5图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:22题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-20图形：题号:24题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-41图形：题号:25题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-22图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4作业系统-12秋《微积分》（下）作业2题号:1题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-25图形：题号:2题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-29图形：选项：C a、AC b、B匚c、Cd、D题号:3题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-28图形：选项：C a、A 匸b、B 匕c、C 口d、D题号:4题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-22图形：题号:6题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-8图形：题号:7题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-12图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4d、D题号:8题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-13图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:9题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-10图形：题号:11题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-16图形：题号:12题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-17图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4口d、D题号:13题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-15图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:14题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-19图形：题号:16题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-30图形：题号:17题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-18图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4d、D题号:18题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-24图形：选项：C a、A 匸b、B 匕c、C 口d、D题号:19题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-20图形：题号:21题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-5图形：题号:22题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-23图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4d、D题号:23题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-26图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:24题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-1图形：作业系统-12秋《微积分》（下）作业3题号:1题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-12图形：选项：C a、A 匸b、BC c、C 匚d、D题号:3题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-21图形：题号:4题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-6图形：选项：口a、A匚b、B 本题分数：4本题分数：4题号:5题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-23图形：选项：C a、A 匸b、B 匕c、C 口d、D题号:6题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-28图形：题号:8题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-9图形：题号:9题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-5图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:10题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-20图形：选项：C a、A 匸b、B 匕c、C 口d、D题号:11题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-2图形：题号:13题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-26图形：题号:14题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-3图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:15题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-24图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:16题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-1图形：题号:18题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-7图形：题号:19题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-4图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:20题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-18图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:21题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-13图形：题号:23题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-16图形：题号:24题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-30图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:25题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-29图形：作业系统-12秋《微积分》（下）作业4题号:2题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-14图形：选项：匕a、A 匸b、BC c、C匚d、D题号:3题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-3图形：题号:5题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-24图形：题号:6题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-26图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:7题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-7图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:8题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-30图形：题号:10题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-11图形：题号:11题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-19图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:12题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-6图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:13题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-12图形：题号:15题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-27图形：题号:16题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-23图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:17题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-9图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:18题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-2图形：题号:20题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-16图形：题号:21题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-4图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4口d、D题号:22题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-18图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:23题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-15图形：题号:25题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-5图形：。
《微积分(下)》作业答案
《微积分（下）》作业本课程作业由二部分组成：第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分； 第二部分为“主观题部分”，由4个解答题组成，第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分。
作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。
客观题部分一、选择题（每题1分，共15分）1．级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件是（ C ）A 、lim 0nn u →∞= B 、1lim1n n n u r u +→∞=<C 、lim n n S →∞存在，()12n n S u u u =++…+ D 、21nu n≤2．下列级数中，绝对收敛的是（ C ）A 、()111n n ∞-=-∑B 、()1121nn n n ∞=--∑C 、1213nn ∞=∑D 、()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑3．二元函数z=B ）A 、0x y +>B 、1x y +>C 、()ln 0x y +≠D 、1x y +≠4．级数()()112121n n n ∞=-+∑的和是（ A ）A 、12B 、2C 、3D 、135．若级数1n n u ∞=∑发散，则级数()10n n au a∞=≠∑（ A ）A. 一定发散 B 、一定收敛C 、可能收敛也可能发散D 、0a>时收敛，0a <时发散6．级数()123nnn x n ∞=-⋅∑的收敛半径是（ D ）A 、2B 、12C 、13D 、37．设积分区域D 是由曲线2,1x y ==所围成的平面图形，则Ddxdy ⎰⎰=（ A ）A 、8B 、 4C 、 2D 、4-8．下列级数中，绝对收敛的是（ C ）A 、()111n n ∞+=-∑B 、()()110nn a n a∞=->+∑C 、()()121121n n n -∞=--∑D 、()1111nn n n ∞=--+∑9．设12y xz-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z x∂∂=（ D ）A. 1ln 22y x-⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、22yxy x-⋅C 、112y xy x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭D 、22ln 2yxy x-⋅10．微分方程'3xy y +=的通解为（ A ）A 、3C y x=+ B 、3y Cx =+ C 、3C yx=-- D 、3C yx=-11．已知级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑，n n u v 0≤≤，则（ C ）A 、当1n n u ∞=∑收敛时，1n n v ∞=∑发散B 、当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散C 、当1n n u ∞=∑发散时，1n n v ∞=∑发散D 、当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑收敛12．设()ln xyze e=+，则2z x y∂∂∂=（ B ）A 、yxyee e+ B 、()2xy x ye ee e-+C 、()2x y xye eee+ D 、xxyee e+13． ()()//0000,,,x y f x y f x y 存在，则函数(),f x y 在点()00,x y （ C ）A 、一定不可微B 、一定可微C 、连续D 、有定义14．设(),z f x y =在点()00,x y 处可微，且()()//0000,0,,0x y f x y f x y ==，则函数(),f x y 在点()00,x y 处（ D ）A 、必有极值B 、必有极大值C 、必有极小值D 、不一定有极值15．交换二重积分()10,y I dy f x y dx=⎰⎰的积分次序，则I =（ B ）A 、()10,xdx f x y dy⎰⎰ B 、()11,xdx f x y dy⎰⎰C 、()10,y dx f x y dy⎰⎰D 、()10,y dx f x y dy⎰⎰主观题部分二、解答题（第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分）1. 判断交错级数()22111lnnn n n∞=+-∑的敛散性. 若收敛，请指出是条件收敛，还是绝对收敛，注明理由.2. 求幂级数11n n nx∞-=∑的和（注：利用逐项积分）.3. 设2lnx y z ++=，求.z x∂∂4．求微分方程1'y y x x+=的通解.。
大一高数微积分下册答案
第六章 定积分§6.1~6.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设()f x 在[,]a b 上连续，n 等分011[,]:n n a b a x x x x b -=<<<<=，并取小区间左端点1i x -，作乘积1()i b af x n --⋅，则11lim ()ni n i b a f x n -→∞=-⋅=∑()d b af x x⎰.2、根据定积分的几何意义，20d x x =⎰2，1x -=⎰2π，sin d x x ππ-=⎰0.3、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()d ()d b baaf x x f t t -=⎰⎰0.二、单项选择题1、定积分()d b af x x ⎰(C) .(A) 与()f x 无关 (B) 与区间[,]a b 无关 (C) 与变量x 采用的符号无关 (D) 是变量x 的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) 222311d d x x x x >⎰⎰ (B) 22211ln d (ln )d x x x x <⎰⎰(C)110d ln(1)d x x x x >+⎰⎰ (D) 11e d (1)d xx x x <+⎰⎰3、设()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0b af x x =⎰，则 (C) .(A) 在[,]a b 的某小区间上()0f x = (B) [,]a b 上的一切x 均使()0f x = (C) [,]a b 内至少有一点x 使()0f x = (D) [,]a b 内不一定有x 使()0f x = 4、积分中值公式()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰中的ξ是 (B) .(A) [,]a b 上的任一点 (B) [,]a b 上必存在的某一点(C) [,]a b 上唯一的某一点 (D) [,]a b 的中点5、d arctan d d bax x x =⎰ (D) .析：arctan d b ax x ⎰是常数(A) arctan x (B)211x+ (C) arctan arctan b a - (D) 06、设244123d ,s i n d I x x Ix x ππ===⎰⎰⎰，则123,,I I I 的关系为 (B) .(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 312I I I >> (D) 132I I I >> 7、设41I x =⎰，则I 的值 (A) . (A) 0I ≤≤(B) 115I ≤≤ (C) 1165I ≤≤ (D) 1I ≥析：4()f x =[]0,1上的最大值是2，最小值是0，所以0I ≤≤.三、估计定积分220e d x x I x -=⎰的值.解 记2()e ,[0,2]xxf x x -=∈，则2()(21)e x x f x x -'=-，令()0f x '=，得12x =. 因为1241e ,(0)1,(2)e 2f f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[0,2]上的最大值为2e ，最小值为14e -，从而 212242ee d 2e x x I x --≤=≤⎰.四、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()baf x x f b b a =-⎰.求证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.证明 由积分中值定理，存在一点[,]a b η∈，使得()d ()()b af x x f b a η=-⎰，即1()d ()b af x x f b a η=-⎰.又由题设可知，()f x 在[,]b η上连续，在(,)b η内可导，且有()()f f b η=，根据罗尔定理，存在一点(,)(,)b a b ξη∈⊂，使得()0f ξ'=.§6.3微积分的基本公式一、填空题1、若20()x f x t t =⎰，则()f x '=32x .2、32d d x x x⎰23、极限0sin 3d lim1cos x x t tx→=-⎰3.4、定积分412d x x -=⎰52.5、设,0()sin ,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则11()d f x x -=⎰1cos12-.6、由方程2d cos d 0e y xt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x=2cos ey x-.7、设()f x 是连续函数，且31()d x f t t x -=⎰，则(7)f =112.8、设13201()()d 1f x x f x x x =++⎰，则10()d f x x =⎰3π.析：设10()d f x x A =⎰，则等式两端同时积分得111320001()d d d 1f x x x x A x x =+⋅+⎰⎰⎰ 1013arctan |,,4443A x A A A ππ=+⋅∴==. 9、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则方程1()d d 0()x x abf t t t f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内有1个实根.析：设1()()d d ()x x abF x f t t t f t =+⎰⎰，则有 1()d 0,()()d 0()a b ba F a t Fb f t t f t =<=>⎰⎰,由根的存在定理知至少有存在一个(),a b ξ∈使得()0F ξ=；若方程有两个根，不妨设1,2ξξ即12()0,()0F F ξξ==,则由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈使得()0F ξ'=, 即使得1()0()f x f x +=成立，这与()0f x >矛盾， 所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) 11d x x -⎰ (B) 31e d ln x x x ⎰(C) 1-⎰(D) 1-⎰2、设2()()d xa x F x f t t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x a F x →= (B) . (A) 2a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在3、设561cos 2()sin d ,()56x x x f x t t g x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 析: 1cos 42056450004()sin d ()2limlimlim 0()56xx x x x xt tf x x xg x x x-→→→⋅===++⎰. 三、求020(e 1)d limsin x t x t t x x→-⎰.解 根据洛必得法则，得202322000(e 1)d (e 1)d (e 1)1limlimlim lim sin 333x x t t x x x x x t t t t x x x xx x x →→→→---====⎰⎰.四、求函数20()e d xtI x t t -=⎰的极值.解 2()e x I x x -'=，()2222()ee (2)12e x x x I x x x x ---''=+-=-.令()0I x '=，得驻点0x =,又(0)10I ''=>，所以0x =是()I x 得极小值点，极小值为(0)0I =.五、求x .解x x x ==⎰()()24204sin cos d cos sin d sin cos d x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰()()42042sin cos cos sin x x x x πππ=++--=.六、已知0()()d 1cos xx t f t t x -=-⎰，证明：20()d 1f x x π=⎰.证明 原式可化为 0()d ()d 1cos x xx f t t tf t t x -=-⎰⎰，两边对x 求导，得()d ()()sin xf t t xf x xf x x +-=⎰，即0()d sin xf t t x =⎰，令2x π=，得20()d sin12f t t ππ==⎰，即 20()d 1f x x π=⎰.§6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设()f x 在区间[,]a a -上连续，则2[()()]d a ax f x f x x ---=⎰.2、91x =⎰2ln 2. 3、09912(21)d x x -+=⎰1200.4、31e =⎰2. 5、(211d x x -=⎰2.6、222d 2x xx x -+=+⎰ln3. 7、x =⎰4π.8、设211e ,22()11,2x x x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则212(1)d f x x -=⎰12-.二、单项选择题1、设()f x 是连续函数，()d ()d b baaf x x f a b x x -+-=⎰⎰ (A) .(A) 0 (B) 1 (C) a b + (D) ()d b af x x ⎰析：令a b x y +-=，则()d ()d ()d ()dy 0b bbaaaabf x x f a b x x f x xg x -+-=+=⎰⎰⎰⎰2、设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 (A) . (A) 若()f x 是奇函数，()F x 必为偶函数 (B) 若()f x 是偶函数，()F x 必为奇函数 (C) 若()f x 是周期函数，()F x 必为周期函数 (D) 若()f x 是单调增函数，()F x 必为单调增函数 析：(B)反例：()cos ,()sin 1f x x F x x ==+(C)反例：()1,()f x F x x ==(D)反例：212(),()f x x F x x == 三、计算下列定积分1、()234332011311211222d 3d 32233t t t t t t t t -+⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰. 2、()1ln 1122000021d 21d 2arctan 2112t t t t t t t t π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰.3、d d t t t t =⎰1t=-=.四、设()f x 是连续函数，证明：02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.证明(sin )d ()(sin )(d )=()(sin )d x txf x xt f t t t f t t ππππππ=-=---⎰⎰⎰令(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰.从而 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰，即 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.五、设(),()f x g x 在[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满足条件()()f x f x A +-=（A 为常数）,()g x 为偶函数. （1）证明:()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=⎰⎰；（2）利用（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-⎰.(1)证明00()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰,而000()()d ()()(d )()()d ()()d a aaax tf xg x xf tg t t f t g t t f x g x x -=----=-=-⎰⎰⎰⎰令,所以()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x -=-+⎰⎰⎰[]0()()()d ()d a af x f xg x x A g x x =-+=⎰⎰.(2)解 取()arctan e ,()sin ,2xf xg x x a π===，令 ()()()arctan earctan e xx F x f x f x -=-+=+，则 ()2222e e e e ()arctan e arctan e 01e 1e 1e 1e x x x x xx x x x xF x -----''=+=+=+=++++，所以 ()F x A =（常数），又(0)arctan1arctan12arctan12F π=+==，即 ()()2f x f x A π-+==.于是有22202sin arctan e d sin d sin d 222xx x x x x x πππππππ-===⎰⎰⎰.§6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、cos d x x x π=⎰2-.2、已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则1e()d xf x x '=⎰1.3、11()e d xx x x --+=⎰124e --.4、设0sin ()d xtf x t t π=-⎰，则0()d f x x π=⎰2. 析：0000sin sin ()d ()|d ()d x x f x x xf x x x x x x xπππππππ=-=---⎰⎰⎰0(cos )|2x π=-=. 二、计算下列定积分1、2001d arccos 122x x x x =+=-⎰⎰12==+. 2、1e111e1e 1e 1111eeee11ln d (ln )d ln d ln d ln d x x x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⋅+-⋅⎰⎰⎰⎰⎰1121e e 12e e e=-+-+-+=-. 3、ln 2ln 2ln 20ln 2ln 211e d d(e )e e d ln 2e (1ln 2)22x x xx xx x x x x -----=-=-+=--=-⎰⎰⎰. 4、2222200001cos 211sin d d d cos 2d 222x x x x x x x x x x x ππππ-=⋅=-⎰⎰⎰⎰22220022011d(sin 2)sin 2sin 2d 44164x x x x x x x πππππ⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰22201110cos 21642164x πππ⎛⎫ ⎪=-+=+ ⎪⎝⎭. 5、1102x x =⎰⎰（被积函数为偶函数）方法一 ：122arcsin dx =-⎰1202arcsin x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭212x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1202d 1x ⎫=--=-⎪⎪⎝⎭⎰. 方法二：166sin arcsin cos dt cos t txt x t t ππ-=⎰⎰602d(-cos )1t t π==-⎰. 6、111120000ln(1)1ln(1)1d ln(1)d d ln(1)(2)222x x x x x x x x x ++⎛⎫=+=-+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰ 11001111ln 2d ln 2d (2)(1)321x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰[]1121ln 2ln(2)ln(1)ln 2ln 2ln 2333x x =---++=-=.三、设()f x 是连续函数，证明：000()d d ()()d x u xf t t u x u f u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.证明()0000()d d ()d d()d ()d ()d xx u u x u x xf t t u u f t t u f t t x f t t uf u u ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d xxx xx f u u uf u u xf u u uf u u =-=-⎰⎰⎰⎰()()d xx u f u u =-⎰.§6.6 广义积分与Γ函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)e d xx +∞⎰(B) e1d ln x x x +∞⎰(C) 1x +∞⎰ (D) 321d x x +∞-⎰2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 201d 1x x +∞+⎰收敛 (B) 20d 1x x x +∞+⎰发散 (C) 2d 1x x x +∞-∞+⎰发散 (D) 2d 1x x x +∞-∞+⎰收敛 3、1211d x x -=⎰ (D) .(A) 0 (B) 2 (C) 2- (D) 发散析：1101222210101111d d d ,d x x x x x x x x --=+⎰⎰⎰⎰发散，0211d x x-⎰也发散。
近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分.共25分.把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微.(,)yxz f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0.1]上连续.且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数.交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的.把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数.极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数.则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在.函数不连续 （B ）偏导数不存在.函数连续（C ）偏导数存在.函数连续 （D ）偏导数不存在.函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1.－1.2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微.z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数.并设23F F ''≠.求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集.求2[e sin()]d xDx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤.计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微.且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分.共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ. ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分） 6．选（B ）.l 1的方向向量{}1,2,1-.l 2的方向向量{}2,1,1--.{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D .化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===.偏导数存在. 取kx y =.()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异.所以不连续．三、解答题（10～14每题10分.15题5分.共55分） 10．由L .视x 为自变量.有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,.得 87,45==dx dz dx dy . 所以切线方程为87245111-=+=-z y x .法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=.即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1.D 在第三象限中的一块记为D 2.()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以.原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z .它的最大值点.最小值点与2z 的一致.用拉格朗日乘数法.设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ.求偏导数.并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂.1830F y x λμ∂=+=∂. 2430F z z z λμ∂=-+=∂.22920Fx y z x∂=+-=∂ . 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时.1=z 最小；当35,5-=-=y x 时.5=z 最大.14．将分成如图的两块.41的圆记为D 1.另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++.有222xy y x y x u ++=∂∂.从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,.又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂.推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++. ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以.()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以.()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分.满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数.则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D.则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切.则切点坐标为 .公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f .∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π.其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π.则.)27(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定.试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离.求),,(z y x d 的最大.最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形.矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时.成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== ,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d )14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d .最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅ ⎰⎰=Dxdxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t . 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以.t s ln =取得最小值且为0.则 0),(≤s t F .即s e t tt ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B)213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
大学专业试卷高数下A
《高等数学》（下）试卷A适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1．()()(),3,0sin 2lim x y xy y→=2. 方程560y y y '''++=的通解为3. 改变积分顺序22(,)dy f x y dx ⎰⎰= 。
4. 设sin z y x =，则z x ∂=∂ ；zy∂=∂ 。
5. 计算012n n ∞==∑ .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1. 设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( ). (A) 14DD axd axd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 122224DD ax y d ax y d σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD axyd axyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 14DD ayd ayd σσ=⎰⎰⎰⎰2. lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（ ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3. 从()1,1到()0,0有向曲线弧3y x =上任一点的切向量为（ ） (A) ()21,3x -- (B) ()21,3x - (C) ()21,3x - (D) ()21,3x 4. 积分()(),,LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关的充要条件是( )(A) P Q x y ∂∂=-∂∂ (B) 22P Q x y y x ∂∂=-∂∂∂∂ (C) P Q y x ∂∂=∂∂ (D) 22Q Px y y x∂∂=-∂∂∂∂ 5. 级数11n n∞=∑为（ ）级数(A)绝对收敛 (B)发散 (C) 条件收敛 (D) 无法判别是否收敛的三.判断题.(共5小题，每小题2分，共10分)1.因为被积函数为1所以1Lds =⎰L 的弧长。
（ ）2.若∑为椭球面2222341x y z ++=，则()222234xy z dS ∑++=⎰⎰∑的面积。
郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题2008-2009学年第一学期期末试题
郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题2008-2009学年第一学期期末试题合分人： 复查人：一、求下列极限（每小题5分，共20分） 1. ()111limcos 1xx x xe x -→-=--2. ()()21ln 10lim cos x x x +→=3. 01lim cot x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭4.21cos x t dt →-=二．求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分） 1．设()()()F x x a f x =-，其中()f x 为连续函数，求().F a '2．设函数()x y y =由方程()22y f x y =+确定，其中()f t 具有一阶连续导数，求.dy3．设()ln sin 0,xx y x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭求.y '4．求方程220y y y '''++=的通解.三．求下列积分（每小题6分，共30分） 1. 411dx x =-⎰2. 2=郑州大学软件学院____________________专业_____________ 班 姓名_______________学号______________________密 封 线 内 不 要 答 题———————————密———————————————封———————————————线————————————3. 220sin sin 21cos x xdx xπ+=+⎰4. 设()0,ln x f x >=求()22.xf x dx -'⎰5.()2111ln dx x x +∞=+⎰四．求解下列各题（共10分）讨论方程12x xe e-=的根的个数.五．设()f x 有连续导数，且()()()2220x f x xt f t dt x '=-+⎰（1），求()f x （共10分）六.求曲线ln y x =与与x 轴及直线x e =所围图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周所生成的立体的体积.（10分）———————————密———————————————封———————————————线————————————密 封 线 内 不 要 答 题郑州大学软件学院《微积分上》课程考试题 2008-2009学年第一学期期末参考答案一、（每小题5分，共20分）1．()()()ln 11111111ln lim lim lim cos 1cos 1cos 1x x x x x x x x x x e x x e x e x e x ---→→→---==------ ()11l n 1l i m 1s i n 1x x x e x -→--==-+- .()()()()22cos 111ln 1cos 1ln 1002.lim cos lim 1cos 1x x x x x x x x -+-+→→⎧⎫=+-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭()2cos 11ln 12.x x e e --+==其中，()2200cos 112limlim .2ln 1x x x x x x →→--==-+ 20000111tan tan 3.lim cot lim lim lim tan tan x x x x x x x x x x x x x x x→→→→--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222000s e c 1t a n l i ml i m l i m 0.222x x x x x x x xx →→→-====()220001cos 1cos 124.lim lim .451022x x x x xt dt x x x x →→→→--====++二．（每小题5分，共20分）.1．解：()()()()()()()limlim lim x a x a x a F x F a x a f x F a f x f a x a x a→→→--'====--.2． 解：方程两边同时关于x 求导，得：()()2222.y f x yx y y '''=++ (1)所以， ()()2222212xf x y y yf x y '+'='-+ (2)故 ()()22222.12xf x y dy dx yf x y'+='-+3．解：两边取对数，得：2ln ln .lnsin ln .y x x x =- 上式两边同时关于x 求导，得：11c o s1.l n s i n l n .2.l n .s i n x y x x x y x x x'=+- 所以 11.lnsin ln .cot 2.ln y y x x x x x x ⎡⎤'=+-⎢⎥⎣⎦ln sin 11..lnsin ln .cot 2.ln .xx x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4．解：特征方程为 2220r r ++=，特征根为1r i =-±，故通解为 ()12cos sin .x y e C x C x -=+ 三．（每小题6分，共30分）42222111111111.12112121dx dx dx dx x x x x x⎛⎫=+=+ ⎪--+-+⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 111l n.a r c t a n.412x x C x+=++-22112.x -+==-+11arcsin arcsin arcsin .22x x C x C =++=+另解：令sin ,x t =则cos ,dx tdt =原式22sin 1cos21.cos sin sin2cos 224t t t tdt tdt dt t C t -====-+⎰⎰⎰ 郑州大学软件学院____________________专业_____________ 班 姓名_______________学号______________________密 封 线 内 不 要 答 题———————————密———————————————封———————————————线————————————11sin .cos arcsin .222t t t C x C =-+=+ 3.222222000sin sin2sin sin21cos 1cos 1cos x x x x dx dx dx xx x πππ+=++++⎰⎰⎰ 其中 ()()22222000sin 1cos arctan cos 1cos 1cos 4|x dx d x x x x ππππ=-=-=++⎰⎰； ()()22222000sin211cos ln 1cos ln2.1cos 1cos |x dx d x x x xπππ=-+=-+=++⎰⎰ 所以，220sin sin 2ln 2.1cos 4x x dx x ππ+=++⎰4.解：因为()()ln 0.f x x > 故()()2,0xf x e x -==>.()()()()22222222|xf x dx xdf x xf x f x dx ----'==-⎰⎰⎰()()()()221122222224.|xx f f e dx e e ee ------=+--=++=⎰5()()()()2211111.ln arctan ln .21ln 1ln |dx d x x x x x π+∞+∞+∞===++⎰⎰ 四．共10分） 解： 令()()1,0,2x f x xe x e-=-∈+∞，则()()1x x x f x e xe x e ---'=-=- 令()0,f x '=得唯一驻点 1.x =因为当(),1x ∈-∞时，()0;f x '>而当()1,x ∈+∞时，()0.f x '< 因此 ()111122f e e e-=-=为函数的最大值. 又()011lim lim ;22x x x f x xe e e++-→→⎛⎫=-=⎪⎝⎭ ()11111l i m l i m l i m l i m .2222x x x x x x x x x f x e e e ee e e →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭ 综合以上信息可以画出函数()12x y f x xe e-==-之草图. 从图易见方程12x xe e-=恰有两根. 五．（共10分）解：由（1）式显然得()00.f =()()()2220x xf x x f t dt t f t dt x ''=-+⎰⎰ (2)(2)式两边关于x 求导，得 ()()()()2222xf x xf t dt x f x x f x x ⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦⎰即 ()()022xf x x f t dt x ''=+⎰即()()22f x xf x x '=+ ，也就是 ()()22f x xf x x '-= （3）此为一阶线性微分方程，故其通解为()()222222xdx xdx x x f x e xe dx C f x e xe dx C ----⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2221x x x e eC C e -⎡⎤=-+=-⎣⎦（4） 将()00.f =代入（4）式，得1C =，所以()21x f x e =-.六.（10分）解：（一） 22111ln ln 2ln |ee e x V xdx x x xdx ππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()1112ln 2.ln 12212.|ee ee xdx e x x dx e e e e πππππππ⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦=-+-=-⎰⎰ （二）2211112ln 2ln 2.ln 222|eee e y x x x V x xdx xd x dx πππ⎛⎫⎡⎤===- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰()()22222111.222|e x e e e e πππππ=-=--=+———————————密———————————————封———————————————线————————————密 封 线 内 不 要 答 题。
微积分学下综合练习
软件学院2013级《高等数学》（下）综合练习一、指出下列各题解题错误的原因，并给出正确的解法。
1、求(zxy 在点(0,1)的偏导数。
错解：0011111(1)1/2/x x y y z y x x y x y y不存在2001111arcsin /(1)()1/2/x x y y z x x yy yy x y x y y不存在2、求1,0(,),0xy z f x y x y xy ≠⎧==⎨+=⎩，求'(0,0)x f 。
错解：因为000x y ==,所以应该用下面的表达式，即z=x+y ,依照多元偏导就是一元导数的知识，有''(0,0)(0,0)()1x xf x y =+=3、设z=f(x,y)且2222(2)(2)dz x xyy dxx xyy dy ，求f(x,y)。
错解：由题设知22222,2z z x xy y x xy y xy故3'22(,)3xx f x y f dxx yxyC 和3'22(,)3yy f x y f dyx yxyC又由于上式应恒等，所以 即x=-y ，因此33(,)2x f x y y C y4、设L 为221x y +=上点A (到B 的逆时针的一段弧，求曲线积分22L xdy ydxx y-+⎰。
错解：令2222,y x P Q x y x y -==++，则可以验证Q Px y∂∂=∂∂故曲线积分与路径无关。
从A 到B 的直线方程为(22x t t y t ⎧=⎪-≤≤⎨=⎪⎩所以，2222202L AB xdy ydx xdy ydx tdt tdtx y x y t ---===++⎰⎰ 5、判断的敛散性。
错解：因为1p =>(n>1时)，按p-级数的收敛结论可知，该级数收敛。
6、判断级数(1)112nn n ∞+-=∑的敛散性解：记(1)12nn n u +-=，则11(1)1(1)1(1)(1)12421212lim lim lim 11142122222n n n nn n n n n n n n m u n m u ++-++-+-→∞→∞→∞+-⎧⎧=⎪⎪===⋅=⎨⎨=+⎪⎪⎩⎩不存在由于极限不存在，所以极级数发散。
高等数学A下册试卷
华侨大学高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】考试日期：2012年6月22日上午08:30-10:30院（系）别班级 学号姓名 成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上，答在其它地方不给分！）1、已知()222,,f x y z xy yz zx =++，则(0,0,1)xx f = .2、过点(3,1,2)-且通过直线43521x y z-+==的平面方程为 . 3、旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面方程为 .4、设曲面∑为锥面z =介于平面0z =与1z =的部分，则22()x y dS ∑+=⎰⎰ .5、已知(,)f x y 连续,交换积分次序:10(,)ydy f x y dx =⎰⎰.※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：班级、姓名、学号. 二、解下列各题：（本题共4小题，每小题8分，满分32分）1、 设()y y x =，()z z x =为由方程22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩所确定的隐函数，求dy dx 与dzdx . 2、 求微分方程325y y y '''-+=满足初始条件01x y ==，02x y ='=的特解． 3、 求直线234112x y z ---==与平面26x y z ++=的交点． 4、 计算曲线积分(24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰ ，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)、(3,2)的三角形正向边界.三、 （本题满分10分）在xOy 面上求一点，使它到0x =，0y =及2160x y +-=三直线的距离平方之和为最小．四、 （本题满分12分）利用高斯公式，求曲面积分222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑是锥面z =介于平面0z =与z h =（0h >）之间部分的下侧.五、 （本题满分10分）将函数21()32f x x x =++展开成(1)x -的幂级数，并求展开式成立的范围. 六、 （本题满分10分）（1） 验证函数20()(2)!nn x y x n ∞==∑满足微分方程0y y ''-=；（2） 通过解方程0y y ''-=，求幂级数20(2)!nn x n ∞=∑的和函数.七、 （本题满分6分）设()f x 是区间[0,1]上单调减少的正值连续函数，证明：111122()()()().xf x dx f x dx f x dx xf x dx ≤⎰⎰⎰⎰-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。