吉林大学材料力学第11章 静不定结构
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《建筑力学》11章静定结构的内力分析
图11-15
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如图11-16所示去掉零杆后结构变得更简单， 可使计算简化
图11-16
3）几种特殊结点 使用结点法时，熟悉如图11-17所示的几种特殊结点，可使计算简化，对题解 有益处： ① L型结点。不在一直线上的两杆结点，当结点不受外力时，两杆均为零杆， 如图11-17 (a)所示。若其中一杆与外力F共线，则此杆内力与外力F相等， 另 一杆为零杆，如图11-17 (d)所示。 ② T型结点。两杆在同一直线上的三杆结点，当结点不受外力时，第三杆为零 杆，如图11-17 (b)所示。若外力F与第三杆共线，则第三杆内力等于外力F， 如图11-17 (e)所示。 ③ X型结点。四杆结点两两共线，如图11-17 (c)所示，当结点不受外力时， 则共线的两杆内力相等且符号相同。 ④ K型线点。这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在该直线同侧且与直 线夹角相等，如图11-17 (f)所示，当结点不受外力时，则非共线的两杆内力大 小相等但符号相反。 以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。 （4）结点法计算桁架的内力 结点法是指以截取的结点为研究对象，根据外力和杆件内力组成的平面汇 交力系平衡方程计算杆件内力的方法。 实际计算时，可以先从未知力不超过两个的结点计算，求出未知杆的内力后， 再以这些内力为已知条件依次进行相邻结点的计算。
图11-13
4．桁架的分类 ． （1） 按照桁架的外形分类 ① 平行弦桁架，如图11-14(a)所示； ② 折线形桁架， 如图11-14 (b)所示； ③ 三角形桁架， 如图11-14 (c)所示； ④ 梯形桁架，如图11-14 (d)所示； ⑤ 抛物线形桁架，如图11-14(e)所示。 （2）按照桁架的几何组成分类 2 ① 简单桁架：以一个基本铰结三角形为基础，依次增加二元体而组成的无 多余约束的几何不变体系，如图11-14(a)、(d)、(e)所示。 ② 联合桁架：由几个简单桁架按几何不变体系组成规则组成的桁架，如图 11-14(c)、(f)所示。 ③ 复杂桁架：不属于前两类的桁架即为复杂桁架，如图11-14(b)所示。
(工程力学)第11章静定结构受力分析
q
ql
l l 2l q
ql
ql ql
2 ql 2
q
ql 2
A
B
Q AB
Q BA
MA0 QBA1q1/l4
FY0 QAB5q/l4
4l
2l l l
1 ql
2
ql
1 ql 2
例: 作内力图 ql
q
ql
l l 2l
4l
2l l l
ql
q
1 ql
2
ql
内力计ql q算l 的关键在于: 正确区分ql 2 基本部分和ql 2 附
例:求跨中截面内力
q
A
FAx
C
l
F Ay
解: FAx 0,FAy ql/2(),
FBy ql/2()BFra bibliotekFx 0, NC 0
F By
Fy
0,Q C
0
Mc 0, MC ql2 / 8
(下侧受拉)
3.作内力图的基本方法 内力方程式:
M M ( x ) 弯矩方程式
例:作图示粱内力图
q A
Q Q ( x ) 剪力方程式 N N ( x ) 轴力方程式 B 解: FAx 0,FAy ql/2(),
NdN
微分关系: dQ(x) / dx q(x)
Q(x)
Q dQ
截面弯矩dx等于该截面一
dM(x) / dx Q(x) 侧的所有外力对该截面
的力矩之和
d 2M(x) / dx2 q(x)
1.无荷载分布段(q=0),Q图 Pl 为水平线,M图为斜直线. M图
自由端无外力偶
则无弯矩.
Q图
例: 作内力图
Q图 力偶
第11章超静定结构概论
其中
所以
作刚架的弯矩图如图(c5)所示。
*11.4压力机机身或轧钢机机架可以简化成封闭的矩形刚架（见图）。设刚架横梁的抗弯刚度为EI1，立柱的抗弯刚度为EI2。作刚架的弯矩图。
(a)
解：由于刚架和载荷对称，取1/4刚架为研究对象，如图(b)所示。图(c)为载荷作用下的弯矩图，图(d)为单位力偶作用下的弯矩图。正则方程为
3.与静定结构相比较，静不定结构有何特点？
超静定结构和静定结构相比，具有重量轻、安全性和可靠性高等一系列优点。
4.如何利用对称性和反对称性简化超静定结构的计算？
利用对称性和反对称性通过降低超静定结构的超静定次数来简化其计算。
11.1图示平面结构中，如载荷作用在结构的平面内，试分别判断各个结构的超静定次数。
其中
所以
由平衡条件得
由对称性可得
(b)这是二次静不定结构。解除B端约束，代之以反力X1、X2，如图(b1)所示。图(b2)为载荷、单位力、单位力偶分别作用下的弯矩图。正则方程为
其中
由正则方程求出
即
由系统平衡条件可以求得
11.3作图示刚架的弯矩图。设刚架各杆的EI皆相等。
解：(a)此结构为一次静不定问题。图(a1)为静定基，图(a2)为载荷和单位力分别作用下的弯矩图。正则方程为
其中
所以
作刚架弯矩图如图(e)所示。
（4）求正则方程的系数；
（5）求解正则方程；
（6）其它运算。
2.力法正则方程的实质是什么？方程中的系数 和自由项 的物理意义是什么？
力法正则方程的实质就是变形协调条件。方程中的系数ij表示广义单位力Xj＝l单独作用在基本静定系上，在Xi的作用点其沿方向上产生的广义位移。自由项 表示原载荷单独作用在基本静定系上，在Xi的作用点其沿方向上产生的广义位移。
所以
作刚架的弯矩图如图(c5)所示。
*11.4压力机机身或轧钢机机架可以简化成封闭的矩形刚架（见图）。设刚架横梁的抗弯刚度为EI1，立柱的抗弯刚度为EI2。作刚架的弯矩图。
(a)
解：由于刚架和载荷对称，取1/4刚架为研究对象，如图(b)所示。图(c)为载荷作用下的弯矩图，图(d)为单位力偶作用下的弯矩图。正则方程为
3.与静定结构相比较，静不定结构有何特点？
超静定结构和静定结构相比，具有重量轻、安全性和可靠性高等一系列优点。
4.如何利用对称性和反对称性简化超静定结构的计算？
利用对称性和反对称性通过降低超静定结构的超静定次数来简化其计算。
11.1图示平面结构中，如载荷作用在结构的平面内，试分别判断各个结构的超静定次数。
其中
所以
由平衡条件得
由对称性可得
(b)这是二次静不定结构。解除B端约束，代之以反力X1、X2，如图(b1)所示。图(b2)为载荷、单位力、单位力偶分别作用下的弯矩图。正则方程为
其中
由正则方程求出
即
由系统平衡条件可以求得
11.3作图示刚架的弯矩图。设刚架各杆的EI皆相等。
解：(a)此结构为一次静不定问题。图(a1)为静定基，图(a2)为载荷和单位力分别作用下的弯矩图。正则方程为
其中
所以
作刚架弯矩图如图(e)所示。
（4）求正则方程的系数；
（5）求解正则方程；
（6）其它运算。
2.力法正则方程的实质是什么？方程中的系数 和自由项 的物理意义是什么？
力法正则方程的实质就是变形协调条件。方程中的系数ij表示广义单位力Xj＝l单独作用在基本静定系上，在Xi的作用点其沿方向上产生的广义位移。自由项 表示原载荷单独作用在基本静定系上，在Xi的作用点其沿方向上产生的广义位移。
静不定结构学习.pptx
多余约束可以是结构外部的（多余支撑条 件），也可以是结构内部的。
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目录
2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次静不定
三次静不定
第5页/共44页
目录
具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个静不定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次静不定结构。
[ 1 3
ql 2 2
l 3l 4
ql 2 2
ll]
5ql 4 8EI
代入协调方程，得：X1
1F
11
5ql 4
8EI 4l 3Hale Waihona Puke 15 ql （方向向上） 32
3EI
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2.力法典型方程
例：
A
B
l
EI
2
取静定基
lF
2
l
三次静不定结构
目录
X3 X2
X1
F
静定基
第19页/共44页
目录
得：
4l3 3EI
X1
l3 2EI
X2
3l 2 2EI
X3
Fl3 8EI
0
l3 2EI
X
1
l3 3EI
X2
l2 2EI
X3
5Fl3 48EI
0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2EI
X1
2EI
X2
EI
X3
8EI
0
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目录
化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
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2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次静不定
三次静不定
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具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个静不定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次静不定结构。
[ 1 3
ql 2 2
l 3l 4
ql 2 2
ll]
5ql 4 8EI
代入协调方程，得：X1
1F
11
5ql 4
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2.力法典型方程
例：
A
B
l
EI
2
取静定基
lF
2
l
三次静不定结构
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X3 X2
X1
F
静定基
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得：
4l3 3EI
X1
l3 2EI
X2
3l 2 2EI
X3
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0
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X
1
l3 3EI
X2
l2 2EI
X3
5Fl3 48EI
0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2EI
X1
2EI
X2
EI
X3
8EI
0
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化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
材料力学简单静不定问题
a
上增加的约束，称为多余约束。相应
的反力称为多余约束力。
F
多余约束并不“多余”，通过增加多
A
CBa
余约束，可提高安全度，减少变形。
a
精品课件
4
2、静不定结构的类型
外力静不定结构
仅在结构外部存在多余约束，即支座反力不能全由静力 平衡方程求出。
q
q
FAx
A
B CD
FAy
FB
FC FD
精品课件
5
2、静不定结构的类型
精品课件
9
m
（基） （相）
X1
P
m
P
X2 X3
精品课件
X1
X1
P
X1
X3
1X02
P X2 X3
X1
P X1
X2 X3
P X1
X2 X3
精品课件
11
静不定次数
1． 外静不定结构 约束反力数-平衡方程数
2 ．内静不定结构 将结构切开一个或n个截面——去掉内部多余约束，使其变 成静定的，则切开截面上内力分量的总数就是静不定次数 内力分量的总数=原内部多余约束数
FN2 l EA
,
B
DlTaDT品,课N件2
3EAalDT,
10
RC
6E
AalDT
5 37 ,
❖第三节 扭转静不定问题
精品课件
38
解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得；
Dl2
FN2l EA
联立静力方程求解得到：
FN15 3F
FN2
6F 5
静不定结构 力学(固体力学)
静不定结构力学（固体力学）静不定结构是具有多余约束的结构，又称超静定结构。
定义
静不定结构是具有多余约束的结构，又称超静定结构。
多余约束是指在静定结构上附加的约束。
每个多余约束都带来一个多余未知广义力，使广义力的总数超过了所能列出的独立平衡方程的总数，超出的数目称为结构的静不定度或静不定次数。
理论力学是基础，材料力学是一个过渡。
三大力学：理论力学、材料力学、结构力学。
理论力学是研究物体机械运动的基本规律的学科。
力学的一个分支。
它是一般力学各分支学科的基础。
理论力学通常分为三个部分：静力学、运动学与动力学。
静力学研究作用于物体上的力系的简化理论及力系平衡条件。
材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。
一般是机械工程和土木工程以及相关专业的大学生必须修读的课程，学习材料力学一般要求学生先修高等数学和理论力学。
结构力学是固体力学的一个分支，它主要研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化的学科，它是土木工程专业和机械类专业学生必修的学科。
力学用力法解静不定结构资料
D1P
1 EI
qa 3 2
a
qa 4 2 EI
由d 11 X1
D1P
0得X 1
3qa 8
X B 0,
YB
3qa 8
X A 0,
YA
11qa 8
,
MA
qa 2 8
逆时针
求图示刚架的支反力。
M
0 1
图
MP图
ห้องสมุดไป่ตู้
d 11
2 EI
a2 2
2a
3
2a 3 3EI
D1P
1 EI
1 qa
B 3 qa2 28 1 28
qa 28
试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。
MP图
M
0 1
图
d 11
1 EI
a2 2
2a 3
a2
a
4a 3 3EI
D1P
1 EI
qa 3 2
a
qa 4 2 EI
d 11
1 EI
a2 2
2a 3
a2
a
4a 3 3EI
1 EI
p（L 4
l）
pL 4
(
l 2
)
e
Pel 2L l
8EI
d11
M 0M 0 dx
L EI
N0N0 dx
L EA
N
0
1
N
0 1
dx
L EA1
d11 eEe2E2ILIl
EElLAAElAE11A1
l E
e2 I
1 A
1 A1
（四）建立正则方程：
1.因CD杆为一连续杆，故 D1 0 ，从而正则方程应为：
材料力学第11章.
2017/9/30
A AD 2 qd an g 2g
8
圆环横截面上的内力：
qd
y
qd D 2 d
d o x
2Nd
0
D qd d sin qd D 2
Nd
Nd
AD 2 2 Nd 4g N d D 2 2 v 2 d A 4g g
g
g
Q
X
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Ax Q a Q a 0 0 即 FNd ( x) Ax g g
5
Q a g
Q
FNd ( x) 吊索截面上的内力：
根据动静法，列平衡方程：
解得：
a FNd ( x) ( Ax Q)(1 ) g FNd Ax Q a d ( x) (1 ) A A g
甚至降为零，冲击物得到一个很大的 负加速度a，结构受到冲击力的作用。
受冲击 的构件
采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。
2017/9/30
12
根据能量守恒定律，即
T V U
T :冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；
V :冲击物接触被冲击物后，所减少的势能； U :被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的变形能。
吊索中的动应力为：
Ax Q st Aa 代入上式，并引入记号K d 1 ，称为动荷系数，则： g
当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静荷应力为：
d st Kd
2017/9/30 6
于是，动载荷作用下构件的强度条件为：
d max ( st )max Kd [ ]
2017/9/30 7
建筑力学第11章静定结构的内力计算
2）联合桁架 由几个简单桁架按几何不变规律 联合组成的桁架（图 11.28（c）所示）。 3）复杂桁架 不按上述两种方式组成的其他形 式的桁架（图 11.28（d）所示）。 46
11.4.2 静定平面桁架的内力计算 （1）结点法 结点法是以桁架的结点为研究对象，适用于计 算简单桁架。当截取桁架中某一结点为隔离体后， 得到一平面汇交力系，根据平面汇交力系的平衡条 件可求得各杆内力。又因为根据平面汇交力系的平 衡条件，对于每一结点只能列出两个平衡方程，因 此每次所选研究对象（结点）上未知力的个数不应 多于两个。
13
图 11.9
14
图 11.10
15
图 11.11 静定多跨梁与简支梁的受力比较
16
11.2 静定平面刚架 11.2.1 刚架的特征 刚架是由若干根梁和柱主要用刚结点组成的结 构。当刚架各杆轴线和外力作用线都处于同一平面 内时称为平面刚架，如图 11.12（b）所示。 在刚架中，它的几何不变性主要依靠结点 刚性来维持，无需斜向支撑联系，因而可使结构内 部具有较大的净空便于使用。如图 11.12（a）所 示桁架是一几何不变体系，如果把 C 结点改为刚 结点，并去掉斜杆，则该结构即为静定平面刚架， 如图 11.12（ b）所示。
6
图 11.3
7
图 11.4
8
（3）斜梁的内力图 在建筑工程中，常会遇到杆轴倾斜的斜梁，如 图11.5所示的楼梯梁等。 当斜梁承受竖向均布荷载时，按荷载分布情况 的不同，可有两种表示方式。一种如图 11.6 所示 ，斜梁上的均布荷载 q按照沿水平方向分布的方式 表示，如楼梯受到的人群荷载的情况就是这样。另 一种如图 11.7所示，斜梁上的均布荷载 q′按照沿 杆轴线方向分布的方式表示，如楼梯梁的自重就是 这种情况。
11.4.2 静定平面桁架的内力计算 （1）结点法 结点法是以桁架的结点为研究对象，适用于计 算简单桁架。当截取桁架中某一结点为隔离体后， 得到一平面汇交力系，根据平面汇交力系的平衡条 件可求得各杆内力。又因为根据平面汇交力系的平 衡条件，对于每一结点只能列出两个平衡方程，因 此每次所选研究对象（结点）上未知力的个数不应 多于两个。
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图 11.9
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图 11.10
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图 11.11 静定多跨梁与简支梁的受力比较
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11.2 静定平面刚架 11.2.1 刚架的特征 刚架是由若干根梁和柱主要用刚结点组成的结 构。当刚架各杆轴线和外力作用线都处于同一平面 内时称为平面刚架，如图 11.12（b）所示。 在刚架中，它的几何不变性主要依靠结点 刚性来维持，无需斜向支撑联系，因而可使结构内 部具有较大的净空便于使用。如图 11.12（a）所 示桁架是一几何不变体系，如果把 C 结点改为刚 结点，并去掉斜杆，则该结构即为静定平面刚架， 如图 11.12（ b）所示。
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图 11.3
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图 11.4
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（3）斜梁的内力图 在建筑工程中，常会遇到杆轴倾斜的斜梁，如 图11.5所示的楼梯梁等。 当斜梁承受竖向均布荷载时，按荷载分布情况 的不同，可有两种表示方式。一种如图 11.6 所示 ，斜梁上的均布荷载 q按照沿水平方向分布的方式 表示，如楼梯受到的人群荷载的情况就是这样。另 一种如图 11.7所示，斜梁上的均布荷载 q′按照沿 杆轴线方向分布的方式表示，如楼梯梁的自重就是 这种情况。
吉林大学理论力学课件-第11章
( - m 2 gR Sin ) M q S 2 1 1 u C = 2 C R ( m + 3 2 ) m 2 1 2 1 1 1
式(a)是函数关系式， 两端对t求导,得
1 uC (2 1 + 3 2 ) C C = M C - m 2 g Sin ∙ C m1 m 2 u C a C q u C 2 2 R 1 1
2、弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m) ) 弹性力
r r r F = - k ( r - l0 ) r e
弹性力的功为 弹性力的功为
r r 1 W12 = ò F × d r 12 A A 1 1 n
A A 2 2
=ò A
A A 2 2
A 1 1
r r r -k (r - l0 )er × d r 0 r
2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
§11-2
1、质点的动能 1、质点的动能
质点和质点系的动能 质点和质点系的动能
1 T = m 2 u 2 = 2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
1 2 2 T = å m ui = i i 2 i
§11-3
1、质点的动能定理 1、质点的动能定理
动能定理
r r r , d u r 两端点乘 r 将 m u dt = d , r = F d t r r r r r 得 mu × du = F × d r r r 1 2 r r r 2 mu × du = d( mu ), F × dr = d w, 由于 2 1 2 d mu 2 ) = dw ( 因此 因此 2
r r = Fii¢× drC + M C d j C C