第一章 函数
高数同济大学第三版 第一章第六节 双曲函数
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x . 反双曲函数还有如下的表达式： 反双曲函数还有如下的表达式：
y = arsh x = ln( x + x + 1)，
2
y = arch x = ln( x + x − 1)，
2
1 1+ x y = arth x = ln ， 2 1− x 1 x +1 y = arcoth x = ln . 2 x −1
第一章 函数 极限 连续
第六节
双曲正弦函数
双曲函数
y
e −e sh x = 2
x
−x
, x ∈ ( −∞ ,+∞ ).
y = ch x
1
双曲余弦函数
y = sh x O x
e x + e− x ch x = , x ∈ ( −∞ ,+∞ ). 2
双曲正切函数
e x − e − x sh x th x = x 即 , x ∈ ( −∞ ,+∞ ). −x e + e ch x
y
1
y = th x O x
-1
双曲余切函数
e x + e− x coth x = x e − e− x ch x 即 sh x , x ∈ ( −∞ ,0) U (0,+∞ ).
y
1
y = coth x
O
-1
x
这些函数之间存在着下述关系： 这些函数之间存在着下述关系： sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y . ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x − sh2 x = 1 .
《微积分(第四版)》第一章 函数
分配律： A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C )
对偶律： ABA B
A BAB
.
17
例1 证明对偶律 ABA B.
证明 设xAB，则xAB，
即 x A 且 x B ， 于 是 x A 且 x B ，
因 此xA B，所 以 A B A B；
xA B
所 以 A BA B。
.
19
例2 证明 ABA B.
U
证明 对 任 意 的 x A B
A
x A 且 x B B
x A 且 x B
xA B
所 以 A BA B 。
.
20
例3 证明吸收律 A (AB )A.
证明 A(A B) (A U ) (A B ) A(UB) A U
A.
反 之 ， 若 x A B， 即 xA且 xB， 也 即 x A 且 x B ， 于 是 x A B，
从 而xAB，所 以 A B A B。
综 上 所 述 ， A B A B 。
.
18
例1 证明对偶律 ABA B.
或证 对 任 意 的 xAB
xAB x A 且 x B
x A 且 x B
1、并集 A B {x |x A 或 x B }
U
A
B
例如，A{1,2,3}, B{3,4,5}, 则 A B {1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
基本性质： A A B ,B A B
A A ,A U U ,A A A
.
13
2、交集 A B {x |x A 且 x B }
.
4
第一章 函 数
.
5
第一节 集合
大学微积分第一章 函数
X
f
Y f (X )
①满射 若 f ( X ) Y ,则称 f 为满射;
②单射
若
有
X
Y
则称f 为单射; ③双射 若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
2.【逆映射与复合映射】
⑴【逆映射】 设
f :X Y
是单射
记作
1
定义
称映射
g
g : f (X ) X
为映射
f
的逆映射
周期为
【注】 周期函数不一定存在最小正周期 . 【例如】 常量函数 f ( x ) C
狄里克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
五、复合函数
1【定义】 设有函数链
y f ( u), u D1
且 g( D ) D 1
① ②
则 称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量. 【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
y 与之对应则称这个对应 D 上的一个一元函数，简
因变量
y f ( x ) , x D, 函数值
定义域
函数
自变量
x 0 处的
当 x 0 D 时 , 称 f ( x 0 )为函数在点
函数值 值域
函数值全体组成的数集 R f { y y f ( x ), x D } 称为函数的
2.【函数的两要素】定义域与对应法则.
第一章
函数
一. 区间和邻域 二. 映射 三. 函数概念 四. 函数的特性 五. 复合函数 六. 基本初等函数
七. 初等函数
八. 经济学中常用的函数
预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
高等数学第一章.
记作A
B,即A
B
x
xA或xB.
交集(Intersection): 设A和B是两个集合,由既属
于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为集合A
和集合B的交集, 空集:如果A和B没有公共元素，则称集合A和集合B
集合的表示方法：列举法和描述法。
1.列举法：就是把所有元素都列出来，用大括号括
起来。
s 例如：如果令 表示由2、3、4三个数组成的集合，
用列举法将其写成：s ={2,3,4}
2. 描述法：用语言描述出所有元素的共有特征。
若令 I 表示所有正整数集合,列举便很困难,则我们
可以简单地描述其元素,
写成：
称A是有限集,否则称为无限集(Infinite Set). 我们用N表示全体自然数的集合，即N{1,2,3,L }， 如果存在从A到自然数集合N的双射,则称A是可数无 限集(Countable Infinite Set). 1.2 实数 用Z表示全体整数的集合， 用Q表示全体有理数的集合。
有理数和无理数统称为实数, 用R表示. 把数轴叫做实直线。 上界(Upper Bound):令X是R的一个子集。若存在一 个实数u(不一定属于X), 满足对X中的任意x都有xu, 则称u是X的上界(Upper Bound). 这时称X是有上界的(Bounded Above).类似地，可以
定义下界(Lower Bound).
上确界(Supremum): 令X是R 的一个有上界的子集，
若s是X的一个上界，且对于任意的 y s 都存在一个 xX ,使得x y，则称s是X的上确界。 记为s=sup X; 类似地，可以定义X的下确界(Infimum)。 上确界是最小上界，下确界是最大下界 若X是R的一个有上界（下界）的子集，则X有上确界
高数 第一章
⑤奇，偶函数的运算性质 i) 有限个奇函数或偶函的和仍为奇（偶)（差不 一定）
ii) “同性”相乘为偶，“异性”相乘为奇 iii) 任意一个对称区间的函数可表达 为一个奇函数和一个偶函数之和：
xaa
ln xyln xln y(x>0, y>0)， O
x ln ln xln y(x>0, y>0)。 -1 y
5 .三角函数 ysin x与ycos x的定义域均为(, )，均以 2p为周期。ysin x为奇函数，ycos x为偶函数。 它们都是有界函数。
1
y=cosx y y=sinx
1
-2
-1
0
1
2
x
4 .对数函数y=logax 对数函数是指数函数y=ax的反函数, 定义域为 (0,),图形通过(1, 0)点。当 a>1 时, 函数单调增 加；当 0<a<1时, 函数单调减少。
常用公式： x ln eln x(x>0)， ln x(x>0)，
2 1
1 2 3 y y=log2x y=log10x 4 x y=log0.1x y=log0.5x
第一章
第一节函数
本节重点：
1、函数定义域与表达式求法
2、函数特性（4个）判别
3、区间与邻域的概念
一、 预备知识
1.绝对值:
①运算性质: ②绝对值不等式 :
2、区间与邻域
① 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
开 (a, b) x | a x b 有限区间 闭 a, b x | a x b 区间 半开半闭 a, b x a x b 半无限 a, , (, b) 无限区间 全无限 (-, +)
1 第一章 函数 1第一节2
9x 4 , x 0
3x 1 , 0 x 1 x, x 1
1,0 x 1 ,则函数 f ( x 3) 的 例8 设 f ( x ) 2,1 x 2
定义域是
A.
C.
1,0 x 1 解 f ( x) 2,1 x 2 1,0 x 3 1 1, 3 x 2 f ( x 3) 2,1 x 3 2 2, 2 x 1 故函数 f ( x 3) 的定义域: [3, 1].
cot(arc cot x) x
思考：
求下列函数的定义域
x2 y arcsin 3
(2) 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D f
且 Rg D f
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注: 1) 函数g 与函数 f 构成的复合函数 通常记为
直接函数 y f ( x )和反
y yx y f ( x)
Q(b, a) 函数 y ( x ) 的图形关于直线 y x 是对称的. O
x
例如： y＝ex 的反函数为x=lny;
y=3x2的反函数?
练习：求 y＝log3(2x－3) 的反函数。
解： 从方程 y＝log3(2x－3) 中解出x为
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
• 三角函数 正弦函数 y sin x;
y sin x
余弦函数
y cos x;
y cos x
正切函数 y tan x;
y tan x
余切函数
第一章集合与函数概念(复习课件)
2011年11月11日星期五 2011年11月11日星期五
2011年11月11日星期五 2011年11月11日星期五
学习目标 1. 进一步理解函数的概念及其性质 进一步理解函数的概念及其性质 函数的概念及其 2. 熟练掌握函数的表示方法及单调性、奇偶性的判断 熟练掌握函数的表示方法 单调性、奇偶性的判断 函数的表示方法及 的判断.
⇒ a 2 − 3a < 0 ⇒ 0 < a < 3
2011年11月11日星期五 2011年11月11日星期五
2011年11月11日星期五 2011年11月11日星期五
练习
1.下面四组中的函数f ( x )与g ( x ), 表示同一个函数的是(C ) B . f ( x ) = x , g( x ) = x 2 A. f ( x ) = x , g ( x ) = ( x )2
C . f ( x ) = x , g( x ) =
3
x3
D. f ( x ) =| x 2 − 1 |, g ( x ) =| x − 1 |
2.求函数y = ax + 1在[0,2]上的最值. [0,2]上
当a > 0时, y的最大值为2a + 1, 最小值为1;当a < 0时, y的最大值为1, 最小值为2a + 1 : 当a = 0时, y = 1
练习
7.(1)设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},B={2,3,4}, U={0,1,2,3,4},集 A={0,1,2,3},B={2,3,4}, 则(C U A) ∪ (C U B ) = ____ {0,1, 4}
(2)设集合M = { x | 0 ≤ x < 2}, E = { x | x 2 − 2 x − 3 < 0}, 则M ∩ E = [0, 2) ___ . 8.已知f ( x + 1)是偶函数, 且x ≤ 1时, f ( x ) = x 2 + x , 求x > 1时, f ( x )的解析式. f ( x) = x2 − 5 x + 6 x 9.已知f ( x )是定义在(0, +∞ )上的增函数, 且f ( ) = f ( x ) − f ( y ), f (2) = 1 y 1 ) ≤ 2. (3, 4] 解 不等式f ( x ) − f ( x−3 7 x2 + 2x + a 1 10.已知函数f ( x ) = , x ∈ [1, +∞ ), 求a = 时, 函数f ( x )的最小值. 2 x 2 11.已知集合A = { x | x 2 − 3 x − 10 ≤ 0}, B = { x | m + 1 ≤ x ≤ 2m − 1}, 若A ∪ B = A,
第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限区间在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称闭区间a≤x≤b [a，b]开区间a＜x＜b （a，b）半开区间a＜x≤b或a≤x＜b （a，b]或[a，b）以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
邻域设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
函数x (D为非空实数集)函数y=f(x)、y=F(x) DD为函数的定义域。
通常x叫做自变量，y叫做因变量。
函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.函数的单调性如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
函数的奇偶性如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义域中含有0，则F(0)=0。
f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。
第一章实数集与函数
第一章 实数集与函数教学进度：使用六个学时 一 .实数1．实数集的元素构成：有理数与无理数。
有理数是可以用分数形式),(互素q p qp 表示的数，或者也可以说可用有限小数或无限的循环小数来表示；无限的不循环小数则称为无理数。
2．任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。
举例： 917291792182&L L ...==L L 00000.= 978&.−=−3．如何定义两个实数的大小定义1 ，为两个非负的实数，若L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=1），则称x,y 相等，记为),,,,(,L L n k b a k k 10==y x =。
2）若或00b a >),,(..,l k b a t s l k k L 10==∃而，则称x 大于y ，记为11++>l l b a .y x > 下面会给出通过有限小数来比较实数大小的等价条件，先来介绍一个概念。
定义2 设是一个非负实数。
称有理数L L n a a a x 10.=n n a a a x L 10.=为x 的n 位不足近似，而有理数n n n a a a x 10110+=L . 位x 的n 位过剩近似， .,,L 10=n 举例 的0位，1位，2位，3位的不足近似是5，5.1, 5.17, 5.178 ; 0位，L 178965.1位，2位，3位的过剩近似是：6，5.2, 5.18, 5.179. 从这个例子可以看出：不足近似是递增的，过剩近似是递减的。
对于负实数又是如何定义不足与过剩近似？对于负实数L L n a a a x 10.−=，注 1.n n x x x ≤≤2.实数x 的n 位不足近似随着n 的增大不减；实数x 的n 位过剩近似n x n x 随着n 的增大不增。
命题 设，为两个实数，则L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=y x >的等价条件是：存在非负整数n ，使得.n n y x >因此就不在此叙述。
高数一第一章复习题
第一章函数及其图形复习提示本章重点：函数概念和基本初等函数。
难点：函数的复合。
典型例题分析与详解一、单项选择题1 下列集合中为空集的「」A ｛ ｝B ｛0｝C 0D ｛x｜x2+1=0，x∈R｝「答案」选D「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0是一个数，不是集合，故C 也不是空集。
在实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集2 设A=｛x｜x2-x-60｝，B=｛x｜x-1≤1｝，则A∩B=「」A ｛x｜x3｝B ｛x｜x-2｝C ｛x｜-2「答案」选B「解析」由x2-x-60得x3或x-2，故A=｛x｜x3或x-2｝；由x-1≤1得x≤2，故B=｛x｜x≤2｝，所以A∩B=｛x｜x-2｝。
3 设A、B是集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，且A∩B={1，3，7，9}，则A∪B是「」A {2，4，5，6，8}B {1，3，7，9}C {1，2，3，4，5，6，7，8，9}D {2，4，6，8}「答案」选A「解析」由A∪B=A∩B={1，3，7，9}，得A∪B={2，4，5，6，8}4 设M={0，1，2}，N={1，3，5}，R={2，4，6}，则下列式子中正确的是「」A M∪N={0，1}B M∩N={0，1}C M∪N∪R={1，2，3，4，5，6}D M∩N∩R= （空集）「答案」选D「解析」由条件得M∪N={0，1，2，3，5}，M∩N={1}，M∪N∪R={0，1，2，3，4，5，6}，M∩N∩R= .5 设A、B为非空集合，那么A∩B=A是A=B的「」A 充分但不是必要条件B 必要但不是充分条件C 充分必要条件D 既不是充分条件又不是必要条件「答案」选B「解析」若A=B，则任取x∈A有x∈B，于是x∈A∩B，从而A A∩B 又A∩B A，故A∩B=A反之不成立 例A={1，2}，B={1，2，3}，显然A∩B=A，但A≠B6 设有集合E={x-1故所求反函数为y=－x，0≤x≤4，x+4，-431 设f（x）在（-∞，+∞）内有定义，下列函数中为偶函数的是「」A y=f（x）B y=-f（x）C y=-f（-x）D y=f（x2）「答案」选D「解析」由偶函数定义，D中函数定义域（-∞，+∞）关于原点对称，且y（-x）=f［（-x）2］=f（x2）=y（x），故y=f（x2）是偶函数32 函数f（x）=loga（x+1+x2）（a0，a≠1）是「」A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数「答案」选A「解析」因该函数定义域为（-∞，+∞），它关于原点对称，且f（-x）=loga-x+1+（-x）2=loga1+x2-x=log31+x2-x21+x2+x=log31x+1+x2=-log3x+1+x2=-f（x）故f（x）=logax+1+x2为奇函数33 设函数f（x）=x（ex-1）ex+1，则该函数是「」A 奇函数B 偶函数C 非奇非偶函数D 单调函数「答案」选B「解析」因为f（x）的定义域是（-∞，＋∞），且f（-x）=-x（e-x-1）e-x+1=-x1-exex1+exex=x（ex-1）ex+1=f（x）。