第一章 解析函数

当复数用三角表示法时有 , z r (cos i sin ) , z r 其中称为复数z的辐角, 记为 Argz 我们称满足 的辐角为z的辐角主值, 记作 arg z , 从而 Argz arg z 2k 设z x yi y x 0, y任意 arct an x , , x 0, y 0 arg z 2 y arct an x , x 0, y 0 , x 0, y0 arct an y 其中 2 2 x
i 3

z3 z1 1 3 i z 2 z1 2 2
在z1 z 2 z n r1r2 rn e i ( 1 2 n )中令z1 z 2 z n , 则我们可得到所谓的 的n次幂 z z n z1 z 2 z n r n (cosn i sin n )
边界点: 如果点P的任意小邻域点包含有 中点, 但P本身 D 不属于D 边界 : D的所有边界点的集合记为D. , 区域D连同它的边界一起称为 闭区域或闭域 . 有界集 : 设D是C上一个点集, 如果存在一个关于原 点的(足够大)领域N (0, k ), 使得D N (O, K ) 即D中点z都满足 z k , 称为有界集, 否则称为无界集 .
们以P为共同的边界 其中一个区域是有界的称为P的内部, 另一个区 , ,
介绍单连通区域与多连 通区域 单连通区域: 区域D内任意一条简单闭曲线 的内部仍在D内; 多连通区域: 不是单连通的区域 . 特别地, 领域N ( z0 , )是一个单连通域 去心邻域 N ( z0 , )是一个多 , 连通区域. 设函数 W f(z)的定义域是z平面上集合E , 其值域是W平面 上的集合M , 则M中的每个点W也反过来对应着 中一个(或 E 多个)点, 按函数定义, 在M上就确定了一个单值或多值) ( 函数定义, 称 为W f ( z )的反函数, 记为z f 1 ( w)或z ( w).
例设a是一给定复数 且 a 1, 则函数 , za W f ( z) 在复平面c上单叶 1 az (单值 单射) 例证明复平面上的直线 方程可以写成 a z az c, 其中a 0为复常数, c为实 常数.
2.2复变函数定义 定义2.1设E为一复数集, 若对E中每一复数, 有唯一确定的 复数W与之相对应, 则称在E上确定了一个单值函数 f ( z ), W z E; 若对E中每一个复数 有两个或两个以上包括无穷多 , ( 个)的复数W与之对应, 则称在E上确定了一个多值函数 W f ( z )(z E ).通常情况下 函数指单值函数 且定义域取复 , , 数值. z 1 例 : 函数W z , W z , W ( z 1)均为z的单值函数, 它们 z 1 都是复变复值函数 .
另外规定关于 的四则运算如下: (1) a a ( a ) ( 2) a a ( a ) (3) a a ( a 0) a ( 4) 0, ( a ) a a ( a 0) 0 0 但 ,0 , , 仍然是无意义的 . 0
n
)
其中k 0,1,2, , n 1 棣莫弗(De Moivre 公式 ) (cos i sin ) n cos n i sin n 例设z 2 2i, 求z 7 及3 z
例设z 2 2i, 求z 及 z
7 3
z 2 2i, 解 : z (2) 2 (2) 2 2 2 ; 2 3 arg z arctan , 2 4 4 3 3 z 2 2 (cos( ) i sin( )) 4 4 3 3 2k 2k 3 z 3 2 2 (cos( 4 ) i sin( 4 )),k 0,1,2 3 3 3 3 k 0时, z0 3 2 2 (cos( 4 ) i sin( 4 )) ; 3 3 3 3 2 2 k 1时, z1 3 2 2 (cos( 4 ) i sin( 4 )) : 3 3
x x(t ) 设x(t ), y (t )是两个连续的实变函数则方程组 , ( a t b) y y (t ) 表示一条平面曲线 称为连续曲线如果令z (t ) x(t ) iy (t ),则这曲 , . 线就可以用一个方程 z (t ), (a t b)来表示, 这就是平面曲线的 z 复数表示. 设P : z z (t ) (a t b)是一条连续曲线z (a )与z (b)分别称为P的 . 起点和终点 如果存t1 t 2 , 使得z (t1 ) z (t 2 ),则称点z (t1 )是曲线P的重 , 点, 没有重点的连续曲线称 为简单曲线或 约当闭曲线 简称围道. , Th2.1( JordanTheo )任一简单闭曲线 把复平面分成两个区域它 rem P , 域是无界的 称为P的外部.(叙而不证) , ( Jordan曲线, 如果简 ) 单曲线起点和终点重合即z (a) z (b),则称简单闭曲线或 ,
z1 Arg ( ) Argz2 Argz2 z2 例1.6试证明,以三个复数z1 , z 2 , z3为顶点构成的三角形为 等边三角形的充要条件 为 z1 z 2 z3 z1 z 2 z 2 z3 z3 z1
2 2 2
不妨设 z3 z1 ( z1 z 2 )e 平方后化简即得证 .
2
函数W z , W Re z , W Argz都是复变实值函数 且前二者是 , 单值的, 后者是无穷多值的 .
Hale Waihona Puke 函数z z1 t ( z 2 z1 ), z1 , z 2是两个不同的固定复数 t , , 则是实变复值函数 . 由于给定了一个复数 x yi就相当于给定了两个实 x和y, z 数 反之亦然, 反以, 复变函数W和自变量z之间的关系W f ( z )也可写成 W u ( x, y ) iv( x, y ), 其u ( x, y ), v( x, y ))是二元实函数 . 例 : 设函数W z 2 , 试问它把z平面上的下列曲线或区 域分别变成W平 面上的什么曲线或区域 ? (1)以原点为中心 2为半径位于第I象限的圆弧; , (2)角形域0 arg z / 6; (3)双曲线x 2 y 2 1
0
特别地, 如果W f ( z )在E上单值, 且对于E中任两个不同
的点, 其像也是不同的 称W f ( z )在E上是一一的或单叶的 , (univalent ). 设函数 f(z )把集合E映成集合N , 而函数W g ( ) 又把集合N映成集合M , 则称将E映射成M的那个函数为 由f和g所复合成的复合函数 . 记W gf ( )或W g[ f ( z )] 如W ( z i) 2 可以看作是由 2 , 2 i复合而成. W
2 复变函数 2.1 点集与区域 所谓点集就是复平面上 某些点的集合 . N(z0 , ) {z | z - z 0 }, 其中 0, 称为z 0的 邻域. N(z 0 , ) {z | 0 z - z 0 }, 其中 0, 称为z 0的去心邻域 . 特别地, M ( M 0)称为无穷远点的邻域 . M 就表示无穷远点的去心 领域. 内点 : 设D是复平面C上的一个点集 z0是D内一点, 如果存 , 在z0的某一个邻域 使得这个邻域中的点都 , 包含于D, 则称 z 0 为D的内点 . 开集 : 如果D内每一点都是它的内点则称D为开集. , 连通 : 是指D中任何两点都可以用一 条完全属于D的折线 连接起来 . 区域 : 连通的开集称为区域 .
如果用复数指数形式则更简单 , 设z1 r1e , z1 z 2 r1r2 e 即设
i (1 2 ) i1
z 2 r2 e
i 2
上式可以推广至 个复数的乘积情形 n . z k rk e i k rk (cos k i sin k ) k 1,2, n 则z1 z 2 z n r1r2 rn ei (1 2 n ) 对于复数的除法同理可得 , z 2 r2 r2 i ( 2 1) [cos( 2 1 ) i sin( 2 1 )] e z1 r1 r1 r2 z2 由此, z1 r1
设复数z x yi, x, y R, 称x yi为复数z的共轭 复数, 记作z ,即z x yi, 共轭复数满足下列性质 :
(1) z1 z2 z1 z2 z1 z1 (2)z1 z2 z1 z2 , ( ) z2 z2 (3) z z (4)z z 2 Re ( z ) , z z 2iI m ( z ) z z [ Re ( z ) ]2 [ I m ( z )]2 1.2复数的表示法 代数表示法: x yi 向量表示法:向量OP 三角表示法: z r (cos i sin ) 指数表示法: z re i (欧拉公式: ei cos i sin )
1.3复球面与扩充复平面 当P N , 作为N的对称点, 我们引入一个无穷远点记为. , 于是球面上每一点都有 唯一的一个复数与之对 .称这样 应 的球面S为黎曼复球面简称复球面 . . 同时, 我们把包括无穷远点在 内的复平面称为扩充复 平面, 记为C * ,即C * C 对于复数而言, 实部, 虚部与辐角的概念均无 意义, 但其模 为无穷大,即 .
1.4复数的乘幂与方根 利用复数的三角表示法 来进行复数的乘积与商 运算是方便的 . 例如 : 则 设z1 r1 (cos1 i sin 1 ) z 2 r2 (cos 2 i sin 2 ) z1 z2 r1r2 (cos( 1 2 ) i sin(1 2 ) ) z1z 2 z1 z2 Arg (z1z 2 ) Argz1 Argz 2 (*)式应理解为两个集合的 相等 如果用辐角主值来表示我们有 , arg(z1z 2 ) arg z1 argz2 2k 其中k按 arg z1 , argz2的情况取0,1. (*) 于是, 我们得到