第1章 量子力学基础-习题与答案

一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。

对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。

试用测不准关系判断该模型是否合理。

解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。

二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。

正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。

()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。

------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。

欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu 的K α线(波长为154 pm 的单色X 射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为___________________J 。

T =()λh m mp 22122==1.016×10-17 J2. 金属钠的逸出功为2.3eV ，波长为589.0？nm 的黄光能否从金属钠上打出电子？在金属钠上发生光电效应的临阈频率是多少？临阈波长是多少不能141005.56,539.110nm s νλ-=⨯=3. 金属钾的临阈频率为5.464×1014 s -1，如用它作为光电池的阴极，当用波长为300 nm 的紫外照射该电池时，发射的光电子的最大速度是多少？解： 2012hv hv mv =+()1205128.1210h v v v m m s --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⨯4. 自旋相同的两个电子在空间同一点出现的概率为_____0____。

5. 微观粒子运动的量子力学共性有（能量量子化），（波粒二象性）和（测不准关系） 。

测不准关系式为（x x P h ∆•∆≥），这一关系的存在是微粒具有（波粒二象性）的结果。

6.CO 2激光器给出一功率为1KW,波长为10.6μm 的红外光束，它每秒发射的光子数= 5.33×1022 个。

（1KW=1000 J/s ，光子能量81342062.99810(6.62410) 1.8741010.610cm s hv hJ s J mελ----⨯•===⨯•⨯=⨯⨯， 每秒钟的光子数量=11222010001000 5.33101.87410J s J s ε---••==⨯⨯） 7. 量子力学的几个假设有（状态和波函数假设）；（力学量和线性厄米算符假设）；（本征方程假设）；（状态叠加原理假设和薛定谔方程的假设）。

8. 函数*)x φ（称为)x φ（的（ 共轭 ）函数。

9. 微观粒子的运动状态可用（波函数）描述，波函数必须满足（连续）；（单值）和（平方可积）三个条件，称之为（品优）函数。

10. 2∇= 222222x y z ⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭，是（Laplace, 拉普拉斯）算符；能量算符ˆH =222ˆ8h V mπ⎡⎤-∇+⎢⎥⎣⎦。

坐标算符x =（x ） 。

时间算符t =（t ）。

11. 在边长为a 的一维势箱中运动的粒子，当量子数n 等于1,2,3时,其波函数()x ψ和能量E 分别为()22111,,/8xn x E h ma aπψ=== ;()222222,,4/8xn x E h ma aπψ=== 12. 下列函数中 (1) sin x cosk x(2) cos 2x(3) sin 2x -cos 2x哪些是d/d x 的本征函数，本征值是多少，哪些是d 2/d x 2的本征函数，本征值是多少？解：kx x k kx x kx x xsin sin cos cos cos sin d d-=kx x k k x k kx x k kx x kx x xcos sin sin cos sin cos cos sin cos sin d d 222----= =kx x k kx x kx x cos sin sin cos 2cos sin 2+--2222222222222222dcos 2sin cos d d cos 2sin 2cos d d(sin cos )2sin cos 2sin cos 4sin cos d d (sin cos )4cos 4sin 4(sin cos )d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x=-=--=+=-=-=--13. 下列函数中，哪几个是算符22d dx 的本征函数？若是，求出本征值。

3,sin ,2cos ,,sin cos x e x x x x x +解：221x x d e e dx =⨯，xe 是22d dx的本征函数，本征值为1；22sin 1sin d x x dx =-⨯，sinx 是22d dx 的本征函数，本征值为-1； 222cos 2cos d x x dx =-，2cosx 是22d dx 的本征函数，本征值为-1； 23326d x x cx dx =≠，x 3不是22d dx的本征函数 ()()22sin cos 1sin cos d x x x x dx +=-+，sinx+cosx 是22d dx的本征函数，本征值为-1；13. 请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：22,,d d d x i dx dxdx解：线性算符：()1212ˆˆˆA A A ϕϕϕϕ+=+线性自轭算符：()()11111221ˆˆˆˆA d A d A d A d ϕϕτϕϕτϕϕτϕϕτ****==⎰⎰⎰⎰由以上线性算符与线性自轭算符的定义知：线性算符有：22,,d d x dx dx线性自轭算符有：d idx四、计算题1. 2ax xeϕ-=是算符22224d a x dx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的本征函数，求其本征值。

解：应用量子力学假设II 和III ，得：()()22222222222222222222222223232344424244466ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax d d a x a x xe dx dx d xe a x xe dxd e ax e a x e dxaxe axe a x e a x e axe a ϕϕ-----------⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=--=--+-=-=-因此，本征值为-6a.2．测不准原理的另一种形式为ΔE ·Δt ≥h /2π。

当一个电子从高能级向低能级跃迁时，发射一个能量子h ν， 若激发态的寿命为10-9s ，试问ν的偏差是多少？由此引起谱线宽度是多少(单位cm -1)？解： ∆E =9818110131/()21/(2)1/(210) 1.5910/ 1.5910/310 5.310hE t hv h v v t s v v c s cm s cm ππ------∆=∆=∆=∆π∆=∆=⨯=⨯∆=∆=⨯⨯=⨯3. 某粒子的运动状态可用波函数ψ=N e -i x 来表示， 求其动量算符ˆx p的本征值。

解：ˆ2()()22x ix ix h d pi dxh d h i Ne Ne dx πππ--=--=-本征值为 2h-π4. 一个电子处于宽度为10-14 m 的一维势箱中， 试求其最低能级。

当一个电子处于一个大小为10-14 m 的质子核内时， 求其静电势能。

对比上述两个数据，能得到什么结论？ (电子质量m e =9.109×10-31 kg ， 4πε0=1.113×10-10 J -1。

C 2。

m ， 电荷e =1.602×10-19 C)解： 一维势箱 28126.03108h E J ml-==⨯ 静电势能 2130 2.3104e V J rπε-=-=-⨯结论：由于动能大于势能, 体系总能量大于零, 不能稳定存在。

发出h ν≈E 1的射线(β射线)。

5. 作为近似， 苯可以视为边长为0.28 nm 的二维方势阱， 若把苯中π电子看作在此二维势阱中运动的粒子， 试计算苯中成键电子从基态跃迁到第一激发态的波长。