基于传递矩阵法的电主轴动力学特性分析

Ｆｕｎｃｌｉｏｎ　Ｕｎｉｌｓ功能郜件　基于传递矩阵法的电主轴动力学特性分析　杜　超①　丁玉成①　赵万华②　李长河①　（①青岛理工大学机械工程学院，山东青岛２６６０３３；　②西安交通大学机械工程学院，陕西西安７１００４９）　

摘要：研究了电主轴主要的结构参数对电主轴动力学特性的影响。运用传递矩阵法，考虑了陀螺力矩、剪　切、变截面等影响因素，建立了电主轴“转子一轴承”系统的多圆盘转子动力学模型，编程并计算了　电主轴的前三阶临界转速、振型等动力学特性参数，分析了电主轴轴承轴向预紧力、支承跨距及前、　后端悬伸量的变化对电主轴“转子一轴承”系统临界转速的影响和变化规律。结果表明：支承跨距　和悬伸量在一定范围内对临界转速有显著的影响，通过研究为电主轴的结构设计和性能优化提供依　据和指导。　关键词：电主轴传递矩阵动力学特性临界转速　中图分类号ＴＨ１３３．３　

Ａｎａｌｙｚｉｎｇ　Ｄｙｎａｍｉｃ　Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　Ｍｏｔｏｒｉｚｅｄ　Ｓｐｉｎｄｌｅ　ｏｎ　Ｔｒａｎｓｆｅｒ　Ｍａｔｒｉｘ　Ｍｅｔｈｏｄ　ＤＵ　Ｃｈａｏ①，ＤＩＮＧ　Ｙｕｃｈｅｎｇ①，ＺＨＡＯ　Ｗａｎｈｕａ②，ＬＩ　Ｃｈａｎｇｈｅ①　

（＠Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ　２６６０３３，ＣＨＮ；　＠Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉ’ａｎ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ　７１００４９，ＣＨＮ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｏｎ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｗｅｒｅ　ｓｔｕｄｉｅｄ．　Ｍｕｌｔｉ—ｄｉｓｋ　ｒｏｔｏｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｍｏｄｅ　ｗａｓ　ｂｕｉｌｄｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒ　ｍａｔｒｉｘ　ｍｅｔｈｏｄ，ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｇｙｒｏｓｃｏｐｉｃ　ｎｏ—　ｎｌｅｎｔ，ｓｈｅａｒ　ａｎｄ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｃｒｏｓｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ｗｅｒｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｔｈｒｅｅ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｓｐｅｅｄ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｔｏｒｉｚｅｄ　ｓｐｉｎｄｌｅ　ａｎｄ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅ　ｗｅｒｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ．Ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｅｌｏａｄ　ｖａｒｉａｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｓｕｐｐｏｓｉｎｇ　ｓｐａｎ　ａｎｄ　ｆｒｏｎｔ／ｒｅａｒ　ｏｖｅｒｈａｎｇ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｓｐｅｅｄｓ　ｗｅｒｅ　ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｕｐｐｏｒｔ—　ｉｎｇ　ｓｐａｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｍｏｕｎｔ　ｏｆ　ｏｖｅｒｈａｎｇ　ｈａｖｅ　ａ　ｍａｒｋｅｄ　ｉｍｐａｃｔ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｓｐｅｅｄ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍｏｔｏｒｉｚｅｄ　Ｓｐｉｎｄｌｅ；Ｔｒａｎｓｆｅｒ　Ｍａｔｒｉｘ；Ｄｙｎａｍｉｃａｌ　Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ；Ｃｒｉｔｉｃａｌ　Ｓｐｅｅｄ　

现代数控机床日益朝着高速、高性能的方向发展，　电主轴作为高速机床关键的核心部件，其动力学性能　直接影响高速机床所能达到的最高转速和加工质　量¨　。临界转速作为电主轴动力学性能的一个重要　指标，为了减小机械的振动，提高转轴的自动定心性能　及运行平稳性，往往尽可能地使工作转速远离其第一　阶临界转速，但同时要避免与第二、第三阶等高阶临界　转速相接近。　计算转轴临界转速的常用方法有：雷利（Ｒａｙ．　１ｅｉｇｈ）能量法、伽辽金法、积分法等，但这些方法存在　着有的不能考虑多种因素的影响，有的只能计算低阶　频率等不足。有限元法在计算时可以考虑各种因素，　计算精度随单元数目的增加而提高，需要占用更多的　计算机存储空间和机时，程序复杂。传递矩阵法计算　时矩阵的维数不随系统的自由度增加而增大，各阶临　界转速的计算方法完全相同，程序简单　Ｊ。　相关学者运用不同的方法分析了影响主轴动力学　性能的因素：主轴系统的质量　Ｊ、轴承传递给主轴的　力　ｊ，ＨＳＫ工具系统　Ｊ、磨削用电主轴砂轮型号和参　数　等。本文主要研究电主轴结构因素对主轴临界　转速的影响变化规律。文中运用传递矩阵法，在考虑　了陀螺力矩、剪切、变截面等影响因素下，研究了电主　轴轴承轴向预紧力、支承跨距及前、后端悬伸量的变化　对电主轴“转子一轴承”系统临界转速的影响和变化　

国家高科技计划“８６３”项目（２００８ＡＡ０４２５０８）、国家重点基础研究发展计划（９７３计划）项目（２００９ＣＢ７２４４０１）、“高档数控机床与基础制造装　备”科技重大专项（２００９ＺＸ０４０１４—０４３）和山东省泰山学者建设专项经费资助。　

等　ｓ・　功能部件Ｆｕｎｃ　ｎＵｎｉｌｓ　规律。　１　电主轴的动力学建模　传递矩阵法是将质量连续分布的实际轴段简化为　具有一系列集中质量和刚性盘，且各集中质量和刚性　盘问用无质量但有弹性的轴段连接起来的转子　。　１．１模型简化　图１为陶瓷球轴承电主轴的结构示意图，它由转　轴、角接触陶瓷球轴承、电动机转子铁芯等元件组成。　３　１一角接触球轴承；２一电动机转子铁芯；３一转轴；４一弹簧。　图１电主轴轴系结构筒图　图２电主轴的筒化模型　根据传递矩阵法的集总质量建模原则　，分段点　选在变截面处、支承处，对于电动机转子，较长轴段增　加分段点，将轴离散为有限个单元轴段，每段轴的质　［Ｕ］　＝　１　Ｚ．　Ｚ　２ＥＩ　量、极转动惯量、直径转动惯量分配在轴段两端的等效　圆盘上。其中对模型的简化措施还包括如下几点：　（１）将轴承简化为具有径向刚度　和角刚度　的　弹簧　』。其中，Ｋｏ＝Ｋｒ　／４，　为两个串联轴承的当量　径向刚度，ｆ为两轴承中心距。支承点选在两串联轴　承中心连线的中点处。　（２）忽略转速和负荷对轴承刚度的影响，即把轴　承刚度作为常数。　（３）对滚动轴承来说，阻尼的影响不会带来很大　误差，因此可以忽略阻尼的影响。　简化后的计算模型如图２。　１．２典型单元传递矩阵　图３为典型单元的结构　及状态示意图＿】　，该单元包　含轴段、转盘及弹簧等构件，　普通单元可能只包括其中一　种或几种构件。每一单元节　点的状态ｚ由四个参数表　达：剪力Ｑ、弯矩　、挠度ｙ、　转角０。写成向量形式：Ｚ＝　

（１　Ｑ　）　＋　

图３典型传递矩阵单元　［Ｑ　Ｍ　０　Ｙ］Ｔ每一单元的左、右两节点状态向量　问的传递关系为　［ｚ］川＝［　］　［ｚ］　其中，［　］　为典型单元的传递矩阵，其～般表达式为　

０　０　１（Ｊｐ　Ｏ３一　）　＋　瓦１ｉ　ｌ＋　（　茜　）ｇ／　］　ｍ。　一Ｋｒ　（ｍ　一Ｋ　）ｌ　

（埘　ｌ面／；ｉ（１　ｌ，ｉ　ｆ　＋　［（　一　）ｓｔ＋Ｋｏｉ］１＋面ｔｉ（１　）（ｍ　一Ｋｒ　）Ｊ　式中：ｌ为单元轴段长度；ｍ为节点处的总质量（除轴　［Ｚ］　＝［０　０　０　Ｙ］　段质量外，转盘处需计入转盘质量）；　为转子的进动　［ｚ］　＝［０　０　０　ｙ］　角速度；　为转子的自转角速度；　为转子的直径转动　将式（２）、（３）代入方程（１）得：　惯量；　为转子的极转动惯量；Ｅ，为轴段截面的抗弯刚　Ｆ０１　ｒ　Ｕ　Ｕ　Ｕ　，　Ｕ　］ｉ－ｏ　

度；　＝６ＥＩ／（ｋ　ＧＡＩ。），Ｇ为剪切弹性模量；Ａ为轴段横　ｆ　０　Ｉ　Ｉ，／ｖ　２　，　｛ｆ　０　撩　卜川　Ｕ３２

…Ｕ３３　Ｕ３４０　９　Ｋ　实心圆截面时取．；，为两个串联轴承的当量径向　Ｉ　Ｉ　ｆ　一　『Ｉ、，　

刚度；　为两个串联轴承的当量角刚度。　”　１．３　Ｉ　界转速和振型求解　由线性方程组（４）可得：　

电主轴模型的总传递矩阵方程为　ｌ　，　ｌ『０１　：０　［ｚ　３　：［￡，］　［　］　…［　］　［　］　Ｉｚ］　（１）　【（，２，　Ｊ【　－　

（２）　（３）　

（４）　

（５）　）：　ＵＩ４　ｊ：０　（６）　ｌ　２３　２４　ｌ　所有满足方程组（６）的根均为所求的临界转速，　可用根搜索法编程求解。　由齐次线性方程（５）可求得一个比例解，作为起　始向量，有公式（１）可得到任意计算站上的状态向量，　从而可得到振型。　

２临界转速和振型计算　电主轴前后两支承间跨距为２１５　ｍｍ，前端悬伸　量８５　ｍｍ，后端悬伸量６０　ｍｍ，轴承选用德国ＦＡＧ公　司的ＨＣＢ７１９０９一Ｅ型角接触陶瓷球轴承，实际预加负　荷Ｆ。＝２１６　Ｎ。运用Ｍａｔｌａｂ编写计算程序，依据普劳　尔法迭代求值，计算得出的前三阶临界转速如表１，主　振型如图４。　表１前三阶临界转速　

一阶ｌ　界转速　二阶临界转速　三阶临界转速　数值／（ｒ／ｒａｉｎ）　１０４　５８０　ｌ２５　１Ｏ０　ｌ５９　６ｏｏ　

图４电主轴各阶主振型图　此款电主轴工作转速在３０　０００　ｒ／ｍｉｎ，远远低于　一阶临界转速，可有效避开共振区。通过观察电主轴　前三阶振型，可以看出一阶振型脆弱点在主轴前端和　中部，二阶振型脆弱点主要表现在主轴前端，三阶振型　脆弱点主要表现在主轴后端。　

３影响临界转速的结构参数分析　３．１轴向预紧力　轴承的预紧程度直接决定轴承的刚度大小，而轴　承的刚度大小关系着整个电主轴的前几阶固有频率的　大小及其动态响应＿１　。通过计算得出随着预紧力的　变化（５０～５５０　Ｎ），电主轴前三阶临界转速的变化如　图５所示，变化率如表２所示。从表中可以看出，随着　预紧力的增大，电主轴的临界转速也随着增高。因此　

ＩＵ　１等Ｕ　ｉ　‘ｕ　寻；　

ＦｕｎｃＩｌ０ｎ　Ｕｎｉｌｓ功能郜件　可以适当的增大预紧力来升高电主轴的临界转速，但　增幅不大。　表２预紧力（５０—５５０　Ｎ）范围内各临界转速的变化　预紧力　一阶临界转速　二阶临界转速　三阶临界转速　／Ｎ　／（ｒ／ｍｉｎ）　／（ｒ／ｍｉｎ）　／（ｒ／ｒａｉｎ）　

９４　９２０　１０７　４６０～　１４０　５２０～　变化范围　５０—５５０　１０９　６２０　１３９　９８０　１７５　５００　

变化率　１０％　１５．５％　３Ｏ．３％　２４．９％　

百　吕　

点　瑙　辩　

——　ｔ　，　／　ｒ　—＼　三阶帕　：界转速　

一一一　一一　，一一‘　、一阶　临界　｝涑　

／　ｒ　＇’　

一　—————　’＜　—一　・阶临　转愿　

５０　１００　Ｉ５０　２００　２５０　３００　３５０　４００　４５０　５００　５５０　预紧力／Ｎ　

图５轴承轴向预紧力对主轴系统幅界转速特性影响曲线　

３．２轴承支承跨距　图６为轴向预紧力，前、后端悬伸量为定值时支承　跨距变化对临界转速的影响曲线。可以看出支承跨距　能降低各阶临界转速，但是在一定范围内有影响。支　承跨距对各阶临界转速在影响范围内的影响变化如表　３。从表可以看出，在影响范围内，支承跨距降低各界　临界转速是显著的。其中，在１３５～１８５　ｍｍ内，一阶　临界转速从１２３　３００　ｒ／ｍｉｎ升至１２５　５２０　ｒ／ｍｉｎ，上升　了１．８％，１８５　ｍｍ处出现一尖点。所以，只就提高一　阶Ｉ　界转速而言，跨距１８５　ｍｍ为考察范围内的此款　表３　支承跨距对各阶临界转速在影响范围内的影响变化　支承　一阶临　支承　二阶临　支承　三阶临　跨距　界转速　跨距　界转速　跨距　界转速　／（ｒ／ｒａｉｎ）　／ｍｉｌｌ　／（ｒ／ｒａｉｎ）　／（ｒ／ｍｉｎ）