2013年人教版九年级数学(二次函数)单元测试卷001
数学九年级上册《二次函数》单元测试含答案
九年级上册数学《二次函数》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1．如图,抛物线y=﹣2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A,现将抛物线向右平移m(m ＞2)个单位长度,所得抛物线与x 轴交于C,D,与原抛物线交于点P,设△PCD 的面积为S,则用m 表示S 正确的是( )A ．2m (m 2﹣4)B ．12 m 2﹣2C ．2m (4﹣m 2)D ．2﹣12m 2 2．已知抛物线y 1=﹣2x 2+2,直线y 2=2x+2,当x 任取一值时,对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2,记M=y 1．例如：当x=1时,y 1=0,y 2=4,y 1＜y 2,此时M=0．下列判断：①当x ＞0时,y 1＞y 2；②当x ＜0时,x 值越大,M 值越大；③使得M 大于2的x 值不存在；④使得M=1的x 值是﹣12或( )A ．0B ．1C ．2D ．33．将一元二次方程2316x x +=化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ． 23,6x x -4．如图,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,45OBC ∠=︒,则下列各式成立的是( ).A ．10b c --=B ．10b c ++=C ．10b c -+=D ．10b c +-=5．将抛物线y=3x 2+2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则得到的抛物线的解析式为( ) A ．y=3(x ﹣2)2﹣1B ．y=3(x ﹣2)2+5C ．y=3(x+2)2﹣1D ．y=3(x+2)2+56．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),C(－5,y 1),D(5,y 2)四点,则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1<y 2 D ．不能确定7．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述中,错误的是( )A ．对称轴是直线x ＝1B ．当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大C ．图象的顶点坐标是(1,4)D ．图象与x 轴的另一个交点是(4,0)8．抛物线y＝﹣13(x﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个9．在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有()①设正方形的边长为x面积为y,则y与x有函数关系；②x个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数y与x之间有函数关系；③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x有函数关系；④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)有函数关系．A．1个B．2个C．3个D．4个10．二次函数y=x2+bx+1的对称轴是直线x=﹣3,则b的值是()A．4 B．5 C．6 D．711．抛物线y＝3(x﹣2)2+5的顶点坐标是()A．(﹣2,5) B．(﹣2,﹣5) C．(2,5) D．(2,﹣5)12．抛物线y＝x2+x﹣1的对称轴是()A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣12D．直线x＝12二、填空题13．如图,抛物线y＝14x2＋x＋3的顶点为P,与y轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移4个单位,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,则该抛物线的对称轴是_____． 15．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.16．拋物线的顶点为(2,﹣3),与y 轴交于点(0,﹣7),则该抛物线的解析式为_____．三、简答题17．空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米．(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1,求所利用旧墙AD 的长；(2)已知0＜α＜50,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值．18．已知243(3)5mm y m x +-=++是关于x 的二次函数.(1)求m 的值. (2)当m 为何值时,该函数图象的开口向上？(3)当m 为何值时,该函数有最大值？19．如图,抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线顶点为C,△ABC为等边三角形,求S△AB C;20．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)设这个苗圃园的面积为S,求S与x之间的函数关系．21．已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A(﹣4,0)．(1)求m的值；(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．22．图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,建立如图所示的平面直角坐标系：(1)求拱桥所在抛物线的解析式；(2)当水面下降1m时,则水面的宽度为多少？23．如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．24．在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′．(1)如抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式；(2)在(1)情况下,点M是第一象限内抛物线上的一动点,问：当点M在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)在(1)的情况下,若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1, 0),当P、N、B、Q构成以BQ作为一边的平行四边形时,求点P的坐标．参考答案1．如图,抛物线y=﹣2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A,现将抛物线向右平移m(m ＞2)个单位长度,所得抛物线与x 轴交于C,D,与原抛物线交于点P,设△PCD 的面积为S,则用m 表示S 正确的是( )A ．(m 2﹣4)B ． m 2﹣2C ．(4﹣m 2)D ．2﹣m 2 【答案】B【解析】【分析】先求出A 的坐标,设P 关于x =1的对称点为Q ,且设P 的横坐标为x 1,Q 的横坐标为x 2,根据题意可知x 1+x 2=2,x 1﹣x 2=m ,从而求出x 1与x 2的表达式．【详解】∵y =﹣2x 2+4x =y =﹣2(x -1)2+2,∴抛物线的对称轴为：x =1,令y =0代入y =﹣2x 2+4x ,∴0=﹣2x 2+4x ,∴x =0或x =2,∴A (2,0),∴OA =2,设P 关于x =1的对称点为Q ,且设P 的横坐标为x 1,Q 的横坐标为x 2,∴． ∵抛物线向右平移m (m ＞2)个单位长度,∴PQ =m ,∴x 1﹣x 2=m ,∴,解得：x 1=,x 2=． 把x 1=代入y =﹣2x 2+4x ,∴y =2﹣＜0,∴在△PCD 中,CD 边上的高为：﹣2． ∵OA =CD =2,∴S △PCD =×2×()=﹣2． 故选B ．2m 122m 121212x x +=12122x x x x m +=⎧⎨-=⎩22m +22m -22m +22m 22m 12222m -22m【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点,解题的关键是求出P 的坐标,然后根据三角形面积公式即可求出△PCD 的面积,本题属于中等题型．2．已知抛物线y 1=﹣2x 2+2,直线y 2=2x+2,当x 任取一值时,对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2,记M=y 1．例如：当x=1时,y 1=0,y 2=4,y 1＜y 2,此时M=0．下列判断：①当x ＞0时,y 1＞y 2；②当x ＜0时,x 值越大,M 值越大；③使得M 大于2的x 值不存在；④使得M=1的x 值是﹣或．其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】关键函数的增减性,以及M 的定义,逐一判断即可．【详解】解：∵x ＞0时,函数y 2的图象在上面,∴y 2＞y 1,故①错误．当x ＜0时,M 的值=y 1或y 2,122∵x ＜0,y 随x 增大而增大,∴x 值越大,M 值越大,故②正确．刚才图象可知M 的最大值为2,∴使得M 大于2的x 值不存在,故③正确,y 2=1时,x=-, y 1=1时观察图象可知：x=-或时,M=1,故④正确．故选D ．【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是理解题意,灵活运用函数的性质解决问题3．将一元二次方程化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ． 【答案】A【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0(a,b,c 是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项,bx 叫一次项,c 是常数项．其中a,b,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．【详解】解化成一元二次方程一般形式是,则它的二次项系数是3,一次项系数是-6．故选A ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键把握要确定一次项系数,首先要把方程化成一般形式． 121222316x x +=23,6x x -2316x x +=23-610x x +=4．如图,抛物线与轴交于点、,与轴交于点,,则下列各式成立的是( ).A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据,有,可设点C 、B 的坐标为,代入解析式,即可解得答案.【详解】,OB=OC,可设点C 、B 的坐标为(0,c)、(c,0),把B(c,0)代入,得即故选：B【点评】本题考查了抛物线与x 轴有交点,根据题意得到点C 、B 的坐标是解题的关键.2y x bx c =++x A B y C 45OBC ∠=︒10b c --=10b c ++=10b c -+=10b c +-=45OBC ∠=︒OB OC =()()0,,0c c、45OBC ∠=︒∴2y x bx c =++20,c bc c ++=(1)0c c b ++=0c ≠∴10b c ++=5．将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则得到的抛物线的解析式为() A．y=3(x﹣2)2﹣1 B．y=3(x﹣2)2+5C．y=3(x+2)2﹣1 D．y=3(x+2)2+5【答案】C【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3(x+2)2+2；再向下平移3个单位为：y=3(x+2)2+2﹣3,即y=3(x+2)2﹣1．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律：左加右减,上加下减．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),C(－5,y 1),D(5,y 2)四点,则y1与y2的大小关系是( ) A．y1>y2B．y1＝y2C．y1<y2D．不能确定【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向,可得C(－5,y 1)距对称轴的距离比D(5,y 2)距对称轴的距离小,进而即可得到答案．【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),∴抛物线的对称轴是：直线x=-1,且开口向下,∵C(－5,y 1)距对称轴的距离比D(5,y 2)距对称轴的距离小,∴y1>y2,故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小,是解题的关键．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述中,错误的是()A ．对称轴是直线x ＝1B ．当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大C ．图象的顶点坐标是(1,4)D ．图象与x 轴的另一个交点是(4,0)【答案】D 【解析】【分析】利用二次函数的图像与性质,判断选项的正误即可.【详解】由函数图像可知,对称轴是直线x ＝1故选项A 正确；当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大,故选项B 正确；图象的顶点坐标是(1,4),故选项C 正确；图象与x 轴的另一个交点是(3,0),故选项D 错误.故选D【点评】本题考查了二次函数的图像与性质,熟练掌握性质是解题的关键.8．抛物线 y ＝﹣(x ﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是( ) A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个【答案】D 【解析】【分析】通过解方程﹣(x ﹣4)2+1＝0 可判断抛物线与 x 轴有 2 个交点,通过计算自变量为 0 对应的函数值得到抛物线与 y 轴的交点,从而可判断抛物线 y ＝﹣(x ﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数． 【详解】解：当 y ＝0 时,﹣(x ﹣4)2+1＝0,解得 x 1＝x 2＝4则抛物线与x 轴的交点坐标为(4+；13131313当 x ＝0 时,y ＝﹣( x ﹣4)2+1＝﹣,则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,﹣)． 故选D ．【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y ＝ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．9．在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( )①设正方形的边长为x 面积为y,则y 与x 有函数关系；②x 个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数y 与x 之间有函数关系；③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y 与x 有函数关系；④若一辆汽车以120km/h 的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)有函数关系． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据题意列出函数关系式,然后由二次函数的定义进行判断．【详解】①依题意得：y=x 2,属于二次函数关系,故正确；②依题意得：y=x(x-1)=x 2-x,属于二次函数关系,故正确；③依题意得：y=6x 2,属于二次函数关系,故正确；④依题意得：y=120x,属于一次函数关系,故错误；综上所述,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．故选C ．【点评】本题考查二次函数的定义：一般地,形如y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数．其中x 、y 是变量,a 、b 、c 是常量,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项．y═ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式．1313313310．二次函数y=x 2+bx+1的对称轴是直线x=﹣3,则b 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】【分析】由对称轴公式可求得二次函数的对称轴,结合条件可得到关于b 的方程,可求得b 的值．【详解】∵y=x 2+bx+1, ∴对称轴为x=-, ∵y=x 2+bx+1的对称轴是直线x=-3,∴-=-3,解得b=6, 故选C ．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴,掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键,即二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-． 11．抛物线y ＝3(x ﹣2)2+5的顶点坐标是( )A ．(﹣2,5)B ．(﹣2,﹣5)C ．(2,5)D ．(2,﹣5)【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质y ＝a(x ﹣h)2+k 的顶点坐标是(h,k)进行求解即可.【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5,∴二次函数图象的顶点坐标是(2,5),故选C ．【点评】本题考查了二次函数的性质,根据抛物线的顶点式,可确定抛物线的开口方向,顶点坐标(对称轴),最大(最小)值,增减性等．12．抛物线y ＝x 2+x ﹣1的对称轴是( )2b 2b 2b aA ．直线x ＝﹣1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝﹣D ．直线x ＝ 【答案】C【解析】【分析】由对称轴公式x ＝﹣可得对称轴． 【详解】∵对称轴x ＝﹣﹣＝﹣＝﹣, ∴对称轴是直线x ＝﹣． 故选C ．【点评】本题考查了二次函数的性质,熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴． 13．如图,抛物线y ＝x 2＋x ＋3的顶点为P,与y 轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移4个单位,则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．【答案】12【解析】【分析】根据题意求得A,P 的坐标,再根据平移的性质得到四边形A PP′A′为平行四边形,以及A′,P 的坐标,然后求得AD,PP′的长,再求出面积即可.【详解】如图,连接AP,AP′,过点A 作AD ⊥PP′于D 点,由题意可得,四边形APP′A′为平行四边形,1212b 2ab 2a 121 121214将x=0代入函数得y=3,∴点A 的坐标为(0,3),又∵抛物线y ＝x 2＋x ＋3=(x 2+4x+4)+2=(x+2)2+2, ∴顶点P 的坐标为(﹣2,2),∵将抛物线向右平移4个单位,向下平移4个单位,∴点A′(4,﹣1),点P′(2,﹣2),∴∠AOP ＝45°,∴△AOD 为等腰直角三角形,∴AD=OD,在Rt △AOD 中,AD 2+OD 2=9,即2AD 2=9, ∴则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为×=12. 故答案为12.14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,则该抛物线的对称轴是_____．【答案】直线x ＝2【解析】【分析】根据二次函数图象的轴对称性,即可得到答案．【详解】∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,∴其对称轴为：直线x ＝．故答案为：直线x ＝2．14141421522【点评】本题主要考查二次函数的轴对称性,掌握二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点关于抛物线的对称轴对称,是解题的关键．15．抛物线的顶点坐标是__________.【答案】(-5,-3)【解析】【分析】由于抛物线y=a(x-h)2+k 的顶点坐标为(h,k),由此即可求解．【详解】∵抛物线y=-2(x+5)2-3,∴顶点坐标为：(-5,-3)．故答案为(-5,-3).【点评】此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式即可解决问题． 16．拋物线的顶点为(2,﹣3),与y 轴交于点(0,﹣7),则该抛物线的解析式为_____．【答案】y=﹣(x ﹣2)2﹣3【解析】【分析】因知道了顶点坐标,所以可设顶点式求解,即设y =a (x -2)2 -3,然后把(0,﹣7)代入即可求出a 的值.【详解】设y =a (x -2)2 -3,然后把(0,﹣7)代入,得-7=a (0-2)2 -3,解之得,a =-1.∴y =-(x -2)2 -3.故答案为y =-(x -2)2 -3.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,正确利用顶点式设出函数解析式是解答本题的关键. 17．空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为10022(5)3y x =-+-米．(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1,求所利用旧墙AD 的长；(2)已知0＜α＜50,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值．【答案】(1)利用旧墙AD 的长为10米．(2)见解析.【解析】【分析】(1)按题意设出AD,表示AB 构成方程；(2)根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系．【详解】(1)设AD=x 米,则AB=米 依题意得,＝450 解得x 1=10,x 2=90∵a=20,且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD 的长为10米．(2)设AD=x 米,矩形ABCD 的面积为S 平方米①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意得：1002x (100)2x xS=,0＜x ＜a ∵0＜a ＜50∴x ＜a ＜50时,S 随x 的增大而增大当x=a 时,S 最大=50a-a 2②如按图2方案围成矩形菜园,依题意得S=,a≤x ＜50+ 当a ＜25+＜50时,即0＜a ＜时, 则x=25+时,S 最大=(25+)2=, 当25+≤a ,即≤a ＜50时,S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时,S 最大==, 综合①②,当0＜a ＜时,-()=＞0 ＞,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为平方米 2(100)1(50)125022x x x ---+＝1222(1002)[(25)](25)244x a x a a x +---+++＝2a 4a 10034a 4a 21000020016a a ++4a 1003(1002)2a a a +-21502a a -100321000020016a a ++21502a a -2(3100)16a -21000020016a a ++21502a a -21000020016a a ++当≤a ＜50时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a ＜时,围成长和宽均为(25+)米的矩形菜园面积最大,最大面积为平方米； 当≤a ＜50时,围成长为a 米,宽为(50-)米的矩形菜园面积最大,最大面积为()平方米． 【点评】本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量大小关系．18．已知是关于x 的二次函数.(1)求m 的值.(2)当m 为何值时,该函数图象的开口向上？(3)当m 为何值时,该函数有最大值？【答案】(1)或.(2)当时,该函数图象的开口向上.(3)当时,该函数有最大值.【解析】【分析】根据题意可知,本题考查是二次函数的基础性质,(1)根据x 的次数为2且二次项系数不为0,判断m 的值；(2)通过二次项系数的正负判断开口方向,为正开口向上,为负开口向下；(3)对任意的x 值,函数有最大值,在函数开口向下时,函数才有最高点,即二次项系数小于0. 【详解】解：(1)根据题意,得解得 ∴或.(2)∵函数图象的开口向上,∴,∴∴.∴当时,该函数图象的开口向上.(3)∵函数有最大值,∴.100310034a 21000020016a a ++10032a 21502a a -243(3)5mm y m x +-=++5m =-1m =1m =5m =-2432,30,m m m ⎧+-=⎨+≠⎩51,3.m m m =-=⎧⎨≠-⎩或5m =-1m =30m +>3m >-1m =1m =30m +<∴,∴.∴当时,该函数有最大值.【点评】本题关键点：二次函数 中,；时开口向下,函数有最高点,即有最大值,时开口向上,函数有最低点,即有最小值.19．如图,抛物线y =2(x -2)2与平行于x 轴的直线交于点A ,B ,抛物线顶点为C ,△ABC 为等边三角形,求S △AB C;【解析】【分析】过B 作BP ⊥x 轴交于点P,连接AC,BC,由抛物线y=得C(2,0), 于是得到对称轴为直线x=2,设B(m,n),根据△ABC 是等边三角形,得到BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°,求出由于PB=n=,于是得到 ,解方程得到m 的值,然后根据三角形的面积公式即可得到结果． 【详解】解：过B 作BP ⊥x 轴交于点P,连接AC,BC,由抛物线y=得C(2,0), ∴对称轴为直线x=2,设B(m,n),∴CP=m-2,∵AB ∥x 轴,3m <-5m =-5m =-2y ax bx c =++0a ≠0a <0a >222x -（）222m -（）222m -（）222x -（）∴AB=2m-4,∵△ABC 是等边三角形,∴BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°,∴∵PB=n=,, 解得不合题意,舍去), ∴, ∴S △ABC =．【点评】本题考查二次函数的性质.20．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．(1)若平行于墙的一边长为y 米,直接写出y 与x 的函数关系式及其自变量x 的取值范围；(2)设这个苗圃园的面积为S,求S 与x 之间的函数关系．222m -（）222m -（）321322=【答案】(1)y ＝30﹣2x,(6≤x ＜15)；(2)S ＝﹣2(x ﹣7.5)2+112.5．【解析】【分析】(1)由总长度−垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度,根据墙的长度就可以求出的取值范围；(2)由长方形的面积公式建立二次函数即可.【详解】解：(1)y ＝30﹣2x,(6≤x ＜15)；(2)设矩形苗圃的面积为SS ＝xy ＝x(30﹣2x)＝﹣2(x ﹣7.5)2+112.5．【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型.21．已知二次函数y =x 2+3x +m 的图象与x 轴交于点A (﹣4,0)．(1)求m 的值；(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．【答案】(1)m =-4；(2)(0,﹣4),(1,0)．【解析】【分析】(1)将A 点坐标(﹣4,0)代入y =x 2+3x +m ,即可求解；(2)令x =0时,则：y =﹣4,令y =0,则x 2+3x ﹣4=0,即可求解．【详解】(1)将A 点坐标(﹣4,0)代入y =x 2+3x +m 得：16﹣12+m =0,解得：m =﹣4；(2)当x =0时,则：y =﹣4,∴函数图象与y 轴的交点为(0,﹣4)．令y =0,则x 2+3x ﹣4=0,解得：x 1=1,x 2=﹣4,∴函数图象与x 轴的另一个交点为(1,0)．【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点,是二次函数基础类题目．22．图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m 时,水面宽4m,建立如图所示的平面直角坐标系：x(1)求拱桥所在抛物线的解析式；(2)当水面下降1m 时,则水面的宽度为多少？【答案】(1)y=﹣x 2+2;(2)【解析】【分析】(1)设出抛物线解析式,由已知条件求出点B 、点C 的坐标,将B 、C 的坐标代入抛物线解析式,列方程组求出未知参数即可；(2)令y =﹣1,解出x ,即可求出水面的宽度.【详解】解：(1)由题意设抛物线解析式为：y =ax 2+b (a ≠0),∵当拱顶离水面2m 时,水面宽4m ,∴点C (0,2),点B (2,0),代入得：, 解得：,∴拱桥所在抛物线的解析式为y =﹣x 2+2； (2)当水位下降1m 时,水位纵坐标为﹣1,令y =﹣1,则﹣1=﹣x 2+2, 解得x 12240b a b =⎧⎨+=⎩122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1212∴水面宽度为.【点评】本题主要考查二次函数的应用,建立直角坐标系,求出抛物线的解析式是解题的关键.23．如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【答案】y=﹣4t2+24t(0＜t＜6)【解析】【分析】先根据两点移动速度以及移动方向得出BP以及BQ的长；然后根据所求三角形的面积与时间的关系,得出S与t的函数关系式；最后根据动点在直角三角形的直角边上运动的时间,求出t的取值范围即可.【详解】△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变化,∵在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,∴BP=12﹣2t,BQ=4t,∴△PBQ的面积S随出发时间t(s)的解析式为：y=(12﹣2t)×4t=﹣4t2+24t,(0＜t＜6)．【点评】本题考查了二次函数的应用---动点的函数问题,用含t的代数式表示出BP以及BQ的长是解答本题的关键.24．在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′．(1)如抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式；(2)在(1)情况下,点M是第一象限内抛物线上的一动点,问：当点M在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)在(1)的情况下,若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1, 0),当P、N、B、Q构成以BQ作为一边的平行四边形时,求点P的坐标．【答案】(1) 抛物线的解析式为：y=−x2+3x+4；(2) 当x=2时,△AMA′的面积最大,最大值S△AMA′=8,M的坐标为：(2, 6)；(3) 点P的坐标为：P1(0, 4),P2(3, 4),P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)【解析】【分析】(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0,4),可求得点A′的坐标,然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；(2)首先连接AA′,设直线AA′的解析式为：y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式,再设点M的坐标为：(x,-x2+3x+4),继而可得△AMA′的面积,继而求得答案；(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．【详解】解：(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0, 4), ∴点A′的坐标为：(4, 0),∵点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),抛物线经过点C、A、A′,设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,∴{a−b+c=0c=416a+4b+c=0,解得：{a =−1b =3c =4,∴此抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4；(2)连接AA′,设直线AA′的解析式为：y =kx +b ,∴{b =44k +b =0, 解得：{k =−1b =4, ∴直线AA′的解析式为：y =−x +4,设点M 的坐标为：(x, −x 2+3x +4),则S △AMA′=12×4×[−x 2+3x +4−(−x +4)]=−2x 2+8x =−2(x −2)2+8,∴当x =2时,△AMA′的面积最大,最大值S △AMA′=8,∴M 的坐标为：(2, 6)；(3)设点P 的坐标为(x, −x 2+3x +4),当P,N,B,Q 构成平行四边形时,∵平行四边形ABOC 中,点A 、C 的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),∴点B 的坐标为(1, 4),∵点Q 坐标为(1, 0),P 为抛物线上一动点,N 为x 轴上的一动点,①当BQ为边时,PN // BQ,PN=BQ,∵BQ=4,∴−x2+3x+4=±4,当−x2+3x+4=4时,解得：x1=0,x2=3, ∴P1(0, 4),P2(3, 4)；当−x2+3x+4=−4时,解得：x3=3+√412,x4=3−√412,∴P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)；②当BQ为对角线时,BP // QN,BP=QN,此时P与P1,P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1(0, 4),P2(3, 4),P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)【点评】此题属于二次函数的综合题,考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．。
九年级上册数学《二次函数》单元检测题(含答案)
【考试时间:90分钟分数:120分】
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)、
1.下列函数1个B.2个C.3个D.4个
2.已知二次函数 图象如图所示，给出以下结论:① ;② ;③ ;④ ，其中结论正确有()个．
A.2个B.3个C.4个D.5个
C.10D.无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线 自变量的取值范围问题，可得出二次函数的最值，再求和即可．
【详解】∵函数y=2(x−3)2−4的对称轴为x=3，
当x=3时，函数有最小值−4，
∵1≤x≤6，
∴当x=6时，函数的最大值为14，
∴最大值与最小值的和为−4+14=10.
故答案选C.
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据抛物线与取值范围求出最值.
17.若抛物线y=2x2-px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为_________．
18.如图，利用一面墙(墙的长度不超过 )，用 长的篱笆围一个矩形场地，当 ________ 时，矩形场地的面积最大．
19.将一条长为20 cm 铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____________.
14.已知二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，下列结论:① ;② ;③ ;④ ．正确的是________．
15.如图所示，有一根长 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积 与它的一边长 之间的函数关系式________．
16.如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为______．
人教版九年级数学上册《二次函数》试卷(含答案)
二次函数单元检测题一、选择题（每题3分，共30分） 1、下列函数是二次函数的是（ ）A 、12+=x yB 、12+-=x yC 、22+=x y D 、221-=x y 2、二次函数221x y =的图象的顶点坐标是（ ） A 、（1，0） B （0，0） C （1-，0） D 、（0，21） 3、二次函数132+-=x y 的图象是将（ ）A 、抛物线23x y -=向左平移3个单位得到B 、抛物线23x y -=向左平移1个单位得到 C 、抛物线23x y -=向上平移1个单位得到 D 、抛物线23x y -=向下平移1个单位得到 4、要得到抛物线2)4(31-=x y ，可将抛物线231x y =（ ）A 、向上平移4个单位B 、向下平移4个单位C 、向右平移4个单位D 、向左平移4个单位 5、抛物线1)2(32+-=x y 的对称轴是（ ） A 、2-=x B 、1-=x C 、1=x D 、2=x6、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的大致图象如图所示，则关于该二次函数的说法错误的是（ ）A 、函数有最小值B 、对称轴是直线21=x C 、当21<x 时，y 随x 的增大而减小 D 、当21<<-x 时，0>y7、如图，小兰画了一个函数b ax x y ++=2的图象，则间于x 的一元二次方程ax x +20=+b 的解是（ ）A 、无解B 、1=xC 、4-=xD 、1-=x 或4=x8、已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（1-，2-），则此二次函数的解析式为（ ）A 、1632++=x x y B 、1632-+=x x y C 、1632+-=x x y D 、1632+-=x x y 9、如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交于（2-，0）和（4，0）两点，当函数值0>y 时，自变量x 的取值范围是（ ）A 、2-<xB 、42<<-xC 、0>xD 、4>x 10、如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16cm ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ） A 、602m B 、632m C 、642m D 、662m 二、填空题（每题4分，共24分）11、若二次函数2)1(x m y -=的图象开口向下，则m 的取值范围是 . 12、二次函数c x y +=2的图象经过点（2，0），则当2-=x 时，=y . 13、已知点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）为函数3)1(22+--=x y 的图象上的两点，若121>>x x ，则1y 2y .14、二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 . 15、如图，已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点为A （1，0），对称轴是直线1-=x ，则02=++c bx ax 的解是 .16、将抛物线122+-=x y 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为 .三、解答题一（每题6分，共18分） 17、已知72)2(--=a x a y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大，求a 的值.18、已知抛物线12-=ax y 的图象经过点（3-，2），求该抛物线的解析式.19、已知二次函数222m m x y -+=的最小值是3-，求m 的值.四、解答题二（每题7分，共21分）20、已知一个二次函数的图象的对称轴是y 轴，顶点是（0，1），且经过点（1-，2-）. （1）求这个函数的解析式；（2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大怎样变化？21、已知二次函数4)1(2--=x a y 的图象经过点（3，0）（1）求a 的值；（2）若A （m ，1y ），B （n m +，2y ）（0>n ）是该函数图象上的两点，当21y y =时，求m ，n 之间的数量关系.22、已知抛物线81232-+-=x x y .（1）用配方法求它的顶点坐标；（2）求它与y 轴的交点坐标.五、解答题三（每题9分，共27分）23、如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （2-，4-），O （0，0），B （2，0）三点， （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线的对称轴上一点，求AOM ∆周长的最小值.24、某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间满足函数关系752-+=bx ax y ，其函数图象如图所示.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？25、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴相交于点M.（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使PAB ∆的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）边结AC ，在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使NAC ∆的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.二次函数单元检测题参考答案一、CBCCD DDABC 二、11、1<m 12、0 13、< 14、3≤k 且0≠k 15、31-=x ，12=x 16、3)1(22+--=x y 三、17、解：由已知，得272=-a ，且02≠-a ，解得3±=a .又当0>x 时，y 随x 的增大而增大，∴02>-a ，即.2<a .3-=∴a18、解： 抛物线12-=ax y 的图象经过点（3-，2）1)3(22--⨯=∴a ，解得31=a ，所求的解析式为：1312-=x y19、解： 函数的最小值为3-，所以抛物线222m m x y -+=的顶点坐标是（0，3-），把此点坐标代入222m m x y -+=得223m m -=-，解得31=m ，.12-=m四、20、解：（1）设函数的解析式为c ax y +=2， 由函数的图象过（0，1）和（1-，-2）两点，得⎩⎨⎧-=+=21c a c ，⎩⎨⎧-==∴31a c ，故函数解析式为132+-=x y . （2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大.21、解：（1）将（3，0）代入4)1(2--=x a y ，得440-=a ，解得.1=a （2） 函数4)1(2--=x y 的图象的对称轴是直线1=x ，m n m -=-+∴11， 化简，得.22=+n m22、解：（1）4)2(3812)44(38123222+--=-++--=-+-=x x x x x y ，∴它的顶点坐标是（2，4）（2）令0=x ，则8=y ，∴它与y 轴的交点坐标为（0，8-）. 五、23、解：（1）x x y +-=221 （2）抛物线的对称轴为1=x ，当OM+AM 最小时，AOM ∆的周长最小，又 点O 、B 关于直线1=x 对称，∴AB 与直线1=x 的交点就是点M ，∴OM+AM=AB=.244422=+又 OA=25，AOM ∆∴周长的最小值是.5224+24、解：（1）二次函数752-+=bx ax y 的图象经过点（5，0），（7，6），,1675749075525⎩⎨⎧=-+=-+∴b a b a 解得⎩⎨⎧=-=201b a ， 25)10(752022+--=-+-=∴x x x y ，2510==∴最大时当，yx ，故销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.（2） 函数75202-+-=x x y 图象的对称轴为10=x ，∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又 函数75202-+-=x x y 图象开口向下，∴当713≤≤x 时，16≥y ， 故销售单价不低于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元. 25、解：（1）设抛物线的解析式为)5)(1(--=x x a y ，把（0，4）代入上式，得54=a ， ,516)3(54452454)5)(1(5422--=+-=--=∴x x x x x y.3:=∴x 抛物线的对称轴是（2）存在，点 A （0，4），抛物线的对称轴是3=x ，∴点A 关于对称轴的对称点A '的坐标为（6，4），如图1，连接B A '交对称轴于点P ，连接AP ，此时PAB ∆的周长最小.设直线B A '的解析式为b kx y +=，把（6，4），（1，0）代入，得⎩⎨⎧=+=+,0,46b k b k解得⎪⎩⎪⎨⎧-==5454b k ，,5454-=∴x y 当3=x 时，∴=-⨯=,5854354y P （3，58）. （3）存在，设N （t ，4524542+-t t ）（50<<t ），如图2，过点N 作y NG //轴交AC于点G 、交BC 于点F ，作NG AD ⊥于点D,由点A （0，4）和点C （5，0）可求出直线AC 的解析式为454+-=x y ，则G （t ，454+-t ），此时NG=.454)452454(45422t t t t t +-=+--+-AD+CF=CO=5，OC NG CF NG NG AD S S S CGN ANG ACN ⨯=⨯+⨯=+=∴∆∆∆212121,225)25(21025)454(21222+--=+-=⨯+-⨯=t t t t t 25=∴t 时，ACN ∆的面积最大，为.225由25=t ，得34524542-=+-=t t y ，∴N （25，3-）.。
数学九年级上册《二次函数》单元测试题(带答案)
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征,主要利用了二次函数的增减性与对称性,根据顶点的纵坐标最小确定出抛物线开口向上是解题的关键.
8.若二次函数 的图象与 轴有两个交点,坐标分别是(x1,0),(x2,0),且 .图象上有一点 在 轴下方,则下列判断正确的是()
A. B. C. D.
【答案】D
A. –1≤x≤9B. –1≤x<9
C. –1<x≤9D.x≤–1或x≥9
7.已知两点 均在抛物线 上,点 是该抛物线 顶点,若 ,则 的取值范围是()
A. B. C. D.
8.若二次函数 的图象与 轴有两个交点,坐标分别是(x1,0),(x2,0),且 .图象上有一点 在 轴下方,则下列判断正确的是()
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴有两个不同的交点,根的判别式△＞0,再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．
【详解】A、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况,故本选项错误；
B、∵x1＜x2,
∴△=b2-4ac＞0,故本选项错误；
C、若a＞0,则x1＜x0＜x2,
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
答案与解析
一、选择题(共24分)
1.将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是()
A.y＝(x－1)2＋2B.y＝(x＋1)2＋2C.y＝(x－1)2－2D.y＝(x＋1)2－2
20.在关于x,y的二元一次方程组 中．
(1)若a=3．求方程组的解；
(2)若S=a(3x+y),当a为何值时,S有最值．
人教版九年级上册数学 二次函数单元测试卷(含答案解析)
人教版九年级上册数学 二次函数单元测试卷（含答案解析）一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）1．已知函数222222(0)114(0)22x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪=⎨---+≥⎪⎩（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1a =或3a =-；（2）①1x =--1x =+；②724m ≤<或21m -<<-；（3）3a <--或1a ≤<-或a >【解析】 【分析】（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线y m =观察其与图像交点，即可得到答案．（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211422y x ax a =---+与0比大小；第二种为当20a -≤<，2222y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211422y x ax a =---+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2222y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211422y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小． 【详解】（1）将()1,2代入2211422y x ax a =---+中，得2112422a a =---+，解得1a =或3a =-．（2）当1a =-时，函数为2221,(0)17(0)22x x x y x x x ⎧+-<⎪=⎨-++≥⎪⎩，①令2210x x +-=，解得1x =--1x =-令217022x x -++=，解得1x =+或1x =-综上，1x =--1x =+．②对于函数()2210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217(0)22y x x x =-++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2⎛⎫⎪⎝⎭． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足724m ≤<或21m -<<-． （3）2222y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211422y x ax a =---+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2222y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111493422220y x ax a a a =---+=⨯--+<-，解得3a >或3a <--，综上可得：3a <--．②当20a -≤<时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，22222=20y x ax a a =-+--≤；得2a ≤<，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，2221114=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，2221111493422222y x ax a a a =---+=⨯--+>-；求得21a -<<-；综上：1a ≤<-．③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，22222=22y x ax a a =-+--≥且2221114+40222y x ax a a =---+=-<；求解上述不等式并可得公共解集为：a >综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >． 【点睛】本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．2．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，258；（3）①57,24M ⎛⎫'⎪⎝⎭；②45° 【解析】 【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化．（3）①由（2）可知m ＝52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值． 【详解】（1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3， ∴y ＝3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b并解得：b＝3，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB＝12×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3＝﹣12（m﹣52）2+258，∴当m＝52时，S取得最大值258．（3）①由（2）可知：M′的坐标为（52，74）．②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d 1+d 2＝BF ， 此时只要求出BF 的最大值即可， ∵∠BFM′＝90︒，∴点F 在以BM′为直径的圆上， 设直线AM′与该圆相交于点H ， ∵点C 在线段BM′上， ∴F 在优弧'BM H 上， ∴当F 与M′重合时， BF 可取得最大值， 此时BM′⊥l 1，∵A （1，0），B （0，3），M′（52，74）， ∴由勾股定理可求得：AB 10，M′B 55M′A 85， 过点M′作M′G ⊥AB 于点G ， 设BG ＝x ，∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2， ∴851610﹣x ）2＝12516﹣x 2，∴x ＝5108， cos ∠M′BG ＝'BG BM ＝22，∠M′BG= 45︒ 此时图像如下所示，∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1 ∴∠B M′P=∠BCA ＝90︒， 又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒ ∴∠BAC ＝45︒． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．3．如图，过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ． （1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移． 【解析】 【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ． 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩．∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上． 则−12m 2+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）．∴m=2．当点C′在y=12-x2+2x上，则12-×(32m)2+2×32m＝12m，解得：120 9m=，20m=（舍去）．∴m=20 9（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．∴点A′（83，89）．∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39k=，解得：k=76．∴直线OA″的解析式为y=76 x．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127，∴点B′得坐标为（127，2）． ∴n=212277-=． ∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析【解析】 【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得396a =+ 13a ∴=-∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBAS n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴=在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-= )21336233t t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭ 化简得(1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ 13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD ++=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径 则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m += ∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值. (3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.5．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =23S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.【答案】（1）213222y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10【解析】【分析】 （1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； （2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ， ∴S △ABD =315522⨯=， 设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=， 解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=， 解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-， 解得：5x =或2x =-（舍去），∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC ==BC ==∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°， ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =，即1525OM = 解得：2OM =， ∴OC AC FM AF =，即2535FM = 解得：6FM =，∴点F 为（2，6），且B 为（4，0），设直线BE 解析式为y=kx+m ，则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得312k m =-⎧⎨=⎩， ∴直线BE 解析式为：312y x =-+；联立直线BE 和抛物线解析式可得：231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得：40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩， ∴点E 坐标为：(5,3)-，∴22(54)(3)10BE =-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．6．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣34，1916）．（3）1539(,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521 (,) 24M综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M.【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）P的坐标，C的坐标；（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，∴Q（92，﹣5），直线PE′的解析式为y＝﹣65x+385，∴Q′（212，﹣5）， 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）； 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k 与直线y=kx+1交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP 最大面积s=1927322288⨯=; P （12，﹣34） （3）存在；25 【解析】【分析】（1） 当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y x y x ⎧=⎨=+⎩﹣即可； （2） 设P （x ，x 2﹣1）．过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1），所以利用S △ABP =S △PFA +S △PFB ，，用含x 的代数式表示为S △ABP=﹣x 2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3） 设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，用k 分别表示点E 的坐标，点F 的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣12）2+278当x=12时，yP=x2﹣1=﹣34．∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（12，﹣34）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣1k，0），F（0，1），OE=1k，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：22 111=k k+⎛⎫+⎪⎝⎭．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．∴C（﹣k，0），OC=k．假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°． 设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN ∽△EOF ， ∴NQ EN OF EF =，即：1221k k k k-=， 解得：25， ∵k ＞0，∴25． ∴存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，此时25． 考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边AO 在x 轴的负半轴上，边OB 在y 轴的负半轴上．且AO ＝12，OB ＝9．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A 和点B ．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M ，连接AM ，BM ，AB ，当△ABM 面积最大时，求点M 的坐标；（3）点D 是线段AO 上的动点，点E 是线段BO 上的动点，点F 是射线AC 上的动点，连接EF ，DF ，DE ，BD ，且EF 是线段BD 的垂直平分线．当CF ＝1时．①直接写出点D 的坐标 ；②若△DEF 的面积为30，当抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过平移同时过点D 和点E 时，请直接写出此时的抛物线的表达式 ．【答案】（1）y＝﹣x2﹣514x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣50)或(﹣3，0)，②y＝﹣x2﹣133x﹣4【解析】【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到9 144120cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣514x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝12×9×（m+12）+12×12×（﹣m2﹣514m﹣9+9）﹣12×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF垂直平分线段BD，∴FD＝FB，∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），∴102+（m+12）2＝122+12，∴m＝﹣12﹣55∴D（﹣50）．当点F在线段AC上时，同法可得D（﹣3，0），综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣50）或（﹣3，0）．故答案为（﹣50）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF的面积为30，∴D（﹣3，0），E（0，﹣4），把D，E代入y＝﹣x2+b′x+c′，可得'493''0c b c =-⎧⎨--+=⎩， 解得：13'3'4b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4． 故答案为：y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）224233y x x =--+；（2）存在，点P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△PAC 的面积最大；（3）存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【解析】【分析】（1）直接把点A （﹣3，0），B （1，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx+2求出a 、b 的值即可得出抛物线的解析式；（2）设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2，连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．根据三角形的面积公式得出△PAC 的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；（3）以BC 为边，在线段BC 两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ，根据全等三角形的判定定理得出△Q 1CD ≌△CBO ，△CBO ≌△BQ 2E ，故可得出各点坐标．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得 ∴二次函数的关系解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2； （2）存在．∵如图1所示，设点P 坐标为（m ，n ），则n ＝﹣23m 2﹣43m+2． 连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ．则PM ＝﹣23m 2﹣43m+2．，PN ＝﹣m ，AO ＝3． ∵当x ＝0时，y ＝﹣23×0﹣43×0+2＝2， ∴OC ＝2，∴S △PAC ＝S △PAO +S △PCO ﹣S △ACO ＝12AO•PM+12CO•PN ﹣12AO•CO ＝12×3×（﹣23m 2﹣43m+2）+12×2×（﹣m ）﹣12×3×2 ＝﹣m 2﹣3m∵a ＝﹣1＜0∴函数S △PAC ＝﹣m 2﹣3m 有最大值∴当m ＝﹣2b a ＝﹣32时，S △PAC 有最大值． ∴n ＝﹣23m 2﹣43m+2＝﹣23×（﹣32）2﹣43×（﹣32）+2＝52， ∴存在点P （﹣32，52），使△PAC 的面积最大．（3）如图2所示，以BC 为边在两侧作正方形BCQ 1Q 2、正方形BCQ 4Q 3，则点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4为符合题意要求的点．过Q 1点作Q 1D ⊥y 轴于点D ，过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于点E ， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q 1CD 与△CBO 中，∵11324Q C BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△Q 1CD ≌△CBO ，∴Q 1D ＝OC ＝2，CD ＝OB ＝1，∴OD ＝OC+CD ＝3，∴Q 1（2，3）；同理可得Q 4（﹣2，1）；同理可证△CBO ≌△BQ 2E ，∴BE ＝OC ＝2，Q 2E ＝OB ＝1，∴OE ＝OB+BE ＝1+2＝3，∴Q 2（3，1），同理，Q 3（﹣1，﹣1），∴存在点Q ，使△BCQ 是以BC 为腰的等腰直角三角形．Q 点坐标为：Q 1（2，3），Q 2（3，1），Q 3（﹣1，﹣1），Q 4（﹣2，1）．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．。
数学九年级上册《二次函数》单元测试卷附答案
九年级上册数学《二次函数》单元测试卷(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列函数关系中，可以看作二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）模型的是 A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系 2．抛物线y =–x 2+4x –4与坐标轴的交点个数为 A ．0B ．1C ．2D ．33．下列函数中，y 总随x 的增大而减小的是 A ．y =4xB ．y =–4xC ．y =x –4D ．y =x 24．将抛物线y =（x –1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是 A ．y =（x –1）2B ．y =（x –2）2+6C ．y =x 2D ．y =x 2+65．已知抛物线23(2)y ax x a =++-，a 是常数且0a <，下列选项中可能是它大致图象的是A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线y =ax 2+bx +c 开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有 A ．最小值-5B ．最大值-5C ．最小值3D ．最大值37．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．a >0，bc >0，Δ<0B ．a <0，bc >0，Δ<0C ．a >0，bc <0，Δ<0D ．a <0，bc <0，Δ>08．已知二次函数215y x x =-+-，当自变量x 取m 时对应的值大于0，当自变量x 分别取1m -、1m +时对应的函数值为1y 、2y ，则1y 、2y 必须满足 A ．10y >、20y > B ．10y <、20y < C ．10y <、20y >D ．10y >、20y <9．用”描点法”画二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax 2+bx +c –5=0的解为 A ．x 1=–2，x 2=4B ．x 1=–1，x 2=3C ．x 1=3，x 2=4D ．x 1=–4，x 2=410．如图，在坐标平面上，二次函数y =–x 2+4x –k 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k >0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：3，则k 值为A ．1B ．12C ．34D ．45二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．把二次函数y =2x 2–8x +9，化成y =a （x –h ）2+k 的形式是：__________． 12．二次函数y =12（x +2）2+3的顶点坐标是__________． 13．已知二次函数2(2)y m x =-的图象开口向下，则m 的取值范围是__________． 14．如果二次函数22my mx -=（m 为常数）的图象有最高点，那么m 的值为__________．15．把抛物线y=22x先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是__________．16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=1，且经过点（-1，y1），（-2，y2），试比较y1和y2的大小：y1__________y2（填”>“，”<“或”=“）．17．已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+a2+2a-3在-1≤x≤3的范围内有最小值5，则a的值为__________．18．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x+m）2+n的顶点在线段AB上，与x 轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标的最大值为__________．19．直线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为__________．20．如图，抛物线y=–2x2–8x–6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=–x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是__________．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）已知函数y=（m2-4）x2+（m2-3m+2）x-m-1．（1）当m为何值时，y是x的二次函数?（2）当m为何值时，y是x的一次函数?22．（6分）关于二次函数y =mx 2+（2m +4）x +8（m 为常数，且m ≠0），（1）证明：该函数与x 轴一定有交点； （2）若该函数经过点A （–1+1m，y 1），B （–1，y 2），请比较y 1，y 2的大小关系，并说明理由．23．（8分）已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A （0，3）和B （4，3）．（1）直接写出a ，b 之间的数量关系式：__________； （2）若抛物线的顶点在x 轴上，求a 的值；（3）若M （–1，0），N （3，0），且抛物线与线段MN 只有一个公共点，求a 的取值范围．24．（8分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y =–16x 2+bx +c 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为172m ． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过?25．（8分）把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （-6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ．（1）求顶点P 的坐标； （2）写出平移过程； （3）求图中阴影部分的面积．26．（10分）为发展”低碳经济”，某单位花12500元引进了一条环保型生产线生产新产品，在生产过程中，每件产品还需成本40元，物价部门规定该产品售价不得低于100元/件且不得高于150元/件，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）第一个月该单位是盈利还是亏损?求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一个月盈利最大或亏损最小时，第二个月公司重新确定产品售价，能否使两个月共盈利达10800元?若能，求出第二个月的产品售价；若不能，请说明理由．27．（10分）设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=-c，b=2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的”反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个”反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x，函数y1+y2恰是y1-y2的”反倍顶二次函数”，求n．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=–43x2+bx+c过A（3，0），B（0，2）两点．点N为第一象限内抛物线上一动点，点N的横坐标为m，过点N作NM⊥x轴于M，交直线AB于点P．（1）求抛物线的解析式；（2）若PN=2PM，求此时点N的坐标；（3）连接AN，设△ANB的面积为S．求S关于m的函数关系式．参考答案1．【答案】C【解析】A、v=st，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+12cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误，故选C．2．【答案】C【解析】当x=0时，y=–x2+4x–4=–4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，–4），当y=0时，–x2+4x–4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），所以抛物线与坐标轴有2个交点．故选C．【名师点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，分为两种情况：与x轴的交点，与y轴的交点．与x 轴的交点可以转化为解关于x的一元二次方程；与y轴的交点取x=0时即可．3．【答案】B【解析】y=4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，y=–4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，y=x–4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，y=x2中，当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，故选B．【名师点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．4．【答案】C【解析】∵向左平移1个单位，再向下平移3个单位，∴y=（x–1+1）2+3–3．故得到的抛物线的函数关系式为：y=x2．故选C．5．【答案】B【解析】∵抛物线y=ax2+3x+（a-2），a是常数且a<0，∴图象开口向下，a-2<0，∴图象与y轴交于负半轴，∵a<0，b=3，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选B．6．【答案】B【解析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质，可以知该抛物线有最大值-5．故选B．7．【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，∴a <0，∵对称轴x =02ba-<，∴b <0，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c >0，∴bc <0，抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ>0．故选D ． 8．【答案】B 【解析】令y =−x 2+x −15=0，解得x=510±∵当自变量x 取m 时对应的值大于0，∴510-<m<10， ∵点（m +1，0）与（m -1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x 轴两交点之间的距离，∴m -1的最大值在左边交点之左，m +1的最小值在右边交点之右．∴点（m +1，0）与（m -1，0）均在交点之外，∴y 1<0，y 2<0．故选B ． 9．【答案】A【解析】方法一：由题意可知点（0，–3），（1，–4），（2，–3）在二次函数y =ax 2+bx +c 的图象上，则34423c a b c a b c =-++=-++=-⎧⎪⎨⎪⎩，解得123a b c ==-=-⎧⎪⎨⎪⎩，所以一元二次方程ax 2+bx +c –5=0可化为：x 2–2x –3–5=0，解得x 1=–2，x 2=4，故选A ．方法二：因为二次函数的图象具有对称性，观察表格可知当x =0和x =2时对应的y 值相等，所以二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x =1，又由表格可知当x =4时y =5，所以当x =–2时y 的值也为5，所以ax 2+bx +c –5=0的解应该为x 1=–2，x 2=4，故选A ． 10．【答案】A【解析】二次函数y =–x 2+4x –k 顶点坐标为（2，4–k ），C （0，–k ）， ∵△ABC 与△ABD 的面积比为1：3，∴||4k k --＝13， ∵k >0，∴4kk -＝13，∴k =1；故选A ． 【名师点睛】本题考查二次函数图象及性质，三角形的面积与坐标的关系；熟练掌握二次函数顶点和与坐标轴上点的求法，将三角形面积转化为点坐标的关系是解题的关键． 11．【答案】y =2（x –2）2+1【解析】y =2x 2–8x +9=2（x 2–4x ）+9=2（x –2）2+1．所以y =2（x –2）2+1． 故答案为：y =2（x –2）2+1．【名师点睛】本题考查了二次函数的三种形式，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 12．【答案】（–2，3）【解析】二次函数y =12（x +2）2+3的图象的顶点坐标是（–2，3）．故答案为：（–2，3）． 【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y =a （x –h ）2+k （a ≠0）的顶点坐标为（h ，k ），注意符号问题． 13．【答案】m <2【解析】由二次函数2(2)y m x =-的图象的开口方向，知m -2<0，确定m 的取值范围m <2．故答案为：m <2． 14．【答案】–2【解析】∵二次函数y =mx m 2−2（m 为常数）的图象有最高点，则图象开口向下，∴2220m m =⎩-⎧⎨＜，解得m =–2，故答案为：–2． 【名师点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义及开口方向确定m 的值，难度不大．15．【答案】y =2（x +1）2-2【解析】将抛物线y =2x 2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式为：y = 2（x +1）2-2．故答案为：y =2（x +1）2-2． 16．【答案】<【解析】∵抛物线y =ax 2+bx +c （a >0）的对称轴为直线x =1，且经过点（-1，y 1），（-2，y 2），∴点（-1，y 1）直线x =1最近，点（-2，y 2）离直线x =1最远，∵抛物线开口向上，∴y 1<y 2．故答案为：<． 17．【答案】4或-8【解析】根据函数解析式可得函数的对称轴为直线x =2；当a >0，则当x =2时函数的最小值为5，即248235a a a a -++-=，解得：a =4或a =-2（舍去）；当a <0时，则当x =-1时函数的最小为5，即24235a a a a +++-=，解得：a =-8或x =1（舍去）．综上所述a =4或a =-8．故答案为：4或-8．18．【答案】8【解析】当点C 横坐标为−3时，抛物线顶点为A （1，4），对称轴为x =1，此时D 点横坐标为5，则CD =8；当抛物线顶点为B （4，4）时，抛物线对称轴为x =4，且CD =8，故C （0，0），D （8，0）；由于此时D 点横坐标最大，故点D 的横坐标最大值为8．故选D ． 19．【答案】直线x =–18【解析】如图可知，当x =2时，2a +m =2b +n ，得2a –2b =n –m ；当x =3时，y 1=3a +m ①，当x =6时，y 2=6b +n ②，且y 1=y 2； ②–①得n –m =3a –6b ， ∴2a –2b =3a –6b ，∴a =4b ．由二次函数的性质可知，其对称轴为直线x =–2b a =–18． 故答案为：直线x =–18． 【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据一次函数图象建立方程组，求出a 、b 的等量关系式． 20．【答案】–3<m <–158【解析】令y =–2x 2–8x –6=0，即x 2+4x +3=0，解得x =–1或–3， 则点A （–1，0），B （–3，0），由于将C 1向左平移2个长度单位得C 2，则C 2解析式为y =–2（x +4）2+2（–5≤x ≤–3）， 当y =–x +m 1与C 2相切时， 令y =–x +m 1=–2（x +4）2+2， 即2x 2+15x +30+m 1=0， △=–8m 1–15=0，解得m 1=–158， 当y =–x +m 2过点B 时，即0=3+m 2，m 2=–3，当–3<m <–158时直线y =–x +m 与C 1、C 2共有3个不同的交点， 故答案为：–3<m <–158．【名师点睛】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．21．【解析】（1）由m2-4≠0，解得m≠±2．故当m≠±2时，y是x的二次函数．（2分）（2）由m2-4=0，解得m=±2．由m2-3m+2≠0，解得m≠1，m≠2．所以m=-2．因此，当m=-2时，y是x的一次函数．（6分）22．【解析】（1）二次函数y=mx2+（2m+4）x+8，Δ=（2m+4）2–32m=4m2–32m+16=（2m–4）2≥0，∴函数与x轴一定有交点；（3分）（2）函数的对称轴为x=–1–2m，当m>0时，–1+1m>–1>–1–2m，∴y随x的增大而增大，∴y1>y2；当m<0时，–1–2m>–1>–1+1m，∴y随x的增大而增大，∴y2>y1．（6分）【名师点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴与函数值之间的关系是解题的关键．23．【解析】（1）将A（0，3）和B（4，3）代入y=ax2+bx+c中得31643ca b c=++=⎧⎨⎩，∴4a+b=0，故答案为：4a+b=0；（2分）（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3）和B（4，3），∴对称轴为直线x=2，∵x=2时，y=4a+2b+c=b+3，∴顶点坐标为（2，b+3），∵抛物线的顶点在x轴上，∴b+3=0，∴b=–3，∴a=34；（4分）（3）y=ax2–4ax+3，∴其对称轴是x=2．①当抛物线开口向上时，∵抛物线与线段MN只有一个公共点，∴抛物线与x轴只有一个交点，此时，Δ=0或(3)0f∆><⎧⎨⎩，解得a=34或a>1；（6分）②当抛物线开口向下时，1()0f∆>-≤⎧⎨⎩，解得a≤–35，综上，抛物线与线段MN只有一个公共点时，a的取值范围是a≤–35或a>1或a=34．（8分）【名师点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，二次函数的性质，求出函数解析式是解题的关键．24．【解析】（1）根据题意得B （0，4），C （3，172）， 把B （0，4），C （3，172）代入y =–16x 2+bx +c ， 得241173362c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得24b c ==⎧⎨⎩． 所以抛物线解析式为y =–16x 2+2x +4， 则y =–16（x –6）2+10，所以D （6，10）， 所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；（4分）（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA 的交点为（2，0）或（10，0），当x =2或x =10时，y =223>6， 所以这辆货车能安全通过．（8分）【名师点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．25．【解析】（1）平移的抛物线解析式为1(6)2y x x =+=2132x x +=219(3)22x +-， 所以顶点P 的坐标为（-3，92-）．（3分） （2）把抛物线212y x =先向左平移3个单位，再向下平移92个单位即可得到抛物线219(3)22y x =+-．（6分） （3）图中阴影部分的面积=1273922OPQ S =⨯⨯=△．（8分）26．【解析】（1）设y =kx +b ，由图象可得：100160150110k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1260k b =-⎧⎨=⎩，故函数解析式为：y =-x +260（100≤x ≤150）．（4分）（2）设公司第一个月的盈利为w 元，由题意得，w =y （x -40）-12500=-x 2+300x -10400-12500=-（x -150）2-400，∴第一个月公司亏损了，最小亏损为400元，此时商品售价定为150元/件．（7分） （3）由题意，两个月共盈利10800元，得：-x 2+300x -10400-400=10800， 解得x 1=120，x 2=180，又∵100≤x ≤150，∴x =120，∴每件商品售价定为120元时，公司两个月可盈利10800元．（10分）27．【解析】（1）∵y =x 2+x +1，∴y =213()24x ++， ∴二次函数y =x 2+x +1的顶点坐标为（-12，34）， ∴二次函数y =x 2+x +1的一个”反倍顶二次函数”的顶点坐标为（12，32）， ∴反倍顶二次函数的解析式为y =x 2-x +74．（5分） （2）y 1+y 2=x 2+nx +nx 2+x =（n +1）x 2+（n +1）x ，y 1+y 2=（n +1）（x 2+x +14）-14n +， 顶点坐标为（-12，-14n +），（7分） y 1-y 2=x 2+nx -nx 2-x =（1-n ）x 2+（n -1）x ，y 1-y 2=（1-n ）（x 2-x +14）-14n -，顶点坐标为（12，-14n -）， 由于函数y 1+y 2恰是y 1-y 2的”反倍顶二次函数”，则-2×14n -=-14n +， 解得n =13．（10分） 28．【解析】（1）抛物线过点B （0，2），∴c =2，把点A 坐标（3，0）代入二次函数表达式得：0=–43×9+3b +2，解得：b =103， 故抛物线的表达式为：y =–43x 2+103x +2；（4分） （2）设直线AB 的表达式为：y =kx +2，将点A坐标（3，0）代入上式得：0=3k+2，解得：k=–23，则直线AB的表达式为：y=–23x+2，点N的横坐标为m，则点N坐标为（m，–43m2+103m+2）、点P坐标为（m，–23m+2）、点M坐标为（m，0），则PM=–23m+2，PN=–43m2+103m+2–（–23m+2）=–43m2+4m，由PN=2PM，解得：m=3或1（舍去m=3），故点N的坐标为（1，4）；（8分）（3）由（2）得：PN=–43m2+4m，则S=12•PN•x A=–2m2+6m（0<x<3）．（10分）。
九年级上册数学《二次函数》单元综合测试题(含答案)
20.飞机着陆后滑行 距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是 ,则飞机着陆后滑行的最长时间为秒．
三、解答题
21.把函数 写成 的形式,并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
22.已知抛物线y＝ax2经过点(1,3)．
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】
铅球落地时高度y=0,求出此时x的值,即得铅球推出后落地时距出手地的距离．
【详解】当y=0时,﹣ x2+ x+ =0,整理得：x2﹣8x﹣20=0,解得：x=10,x=﹣2(不合题意,舍去),故x=10,即铅球推出后落地时距出手地的距离是10米．
九年级上册数学《二次函数》单元测试卷
(满分120分,考试用时120分钟)
一、选择题
1.在下列函数中,以 为自变量的二次函数是()
A. B. C. D.
2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象,由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别是x1＝1.6,x2＝( )
A.－1.6B.3.2C.4.4D.以上都不对
【详解】二年后的价格是为：50×(1-x)×(1-x)=50(1-x)2,
则函数解析式是：y=50(1-x)2．
故选A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识,需注意第二年的价位是在第一年的价位的基础上降价的．
10. 如图,已知抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是x=﹣1,则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
九年级-数学二次函数单元测试题及答案
九年级-数学二次函数单元测试题及答案(试时间：60分钟,满分：100分)一、选择题(每题3分,共30分)1.下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1,-4)B.(-1,2)C. (1,2)D.(0,3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( )A. ab>0,c>0B. ab>0,c<0C. ab<0,c>0D. ab<0,c<06. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点在第___象限( )A. 一B. 二C. 三D. 四7. 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线x=-1,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3,y3)是直线上的点,且-1<x1<x2,x3<-1,则y1,y2,y3的大小关系是( )A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y310.把抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是( )A. B.C. D.二、填空题(每题4分,共32分)11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则y=________.13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点,则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c,经过A(-1,0),B(3,0)两点,则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点,交y轴于C点,且△ABC是直角三角形,请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v(m/s)竖直向上抛物出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数,通常取10m/s2).若v=10m/s,则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式为______________.18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点,则y1的值是_________.三、解答下列各题(19、20每题9分,21、22每题10分,共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是,并且图象过A(0,-4)和B(4,0)(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内,点 O为坐标原点,二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x轴于点A(x1,0)、B(x2,0),且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位,设平移后的图象与y轴的交点为C,顶点为P,求△POC的面积.21.已知：如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；.(2)求△MCB的面积S△MCB22.某商店销售一种商品,每件的进价为2.50元,根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内,单价是13.50元时,销售量为500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你分析,销售单价多少时,可以获利最大.答案与解析：一、选择题1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一,直接用二次函数顶点坐标公式求.法二,将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式,即y=a(x-h)2+k的形式,顶点坐标即为(h,k),y=x2-2x+3=(x-1)2+2,所以顶点坐标为(1,2),答案选C.3.考点：二次函数的图象特点,顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断,函数y=2(x-3)2的顶点为(3,0),所以顶点在x轴上,答案选C.4.考点：数形结合,二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线,其对称轴为.解析：抛物线,直接利用公式,其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象,抛物线开口方向向下,抛物线对称轴在y轴右侧,抛物线与y轴交点坐标为(0,c)点,由图知,该点在x轴上方,答案选C.6.考点：数形结合,由抛物线的图象特征,确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象,抛物线开口方向向下,抛物线对称轴在y轴右侧,抛物线与y轴交点坐标为(0,c)点,由图知,该点在x轴上方,在第四象限,答案选D.7.考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4,所以抛物线对称轴所在直线为x=4,交x轴于点D,所以A、B两点关于对称轴对称,因为点A(m,0),且m>4,所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8,答案选C.8.考点：数形结合,由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号,由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下,对称轴在y轴左侧,交坐标轴于(0,0)点.答案选C.9.考点：一次函数、二次函数概念图象及性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1,且-1<x1<x2,当x>-1时,由图象知,y随x的增大而减小,所以y2<y1；又因为x3<-1,此时点P3(x3,y3)在二次函数图象上方,所以y2<y1<y3.答案选D.10.考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到,再向上平移3个单位得到.答案选C.二、填空题11.考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1,所以对称轴所在直线方程.答案x=1.12.考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13.考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,求得x1=-1,x2=3,则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1,0),B(3,0)两点,解得b=-2,c=-3,答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是一道开放题,求解满足条件的二次函数解析式,答案不唯一.解析：需满足抛物线与x轴交于两点,与y轴有交点,及△ABC是直角三角形,但没有确定哪个角为直角,答案不唯一,如：y=x2-1.16.考点：二次函数的性质,求最大值.解析：直接代入公式,答案：7.17.考点：此题是一道开放题,求解满足条件的二次函数解析式,答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：二次函数的概念性质,求值.答案：.三、解答题19.考点：二次函数的概念、性质、图象,求解析式.解析：(1)A′(3,-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20.考点：二次函数的概念、性质、图象,求解析式.解析：(1)由已知x1,x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8∴x1x2+(x1+x2)+9=0∴-(k+4)-(k-5)+9=0∴k=5∴y=x2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为：y=(x-2)2-9且x=0时y=-5∴C(0,-5),P(2,-9).21. 解：(1)依题意：(2)令y=0,得(x-5)(x+1)=0,x1=5,x2=-1∴B(5,0)由,得M(2,9) 作ME⊥y轴于点E,则可得S△MCB =15.。
九年级数学 二次函数单元测试卷(解析版)
九年级数学二次函数单元测试卷（解析版）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B （4，0）．设直线BC 的解析式为y=kx+b ，由图象，得，解得：，∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣a+2），F （a ，﹣a 2+a+2），∴EF=﹣a 2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a 2+2a （0≤x≤4）． ∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =BD•OC+EF•CM+EF•BN ， =+a （﹣a 2+2a ）+（4﹣a ）（﹣a 2+2a ），=﹣a 2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a ﹣2）2+∴a=2时，S 四边形CDBF 的面积最大=，∴E （2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值2．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -． （1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ∆有一个内角为60，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠．【答案】（1）21b a =-；（2）22y x =-；（3）见解析.【解析】 【分析】（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案． （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形，结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，212)x -+、点N 的坐标为2(x ，222)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出212x x =-，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠． 【详解】解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得2420c a b c =-⎧⎨-+=⎩． 所以21b a =-．（2），如图1，当120x x <<时，()()12120x x y y --<，120x x ∴-<，120y y ->， ∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，0b ∴=．OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ， ABC ∴∆为等腰三角形，又ABC ∆有一个内角为60︒， ABC ∴∆为等边三角形．设线段BC 与y 轴交于点D ，则BD CD =，且30OCD ∠=︒， 又2OB OC OA ===，·303CD OC cos ∴=︒=，·301OD OC sin =︒=． 不妨设点C 在y 轴右侧，则点C 的坐标为(3，1)． 点C 在抛物线上，且2c =-，0b =，321a ∴-=，1a ∴=，∴抛物线的解析式为22y x =-．（3）证明：由（1）可知，点M 的坐标为1(x ，212)x -，点N 的坐标为2(x ，222)x -．如图2，直线OM 的解析式为()110y k x k =≠．O 、M 、N 三点共线，10x ∴≠，20x ≠，且22121222x x x x --=，121222x x x x ∴-=-，()1212122x x x x x x -∴-=-，122x x ∴=-，即212x x =-， ∴点N 的坐标为12(x -，2142)x -． 设点N 关于y 轴的对称点为点'N ，则点'N 的坐标为12(x ，2142)x -． 点P 是点O 关于点A 的对称点，24OP OA ∴==，∴点P 的坐标为()0,4-．设直线PM 的解析式为24y k x =-，点M 的坐标为1(x ，212)x -，212124x k x ∴-=-，21212x k x +∴=，∴直线PM 的解析式为21124x y x x +=-．()222111221111224224·42x x x x x x x +-+-==-， ∴点'N 在直线PM 上，PA ∴平分MPN ∠． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上．3．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围． 【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；【解析】 【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，kx），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52ba -≥，即可求出n 的取值范围． 【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1）， ①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下： 由①得1944y x =-+， 设点P 为（x ，kx），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+； ∵104-<， ∴当92x =时，k 有最大值8116； 当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大． （2）∵()1,2A 、()5,B n ， 设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n ny x --=+， 设点P 为（x ，kx），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-， 当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意； 当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--；∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大； 当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩，∴不等式组的解集为：2n >； 当204n -<时，有 ∴20410524n n n -⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：109n ≥． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．4．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）． （1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围； （3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论； （2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0）， ∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点； （2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下， 又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤，∴﹣b 2≥4a ， ∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ）， ∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0， ∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0， ∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0， ∵a≠0，则9a 2＞0， ∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y 轴交于点C(0，3)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的右侧)，点P 是该抛物线上的一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合)，过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．【详解】（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得：3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；（2）分两种情况：①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；∵点A 在点B 的右边， ∴B （1，0），A （3，0）； ∴P 1（1，0）；②当点A 为△AP 2D 2的直角顶点时； ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴∠OAD 2=45°；当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2； 又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称；设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得：303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩； ∴y=﹣x+3；设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；解得x 1=2，x 2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P 的坐标为P 2（2，﹣1）（即顶点Q ）时， 平移直线AP 交x 轴于点E ，交抛物线于F ； ∵P （2，﹣1）， ∴可设F （x ，1）； ∴x 2﹣4x+3=1，解得x 1=2﹣2，x 2=2+2； ∴符合条件的F 点有两个，即F 1（2﹣2，1），F 2（2+2，1）．【点睛】此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.6．如图1所示，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC 的面积为整数的P 点的个数；（3）当点P 在抛物线上运动时，四边形OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点P 的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q 随点P 运动的过程中，当点Q 恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．【答案】（1）2214433y x x =-+；（2）9个 ；（3）33,22或44，；（4）33【解析】 【分析】（1）抛物线与y轴交于点C，顶点的横坐标为7 2，则472223cb，即可求解；（2）APC∆的面积PHA PHCS S S，即可求解；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y，则0x y+=，即可求解；（4）求出直线AP的表达式为：2(1)(6)3y m x，则直线OQ 的表达式为：2(1)3y m x②，联立①②求出Q的坐标，又四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，即可求解．【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点C，顶点的横坐标为72，则472223cb，解得1434bc，故抛物线的抛物线为：2214433y x x=-+；（2）对于2214433y x x=-+，令0y=，则1x=或6，故点B、A的坐标分别为(1,0)、(6,0)；如图，过点P作//PH y轴交AC于点H，设直线AC的表达式为：y kx b=+由点A（6，0）、C（0，4）的坐标得460bk b，解得423bk，∴直线AC的表达式为：243y x=-+①，设点2214(,4)33P x x x，则点2(,4)3H x x，APC∆的面积221122146(44)212(16)22333PHAPHCS SSPH OA x x x x x，当1x =时，10S =，当6x =时，0S =， 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方， 此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=， 即2214433yx x x ，解得：32x =或4， 故点P 的坐标为3(2，3)2或(4,4)-； （4）设点2214(,4)33P m m m ，为点(6,0)A ，设直线AP 的表达式为：y kx t =+，由点A ，P 的坐标可得260214433kt kmt m m ，解之得：2(1)326(1)3km tm∴直线AP 的表达式为：2(1)(6)3ym x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，故直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②， 联立①②得：2(1)3243ym x yx ，解得：446mm y x ，则点6(Q m ，44)m， 四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点， 如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∴OC AD =, 则有，66mm，解得：33m，经检验，33m 是原分式方程得跟，则633m，故Q 的横坐标的值为33±． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】 【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3）， 将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=， ①∠MAN=∠ABD 时， （Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时， 直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32），AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN==， 解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．8．如图，直线3yx与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】 【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可． 【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0， 解得x=-3， 令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3）， ∴OA=OC=3， ∵tan ∠CBO=3OCOB=， ∴OB=1， ∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++， ∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0），∴AB=-1-（-3）=2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC=2OA=32，∠BAC=45°，∵B（-1，0），D（-2，-1），∴∠ABD=45°，①AB和BP是对应边时，△ABC∽△BPA，∴AB ACBP BA=，即2322BP=，解得BP=223，过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322=，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=32×22=3，∴OE=1+3=4，∴点P的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P，A，B为顶点的三角形与ABC∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．9．如图，已知二次函数22(0)y ax ax c a的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交与点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．(1) 求一次函数解析式；(2)求顶点P的坐标；(3)平移直线AB使其过点P，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan2OAM∠=，求点M坐标；(4)设抛物线的对称轴交x轴与点E，联结AP交y轴与点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，联结QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3(2)顶点P的坐标为（1，4）(3) M点的坐标为：15,2(,39⎛⎫-⎪⎝⎭或23-）（445【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B（0，3），根据OB=3OA，可求出OA的长，也就得出了A 点的坐标，然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中，即可得出所求；（2）将（1）得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M 点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ，在构建的直角三角形AME 中，可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长，然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标．（本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D 关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值．【详解】(1)∵A （-1，0）,∴OA=1∵OB=3OA ，∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为：223y x x =-++∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4）(3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+∵直线3y x b =+过P （1，4）∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠=设M （x,3x+1）① 当点M 在x 轴上方时，有31312x x +=+，∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-=+，∴59x =- ∴25(,9M - 23-） (4)作点D 关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N ⊥PD 于点N当-x 2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，∴A （-1，0），P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2，令x=0，可得y=2，∴D（0，2），∵D与D′关于直线x=1对称，∴D′（2，2）．根据ND′⊥PD，设ND′解析式为y=kx+b，则k=-12，即y=-12x+b，将D′（2，2）代入，得2=-12×2+b，解得b=3，可得函数解析式为y=-12x+3，将两函数解析式组成方程组得：13222y xy x⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得25145xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N（214,)55，由两点间的距离公式：d=222144522555⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴所求最小值为455【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．10．如图，经过原点的抛物线2y ax x b=-+与直线2y=交于A，C两点，其对称轴是直线2x=，抛物线与x轴的另一个交点为D，线段AC与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式，并写出点D 的坐标；（2）若点E 为线段BC 上一点，且2EC EA -=，点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点，连接PE ，过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ，连接PF ，探究在P 点运动过程中，线段PE ，PF 有何数量关系？并证明所探究的结论；（3）设抛物线顶点为M ，求当t 为何值时，DMF ∆为等腰三角形？【答案】（1）214y x x =-；点D 的坐标为(4,0)；（2）5PF PE =，理由见解析；（3）512t =或98t = 【解析】【分析】（1）先求出a 、b 的值，然后求出解析式，再求出点D 的坐标即可；（2）由题意，先求出点E 的坐标，然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，得到2EF PE =，结合勾股定理，即可得到答案；（3）根据题意，可分为三种情况进行分析：FM FD =或DF DM =或FM MD =，分别求出三种情况的值即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax x b =-+经过原点， ∴0b =．又抛物线的对称轴是直线2x =，∴122a --=，解得：14a =． ∴抛物线的解析式为：214y x x =-． 令2104y x x =-=， 解得：10x =，24x =．∴点D 的坐标为(4,0)．（2）线段PE 、PF 的数量关系为：5PF PE =．证明：由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ，如图①，AE EG GC +=，∴EG GC AE =-，∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-，∵2EC EA -=，∴1EG =，∴(1,2)E ，过点E 作EH x ⊥轴于H ，则2EH OB ==．∵PE EF ⊥，∴90PEF ∠=︒，∵BE EH ⊥，∴90BEH ∠=︒．∴PEB HEF ∠=∠．在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中，∵PEB HEF ∠=∠，90EHF EBP ∠=∠=︒，∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，∴12PE BE EF HE ==， ∴2EF PE =． 在Rt PEF ∆中，由勾股定理得：222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=，∴5PF PE =．（3）由2211(2)144y x x x =-=--， ∴顶点M 坐标为(2,1)-．若DMF ∆为等腰三角形，可能有三种情形：（I ）若FM FD =．如图②所示：连接MG 交x 轴于点N ，则90MNF ∠=︒，∵(4,0)D ，∴2222125MD MN ND =+=+=． 设FM FD k ==，则2NF k =-．在Rt MNF ∆中，由勾股定理得：222NF MN MF +=，∴22(2)1k k -+=，解得：54k =， ∴54FM =，34NF =， ∴1MN =，即点M 的纵坐标为1-；令1y =-，则2114x x -=-， ∴2x =，即ON=2，∴OF=114， ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵(1,2)E ，∴1,2BE BP t ==-，∴221(2)PE t =+-，∴251(2)PF t =•+-，在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-， ∴98t =． （II ）若DF DM =．如图③所示：此时5FD DM ==∴45OF =，∴(45,0)F ，由（I ）知，PE =，PF =在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=，∴222(455(2)t t +-=+-∴12t =． （III ）若FM MD =．由抛物线对称性可知，此时点F 与原点O 重合．∵PE EF ⊥，点P 在直线AC 上方，与点P 在线段OB 上运动相矛盾，故此种情形不存在．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。
人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 单元测试卷(含解析)
人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.2.已知二次函数的最小值是，那么m的值等于A. 10B. 4C. 5D. 63.抛物线上两点、，则a、b的大小关系是A. B. C. D. 无法比较大小4.已知a、b、c是的三边长，且关于x的方程的两根相等，则为A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 任意三角形5.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图象大致为A. B.C. D.7.若、为方程的两个实数根，则的值为A. B. 12 C. 14 D. 158.已知二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是A. B. C. D.9.抛物线的对称轴是A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线10.将抛物线绕它的顶点旋转，所得抛物线的解析式是．A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共21分）11.如果函数是二次函数，那么m的值一定是______．12.已知二次函数的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是．13.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是__________．14.如果抛物线的对称轴是y轴，那么m的值是______ ．15.在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数b，得到的解为，；小刚看错了常数项c，得到的解为，请你写出正确的一元二次方程______．16.如图，在中，，，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿方向以的速度向点D运动，过P点作交AC于点E，过E点作于点F，设的面积为，四边形PDFE的面积为，则点P在运动过程中，的最大值为______．17.如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：；；的两根分别为和1；．其中正确的命题是________填写正确命题的序号三、解答题（本大题共6小题，共49分）18.已知二次函数的顶点在直线上，并且图象经过点求这个二次函数的解析式．当x满足什么条件时二次函数随x的增大而减小？19.已知抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，抛物线的顶点记为C．分别求出点A、B、C的坐标；计算的面积．20.二次函数a，b，c为常数图象如图所示，根据图象解答问题．直接写出过程的两个根．直接写出不等式的解集．若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．21.如图，是某座抛物线型的隧道示意图．已知路面AB宽24米，抛物线最高点C到路面AB的距离为8米，为保护来往车辆的安全，在该抛物线上距路面AB高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．22.某商店经销一种学生用双肩包，成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量个与销售单价元有如下关系：设这种双肩包每天的销售利润为w元．求w与x之间的函数关系式；这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？23.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，直线与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．求二次函数的解析式；是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：抛物线的顶点坐标是．故选：C．根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键．将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．【解答】解：原式可化为：，函数的最小值是，，，故选D．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，属于基础题．由题意，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，点在对称轴上，即可得到答案．【解答】解：，抛物线开口向上，对称轴是直线，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，点在对称轴上，．故选A．4.【答案】C【解析】【分析】方程的两根相等，即，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．的三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，此三角形是直角三角形．【解答】解：原方程整理得，因为两根相等，所以，即，所以是直角三角形．故选C．5.【答案】D【解析】解：由图象开口向上可知，对称轴，得．所以一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象，属于基础题．本题可先由二次函数图象得到字母a的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．【解答】解：由二次函数的图象可知，此时直线不可能在二、三、四象限，故D可排除；A中，二次函数的对称轴是y轴，可知，此时直线应该经过原点，故A可排除；因为对于，当时，，即抛物线一定经过原点，故B可排除．正确的只有C．故选：C．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，代数式求值的有关知识，属于中档题．根据一元二次方程的解得到，即，则可表示为，根据题意得到，，然后整体代入求值即可．【解答】解：为的实数根，，即，，、为方程的两个实数根，，，．故选B．8.【答案】A【解析】【分析】先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再由一次函数的性质解答．本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．用到的知识点：二次函数，当时，抛物线开口向上；抛物线与y轴交于，当时，与y轴交于正半轴；当，时，一次函数的图象在一、二、三象限．【解答】解：抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，，，一次函数的图象经过第一、二、三象限．故选A．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．【解答】解：抛物线可以看成是抛物线向上平移3个单位得到的，所以对称轴为y轴，即．故选D．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，利用了绕定点旋转的规律．根据抛物线解析式间的关系，可得顶点式解析式，根据绕它的顶点旋转，可得顶点相同，开口方向相反，即可得出答案．【解答】解：将y配方得．此抛物线开口向上，顶点为，因为绕的顶点旋转后，新抛物线开口大小，形状不变，开口向下，顶点为，故新抛物线的解析式为，即．故选D．11.【答案】2【解析】解：函数是二次函数，，且，解得：．故答案为：2．直接利用二次函数的定义计算得出答案．此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．12.【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系和抛物线与x轴的交点，能根据题意得出是解此题的关键先根据函数解析式得出抛物线的开口向上，根据顶点在x轴的下方得出，求出即可．【解答】解：二次函数中，图象的开口向上，又二次函数的图象的顶点在x轴下方，1，解得．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律，点经过平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把点向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得对应点的坐标为，所以平移后得到的抛物线的解析式为．故答案为．14.【答案】1【解析】解：的对称轴是y轴，，解得，故答案为：1．由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．15.【答案】【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得到，，然后求出b、c即可．【解答】解：根据题意得，，解得，，所以正确的一元二次方程为．故答案为．16.【答案】72【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出和是关键．利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出和，然后确定最值即可．【解答】解：中，，，AD为BC边上的高，，又，则，，，∽，，，，．的最大值为72，故答案为：72．17.【答案】【解析】【分析】本题主要考查对二次函数与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键由图象可知过，代入得到；根据，推出；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是，；由，根据结论判断即可．【解答】解：由图象可知：过，代入得：，正确；，，错误；根据图象关于对称轴对称，抛物线与x轴的交点是，，的两根分别为和1，正确；，，，，，错误．故答案为．18.【答案】解：二次函数的顶点在直线上，并且图象经过点二次函数的顶点为，将和分别代入和，得，解得，，二次函数的解析式为；二次函数的解析式为，对称轴为，又，当时，y随x的增大而减小．【解析】二次函数的顶点为，将和分别代入和，求得b、c，从而得出二次函数的解析式；求得对称轴在对称轴的左侧y随x的增大而减小．本题是一道二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，是中考热点，难度不大．19.【答案】解：当时，，解得，，点坐标为，B点坐标为；，顶点C的坐标为；的面积．【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．解方程得A点坐标和B点坐标；把一般式配成顶点式得到顶点C的坐标；利用三角形面积公式计算即可．20.【答案】解：由图象得：的两个根为；由图象得：不等式的解集为；设抛物线解析式为；把代入得：；解得：，抛物线解析式为；方程有两个不相等的实数根；二次函数与有两个交点；可得：k的范围为【解析】此题考查了二次函数与不等式组，抛物线与x轴的交点由图象抛物线与x轴的交点横坐标确定出方程的解即可；由图象确定出不等式的解集即可；利用待定系数法确定出抛物线解析式，设设抛物线解析式为，把代入得：，得到解析式，确定出顶点坐标，方程有两个不相等的实数根，二次函数与有两个交点，即可求出所求k的范围．21.【答案】解：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，由题意知，，，，设过点A，B，C的抛物线解析式为：，把点的坐标代入，得，解得：，则该抛物线的解析式为：，把代入，得，解得，，所以两盏警示灯之间的水平距离为：．【解析】本题主要考查的是二次函数的应用，注意利用函数对称的性质来解决问题利用待定系数法求得抛物线的解析式，已知抛物线上距水面AB高为6米的E，F两点，可知E，F两点纵坐标为6，把代入抛物线解析式，可求E，F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．22.【答案】解：，w与x之间的函数解析式；根据题意得：，，当时，w有最大值，最大值是225．当时，，解得，，，不符合题意，舍去，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．【解析】本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．每天的销售利润每天的销售量每件产品的利润；根据配方法，可得答案；根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．23.【答案】解：当时，有，解得：，点A的坐标为；当时，，点C的坐标为．将、代入，得：解得：二次函数的解析式为．设点P的坐标为，则点E的坐标为，．，当时，PE取最大值，最大值为．【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值以及待定系数法求二次函数解析式；解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标；用含m的代数式表示出PE的值．根据点C在x轴上求得点A的坐标，再根据点C的横坐标为2求出点C的纵坐标，把，代入二次函数的解析式，利用待定系数法即可求得函数的解析式；设点P的坐标为，则点E的坐标为，进而可得出，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．。
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1
新河中学2013学年九年级数学（二次函数）单元测试题001
一、选择题（每小题3分，共45分）：
1、下列函数是二次函数的有（ ）
12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222xycbxaxyxxyxyxy
(6) y=2(x+3)
2－2x2
A、1个； B、2个； C、3个； D、4个
2. y=(x－1)2＋2的对称轴是直线（ ）
A．x=－1 B．x=1 C．y=－1 D．y=1
3. 抛物线12212xy的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1）
4. 函数y=-x2-4x+3图象顶点坐标是（ ）
A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1）
5．已知二次函数)2(2mmxmxy的图象经过原点，则m的值为 （ ）
A． 0或2 B． 0 C． 2 D．无法确定
6．函数y=2x2-3x+4经过的象限是（ ）
A.一、二、三象限 B.一、二象限
C.三、四象限 D.一、二、四象限
7．已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象如图5所示，
有下列结论：①0abc；②a+b+c>0③a-b+c<0；；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、已知二次函数
2
1
3xy
、2231xy、2323xy，它们的图像开口由小到大的
顺序是（ ）
A、
321yyy B、123yyy C、231yyy D、132
yyy
9、与抛物线y=－12x2+3x－5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线
是（ ）
(A) y = x2+3x－5 (B) y=－12x2+2x (C) y =12x2+3x－5 (D) y=12x2
10．正比例函数y＝kx的图象经过二、四象限，则抛物线y＝kx
2－2x＋k2
的大致
图象是（ ）
11．把二次函数
12
2
xxy
配方成顶点式为（ ）
A．
2)1(xy B． 2)1(2xy C．1)1(2xy D．2)1(2
xy
12．对于抛物线21(5)33yx，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标(53)， B．开口向上，顶点坐标(53)，
C．开口向下，顶点坐标(53)， D．开口向上，顶点坐标
(53)，
13、若A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三
点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2
14．抛物线
2
3yx
向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )
（Ａ）23(1)2yx （Ｂ）23(1)2yx
（C）23(1)2yx （D）23(1)2yx
15．在同一直角坐标系中，函数ymxm和222ymxx（m是常数，且0m）
的图象可能．．是（ ）
二、填空题：（每空1分共40分）
年
级
：
班
级
：
姓
名
：
考
号
：
装
订
线
-1
O
x=1
y
x
图5
x
y
O
Ａ．
x y O Ｂ． x y O Ｃ． x
y
O
Ｄ．
2
1、抛物线
2
1
(2)43yx
可以通过将抛物线y＝ 向 平移____ 个
单位、再向 平移 个单位得到。 2．若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在x轴上，则b的值为______ 3．抛物线21(2)43yx关于x轴对称的抛物线的解析式为_______ 4．如图所示,在同一坐标系中,作出①23xy②221xy ③2xy的图象,则图象从里到外的三条抛物线对应的 函数依次是_______(填序号) 5．若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在y轴上，则b的值为______ 6.若mmxmmy22是二次函数， m=______。 7、抛物线21(4)72yx的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，它的开口向 ，在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而 ；当x= 时，y的值最 ，最 值是 。 8、已知y=x2+x－6，当x=0时，y= ；当y=0时，x= 。 9、将抛物线y=3x2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为 。 10、抛物线42)2(22mxxmy的图象经过原点，则m . 11、若抛物线y＝x2+mx＋9的对称轴是直线x=4，则m的值为 。 12．抛物线y＝－3x2＋x－4化为y＝a(x－h)2＋k的形式为 y＝__________________，开口向 ，对称轴是__________顶点坐标是_________当ｘ＝______时，ｙ有最______值，为_______，当x__________时，ｙ随ｘ增大而增大，当x__________时，ｙ随ｘ增大而减小，抛物线与ｙ轴交点坐标为__________ 13．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y轴的交点坐标为 （0，3）的抛物线的解析式 。 14．已知a＜0，b＞0，那么抛物线22bxaxy的顶点在第 象限 15、 若一抛物线形状与y＝－5x2＋2相同，顶点坐标是(4，－2)，则其解析式是
__________________.
16.已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则
点()Pabc，在第 象限．
三、解答题：
1. （8分）（1）已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）
①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点，求二次函数的解析式；
2. （9分）已知函数422mmxmy+8x-1是关于x的二次函数，求：
（1） 求满足条件的m的值；
（2） m为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当x为何值时，y随x
的增大而增大？
（3） m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增
大而减小？
3. （8分）（1）利用配方求函数
2
1
44yxx
的对称轴、顶点坐标。
（2）利用公式求函数216172yxx的对称轴、顶点坐标。
4.（10分）已知二次函数y＝（m2－2）x2－4mx＋n的图象的对称轴是x＝2，且最
高点在直线y＝21x＋1上，求这个二次函数的解析式。
x
y
o
-1
O
x=1
y
x