海明码精典例题学习资料
海明码例题详细步骤
海明码例题详细步骤咱们知道，发送端在发送数据给接收端时，在传输链路中有可能受到干扰致使数据传输错误，所以在接受端咱们须要对接收到的数据进行检验，验证数据是否正确。
若是数据发生了错误，接收端会选择对数据进行纠错或者要求发送端进行重发。
1、奇偶校验。
在计算机发展的早期咱们常采用的校验方法是奇偶校验，用1个比特位来标记校验结果。
因此当咱们的数据有n 位时，要传输给接收端的数据有n+1位。
采用奇校验时，若所要传输的数据含有奇数个1，则校验位为0；反之，含有偶数个1，则校验位为1。
采用偶校验时，若所要传输的数据含有偶数个1，则校验位为0；反之，含有奇数个1，则校验位为1。
学习奇偶校验功能简单，实现起来容易，可是它只能发现数据发生了错误，没法肯定是哪一个位置发生了错误，只能要求发送方重发，且当数据发生了偶数个错误时，奇偶检验没法发现错误，也就是说它没有纠错功能，所以咱们采用更为先进的海明码。
2、海明码。
海明码不只具备纠错功能，还能根据验算过程判断出发生错误的位置。
下面让咱们来看看海明码的计算原理。
（1）海明码有三个重要性质：①假设数据位为n位，校验位有k位，则海明码有n+k 位，且n和k需知足2−1≥n+k等式(能够用2k−1>n简化计算)。
如：当n=8时,则k=4;当n=16时,则k=5。
②用符号D表明数据位，P表明校验位，H表明海明码，则P=2，也就是说第i个校验位在海明码的第2。
当肯定好校验位在海明码的位置以后，剩下的位置则由数据位进行填充。
根据①和②，咱们即可以肯定数据位为n时，校验位k 的值及海明码的格式(这里以数据位为8位举例)：根据①，由于n=8且2k-1>n，因此k=4,因此海明码有8+4=12位。
根据②，能够以为4个校验位P1、P2、P3、P4分别在海明码的H1、H2、H4、H8的位置上，如上图所示。
③每一位海明码都会被校验到，其中，被校验的海明码它的下标等于参与校验的全部检验码下标之和(对应存放D时)，而校验位由自身校验(对应存放P时)。
海明码的计算(精)
海明码的计算：码距：是不同码字的海明距离的最小值。
（1）可查出多少位错误：可以发现“≤码距-1”位的错误（2）可以纠正多少位错误：可以纠正“<码距/2”位的错误，因此如果要能纠正n位错误，则所需最小的码距是：2n+1。
计算：海明码是放置在2的幂次位上的即1,2,4,8,16,32,而对于信息位为m的原始数据，需加入k位的校验码，它满足m+k+1<.海明码的求法：一、有一种简单的方法，则是从第1位开始，遇到校验位留下空格。
如原始信息为101101100,并采用偶校验：1011011001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13二、然后概据以下公式填充校验位：1，2，4，8B1=B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=1⊕0⊕1⊕0⊕1⊕0=1B2=B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11=1⊕1⊕1⊕1⊕1=1B4=B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13=0⊕1⊕1⊕0⊕0=0B8=B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13=0⊕1⊕1⊕0⊕0=0三、最后将结果填入，得到结果：11100110011001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13海明码的纠错：如下给出一个加入了校验码的的信息，并说明有一位的错误，要找出错误位：11100110010001 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13将B1，B2，B4，B8代入上式的公式中：B1=B1⊕B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=1⊕1⊕0⊕1⊕0⊕0⊕0=1 B2=B2⊕B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11=1⊕1⊕1⊕1⊕1⊕0=1B4=B4⊕B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13=0⊕0⊕1⊕1⊕0⊕0=0B8=B8⊕B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13=0⊕0⊕1⊕0⊕0⊕0=1然后从高位往下写，B8+B4+B2+B1=1011=11（十进制）即11位出错。
海明码，汉明码，hamming
海明码，汉明码，hamming code--计算法则最近最海明码很感兴趣，查了些资料，有⼀篇资料极好，所以贴出来，希望供有需求的⼈能有个参考。
1 海明码原理概述 海明码是R. Hamming提出的, ⼀种可以纠正⼀位错的差错控制编码。
了解海明码之前, 先回顾⼀下简单的奇偶校验码的情况。
若信息位为K=n- 1位, 表⽰为a1～an- 1, 加上⼀位偶校验位(冗余位)a0, 构成⼀个n位的码字a0～an- 1, 在接收端校验时, 可按关系式: s=a0+a1+a2+…an- 1来计算, 若S=0, 则⽆错, 若S=1, 则有错。
上式可称为监督关系式, S称为校正因⼦。
在奇偶校验情况下, 只有⼀个监督关系式和⼀个校正因⼦, 其取值只有两种(0或1),分别代表了⽆错和有错的情况, ⽽不能指出差错所在的位置。
不难想象, 若增加冗余位, 也相应地增加监督关系式和校正因⼦, 就能区分更多的情况。
如, 若有两个校正因⼦, 则其取值就有4种可能: 00、01、10或11, 就能区分4种不同情况。
若其中⼀种表⽰⽆错, 另外三种不但可以⽤来指出有错, 还可以⽤来区分错误的情况, 如指出是哪⼀位错等。
⼀般⽽⾔, 信息位为K位, 增加r位冗余位, 构成n=k+ r位码字。
若希望⽤r个监督关系式产⽣的r个校正因⼦来区分⽆错和在码字中的n个不同位置的⼀位错, 则表⽰:或。
2 构造海明码的冗余位和监督关系式的⽅法 按上述设计思路, 为了叙述清楚, 下⾯以信息位K=7来讨论海明码的冗余位和监督关系式的具体构造过程和⽅法。
因为且k=7, 所以≥4, 即⾄少需要4位冗余位(对应产⽣4个校正因⼦和4个监督关系式), 形成24=16种不同取值, ⽤其中11种分别表⽰⽆错和a0～a10中⼀位错的情况。
构造表如表1: 冗余码如下: a0=a8+a9+a10 (1) a1=a5+a6+a7 (2) a2=a4+a6+a7+a9 (3) a3=a4+a5+a7+a8+a10 (4) 监督关系式如下: s0=a0+a8+a9+a10 (5) s1=a1+a5+a6+a7 (6) s2=a2+a4+a6+a7+a9 (7) s3=a3+a4+a5+a7+a8 (8)3 构造校正因⼦和监督关系式时应遵循的原则 上表1中, 构造4个校正因⼦和4个监督关系式的过程中, 为了体现前⾯所述设计思想,应遵循如下原则: 图1中共有11列, 每⼀列应保证各不相同, 即s0 s1 s2 s3 的16种组合中, 取“0000”组合表⽰⽆错, 剩下15种中取其中11种⽤来表⽰a0～a10中某⼀位出错的情况, 所以,下表2有错, 因为a5 和a7 两列均为“0111”。
八、海明码
计算机网络
八
海明码
海明码的构造及校验方法
例：海明码中信息位为7位，接收端 收到的码字为11110111011，请问此 码字是否出错，并求发送端发送的信息 位。
计算机网络
八
海明码
海明码的构造及校验方法
解：因为k=7，n=11，所以r=4 信息位与冗余位的位置如下： I7 I6 I5 11 10 9 1 1 1 1
计算机网络 八 海明码
海明码的构造及校验方法
将各位代入以上各式可得： s=s3s2s1s0=0100 因此该码字出错，错误的位置在第4 位。即r2错，于是得到正确的码字为： 11110110011 发送端发送的信息位为:1110110
计算机网络 八 海明码
课程小结
本节主要内容：
1、海明码的特点
2、海明码的原理
计算机网络 八
r3 I4 I3 I2 r2 I1 r1 r0 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 1 1
海明码
0 1 1
海明码的构造及校验方法
从而得校正因子如下：
s3=r3+I7+I6+I5
s2=r2+I4+I3+I2 s1=r1+I7+I6+I4+I3+I1 s0=r0+I7+I5+I4+I2+I1
计算机网络
八
海明码
海明码的构造及校验方法
于是，接收端使用以下关系式对这三个 偶校验关系进行验证：
s2=r2+I4+I3+I2 s1=r1+I4+I3+I1 s0=r0+I4+I2+I1 其中s2，s1，s0称为校正因子。
计算机基础：海明码是什么？
计算机基础：海明码是什么？海明码：奇偶校验码的⼀种扩充。
只能检验和恢复⼀位。
例如：求1011 的海明码？答案：1010101其中：红⾊所在位数 1,2,4,8，... 为计算出的验证码，⿊⾊的信息为原信息码：1011。
计算⽅法：1.先计算需要⼏位海明码？1011 是四位 ,它有四种只错⼀位的情况，（0011,1111,1001,1010）再加上x位海明码的错⼀位情况。
再加上⼀种全部位都正确的情况。
所以海明码需要 x+4+1 中可能。
所以需要海明码x位可以表⽰出 x+4+1 中可能。
即： x+4+1 <=2**x (2**x 表⽰2的x⽅)，计算得到3，海明码最少是3，当然4,5,6位都可以，就像⽤101 校验和0101 00101 000101 00000000101 都能校验⼀样，只是⽐较浪费。
所以计算出了海明码的位数为3。
（其实也就是往原编码内填充1,2,4,8,16，这些地⽅，填完为⽌。
）2. 开始计算。
1011 中间插⼊三位验证码位数7654321信息101x1x x在第7位：7=2**2+2**1+2**0=4+2+16 对应位置为0，不算在内。
5=2**2 +2**0 = 4 +13=2**1+2**0 =2+1这样得到(2**0) 出现三次，所以在最低位为1 ，（出现偶数次就是0，奇数次就是1,)(原计算⽅法是⽤异或计算 1 xor 1 =0 , 1xor 0 =1 , 0 xor 0=0 ,这⾥结果都⼀样）(2**1)出现两次，所以第⼆位是0，(2**2)出现两次，所以第三位是0，所以就得到位数7654321信息10101013.验证和举例我们传输这个得到的海明码，和⼀个错误的海明码：正确的验证 1010101 ：1.得到海明码（1,2,4 位，如果更长的话就是8,16,32。
位）001。
2.信息码为剩下的 1011，同步骤⼆：计算得到001，3.和上⾯的到的海明码001 异或（001 xor 001 ) =000,正确错误的验证 1110101 ：1.得到海明码 001。
第3章 数据链路层-纠错码：海明码
检错：∵S4S2S1=111≠ 000， ∵有差错！差错位是b7（D4）； 纠错： b7位变反！ 获取数据：去掉校验位，数据＝1011，
陈家琪 计算机网络－第3章 数据链路层
4
海明编码解码－简便法
例：数据＝1011，
b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 P1 P2 1 P3 0 1 1
编码简便法： 将码字中为 1 的各 位码字位号表示为二进制码，再 按模 2 求和，所得结果就是校验 码。
陈家琪
差错位 b2 = 010 b3 = 011 ⊕ b6 = 110 S4S2S1 = 111
5
计算机网络－第3章 数据链路层
海明示例：数据＝1100 001 （m=7, r=4）
P1
P2
P3
P4
b3 = 0011 b5 = 0101 编码: ⊕ b11 = 1011 P4P3P2P1 = 1101
b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10b11 发送: 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
接收: 1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
检错:
陈家琪
⊕
b1 b3 b4 b8 b11 差错位
= 0001 = 0011 = 0100 = 1000 = 1011 = 0101
6
计算机网络－第3章 数据链路层
计算机网络－第3章 数据链路层
2
海明示例：发送端
例：数据＝1011，
b1 b2 b3 P1 P2 1 S1 0 X 1 X S2 S4 发送码： 0 1 1 b4 b5 b6 P3 0 1 X X 0 X X 0 0 1 b7 1 X X X 1
海明码
海明码用k位冗余位来校正m+k位数据。
由于k位冗余位可以表示2的k次方个数，其中要有一个数表示m位数据都没错，剩下的2的k次方减1个数表示有错的信息，且必须能表示错误位在m个不同位置时的情况，所以必须要有2的k次方减1>=m。
效验位是跟数据位混在一起的，一般来说是放在2的i次方处（i=0,1,2...）比如假设原始数据为8位D1D2 D3D4D5D6D7D8，通过上面的不等式可以知道k=4，也就是效验位为P1P2P3P4，则最终发送出去的数据为：码位：m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12码字：P1 P2 D1 P3 D2 D3 D4 P4 D5 D6 D7 D8海明码的监督关系：这个比较难点。
第1个效验位可以效验：m1 m3 m5 m7 m9 m11 （1 1+2 1+4 1+2+4 1+8 1+2+8 1+2+4+8...）第2个效验位可以效验：m2 m3 m6 m7 m10 m11 （2 2+1 2+4 2+1+4 2+8 2+1+8 2+1+4+8...）第3个效验位可以效验：m4 m5 m6 m7 m12 （4 4+1 4+2 4+1+2 4+8 4+1+8 4+1+2+8...）第4个效验位可以效验：m8 m9 m10 m11 m12 （8 8+1 8+2 8+1+2 8+4 8+1+4 8+1+2+4...）呼，应该不难看出规律吧。
效验位的计算：用例子说话最容易理解。
假设信息为8位：1 1 0 0 1 1 0 0 ，则编码后为：码位：m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10 m11 m12码字：P1 P2 1 P3 1 0 0 P4 1 1 0 0监督关系为（用S表示，+表示逻辑加）：S1=m1 + m3 + m5 + m7+ m9+ m11S2=m2 + m3 + m6 + m7+ m10+ m11S3=m4 + m5 + m6 + m7+ m12S4=m8 + m9 + m10 + m11+ m12当信息没有错误时，S1=S2=S3=S4=0，代入数据，有0=P1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 00=P2 + 1+ 0+ 0+ 1+ 00=P3 + 1+ 0+ 0+ 00=P4 + 1+ 1+ 0+ 0很容易计算出：P1=1，P2=0，P3=1，P4=0所以海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"。
海明码例举详解
S1=0⊕1⊕1⊕1⊕0 =1
S2=0⊕1⊕1⊕1⊕1 =0
S3=0⊕1⊕1⊕1
=1
S4=1⊕0⊕1
=0
按照S4S3S2S1排列得到的二进制数为：0101，对应的 值十进制为5，找到错误位置！纠错！把1改为0！
S3=M4⊕M5⊕M6⊕M7
=P3⊕D2⊕D3⊕D4
S4=M8⊕M9⊕M10 =P4⊕D5⊕D6
如果海明码没有错误信息，S1、S2、S3、S4都为0， 等式右边的值也得为0，由于是异或，所以Pi（ i=1,2,3…）的值跟后边的式子必须一样才能使整个式 子的值为零，即：Pi=后边的式子的值,即：
这个公式在验证纠错的时候还会用得到，只要记住这个 公式的推导就可以解决所有问题了。
图2
接下来就是代入求值的过程了，注意“⊕”这个符号 ，这是异或符号。按照图1中的指示，把相应的值代 入到图2 的公式里，可以得到如下内容
S1=M1⊕M3⊕M5⊕M7⊕M9 =P1⊕D1⊕D2⊕D4⊕D5
S2=M2⊕M3⊕M6⊕M7⊕M10=P2⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6
海明码详解
以D= 101101这个数字的海明码推导为例
海明码步骤： 一、确定校验码的位数k 二、确定校验码的位置 三、数据的位置 四、求出校验位的值
一、 确定校验码的位数k
数据的位数m=6，公式来计算满足条件的k的最小值 2的k次方-1>=m+k 即：2的k次方-1>=6+k 解此不等式得在我们得到了D=101101的正确海明码就是
那么出错的时候是怎么验证出来的呢？比如第5位错 了，第5位现在的值是0，如果错了，它只能是1，二 进制就这两种值即：我们得到了这样的一组编码， 现在要找出错误的位置（假定你不知道哪里错）
海明码例题详细步骤
海明码例题详细步骤海明码是一种常用于纠错的编码方式，它可以在传输或存储数据过程中检测并纠正错误。
海明码的原理基于奇偶校验，通过在数据中插入冗余位来实现错误的检测和纠正。
在本文中，我们将详细介绍海明码的步骤和算法。
海明码的设计目标是在传输或存储数据时，可以检测出错误的位，并且能够纠正这些错误。
它通过在数据中插入校验位来实现这一目标。
每个校验位都对应着一个数据位的位置，通过奇偶校验来检测错误。
如果在传输过程中出现了错误，校验位将会自动纠正数据位的错误。
具体步骤如下：1. 确定数据位的数量：首先确定要发送的数据位的数量。
假设有k个数据位。
2. 计算校验位的数量：校验位的数量由以下公式确定：2^r >= k + r + 1，其中r为校验位的数量。
解这个公式得到校验位的数量r。
3. 分配校验位的位置：将校验位分配到数据位的位置上。
校验位的位置一般为2的幂次方，例如第1、2、4、8...位。
4. 计算校验位的值：对每个校验位，计算其奇偶校验值。
校验位的奇偶校验值是指其控制的数据位中1的数量。
例如，对于校验位C1来说，它控制数据位D1、D3、D5等位置，如果这些数据位中有奇数个1，则C1的奇偶校验值为1，否则为0。
5. 插入校验位：将校验位插入到数据位中，校验位的位置处填入校验位的奇偶校验值。
6. 发送或存储数据：发送或存储包含数据位和校验位的数据。
7. 接收数据：接收到数据后，进行校验。
8. 计算校验位的奇偶校验值：对接收到的每个校验位，对应的数据位进行奇偶校验，将计算得到的奇偶校验值与接收到的校验位的值进行比较。
9. 纠正错误：如果发现错误，使用校验位来纠正错误的数据位。
根据校验位的值，确定出错的位置，将其取反即可纠正错误。
通过以上的步骤，我们可以使用海明码来实现数据的纠错功能。
海明码通过插入校验位和奇偶校验来检测并纠正错误，能够防止数据在传输或存储过程中产生的错误。
需要注意的是，海明码能够检测和纠正的错误数量有一定的限制。
奇偶校验码,海明码,循环冗余CRC(精)
1、奇偶校验码二进制数据经过传送、存取等环节，会发生误码（1变成0或0变成1），这就有如何发现及纠正误码的问题。
所有解决此类问题的方法就是在原始数据（数码位）基础上增加几位校验（冗余）位。
一、码距一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位（bit）数叫这两个码字的码距，而整个编码系统中任意两个码字的的最小距离就是该编码系统的码距。
如图1所示的一个编码系统，用三个bit来表示八个不同信息中。
在这个系统中，两个码字之间不同的bit数从1到3不等，但最小值为1，故这个系统的码距为1。
如果任何码字中一位或多位被颠倒了，结果这个码字就不能与其它有效信息区分开。
例如，如果传送信息001，而被误收为011，因011仍是表中的合法码字，接收机仍将认为011是正确的信息。
然而，如果用四个二进数字来编8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2，如图图 1图 2注意，图8-2的8个码字相互间最少有两bit因此，如果任何信息的一个数位被颠倒，码字，接收机能检查出来。
例如信息是1001，误收为1011接收机知道发生了一个差错，因为1011不是一个码字（表中没有）。
然而，差错不能被纠正。
的，正确码字可以是1001，1111，0011或1010能确定原来到底是这4个码字中的那一个。
也可看到，这个系统中，偶数个（2或4）差错也无法发现。
为了使一个系统能检查和纠正一个差错，必须至少是“3”。
最小距离为3时，或能纠正一个错，或能检二个错，但不能同时纠一个错和检二个错。
错和检错能力的进一步提高需要进一步增加码字间的最小距离。
图8-3的表概括了最小距离为1至7的码的纠错和检错能力。
图3 码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率低了。
所以，选择码距要取决于特定系统的参数。
数字系统的设计者必须考虑信息发生差错的概率和该系统能容许的最小差错率等因素。
要有专门的研究来解决这些问题。
二、奇偶校验奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。
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海明码精典例题
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海明码精典例题(重点理解)
海明码的生成与接收
方法一：（按教科书）
1)海明码的生成。
例1.已知：信息码为："0010"。海明码的监督关系式为：
S2=a2+a4+a5+a6
S1=a1+a3+a5+a6
S0=a0+a3+a4+a6
求：海明码码字。
解：1)由监督关系式知冗余码为a2a1a0。
2)冗余码与信息码合成的海明码是："0010a2a1a0"。
设S2=S1=S0=0,由监督关系式得：
a2=a4+a5+a6=1
a1=a3+a5+a6=0
a0=a3+a4+a6=1
因此，海明码码字为："0010101"
2)海明码的接收。
例2.已知：海明码的监督关系式为：
S2=a2+a4+a5+a6
S1=a1+a3+a5+a6
S0=a0+a3+a4+a6
接收码字为："0011101"(n=7)
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求：发送端的信息码。
解：1)由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。
2)由监督关系式可构造出下面错码位置关系表：
S2S1S0 000 001 010 100 011 101 110 111
错码位置 无错 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6
3)由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。
4)纠错--对码字的a3位取反得正确码字："0 0 1 0 1 0 1"
5)把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码："0010"
方法二：
1)海明码的生成（顺序生成法）。
例3.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=8)
求：海明码码字。
解：1)把冗余码A、B、C、…，顺序插入信息码中，得海明码
码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 "
码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
其中A,B,C,D分别插于2k位(k=0,1,2,3)。码位分别为1,2,4,8。
2)冗余码A,B,C,D的线性码位是：(相当于监督关系式)
A->1,3,5,7,9,11；
B->2,3,6,7,10,11；
C->4,5,6,7,12；(注 5=4+1；6=4+2；7=4+2+1；12=8+4)
D->8,9,10,11,12。
3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0)：
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A=∑(0,1,1,0,1,0)=1
B=∑(0,1,0,0,1,0)=0
C=∑(0,1,0,0,0) =1
D=∑(0,1,1,0,0) =0
4)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
2)海明码的接收。
例4.已知：接收的码字为："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8)
求：发送端的信息码。
解：1)设错误累加器(err)初值=0
2)求出冗余码的偶校验和，并按码位累加到err中：
A=∑(1,0,1,0,1,0)=1 err=err+20=1
B=∑(0,0,0,0,1,0)=1 err=err+21=3
C=∑(1,1,0,0,0) =0 err=err+0 =3
D=∑(0,1,1,0,0) =0 err=err+0 =3
由err≠0可知接收码字有错，
3)码字的错误位置就是错误累加器(err)的值3。
4)纠错--对码字的第3位值取反得正确码字：
"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
5)把位于2k位的冗余码删除得信息码："1 1 0 0 1 1 0 0"