探索图形变化规律二

第二节 探索图形变化的规律

探索性问题是指给出一列数、一列等式，一列图形的前几项，然后让我们通过归纳加工、猜想，推出一般的结论；或者是给出一个图形，要求我们探索图形成立的条件、变化图形的不变规律。这类问题需要学生通过对题目进行深刻理解，然后进行合情推理，就其本质进行加工、猜想、类

比和联想，做出合理判断和推理。

解题时要关善于从所担供的数学或图形信息中，寻找其共同之处，存在于俱全中的共性，就是规律。其中蕴含蕴含着“特殊—— 一般 ——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识事物的一般过程。

例题解析

例1. 依次观察下面的三个图形，并判断照此规律从左向右第4个图形是（ ）

A ． B. C. D.

例2. 用边长为1cm 的小正方形搭如下所示的塔状图形，则第n 层所搭图形的周长是

________cm(用含n 的代数式表示) 。

第1次 第2次 第3次 第4次

例3. 观察下列图形的排列规律（其中

是正方形，是圆形）：

…

若第一个图形是正方形，则第2012个图形是______。（填图形名称）

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

第3个

第2个

第1

个（3）

（2）

（1）

例4. 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设成如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要

用白色棋子______枚。（用含有n 的代数式表示）

例5. 在数学活动中，小明为了求n

4322

1

21212121+⋅⋅⋅++++的值（结果用n 表示），设计了

如图1所示的几何图形。

（1）请你利用这个几何图形，求出

n 43221

21212121+⋅⋅⋅++++ 的值为______； （2）请你利用图2，再设计一个能求n 4322

1

21212121+⋅⋅⋅++++ 的值几何图形。

习题训练

1. 如图，

两种圆按某种规则排列，则前2006______个。

2. 观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是______。

3. 下列图中有大小不同的菱形，第1幅图有1个，第2幅图有3个，第3幅图有5个，则第n 幅图有______个。

（4）

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

（3）

（2）

（1）

4. 按如下规律摆放三角形：

第3个

第2个第1个图5图4图3图2图1第3个

第2个第1个

则第（4）堆三角形的个数为______，第n 堆三角形的个数为______。

5. 下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定规律拼接而成。依此规律第5个图中小正方形的个数为______。

6. 根据下列5个图形与相应点的个数的变化规律，试写出第10个图中有______个点，并猜测第n 个图中有______个点。

7. 如下图所示，用同样规格的灰白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，第四个图形中需要灰色瓷砖______块，

第n 个图形中需要灰色瓷砖______块（用含n 的代数式表示）

8. 找规律：

（1）如图，第一个中有几个正方体？第2个中有几个正方体？第3个中呢？

（2）照图示的方法摆下去，第5个中有几个正方体？第10个中有几个正方体？第n 个中呢？

9.在桌面上，棱长为a 的若干正方体摆成如图的模型。 模型中有多少个正方体？

该模型的表面积是多少？（不包括底面） 10. 将一X 正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如右下图所示），然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，

图4图3图2图1

如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：

（1）如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ （2）如果剪n 次共有 n a 个正方形，试用含有n 、n a 的等式表示这个规律。 （3）利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ （4）能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？

（5）若原正方形的边长为1，设n a 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示n a 。 （6）试猜想n n a a a a a a ++⋅⋅⋅++++-14321与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系。

11.如图所示是一个边长为1的正方形，第一次将它对折，得到面积为2

1

的长方形， 12.第二次再对折，得到面积为

4

1

的长方形。猜想：这样一直下去， 13.问对折到100次时，最后的面积是多少？已经截去的面积是多少？

14.下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形。仔细观察图形可知：

图有1块黑色的瓷砖，可表示为1=

(11)2

2

+⨯; 图有3块黑色的瓷砖，可表示为1+2=(12)2

2

+⨯；

图有6块黑色的瓷砖，可表示为1+2+3=(13)3

2

+⨯；

实践与探索：（1）请在图④的虚线框内画出第4个图形；（只须画出草图） （2）第10个图形有______块黑色瓷砖；（直接填写结果） （3）第n 个图形有______块黑色瓷砖。（用含n 的代数式表示）

13. 观察下列图形，如图所示，若第1个图形中的空白面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为

43，第3个图形中非阴影部分的面积为169，第4个图形中非阴影部分的面积为64

27，……。探所剪次数 1 2 3 4 5 …

正方形个数 4 7 10 13 16 …