七年级数学二元一次方程组的解法—代入消元法、加减消元法苏科版知识精讲

初一数学二元一次方程组的解法—代入消元法、加减消元法苏科版【本讲教育信息】一. 教学内容：二元一次方程组的解法——代入消元法、加减消元法［目标］1. 熟练掌握用代入（消元）法、加减（消元）法解二元一次方程组．2. 理解三元一次方程组并掌握其解法．3. 会求二元一次方程的整数解二. 重、难点：1. 了解解二元一次方程组的基本思想，能选用合理、简捷的方法解二元一次方程组．2. 了解三元一次方程组及其解的概念，解三元一次方程组的基本思想和方法．3. 通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程组转化(化归)的思想．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想．4. 掌握简单的二元一次方程的整数解的求法．三. 知识要点1. 解二元一次方程组的方法：解二元一次方程组的基本思路是“消元”．“消元”－－－－－－把“二元”变为“一元”．（1）代入消元法将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．适用X围：最好是某个未知数的前面的系数的绝对值为1或一个方程的常数项为0，否则尽量避免使用这种方法．（2）加减消元法把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．注意：注意变形的等价性，代入要细心，计算后要检验．把求出的解代入原方程组，可以检验解题过程是否正确．一般步骤：第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简． 2.三元一次方程组及其解：（1）解三元一次方程组的基本思路：化三“元”为二“元”，再化二“元”为一“元”，即利用代入法和加减法消“元”逐步求解．说明：解三元一次方程组，除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之外，关键的一步是由三“元”化为二“元”，特别注意两次消元过程中，方程组中每个方程至少要用到1次，并且(1)，(2)，(3)3个方程中先由哪两个方程消某一个未知数，再由哪两个方程（一个是用过的）仍然消这个未知数，防止第一次消去y ，第二次消去z 或x ，仍然得到三元一次方程组，没有达到消“元”的目的． 3. 二元一次方程整数解（1）二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by ＝c 中，若a ，b 的最大公约数能整除c ，则方程有整数解．即如果 （a ，b ）|c 则方程ax+by ＝c 有整数解．显然a ，b 互质时一定有整数解． 例如：方程3x+5y ＝1， 5x －2y ＝7， 9x+3y ＝6都有整数解． （2）二元一次方程整数解的求法： 1）关于整数解的通解：若方程ax+by ＝c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）．k 叫做参变数．①整除法：求方程5x+11y ＝1的整数解 解：x ＝5111y -＝y yy y 2515101--=-- (1) ， 设k k y(51=-是整数），则y ＝1－5k (2) ， 把（2）代入（1）得x ＝k －2(1－5k)＝11k －2∴原方程所有的整数解是⎩⎨⎧-=-=k y k x 51211（k 是整数）②公式法：设ax+by ＝c 有整数解 ⎩⎨⎧==00y y x x 则通解是⎩⎨⎧-=+=ak y y bkx x 00（x 0，y 0可用观察法）2）求二元一次方程的正整数解：①写出整数解的通解，再解x ，y 的不等式组，确定k 值 ②用观察法直接写出．【典型例题】例1. 用代入法解方程组：（1）⎩⎨⎧=--=+)2(83)1(1125y x y x分析：通常，当某个未知数的系数的绝对值为1时，将它所在的方程变形 解：由（2）得)3(83+=y x代入（1）得：112)83(5-=++y y 解得：3-=y 代入（3）得：1-=x∴⎩⎨⎧-=-=31y x（2）⎩⎨⎧-=--=-)2(345)1(1132y x y x分析：代入法消元通常是，把方程组中的某个方程的一个未知数（系数最为简单的）用另一个未知数的代数式来表示解：由（1）得)3(21123-=y x 代入（2）得：34)21123(5-=--y y解得：7=y 代入（3）得：5=x∴⎩⎨⎧==75y x（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+)2(334)1(1323yx yx分析：应先把分数系数化为整数系数，即把原方程组化简． 解：原方程组可化为：⎩⎨⎧-=-=+)4(3643)3(7832y x y x由（3）得)5(3923+-=y x 代入（4）得：364)3923(3-=-+-y y解得：18=y 代入（5）得：12=x∴⎩⎨⎧==1812y x（4）⎩⎨⎧=--=+)2(1394)1(132y x y x分析：想消去哪个未知数？告诉你一个令人振奋的方法：由第一个方程得y x 312--=，把它代入第二个方程，你试过这种方法吗？这叫整体代入法 解：由（1）得)3(312yx --=代入（2）得：139)31(2=---y y 解得：1-=y 代入（3）得：1=x∴⎩⎨⎧-==11y x例2. 用代入法解关于x 、y 方程组⎩⎨⎧-=-+=+)2(23)1(23ab y x ba y x分析：解字母系数的二元一次方程组与上述解问题的方法是一致的 解：由（2）得)3(23ab y x -+=代入（1）得：b a y a b y +=+-+2)23(3 解得：)(21b a y -=代入（3）得：)(21b a x += ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(21)(21b a y b a x例3. 用加减法解方程组 （1）⎩⎨⎧=-=+)2(523)1(1323y x y x分析：此方程组的两个方程中y 的系数互为相反数，所以可把两个方程相加，消去y ，解出x 的值；又发现两个方程中x 的系数相等，所以可把两个方程相减，消去x ，解出y 的值． 解法一：(1)+(2)，得186=x ，∴3=x 把3=x 代入(2)，得529=-y ，∴2=y∴⎩⎨⎧==23y x解法二：(1)－(2)，得84=y ， ∴2=y 把2=y 代入(2)，得5223=⨯-x ，∴3=x∴⎩⎨⎧==23y x（2）⎩⎨⎧=+=+)2(1534)1(2553y x y x分析：此方程组中两个未知数的系数均不成整数倍，所以选择系数较简单的未知数消元．将(1)×4， (2)×3，使得x 的系数相等，再相减消去x ． 解：(1)×4－(2)×3，得5511=y ∴5=y 把5=y 代入(2)，得15534=⨯+x ，∴0=x∴⎩⎨⎧==50y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+⋅=25.1%15%2532y x yx分析：应先把分数系数（百分数系数）化为整数系数，即把原方程组化简． 解：化简方程组，得⎩⎨⎧=+=-)2(2535)1(023y x y x（1）×3+（2）×2得：5019=x ∴1950=x代入（1）得：0219503=-⨯y ∴1975=y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==19751950y x（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=---=-)2(2322)1(2622y x x y x x y分析：此题中的方程组比较复杂，应先化简，然后再观察系数的特点，利用加减消元求解． 解：化简方程组，得⎩⎨⎧=-=+)4(625)3(1032y x y x(3)×2+(4)×3，得3819=x ，∴2=x 把2=x 代入(4)，得2=y∴⎩⎨⎧==22y x例4. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++=+-)3(323)2(1032)1(92z y x z y x z y x 分析：观察到方程(1)中x 的系数为1，所以可用代入法消去x ，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，求出它的解，即得到y 和z 的值，再求x 的值，也可先消去z ，得到x ，y 的二元一次方程组．解：由(1)得 x ＝9+2y －z （4）把(4)代入(2)，得2×(9+2y －z)+y+3z ＝10， 即 5y+z ＝－8(5)把(4)代入(3)，得3×(9+2y －z)+2y －4z ＝－3， 即 8y －7z ＝－30(6) (5)和(6)组成方程组⎩⎨⎧-=--=+307885z y z y解这个方程组，得⎩⎨⎧=-=22z y把y ＝－2， z ＝2代入(4)，得x ＝9+2×(－2)－2＝3∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==223z y x例5. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++)3(9494)2(67153)1(6362z y x z y x z y x 分析：此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单的未知数x ，由(1)和(2)，(1)和(3)两次消元，得到关于y ，z 的二元一次方程组，最后求x ．解：(1)×3，得 6x+18y+9z ＝18(4) (2)×2，得 6x+30y+14z ＝12(5) (5)－(4)，得12y+5z ＝－6(6) (1)×2，得4x+12y+6z ＝12(7) (7)－(3)，得21y+2z ＝3(8) 由(6)和(8)组成方程组⎩⎨⎧=+-=+32216512z y z y解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-==231z y把31=y ，2-=z 代入(1)，得2x+6×31+3×(－2)＝6， ∴ x ＝5∴⎪⎩⎪⎨⎧-===2315z y x说明：用加减法解三元一次方程组时，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数例6. 解方程组⎩⎨⎧=-+=)2(1532)1(3:2:1::z y x z y x分析：此方程组中的一个方程是用等比的形式给出的，可设1份为k ，即x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k ，将其代入(2)，可解出k 的值，从而求出x ，y ，z 的值．另外，也可以将这个等比形式写成两个比例式，从而原方程组可化为常见形式的三元一次方程组．解法一：设x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k把x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k 代入(2)，得2k+2k －3×3k ＝15 ∴ k ＝－3∴ x ＝－3， y ＝－6，z ＝－9∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=963z y x 解法二：原方程组可化为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==15323121z y x z x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+==)5(1532)4(3)3(2z y x z x y x把(3)和(4)代入(5)，得2x+2x －9x ＝15，∴ x ＝－3 把x ＝－3代入(3)和(4)，得y ＝－6， z ＝－9∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=963z y x例7. 求方程5x －9y ＝18整数解的通解解：x ＝53235310155918yy y y y -++=-++=+ 设k y =-53（k 为整数），y ＝3－5k ， 代入得x ＝9－9k ∴原方程整数解是⎩⎨⎧-=-=ky kx 5399 （k 为整数）又解：当x ＝0时，y ＝－2，∴方程有一个整数解⎩⎨⎧-==20y x 它的通解是⎩⎨⎧--=-=k y yx 5290（k 为整数）说明：从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的．例8. 求方程5x+6y ＝100的正整数解解：x ＝52056100yy y --=-(1)， 设k y=5(k 为整数)，则y ＝5k ，(2)把（2）代入（1）得x ＝20－6k ， ∵⎩⎨⎧>>00y x 解不等式组⎩⎨⎧>>-050620k k得0＜k<620，k 的整数解是1，2，3， ∴正整数解是⎩⎨⎧==514y x ⎩⎨⎧==108y x ⎩⎨⎧==152y x例9. 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x+5y ＝38 （x ，y 都是正整数）∵x ＝1时，y ＝7，∴⎩⎨⎧==71y x 是一个整数解∴通解是⎩⎨⎧-=+=ky kx 3751（k 为整数）解不等式组⎩⎨⎧>->+037051k k 得解集是3751<<-k ∴整数k ＝0，1，2把k ＝0，1，2代入通解，得原方程所有的正整数解⎩⎨⎧==71y x ⎩⎨⎧==46y x ⎩⎨⎧==111y x 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本．【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 方程2x+y ＝9在正整数X 围内的解有（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 用加减法解方程组⎩⎨⎧=-=+11y 2x 33y 3x 2时，有下列四种变形，其中正确的是（ ）A. ⎩⎨⎧=-=+11y 6x 93y 6x 4B. ⎩⎨⎧=-=+22y 2x 69y 3x 6C. ⎩⎨⎧=-=+33y 6x 96y 6x 4D. ⎩⎨⎧=-=+11y 4x 63y 9x 63. 已知a ，b 满足方程组 ⎩⎨⎧=+=+7b a 28b 2a ， 则 a －b 的值为（ ）A. －1B. 0C. 1D. 24. 若方程组⎩⎨⎧=-+=+3y )1a (ax 1y 3x 4的解x 与y 相等，则a 的值等于（ ）A. 4B. 10C. 11D. 125. 关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ky x 95 的解也是二元一次方程 632=+y x 的解，则k 的值是（ ） A. 43-B. 43C. 34D. 34- 6. 方程组⎩⎨⎧=-=+28y x y x 的解是________7. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：________________（填编号） ①4x ＋2y ＝11 ②10x －5y ＝70③9x+3y ＝111 ④18x －9y ＝98⑤91x －13y ＝169⑥120x+121y ＝324.8. 用代入法解方程组： （1）⎩⎨⎧=+=-23462y x y x（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+236244y x y x（3）x －3y ＝2x ＋y －15＝1 9. 用加减法解方程组 ： （1）⎩⎨⎧=+=-42651043y x y x（2）⎩⎨⎧⨯=+=+70%10%60%3070y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-+=-16)2(4)(3143)(2y x y x yx y x 10. 解三元一次方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=-5223473z x z y y x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++0865115239342z y x z y x z y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧=++==664:5:2:3:z y x z y y x11. 已知两个方程组⎩⎨⎧-=-=+452by ax y x 和⎩⎨⎧=+=-232645by ax y x 有公共解，求a ，b 的值． 12. 求方程的正整数解：5x+7y ＝8713. 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数和．14. 解方程组327,2114.x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解：设11,m n x y ==，则原方程组可变形为关于m 、n 的方程组__________________．解这个方程组得到它的解为________________，由________________得原方程组的解为________________．由此可见，一个较为复杂的二元二次方程组，通过换元法可转化为简单的二元一次方程组．【课外阅读】百鸡问题中国古代算书《X 丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，而3只小鸡值1文钱．现在用100文钱买100只鸡，问：这100只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题．解法如下：设公鸡、母鸡、小鸡分别为x 、y 、z 只，由题意得：x+y+z ＝100①有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解．②×3－①得：7x+4y ＝100，因此由于y 表示母鸡的只数，它一定是自然数，而4与7互质，因此x 必须是4的倍数．我们把它写成：x ＝4k （k 是自然数），于是y ＝25－7k ，代入原方程组，可得：z ＝75+3k ．把它们写在一起有：一般情况下，当k 取不同数值时，可得到x 、y 、z 的许多组值．但针对本题的具体问题，由于x 、y 、z 都是100以内的自然数，故k 只能取1、2、3三个值，这样方程组只有以下三组解：【试题答案】1. D2. C3. A4. C5. B6. ⎩⎨⎧==35y x7. ①④8. 解：（1）⎩⎨⎧-==22y x （2）⎩⎨⎧==44y x （3）由x －3y ＝1，得x ＝3y ＋1，代入2x ＋y －15＝1中，得7y ＝14，得y ＝2， 则x ＝7．原方程组的解是⎩⎨⎧==27y x 9. （1）⎩⎨⎧==26y x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==31403350y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1523y x 10. （1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=2112z y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-==855142z y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧===162030z y x11. a ＝－1，b ＝212. 正整数解是⎩⎨⎧==116y x ⎩⎨⎧==69y x ⎩⎨⎧==112y x 13. 解：设老二年龄与老三年龄分别为x 岁，y 岁，则 2x+5y ＝97（其中y<x<20）求其正整数解得：⎩⎨⎧==146y x ⎩⎨⎧==341y x ⎩⎨⎧==536y x ⎩⎨⎧==731y x ⎩⎨⎧==926y x ⎩⎨⎧==1121y x ⎩⎨⎧==1316y x ⎩⎨⎧==1511y x ⎩⎨⎧==176y x ⎩⎨⎧==191y x 又y<x<20，∴⎩⎨⎧==1316y x ∴20+16+13＝49答：兄弟三人的岁数和为49． 14. 解：⎩⎨⎧=-=+142723n m n m ，⎩⎨⎧-==45n m ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4151yx ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==4151y x。