计算流体力学讲义_2008
高等计算流体力学讲义(3)
高等计算流体力学讲义（3）§2 Riemann 问题1．预备知识：Euler 方程解的结构我们讨论Euler 方程解的结构。
在上一节，我们已经得到，在均熵流动条件下，有const R =±，沿au dt dx±= （1） 其中 a u R 12-±=±γ。
且全场 S const =。
（2）在这种情况下，Euler 方程的光滑解有如下几种可能。
1）在求解域中，Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均不为常数。
这是最一般的情况，Euler 方程的解比较复杂，通常无解析解。
2）均匀流：Riemann 不变量a u R 12-±=±γ均为常数。
此时，令R R ±±=， 有：0000()/21()4u R R a R R γ+-+-=+-=-，可见，此时流动是均匀的。
3）简单波：有一个Riemann 不变量在某区域内为常数（00R R or R R ++--==）。
以0R R ++=的情况为例。
此时021R u a R γ++=+=-。
（3） 且沿dxu a dt=-，有 21u a const γ-=-。
这个常数具体的数值与特征线的起点有关。
由此我们知道，沿dxu a dt=-，有00()/21()4u R const a R const γ++=+-=-。
这说明，沿dxu a dt=-，u 和a 均为常数，即特征线是直线。
由均熵条件，密度ρ和压力p 沿特征线dx u a dt =-也为常数。
参见上图，由于u a u -<，所以流线dx u dt=（或流体质点）从左侧穿过特征线dxu a dt=-，这种简单波称为左简单波或向后简单波。
简单波可以分为压缩波和稀疏波（膨胀波）两类。
设流线与dxu a dt=-交点处，流线的切线方向为ξ 。
把（3）式沿ξ求方向导数，得：201u a ξγξ∂∂+=∂-∂ 当0uξ∂>∂，有()0,0,0,0a p u c ρξξξξ∂∂∂∂-<<<>∂∂∂∂。
流体力学讲义
流体⼒学讲义上篇流体⼒学课程讲义绪论⼀、“流体⼒学”名称简介1、概念：⼯程流体⼒学中的流体，就是指以这两种物体为代表的⽓体和液体。
⽓体和液体都具有流动性，统称为流体。
2、研究对象流体⼒学是⼒学的⼀个分⽀。
它专门研究流体在静⽌和运动时的受⼒与运动规律。
研究流体在静⽌和运动时压⼒的分布、流速变化、流量⼤⼩、能量损失以及与固体壁⾯之间的相互作⽤⼒等问题。
3、应⽤流体⼒学在⼯农业⽣产中有着⼴泛的应⽤，举例。
4、流体⼒学的分⽀流体⼒学的⼀个分⽀是液体⼒学或叫⽔⼒学。
它研究的是不可压缩流体的⼒学规律。
另⼀分⽀是空⽓动⼒学，研究以空⽓为代表的可压缩流体⼒学，它必须考虑流体的压缩性。
本书以不可压缩流体为主，最后讲解与专业相关的空⽓动⼒学部分的基础内容。
⼀般来说，流体⼒学所指的范围较为⼴泛，⽽我们所学习的内容仅以⼯程实际需要为限，所以叫“⼯程流体⼒学”。
⼆、学科的历史与研究⽅法简介1、学科历史流体⼒学是最古⽼的学科之⼀，它的发展经历了漫长的年代。
例：我国春秋战国时期，都江堰，⽤于防洪和灌溉。
秦朝时，为了发展南⽅经济，开凿了灵渠，隋朝时开凿了贯穿中国南北，北起涿郡(今北京)，南⾄余杭(今杭州)的⼤运河，全长1782km，对沟通南北交通发挥了很⼤作⽤，为当时经济的发展做出了贡献。
在国外，公元前250年，古希腊学者阿基⽶德就发表了《论浮体》⼀⽂。
到了18世纪，瑞典科学家DanielBernoulli伯努利(1700—1782)的《⽔动⼒学或关于流体运动和阻⼒的备忘录》奠定了流体⼒学的基础。
2、研究⽅法⼀⽅⾯，以理论⽅程为主线，将流体及受⼒条件理想化，忽略次要影响因素，建⽴核⼼⽅程式。
在这⽅⾯最有代表性的就是伯努利于1738年建⽴的能量⽅程。
另⼀⽅⾯，采取实验先⾏的办法。
开始了实⽤⽔⼒学的研究，在⼀系列实验理论的指导下，对理论不⾜部分反复实验、总结规律，得到经验公式和半经验公式进⾏补充应⽤。
在这⽅⾯最有代表性的是尼古拉兹实验、莫迪图等。
第13章 计算流体力学CFD(3)PPT课件
误差与稳定性分析
根据von Neumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法，设 误差随空间和时间符合如下Fourier级数分布： 则
97
误差与稳定性分析
稳定性要求
故放大因子
G eat 1
98
误差与稳定性分析
下面采用von Neumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法 分析如下差分方程的稳定性：
由于误差也满足差分方程，故有
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误差与稳定性分析
A=偏微分方程的精确解（解析解）
D=差分方程的精确解 离散误差=A-D
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误差与稳定性分析
D=差分方程的精确解 N=在某个有限精度的计算机上实际计算出来的解
（数值解） 舍入误差==N-D
N=D+
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误差与稳定性分析
数值解N=精确解D+误差 数值解N满足差分方程，于是有
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误差与稳定性分析
在网格点3： 在网格点4： 在网格点5：
A，B，Ki 均为已知量
78
隐式方法
在网格点6：
A，B，Ki 均为已知量
T7 为边界条件，已知量
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隐式方法
于是有关于T2，T3，T4，T5， T6这五个未知数的五个方程
A，B，Ki 均为已知量
80
隐式方法
写成矩阵形式：
81
隐式方法
系数矩阵是一个三对角矩阵，仅在三条对角线上有非 零元素。 求解线性代数方程组的标准方法是高斯消去法。应用 于三对角方程组，通常采用托马斯算法（国内称为追 赶法）求解。
113
22
有限差分基础
对Y方向的二阶导数有：
二阶中心差分（关于Y方向二阶导数）
23
有限差分基础
高等计算流体力学讲义(8)
高等计算流体力学讲义（8）第三章 不可压缩流动的数值方法§1 基本方程及其性质一、基本方程考虑不可压缩NS 方程： 0∇=u（1）()p tρρρτ∂+∇=-∇+∇∂u uu f（2）其中粘性应力为， 2τμ=S（3）12()T=∇+∇S u u如果粘性系数为常数，τμ∇=∆u （4）经无量纲化，常粘性系数不可压缩NS 方程可以写为：()p tυ∇=∂+∇=-∇+∆∂u u uu f u，其中/υμρ=为运动粘性系数。
NS 方程也可以写为无量纲化形式01()R ep t∇=∂+∇=-∇+∆∂u u uu f u其中ρ已经吸收到p 中（p 代表/p ρ）。
不可压缩方程的边界条件为：固体壁面：wall =u u ， 进口条件：in =u u ，出口条件：n∂=∂u 0。
不可压缩方程中的压力场可以相差任一常数而对速度场无影响，所以压力场只是在相差任意常数的条件下是确定的。
为了确定全场压力值，还应指定流场中某一点的压力。
二、不可压N －S 方程的特点：（1） 方程为二阶偏微分方程，二阶项中包含参数μ（粘性系数）。
边界层、分离、湍流…（2） 方程是非线性的，表现为对流项()∇uu 。
对一维问题，非线性项为u ux∂∂。
假定u 的波数为k 的Fourier 分量为()s i n u u t k x = （5） 则：21sin 22u uukx x∂=∂ 。
即振幅由212u u→ ；波数由2k k →。
也就是说，振幅呈现非线性变化，且可以产生高频成分。
粘性的作用，使得解的结构进一步复杂化，考虑模型方程221Re u u tx∂∂=∂∂把（5）式带入模型方程，得2(/Re)()k tut e -=可见，雷诺数越大，或频率越低（流动结构的尺度越大），振幅衰减越慢。
综上所述：由于非线性的作用，会产生高频的流动结构；在大雷诺数的条件下，这些高频结构有较长的生命周期，并且与衰减缓慢的低频结构相互作用，使得流动表现出复杂的的非线性、多尺度特征。
计算流体力学绪论
以当前值重新建立离散方程
线形问题
求解离散方程 解收敛？
解的分析
物理问题数值求解的基本过程
§1-5 常用数值方法
经过四十多年的发展，CFD出现了多种数值解法。这些 方法之间的主要区别在于对控制方程的离散方式。根据 离散的原理不同，CFD大体上可分为三个分支：
有限差分法 (Finite Different Method， FDM) 有限元法 (Finite EIement Method， FEM)
§1-1 概述
CFD可以看做是在流动基本方程(质量守恒方程、动 量守恒方程、能量守恒方程)控制下对流动的数值模拟。 通过这种数值模拟，我们可以得到极其复杂问题的流 场内各个位置上的基本物理量(如速度、压力、温度、 浓度等)的分布，以及这些物理量随时间的变化情况， 确定旋涡分布特性、空化特性及脱流区等。还可据此 算出相关的其他物理星，如旋转式流体机械的转矩、 水力损失和效率等。此外，与CAD联合，还可进行结构 优化设计等。
∂φ ∂n
（3）第三类边界条件：边界上 φ 与
关系给定
边界条件的通用形式
∂φ Aφ + BΓφ =c ∂n
{
B=0 A=0
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
AB ≠ 0
对于初始条件和边界条件的处理，直接影响计算结果的精度
♣ 举例－后台阶突扩流动
物理模型：后台阶突扩层流流动与换热问题（二 维、稳态、不可压缩、常物性、无内热源）
计算流体力学
Computational fluid dynamics—CFD
第一讲 绪论
课程安排
1.教学内容 第一讲 绪论 第二讲 计算区域及控制方程的离散化 第三讲 差分格式 第四讲 原始变量法 第五讲 湍流模型 第六讲 Gambit的使用 第七讲 Fluent的使用 2.教学课时
流体力学讲义 第六章 流动阻力及能量损失2
第六章流动阻力及能量损失本章主要研究恒定流动时，流动阻力和水头损失的规律。
对于粘性流体的两种流态——层流与紊流，通常可用下临界雷诺数来判别，它在管道与渠道内流动的阻力规律和水头损失的计算方法是不同的。
对于流速，圆管层流为旋转抛物面分布，而圆管紊流的粘性底层为线性分布，紊流核心区为对数规律分布或指数规律分布。
对于水头损失的计算，层流不用分区，而紊流通常需分为水力光滑管区、水力粗糙管区及过渡区来考虑。
本章最后还阐述了有关的边界层、绕流阻力及紊流扩散等概念。
第一节流态判别一、两种流态的运动特征1883年英国物理学家雷诺（Reynolds O.）通过试验观察到液体中存在层流和紊流两种流态。
1.层流层流（laminar flow），亦称片流：是指流体质点不相互混杂，流体作有序的成层流动。
特点：（1）有序性。
水流呈层状流动，各层的质点互不混掺，质点作有序的直线运动。
（2）粘性占主要作用，遵循。
（3）能量损失与流速的一次方成正比。
（4）在流速较小且Re较小时发生。
2.紊流紊流（turbulent flow），亦称湍流：是指局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。
特点：（1）无序性、随机性、有旋性、混掺性。
流体质点不再成层流动，而是呈现不规则紊动，流层间质点相互混掺，为无序的随机运动。
（2）紊流受粘性和紊动的共同作用。
（3）水头损失与流速的~2次方成正比。
（4）在流速较大且雷诺数较大时发生。
二、雷诺实验如图6-1所示，实验曲线分为三部分：（1）ab段：当υ<υc时，流动为稳定的层流。
（2）ef段：当υ>υ''时，流动只能是紊流。
（3）be段：当υc<υ<υ''时，流动可能是层流（bc段），也可能是紊流（bde段），取决于水流的原来状态。
图6-1图6-2实验结果（图6-2）的数学表达式层流：m1=, h f=k1v , 即沿程水头损失与流线的一次方成正比。
计算流体力学第一章 绪论(1)
求D的特征值,得:
1 1 1 2 ( ) ( )( ) 0 u ua ua 1 1 1 1, 2 , 3 4 u ua ua
为四个实根，即方程在 x-t平面为双曲型； 所以Euler 方程可以在时间座标方向推进， 而在定常问题中能否推进计算，必须根据 流动是否为超音速（M与1的关系）来定。
2013-7-16 21
f x g x h x p x u x v x
h 0 y f 0 y 1 p f (uh vf ) y y h g (uf vg ) y y f h
v 0 0 v 0 B 0 0 v 0 0 p
0 0 1 v
v u v v 2 2 u u a u2 a 2 u( u 2 a 2 ) 2 uv a v 0 2 2 1 u2 a 2 u a (u2 a 2 ) CA B v 1 0 0 u u va 2 u uv 0 2 2 2 2 2 2 u a u a u a
题的离散化数值解。
★数值解而不是解析解 ★计算理论和计算技术起关键作用
★与计算机的发展紧密相关
2013-7-16 2
2．计算流体力学、理论流体力学、实验流体 力学是流体力学研究工作的三种主要手段―― 既互相独立又相辅相成 ▲ 理论分析具有普遍性――各种影响因 素清晰可见、为实验和计算研究提供依据
▲实验研究仍是研究工作的基石，数值 研究的许多方面都密切依赖于实验研究：实 验提供数据；计算结果需由实验验证；观察 实验现象分析实验数据以建立计算模型等等
降阶法,令：
u v f x y u g y
计算流体力学完整
计算流体力学(CFD)：通过数值方法求解流体力学控制 方程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体运 动规律的学科。
在CFD中， 首先，把控制方程中的积分、微分项近似地表示为离散的代数形 式，把积分、微分形式的控制方程转化为一组代数方程，这个过 程称为控制方程的离散化(discretization)；所采用的离散化方法 称为数值方法或数值格式。
The Elements of Computational Fluid Dynamics
1
第一章 绪论
§1.1 计算流体力学的概念与意义 §1.2 流体力学的基本方程 §1.3 流体力学方程组的类型判别
2
§1.1 计算流体力学的概念与意义
1、流体运动遵循3个基本定律： 1) 质量守恒定律；2) 动量守恒定律；3) 能量守恒定律
6
第六，数值解的显示和评估
计算感兴趣的力、力矩等； 应用流场可视化软件对流场进行显示、分析； 对数值方法和物理模型的误差进行评估等。
7
计算流体力学典型流程
物
数
网
理
学
格
模
模
生
型
型
成
结
流
果
场
分
显
析
示
验 证 与 确 认
离 散 方 法 选 择
时、空离散
解 代 边界条件离散 数 方 程 组
8
举例：自然循环回路内的流动与传热特性
优点：原则上可以研究流体在任何条件下的运动，使得我们研究流体运动的范围和 能力都有本质的扩大和提高。费用低，周期短。
16
§1.2 流体力学基本方程
守恒型积分方程
t
d
Ò V
计算流体力学(中科院力学所)_第2讲-双曲型方程组
令：
R=u+
∫ ρ dρ
c
同理，沿特征线 ： 同理，沿特征线2： 对于等熵完全气体
dx / dt = u c
2c R=u+ γ 1 2c S = u + γ 1
du c dρ + =0 沿特征线1： 沿特征线 ： dα ρ dα u 1 c S = + dρ 2 2 ρ 保持不变 dR / dα =
A sin x 0 ≤ x ≤ 2π u ( x,0) = 0 others ρ ( x,0) = 1; p( x,0) = 1
考虑一维无粘流动（ 方程）， 考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时 方程），初始时 刻（t=0）流动状态如下： ）流动状态如下：
xa ≤ x ≤ xb u ′( x), ρ ′( x) u, ρ = 0, ρ 0 (= const ) others
（3） ） C （2） ） （1） ）
x B
A
给定x3,t3 利用 （假设t3充分小） 给定
x3 x1 = (u1 + c1 )(t3 t1 ) x3 x2 = (u 2 c2 )(t3 t 2 )
区域（ ），（ ），（4） 区域（2），（ ） 未扰动 区域（ ） 区域（1）内的流动使用基本 方法计算
双曲型
Copyright by Li Xinliang
2
1) 一阶常系数偏微方程组
U U +A =0 x t U = (u1 , u 2 ,......u m )T
如果矩阵A 可以被对角化： 如果矩阵 可以被对角化： A = S 1 ΛS
U U + S 1 ΛS =0 t x S U U + ΛS =0 t x
高等流体力学讲义流体力学基本方程(课堂PPT)
.
10
2.2 动量守恒定理
守恒形式的动量方程
D p v D n V tn v σ u d , v n vσ S p d nS d s V σ f d d V v
S
V
V ( tu v ) u v u v d v V σ d v Vf v d v
.
6
2.2 动量守恒定理
.
7
2.2 动量守恒定理
积分形式的动量方程
系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和。
系统的动量， 作用在系统上的质量力
Vu dv Vf dv
作用在系统上的表面力
pnds S
由动量定理得积分形式的动量方程
D DV tu d vS p nd sV f dv
高斯定理
S u v p v n d s S u v n v σ d s S n v σ u v d s V σ u r d v
nqds qdv
S
V
D e 1 u u d v σ u d v u f d v q dv
一个确定的流体团也可看作一个热力学系统，流体质 点总在流动中，设该系统偏离平衡态不远：系统总能量 的变化率（包括内能和动能）等于外力对系统的作功功 率与通过导热向系统的传热功率之和。
.
13
2.3 能量方程
积分形式的能量守恒方程
任取流动系统体积V，外表面S，表面外法线单位矢量为 n
系统总能量， e1uudv， e 为单位质量流体的内能； V 2
D 0
Dt
上述定义并不要求这个流体质点与
另一个流体质点的密度相等，即不
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计算流体力学讲义_2008计算流体力学讲义_2008计算流体力学目录第一章引论1.1计算流体力学及其特征 1.2计算流体力学发展的历史 1.3计算流体力学研究内容 1.4第二章流体力学方程与模型方程 2.1 流体力学基本方程2.2 模型方程及其数学性质 2.3 双曲型方程初边值问题第三章有限差分数值解法3.1有限差分方法3.2差分方程3.3差分解法的理论基础 3.4 差分修正方程分析3.5小扰动稳定性分析方法3.6高精度格式以及精度分析第四章有限体积等方法4.1 有限体积法4.2 其他方法介绍第五章代数方程组求解 5.1高斯消去法5.2追赶法5.3迭代法5.4 其他常用方法第六章可压缩流体力学方程组差分解法6.1一维方程以及Jocobin系数矩阵6.2一维Euler方程的离散6.3其他离散方法6.4多维问题差分解法6.5粘性项的差分解法第七章可压缩流体力学方程组的差分解法7.1控制方程性质分析7.2人工压缩方法7.3非定常原始变量法求解 7.4涡量—流函数法第八章渗流力学方程组求解 8.1 渗流力学方程组以及方程性质 8.2 单相渗流力学方程求解8.3 多相渗流力学方程组求解第九章网格生成技术9.1网格理论9.2结构网格9.3非结构网格以及混合网格第十章计算流体力学在石油工程中应用10.1计算流体力学软件介绍10.2计算流体力学软件学习10.3计算流体力学软件使用实例第一章引论(3学时) 1.1 计算流体力学及其特征1.1.1 定义利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的数学方程，揭示流体运动的物理规律，研究定常流体运动的空间物理特征和非定常流体运动的时-空物理特征 1.1.2 特点:1. 扩大了研究范围，原则上可以求解如何流体力学控制方程所能描述的流体力学问题2. 可以给出比较完整的定量结果3. 数值解是离散近似解放，与精确解有误差4. 对复杂问题需要与理论分析和实验研究相结合1.1.3 先导课1. 流体力学以及高等流体力学:解决流体力学基本方程建立的问题2. 数学物理方程:解决流体力学方程的数学性质分析3. 线性代数:解决流体力学方程组的矩阵运算问题4. 计算方法或数值分析:代数方程组的求解方法计算流体力学主要解决偏微分方程组向代数方程组离散方法问题1.2 计算流体力学发展历史计算流体力学的发展:促进了流体力学问题新规律、新机理的研究，也促进了相关偏微分方程组相关理论的发展。
可分为四个阶段:1. 求解线性无粘流方程，如小扰动位势流方程。
2. 求解非线性无粘流方程，如全位势流方程，Euler方程。
3. 求解层流与湍流N-S方程4. 求解非定常全N-S方程1.3 本课主要学习内容1. 流体力学方程与模型方程流体力学基本方程;模型方程及其数学性质;双曲型方程初边值问题2. 有限差分数值解法有限差分方法;差分方程;差分解法的理论基础;差分修正方程分析;小扰动稳定性分析方法;高精度格式以及精度分析3. 有限体积等方法有限体积法;其他方法介绍4. 代数方程组求解高斯消去法;追赶法;迭代法;其他常用方法可压缩流体力学方程组差分解法 5.一维方程以及Jocobin系数矩阵;一维Euler方程的离散;其他离散方法;多维问题差分解法;粘性项的差分解法6. 可压缩流体力学方程组的差分解法控制方程性质分析;人工压缩方法;非定常原始变量法求解;涡量—流函数法7. 网格生成技术网格理论;结构网格;非结构网格以及混合网格8. 计算流体力学在石油工程中应用1.4 计算流体力学研究事例1. 射流元件附壁与切换流动规律研究2. 射流式井底增压器流场数值实验研究主要参考书1(傅德薰(《计算流体力学》，高等教育出版社(2(张涵信(《计算流体力学—差分方法的原理与应用》，国防工业出版社( 3(陶文铨(《数值传热学》(西安交通大学出版社(关于考试与成绩作业两次:编程求解模型方程与一维可压缩流体力学方程组考试:闭卷开始，考试前拉知识点期末考试成绩:平时以及作业成绩占30分，期末考试成绩占70分第二章流体力学方程及模型方程(6学时)2.1 流体力学基本方程2.1.1 可压缩Navier-stokes 方程教学点:(1)方程表达式讲解(2)矩阵形式方程与微分形式的联系(3)矩阵形式方程与微分形式的区别1(组合变量形式可压缩N-S方程,FU,G,FU,FU,G,G，，,U，，，，331212，，，,，， ,t,x,y,z,x,y,z ,,u,,,,,,,,,,2uu，p,,,,,,,,,,，，U,vFU,uv ,,1,,,,,,,,0,,wuw,,,,,,,,,,,,,，，EuE，p,,11,,,,,，，GU, ,,112 ,,,,,v,,,,w13,,,,,,,,uv,cwu,,,,,,,Tpu,v,w,，，，,,,,,,2111213,,，，，，FU,v，pFU,wv PrRe,z,,23,,,,2,,,,,vw,w，p,,,,,,,,，，vE，p，，wE，p,,,,,,,,,,,,00,,,,,,,,,,3121,,,,,,，，，， GU,GU,,,,,222332,,,,,,2333,,,,,,cc,,,,,T,Tppu,v,w,，，，u,v,w,，，，,,,,212223313233PrRe,zPrRe,z,,,,,,,,,u,uji,,，, ij,,,,,Rexx,ji,,,,,ij,,,,u2,i,,2,divV i,j,,,Re,x3i,,, 1,,222，，,,，，，Eeuvw,,2,,状态方程:U,T, Ma, p, ， ,2a,Ma,,黏度公式32,，，1T，TTs, , ,T，TT,s,2、三维Jacbian系数矩阵形式(参看教材129页),G,U,G,G,U,U，，,U，，，，3212，A，A，A,，，123,t,x,y,z,x,y,zDFDF，，，，DF3，，12AAA, , ,213，，，，DUDU，，DU系数矩阵特征值2.1.2 可压缩 Euler方程教学点:(1)方程与欧拉方程区别(2)方程性质讲解,FU,F，，U,FU，，，，,U312 ，，，,0,t,x,y,z2.1.3 不可压缩N-S 方程1、原始变量不可压缩N-S方程教学点:方程讲解矢量形式不可压缩方程组,,V,0,1V2，()，,,,AVpV ,RetT，，V,u v wp方程原始变量:，直角坐标系下有:,u,v,w ，，DV,，，,0,x,y,z2,,u,u,uv,uw,p1，，，，2，，，,,，,u,,t,x,y,z,xRe,2,,v,uv,v,vw,p1，，，，,2守恒形式，，，,,，,v,,t,x,y,z,yRe,2,，，，，,w,uw,vw,w,p12，，，,,，,w,,,t,x,y,z,zRe1,,,u,u,u,u,p2，u，v，w，,,u,Re,t,x,y,z,x,1,,u,v,v,v,p2，u，v，w，,,v,Re,t,x,y,z,y非守恒形式: ,,1,u,w,w,w,p2，u，v，w，,,v,Re,t,x,y,z,z,2、泊松形式N-S方程教学点:方程推导过程222222222，，,，，u,，，,，，,,，，，，v,w，，uvuwvw2,p,,，2，2，2，， ,,222,x,y,x,z,y,z,,,xyz，，3、涡量—流函数方程教学点:(1)适用条件讲解(2)推导过程讲解22,,,,,,,,,,,,,,,uvw1，，，，，，,,，，，,，,22,,,,,,txyzRe,,xy,,, , 22,,,,,，,,,,22,,,xx2.1.4积分形式的N-S方程 (有限体积法出发方程),,,,,,dV，,u,dA,,,,dA，SdV ,,,,,V,V,VV,t,,3u式中:—流体密度，;u—流动速度，;—运动网格的网格速度; ,Kgmmsg VS,—为扩散系数。
—源项;—控制体; ,,,1为连续方程;,,u,v,w 分别为笛卡尔坐标系下三个方向分量动量方程; ,,k,,分别为湍动能和湍流耗散率方程。
上述流体力学方程描述了非定流体力学问题。
控制方程中具体表达式可参考文献。
2.1.5贴体坐标系下N-S方程(参看197页)实际计算一般在贴体坐标系下进行，自变量需要由物理空间(x,y,z)变换到计算空间(ξ,η,ζ)，变换要求单值唯一:,,，， ,x,y,z,,,,，， ,x,y,z,,，， ,,,x,y,z, .................................把以上变换关系带入N-S方程得到其在一般坐标系下的守恒形式: ,1?Q,JQ,,,,,,,EFGQEFGvvv，，，,，，,,,,,,,,,,,,,t 其中:,,,,1?E, J E，F，G ,,xyz,1,,,?F, J E，F，G ,,xyz,1,,,?G,J,,E，F，G xyz,1?,,,,,E,JE，F，G vxvyvzv,1?,,,,,F,JE，F，G vxvyvzv,1?,,G,J,E，,F，,Gvxvyvzv,1JJ为坐标变换的Jocobian行列式，为坐标逆变换Jocobian行列式:,,,xxx ,,,xyz,,,xyz,(,,),，，,,,1,,,JyyyJ,, ,0,, ,0,,,xyz，，xyz,,,,(,,),,,,,,zzz xyz,,, . 网格导数的计算表达式:,,,,Jyz,yz ,Jxz,xz ,Jxy,xy，，，，，，,,,,,,,,,,,,xyz,,,，，，，，，,Jy z,yz ,Jxz,xz ,Jxy,xy,,,,,,,,,,,,xyz，，，，，，,,Jyz,yz ,,Jxz,xz ,,Jxy,xyx,,,,y,,,,z,,,,2.1.6流体力学方程组数学性质1、N-S方程性质对于定常N-S方程，方程为非线性椭圆方程对于非定常N-S方程，方程性质为双曲-抛物性方程2、EULER方程性质对于亚音速流动，定常欧拉方程为椭圆型方程对于超音速流动，定常欧拉方程为双曲型方程对于跨音速流动，定常欧拉方程为椭圆与双曲混合型方程更多形式参考文献[计算流体力学—差分方法的原理与应用;第一章:流体力学的各级近似方程及其数学性质;张涵信，沈孟育著;国防工业出版社]以上流体力学各级近似方程均可归类为一阶拟线性偏微分方程组2.2 模型方程2.2.1 模型方程介绍(1)三类模型方程:1、单波方程:双曲型方程，用于模拟EULLER与N-S方程的对流项性质2、热传导方程:抛物型方程，用于模拟N-S方程中扩散项性质3、线形Burgers方程:N-S方程的模型方程4、Laplace方程:椭圆型方程，主要用于位势流动与渗流力学方程(2)偏微分方程定解条件数学提法必须保证偏微分方程提法在数学上是适定的，即解存在、唯一、并连续依赖于定解条件定解条件提法很复杂，目前并没有完全解决，下面针对模型方程讨论各自的合适的提法。