高二数学周测卷及答案详解
人教A版选修2-2高二理科数学周周练十二(含答案).docx
江苏省黄桥中学高二理科数学周周练十二一、填空题1、设i 是虚数单位，复数21i z i =+，则｜z ｜＝________________________ 2．某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程 中各至少选一门，则不同的选法共有_________________种3.用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是._________________4.参数方程2232(05)1x t t y t ⎧=+⎪≤≤⎨=-⎪⎩表示的曲线是_________________5.设集合{|0},{|03}1x A x B x x x =<=<<-，那么“m A ∈”是“m B ∈”的_________________条件 ． 6.展开()6a b c ++，合并同类项后，含23ab c 项的系数是__________ 7.若复数z 满足014=-zz ,则z 的值为____________ 8、若（1﹣3x ）2015=a 0+a 1x+…a 2015x 2015（x ∈R ），则的值为___________________．9．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 ．10.已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαcos 200sin 为单位矩阵，且,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，则tan()αβ+= 11．直线32y x =+与圆心为D 的圆33cos ([0,2])13sin x y θθπθ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩交于,A B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为___________________12已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是__________________13.已知，由不等式，, ，归纳得到推广结论：，则实数________.14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1, 2,3, 5,8, 13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，该数列是一个非常美丽和谐的数列. 有很多奇妙的属性. 比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…，人们称该数列为“斐波那契数列”. 若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值为 ；数列中，第2014个值为1的项的序号是 .二、解答题15．知矩阵, 若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵；（2）计算的值. 16、已知m R ∈，命题:p 对任意[0,8]x ∈，不等式213log (1)3x m m +≥-恒成立，命题:q 对任意x R ∈，不等式|1sin 2cos 2|2|cos()|4x x m x π+-≤-恒成立 （1）、若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）、若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围。
湖北省武汉市华中科技大学附属中学2022-2023学年高二(上)数学周测(8)
湖北省武汉市华中科技大学附属中学2022-2023学年高二（上）数学周测（8）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如图所示，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 3＜k 1＜k 22.某调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者的学历分布扇形图以及从事该行业岗位的人数分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；①该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%；①该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确说法的个数为A. 0B. 1C. 2D. 33.如图所示，已知三棱锥O ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且,,OA a OB b OC c ===，用,,a b c 表示MN ，则MN 等于A ．()12c a b --B ．()12a b c ++ C ．()12a b c -+ D ．()12b c a +- 4. 已知直线02534:=+-y x l ，直线023:=-y ax m 与直线l 平行，则直线l 与m 之间的距离为 A ．85B ．2C ．5D ．45. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是31，41，则 A. 两人都成功破译的概率为127 B. 两人都成功破译的概率为125 C. 密码被成功破译的概率为127 D. 密码被成功破译的概率为216．在直三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，则异面直线AB '与BC '所成角的余弦值为A ．14 B ．33 C ．12D ．557. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道①上绕月球飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道①绕月球飞行，最后在Q 点处变轨进入以F 为圆心的圆形轨道①绕月球飞行，设圆形轨道①的半径为R ，圆形轨道①的半径为r ，则下列结论中不正确的是A. 轨道①的焦距为R r -B. 若R 不变，r 越大，轨道①的短轴长越小C.轨道①的长轴长为R r +D. 若r 不变，R 越大，轨道①的离心率越大 8. 设集合}4),({2x y y x M -==,})4()3(),({222r y x y x N =-+-=（0>r ）.若N M 中有且只有一个元素，则r 所有取值组成的集合为A ．}41,17{B ．}4117{≤<r r C ．}3{}4117{ ≤<r r D ．}3{}4117{ ≤≤r r二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二数学周内检测试题(6)含答案
高二数学周内检测试题（6）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1. 如图，以长方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(4,3，2)，则C 1的坐标是( )A. (0,3，2)B. (0,4，2)C. (4,0，2)D. (2,3，4)2. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗3. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，O 为底面ABCD 中一点，且PO ⊥平面ABCD ，则PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. a ⃗ +b ⃗ +c ⃗B. a ⃗ +b ⃗ −c ⃗C. 12a⃗ +12b ⃗ −c ⃗ D. 12a⃗ +12b ⃗ +c ⃗ 4. 已知三棱锥A −BCD 中，E 是BC 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，有下列命题：①(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2；②A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0；③AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，其中正确命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 36. 在正四面体P −ABC 中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −1B. 1C. √3D. 737. 在空间直角坐标系中，已知点A (4,−3,5)，B (−2,1,−7)，则线段AB 的中点坐标是( )．A. (2,−2,−2)B. (1,−1,−1)C. (1,1,1)D. (2,2,2)8. 在空间直角坐标系中，若A(1,1,0)，12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,1)，则点B 的坐标为( ) A. (−5,1,−2) B. (7,1,−2) C. (3,0,1) D. (7,1,2)9. 已知点A(2,−3,1)，点B(0,−2,−1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A. (2,−1,2)B. (−2,1,−2)C. (0,6,−1)D. (2,−5,0)10. 如图，在棱长均相等的四面体O −ABC 中，点D 为AB的中点，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则向量OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 表示为( )A. OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =16a ⃗ +16b ⃗ +13c ⃗ B. OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ C. OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =16a ⃗ +16b ⃗ −13c ⃗ D. OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =16a ⃗ +16b ⃗ +23c ⃗ 二、填空题（本大题共2小题，共20分）11. 已知e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ ,e 3⃗⃗⃗ 是空间直角坐标系中分别与x 轴、y 轴、z 轴同向的单位向量，且p⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ −3e 3⃗⃗⃗ ，则p⃗ 的坐标是________． 12. 棱长为2个单位的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点．分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，建立x 轴，y 轴，z 轴，则B 1C 与BC 1的交点E 的坐标为______．答案和解析1.解：∵DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(4,3，2)，D 为坐标原点，∴ B 1(4,3，2)， ∴ BC =4，DC =3，CC 1=2，∴ C 1的坐标为(0,3，2).2.解：如图所示，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 3.解：PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +12b ⃗ −c ⃗ ， 4.解：如图，取CD 中点F ，连结AF ，EF ，∵三棱锥A −BCD 中，E 是BC 的中点， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．5.解：对于①(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，故正确， 对于②A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1−≠0，故错误， 对于③∵A 1B −//D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 1，AC ，D 1C ，分别为面的对角线，∴∠AD 1C =60°，∴；③AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，故正确， 6.解：如图，P −ABC 为正四面体，则∠APC =∠BPC =∠APB =60°，E 是棱AB 中点， 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12×2×2×cos60°−12×22=1−2=−17.解：在空间直角坐标系中，点A 的坐标为(4,−3,5)，点B 的坐标为(−2,1，−7)，则线段AB 的中点坐标为(1,−1,−1)．8.解：在空间直角坐标系中，A(1,1,0)，12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,1)，设点B 的坐标为B(x,y,z)， 则12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(x −1,y −1,z −0)=(3,0,1)，解得x =7，y =1，z =2． ∴点B 的坐标为(7,1,2)．9.解：∵点A(2,−3,1)，点B(0,−2,−1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0−2,−2+3,−1−1)=(−2,1,−2)．10.解：∵在棱长均相等的四面体O −ABC 中，点D 为AB 的中点，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ， ∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +12b ⃗ −23CD ⃗⃗⃗⃗⃗=12a ⃗ +12b⃗ −23×12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12a ⃗ +12b ⃗ −13(b ⃗ −c ⃗ +a ⃗ −c ⃗ )=16a ⃗ +16b ⃗ +23c ⃗ ． 11.解：由空间向量的定义可知，p⃗ 的坐标为(1,2，−3)，故答案为(1,2，−3)． 12.解：如图，据题意知，点E 为B 1C 的中点， ∵B 1(2,2，2)，C(0,2，0)， ∴E(1,2，1)． 故答案为：(1,2，1)．。
2020-2021学年湖北省孝感市应城一中高二(下)周测数学试卷(6)(附答案详解)
2020-2021学年湖北省孝感市应城一中高二（下）周测数学试卷（6）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.下列等式不正确的是()A. C n m=m+1n+1C n+1m B. A n+1m+1−Anm=n2An−1m−1C. A n m=nA n−1m−1 D. nC n k=(k+1)C n k+1+kC n k2.“a≤−1”是“函数f(x)=lnx+ax+1x在[1,+∞)上是单调函数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.(9x−3√x)6的展开式中常数项为()A. 30B. 15C. −15D. 304.圆周上有八个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是()A. 16B. 24C. 32D. 485.若离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=m⋅2k(2k+1−1)(2k−1)(1≤k≤5,k∈Z)，则P(32<x<52)的值为()A. 631B. 6162C. 2531D. 62636.已知F是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，P是C左支上一点，A(0,b)，若△APF周长的最小值是6a，则C的离心率是()A. 2B. √5C. √62D. √1027.椭圆425x2+y25=1过右焦点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为a n，若公差为d∈[16,13],那么n的取值集合为()A. {4,5,6,7}B. {4,5,6}C. {3,4,5,6}D. {3,4,5,6,7}8.函数f(x)=x3−3x−1，若对于区间[−3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)−f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A. 20B. 18C. 3D. 0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列说法正确的是( )A. 若|z|=2，则z ⋅z −=4B. 若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1z 2=0C. 若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等D. “a ≠1”是“复数z =(a −1)+(a 2−1)i(a ∈R)是虚数”的必要不充分条件10. 下面结论正确的是( )A. 若P(A)+P(B)=1，则事件A 与B 是互为对立事件B. 若P(AB)=P(A) P(B)，则事件A 与B 是相互独立事件C. 若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B −也是互斥事件D. 若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B −也是相互独立事件11. 用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是( )A. 可组成360个不重复的四位数B. 可组成156个不重复的四位偶数C. 可组成96个能被3整除的不重复四位数D. 若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为231012. 我们通常称离心率为√5−12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2为顶点，F 1，F 2为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有( )A. |A 1F 1|，|F 1F 2|，|F 2A 2|为等比数列B. ∠F 1B 1A 2=90°C. PF 1⊥x 轴，且PO//A 2B 1D. 四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 若函数f(x)=13x 3−ax 2+x −5无极值点，则实数a 的取值范围是______ ．14.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有______ 种．(以数字作答)15.设F1，F2为椭圆C1：x2a12+y2b1=1(a1>b1>0)与双曲线C2的公共左、右焦点，椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2.若椭圆C1的离心率e1∈[514,25]，则双曲线C2的离心率e2的取值范围是______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆x225+y29=1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最大值为(1)；最小值为(2)．五、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图ABCD−A1B1C1D1为正方体，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意跳到相邻三顶点之一，若在五次内跳到C1点，则停止跳动；若5次内不能跳到C1点，跳完五次也停止跳动，求：(1)5次以内能到C1点的跳法有多少种？(2)从开始到停止，可能出现的跳法有多少种？18.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生)．(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的分布列；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差．19.如图在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，平面PAD⊥平面ABCD，PC．PA=PD=4，AD=2，Q为AD的中点，M是棱PC上的一点，且PM=13(1)求证：PA//平面BMQ；(2)求二面角M−BQ−P的余弦值．20.已知点P是平面直角坐标系xOy内异于O的任意一点，过点P作直线l1：y=√3x及l2：2 y=−√3x的平行线，分别交x轴于M，N两点，且|OM|2+|ON|2=8．2(1)求点P的轨迹C的方程；(2)在x轴正半轴上取两点A(m,0)，B(n,0)，且mn=4，过点A作直线l与轨迹C交于E，F两点，证明：sin∠EBA=sin∠FBA．21.某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为1．3(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；(2)为提高生产效益，该企业决定招聘n名维修工人及时对出现故障的生产线进行修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元.此外，统计表明，每月在不出现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n=1与n=2之中选其一，应选用哪个？(实际获利=生产线创造利润−维修工人工资)22.已知函数f(x)=e x．x(1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)设G(x)=xf(x)−lnx−2x，证明G(x)>−ln2−3．2答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为m+1n+1C n+1m=m+1n+1(n+1)!m!⋅(n+1−m)!=m+1n+1−mC n m ≠C n m，所以A 错， 因为nA n−1m−1=n (n−1)!(n−m)!=n!(n−m)!=A n m，所以C 正确，因为A n+1m+1−A n m =(n +1)A n m −A n m =nA n m =n 2A n−1m−1，所以B 正确．因为(k +1)C nk+1+kC n k =(k +1)n!(k+1)!(n−k−1)!+kC n k =n!(n−k)k!(n−k)!+kC n k =(n −k)C n k+kC n k =nC nk ，所以D 正确． 故选：A ．由排列组合数公式化简可得D ，C 正确，利用C 的结论可检验B 正确，排列组合数公式检验A 是错误的．本题主要考查排列组合数公式的化简应用，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：若函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上是单调函数， 则函数的导数f′(x)满足不变号，即f′(x)≤0或f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立， ∵f′(x)=1x +a −1x ，∴若函数f(x)单调递减，则f′(x)=1x +a −1x 2≤0，即a ≤−1x +1x 2=(1x −12)2−14恒成立， 设g(x)=(1x −12)2−14，∵x ≥1，∴0<1x ≤1，则当1x =12时，g(x)取得最小值−14，此时a ≤−14，∴若函数f(x)单调递增，则f′(x)=1x +a −1x 2≥0，即a ≥−1x +1x 2=(1x −12)2−14恒成立， 设g(x)=(1x −12)2−14， ∵x ≥1，∴0<1x ≤1， 则−14≤g(x)≤0，此时a ≥0，综上若函数f(x)=lnx+ax+1x 在[1,+∞)上是单调函数，则a≥0或a≤−14，则“a≤−1”是“函数f(x)=lnx+ax+1x在[1,+∞)上是单调函数”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合函数单调性的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及函数单调性和导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用以及二项展开式中特定项的问题，属于基础题．结合题设先运用二项式定理写出(9x−3√x)6的展开式通项，然后令x的指数为0求得k，回代结合组合数公式进行计算即可求出常数项．【解答】解：由二项式定理得(9x3√x)6的展开式的通项为：T k+1=C6k(9x)6−k3√x)k=(−1)k×96−k×3−k×C6k x6−3k2，(k=0,1,2,...,6)．令6−3k2=0解得k=4．所以(9x−3√x)6的展开式的常数项为T5=(−1)4×92×3−4×C64=15．故选B．4.【答案】C【解析】解：由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有8个等分点∴共有4条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，∴可做4×6=24个直角三角形，从8个点中任取三个点可以构成三角形，共有C83=56个，∴锐角三角形或钝角三角形的个数是56−24=32故选：C ．只有三角形的一条边过圆心，能组成直角三角形，在圆周上有8个等分点共有4条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，可做8−2个直角三角形，可得直角三角形的数目，用所有的三角形减去直角三角形得到结果．本题考查分步计数原理，考查圆的有关问题，是一个综合题，解题的关键是对于圆上的点，怎样能组成直角三角形．5.【答案】A【解析】解：∵离散型随机变量X 的分布列为P(X =k)=m⋅2k(2k+1−1)(2k −1)(1≤k ≤5,k ∈Z)， ∴m[2(22−1)(2−1)+22(23−1)(22−1)+23(24−1)(23−1)+24(25−1)(24−1)+25(26−1)(25−1)]=1，解得m =19531922，∴P(32<x <52)=p(x =2)=19531922×421=631． 故选：A ．由离散型随机变量X 的分布列为P(X =k)=m⋅2k(2k+1−1)(2k −1)(1≤k ≤5,k ∈Z)，求出m =19531922，由此能求出P(32<x <52)=p(x =2)的值． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量概率分布列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义转化为三点共线取得最小值，考查运算能力，属于中档题．由题意求得A ，F 的坐标，设出左焦点F ′，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF ′|+2a ，则△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF ′|+2a +|AF ′|，运用三点共线取得最小值，可得a ，b ，c 的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：由题意可得A(0,b)，F(c,0)，设F ′(−c,0)，由双曲线的定义可得|PF|−|PF ′|=2a ， |PF|=|PF ′|+2a ， |AF|=|AF ′|=√b 2+c 2，则△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF ′|+2a +|AF ′| ≥2|AF ′|+2a ，当且仅当A ，P ，F ′共线，取得最小值， 且为2a +2√b 2+c 2，由题意可得6a =2a +2√b 2+c 2， 即2c 2=5a 2， 则e =c a=√102， 故选：D ．7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查椭圆的方程和性质，以及等差数列的通项公式等知识，为中档题．先求出椭圆的a ，b ，c ，根据椭圆方程求得过右焦点的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和第n 项，再根据等差数列的公差d ∈[16,13]，求出n 的取值集合． 【解答】 解：椭圆425x 2+y 25=1中，a =52，b =√5，c =√a 2−b 2=√52，则右焦点为(√52,0)，令x =√52，代入椭圆方程得y =±√5×√1−425×54=±2，则过右焦点的最短弦的弦长为a 1=4，最长弦长为椭圆长轴长a n =2a =5， ∴4+(n −1)d =5， 即d =1n−1， ∵d ∈[16,13]，∴16≤1n−1≤13， ∴4≤n ≤7，n ∈N ， 故选：A ．8.【答案】A【解析】 【分析】对于区间[−3,2]上的任意x 1，x 2都有|f(x 1)−f(x 2)|≤t ，等价于对于区间[−3,2]上的任意x ，都有f(x)max −f(x)min ≤t ，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键． 【解答】解：对于区间[−3,2]上的任意x 1，x 2都有|f(x 1)−f(x 2)|≤t ，等价于对于区间[−3,2]上的任意x ，都有f(x)max −f(x)min ≤t ，∵f(x)=x 3−3x −1，∴f′(x)=3x 2−3=3(x −1)(x +1)， ∵x ∈[−3,2]，∴函数在[−3,−1]、[1,2]上单调递增，在[−1,1]上单调递减， ∴f(x)max =f(2)=f(−1)=1，f(x)min =f(−3)=−19， ∴f(x)max −f(x)min =20， ∴t ≥20，∴实数t 的最小值是20， 故选：A ．9.【答案】AD【解析】解：A.若|z|=2，则z ⋅z −=|z|2=4，故A 正确； B .设z 1=a 1+b 1i(a 1,b 1∈R)，z 2=a 2+b 2i(a 2,b 2∈R)．由|z1+z2|=|z1−z2|，得|z1+z2|2=(a1+a2)2+(b1+b2)2=|z1−z2|2=(a1−a2)2+(b1−b2)2，则a1a2+b1b2=0，而z1⋅z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2−b1b2=2a1a2不一定等于0，故B错误；C.z=1−i，z2=(1−i)2=−2i为纯虚数，其实部与虚部不等，故C错误；D.复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数则a2−1≠0，即a≠±1，故“a≠1”是“复数z=(a−1)+(a2−1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D 正确．故选：AD．由|z|求得z⋅z−判断A；设出z1，z2，证明在满足|z1+z2|=|z1−z2|时，不一定有z1z2=0判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A：例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样，P(A)为选中a、b两个球的概率：0.5，P(B)为选中b，c两个球的概率：0.5，P(A)+P(B)=1，但A，B不是对立事件．故A错误；对于B，若P(AB)=P(A)P(B)，则事件A与B是相互独立事件，故B正确；对于C，假设一个随机事件由A、B、C、D这4个彼此互斥的基本事件构成，则事件A−中含有事件B、C、D，事件B−中含有事件A、C、D，则A与B−不互斥，故C错误；对于D，若A与B相互独立，则A与B−，B与A−，A−与B−都是相互独立事件，故D正确，故选：BD．根据对立事件、互斥事件定义逐一进行判断即可本题考查命题真假性的判断，考查相互独立事件，考查对立事件，互斥事件，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，用间接法分析：从6个数中，任取4个组成4位数，有A64种情况，但其中包含0在首位的有A53种情况，依题意可得，有A64−A53=300个不重复的四位数，A错误；对于B，分0在末尾与不在末尾两种情况讨论，0在末尾时，有A53种情况，0不在末尾时，有A21A42A41种情况，由加法原理，共有A53+A21A42A41=156种情况，则可组成156个不重复的四位偶数，B正确；对于C，根据题意，要求四位数能被3整除，则选出的四个数字有5种情况，①1，2，4，5；②0，3，4，5；③0，2，3，4；④0，1，3，5；⑤0，1，2，3；①时，共可以组成A44=24个四位数；②时，0不能在首位，此时可以组成3×A33=3×3×2×1=18个四位数，同理，③、④、⑤时，都可以组成18个四位数，则这样的四位数共24+4×18=96个，C正确；对于D，千位是1的四位数有A53=60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A42=24个，∴第85项是2301.D错误；故选：BC．根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：A中若成等比数列则(2c)2=(a−c)(a−c)，即2c=a−c或2c=c−a(舍)，解得：ca =13≠√5−12，所以A不正确；B若∠F1B1A2=90°，则由射影定理可得：OB12=F1O⋅OA2，即b2=ca，所以c2+ac−a2=0，即e2+e−1=0，e∈(0,1)，解得e=√5−12；所以B正确；C若PF1⊥x轴，如图可得P(−c,±b2a )，又PO//A2B1，则斜率相等，所以b2a−c=b−a，即b=c，或−b2 a−c=−b，显然不符合，所以e=ca =√c2+c2=√22，所以C不正确；D，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线A2B1的距离等于c，因为直线A2B1的方程为：xa +yb=1，即bx+ay−ab=0，所以原点到直线的距离d=22，由题意知：√a2+b2=c，又b2=a2−c2，整理得：a2(a2−c2)=c2(2a2−c2)，e4−3e2+ 1=0，e2∈(0,1)，解得e2=3−√52，所以e=√3−√52=√5−12，所以D正确，故选：BD．对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．考查椭圆的性质，属于基础题．13.【答案】[−1,1]【解析】解：f(x)=13x3−ax2+x−5，f′(x)=x2−2ax+1，若函数f(x)在R上无极值点，即f′(x)=0最多1个实数根，故△=4a2−4≤0，解得：−1≤a≤1，故答案为：[−1,1]．求出函数的导数，问题转化为f′(x)=0最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．14.【答案】40【解析】 【分析】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同． 根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51=5种情况，剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22=2种情况，此时一共有5×3×2=30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52=10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1=10种方案；则一共有30+10=40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．15.【答案】[54,2]【解析】解：设双曲线C 2的方程为x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)，由题意知|MF 1|=2，|F 1F 2|=|MF 2|=2c ，其中c 2=a 22+b 22=a 12−b 12， 又根据椭圆与双曲线的定义得{|MF 1|+|MF 2|=2a 1MF 1|−|MF 2|=2a 2，则{2+2c =2a 12−2c =2a 2，即a 1−a 2=2c ，其中2a 1，2a 2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长．所以1e 1−1e 2=2因为椭圆的离心率e 1∈[514,25]， 所以1e 2=1e 1−2∈[12,45]所以e2∈[54,2]，即双曲线C2的离心率的取值范围是[54,2]．由题意，椭圆和双曲线的焦点相同和定义可得a1−a2=2c，即转化为离心率1e1−1e2=2，再由题e1∈[514,25]，可求得双曲线C2的离心率e2的取值．本题主要考查圆锥曲线综合知识，椭圆、双曲线的性质和定义等知识，属于中等题．16.【答案】10+2√1010−2√10【解析】解：A为椭圆右焦点，设左焦点为F(−4,0)，B在椭圆内，则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，于是|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF|．当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|−|MF|<|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|MB|−|MF|=−|BF|，在第三象限交点时有|MB|−|MF|=|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时，|MA|+|MB|有最小值，其最小值为|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF|=10−|BF|=10−√(2+4)2+(2−0)2=10−2√10；当M在直线BF与椭圆第三象限交点时，|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|−|MF|=10+|BF|=10+√(2+4)2+(2−0)2=10+2√10．故答案为：10+2√10，10−2√10．由椭圆的定义可知，MA+MB=10+|MB|−|MF|.当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时有|MB|−|MF|=−|BF|，在第三象限交点时有|MB|−|MF|=|BF|.显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时，|MA|+|MB|有最小值，当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，由两点间的距离公式能够求出MA+MB的最值．本题考查椭圆的定义及最值的求法，注意转化思想，以及三点共线求最值的方法，解题时要熟练掌握定义法的运用．17.【答案】解：(1)由题意知本题是一个分步计数问题，如果不回跳，那么跳三次可到达C 1点，第一跳有3种；第二跳有2种；第三跳有1种， 根据乘法原理知共有N 1=3×2×1=6种． (2)由题意知本题是一个分类计数问题， 由条件青蛙的跳法只可能出现两种情况， 其一跳三次到达C 1点，有6种跳法，其二跳五次停止(前三次不到C 1点)，有(33−6)⋅32=189， 故共有6+189=195种不同的跳法．【解析】(1)由题意知本题是一个分步计数问题，如果不回跳，那么跳三次可到达C 1点，第一跳有3种；第二跳有2种；第三跳有1种，相乘得到结果．(2)本题是一个分类计数问题，由条件青蛙的跳法只可能出现两种情况，其一跳三次到达C 1点，有6种跳法，其二跳五次停止(前三次不到C 1点)，根据分类计数得到结果． 本题考查加法原理和乘法原理，同时也考查了学生分析解答问题的能力，本题解题的关键是从已知分析得到，青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达，应从青蛙跳3次到达和青蛙一共跳5次后停止两种情况入手分析计算，本题是一个中档题目．18.【答案】解：(1)设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A ，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B ， 则所求的概率为：P(B|A) ……(1分) 所以P(B|A)=P(AB)P(A)=0.080.24=13，……(3分) 所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜， 则他戴的是角膜塑形镜的概率是13. ……(4分)(2)依题意可知：其中男生人数X 的所有可能取值分别为：0，1，2，……(5分) 其中：P(X =0)=C 63C 83=2056=514；P(X =1)=C 21C 62C 83=3056=1528； P(X =2)=C 22C 61C 83=656=328，……(8分)所以男生人数X 的分布列为：……(9分)(3)由已知可得：Y～B(20,0.08)，……(10分)则：E(Y)=np=20×0.08=1.6，D(Y)=np(1−p)=20×0.08×0.92=1.472，所以佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望是1.6，方差是1.472.……(12分)【解析】(1)由条件概率公式计算即可得解；(2)由题意可得X的所有可能取值分别为：0，1，2，分别求出对应的概率，即可得分布列；(3)由已知可得Y～B(20,0.08)，由二项分布的期望和方差公式计算即可得解．本题主要考查条件概率公式、离散型随机变量的分布列、二项分布的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：连接AC，交BQ于N，连接MN，∵底面ABCD是菱形，∴AQ//BC，∴△ANQ∽△CNB，则AQBC =ANNC=12，∴ACAN=3，又PMPC =13，∴PMPC =ANAC=13，∴MN//PA，又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ，∴PA//平面BMQ．(2)解：连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是正三角形，∵Q为AD的中点，∴BQ⊥AD,又已知PA=PD，∴PQ ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PQ ⊂面PAD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ， ∵BQ ⊂平面ABCD ， ∴PQ ⊥BQ ，以Q 为坐标原点，以QA 、QB 、QP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,√3,0)，P(0,0,√15)， QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√15)， 设平面BMQ 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， ∴{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由(1)知MN//PA ，∴{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴{√3y =0x −√15z =0，取z =1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(√15,0,1)， 平面BQP 的一个法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 设二面角M −BQ −P 的平面角为θ，则|cosθ|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√154， 依图知，二面角M −BQ −P 为锐角， ∴二面角M −BQ −P 的余弦值为√154．【解析】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ，则AQ//BC ，推导出MN//PA ，由此能证明PA//平面BMQ ．(2)连结BD，以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M−BQ−P的余弦值．20.【答案】解：(1)设点P的坐标为(x0,y0)，根据题意可得：M(x0√30,0)，N(x0+√30,0)，由|OM|2+|ON|2=8得：(x0−√30)2+(x0+√30)2=8，化简可得：x024+y023=1，所以轨迹C的方程为：x24+y23=1(x≠±√2)；(2)证明：当直线l的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，sin∠EBA=sin∠FBA成立，当直线l的斜率存在时，由题意设直线l的方程为：y=k(x−m)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，联立方程{y=k(x−m)x24+y23=1，消去y整理可得：(3+4k2)x2−8k2mx+4k2m2−12=0，由△>0得：m2k2<3+4k2，且x1+x2=8k2m3+4k2,x1x2=4k2m2−123+4k2，则k BE+k BF=y1x1−n +y2x2−n=y1(x2−n)+y2(x1−n)(x1−n)(x2−n)=2kx1x2−(km+kn)(x1+x2)+2mnk(x1−n)(x2−n)，又2kx1x2−(km+kn)(x1+x2)+2mnk=2k(4k2m2−12)3+4k2−8k2m(km+kn)3+4k2+2mnk=−24k+6mnk3+4k2，因为mn=4，所以k BE+k BF=0，则sin∠EBA=sin∠FBA，综上，sin∠EBA=sin∠FBA．【解析】(1)设出点P的坐标，利用已知求出点M，N的坐标，进而根据已知建立等式关系，从而可以求解；(2)讨论直线l的斜率不存在与存在的情况，当直线斜率存在时，由角相等转化为证明直线BE和直线BF的斜率的和为0，设出直线l的方程以及点E，F的坐标，利用韦达定理求出直线BE和直线BF的斜率的和的关系式，利用直线方程化简即可证明．本题考查了求点的轨迹方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到证明角相等转化为证明直线斜率和为0的问题，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设3条生产线中出现故障的条数为X，则X～B(3,13).∴该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率：P(X =1)=C 31(13)(23)2=49．(2)①当n =1时，设该企业每月的实际获利为Y 1万元． 若X =0，则Y 1=12×3−1=35，若X =1，则Y 1=12×2+8×1+0×1−1=31， 若X =2，则Y 1=12×1+8×1+0×1−1=19， 若X =3，则Y 1=12×0+8×1+0×2−1=7，又P(X =0)=C 30(23)3=827， P(X =2)=C 32(13)2(23)=627， P(X =3)=C 33(13)3=127，此时，实际获利Y 1的均值为：EY 1=35×827+31×1227+19×627+7×127=77327．②当n =2时，设该企业每月的实际获利为Y 2万元． 若X =0，则Y 2=12×3−2=34， 若X =1，则Y 2=12×2+8×1−2=30， 若X =2，则Y 2=12×1+8×2−2=26， 若X =3，则Y 2=12×0+8×2+0×1−2=14， ∴EY 2=34827+30×1227+26×627+14×127=80227，因为EY 1<EY 2．于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在n =1与n =2之中选其一， 应选用n =2．【解析】(1)设3条生产线中出现故障的条数为X ，则X ～B(3,13).由此能求出该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率．(2)①当n =1时，设该企业每月的实际获利为Y 1万元．求出实际获利Y 1的均值，当n =2时，设该企业每月的实际获利为Y 2万元．求出实际获利Y 2的均值，由EY 1<EY 2.得到应选用n =2．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=e x x−e xx2，f′(2)=2e2−e222=e24且f(2)=e22，所以切线方程y−e22=e24(x−2)，即y=e24x．(2)证明：由G(x)=xf(x)−lnx−2x(x>0)，G′(x)=e x−1x−2，所以G′(x)在(0,+∞)为增函数，又因为G′(1)=e−3<0，G′(2)=e2−52>0，所以存在唯一x0∈(1,2)，使G′(x0)=e x0−1x−2=0，即e x0=1x+2，且当x∈(0,x0)时，G′(x)<0，G(x)为减函数，x∈(x0,+∞)时G′(x)>0，G(x)为增函数，所以G(x)min=G(x0)=e x0−lnx0−2x0=1x+2−lnx0−2x0，x0∈(1,2)，记H(x)=1x +2−lnx−2x，(1<x<2)，H′(x)=−1x2−1x−2<0，所以H(x)在(1,2)上为减函数，所以H(x)>H(2)=12+2−ln2−4=−32−ln2，所以G(x)≥G(x0)>−32−ln2．【解析】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，注意运用导数的几何意义和函数的单调性，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于难题．(1)求出f(x)的导数和切线的斜率，以及f(2)，运用点斜式方程，可得切线的方程；(2)求出G(x)的解析式，求出导数，再求导数，判断G′(x)的单调性，由零点存在定理可得存在唯一x0∈(1,2)，使G′(x0)=e x0−1x0−2=0，即e x0=1x0+2，构造H(x)=1x+2−lnx−2x，(1<x<2)，求出导数，判断单调性，即可得证．。
高二数学第二学期第四周测验(附答案)
高二数学第二学期第四周测验1．某学生去书店买书，发现三本好书，决定至少买一本，则不同的买法种数为（ ）A ．3B ．6C ．7D ．92．5个高中应届毕业生报考3所重点院校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法共有（ ）种。
A ．35B ．53C ．15D ．63．已知集合A ={x | －2≤x ≤10，x ∈Z}，m,n ∈A ，方程221x y m n+=表示长轴在x 轴上的椭圆，则这样的椭圆共有（ ）A ．45个B ．55个C ．78个D ．91个4．三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（ ）A ．25B ．36C ．26D ．375．6人站成一排，甲、乙两人之间恰好有两人，不同的站法有（ ）A ．2242A A 种B ．222423A A A 种 C ．224624C C A 种 D ．26A 种6．书橱内原有6本书，现再放上3本书，要求保持原来书的相对顺序不变，则不同的放法共有（ ）A ．504种B ．210种C ．24种D ．12种7．90×9l ×92×……×100=（ ）A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．11101A8．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（ ）A ．0B ．3C ．5D ．89．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）A ．88A 种B ．48A 种C ．44A ·44A 种D ．44A 种10．有4位学生和3位参观者站在一排拍照，任何两位参观者不站在一起的不同排法共有（ ）A ．(4!)2种B ．4!·3!种C ．34A ·4!种D ．35A ·4!种11．十字路口来往的车辆，若不允许车辆在路口回头往回开，那么共有 种不同的行车路线。
12．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物线共有________条13．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则共有_____________种不同的安排方法14．6本不同的书分给3人，1人1本，1人2本，1人3本，有__________种分法15．将5名实习教师分配到三个班实习，每班至少1名，至多2名，则有__________种不同的分配方法16．10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒中所放球数不小于编号数，有_________种不同的放法17．某赛季足球比赛的计分规则是，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，则该队胜、平、负的情况可能有种。
高二年级下学期 经典数学周测卷及答案详解
2017年高二年级下学期数学周测试卷及答案详解（答案附后） 姓名： 班级： 学号: 得分：一、填空题（请把正确的答案写在题后的横线上，每小题5分，共80分）1．若z ＝4＋3i ，则z |z |＝ ;2.已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是 ．3．若tan θ＝－13，则cos 2θ＝ ;4..小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ;5.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ;6.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 7.设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为__________．8．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝__________．9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为__________．10.若的内角所对的边分别为，已知，且，则等于__________．11．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，=， =2，则 = ．12．设函数f （x ）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数k的取值范围为 ． 13．已知二次曲线+=1，则当m ∈[﹣2，﹣1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是 ．14．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则|AB |等于 ． 15．设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则=||•；②若与平ABC ∆,,A B C ,,a b c 2sin 23sin b A a B =2c b =ab行，则=||•；③若与平行且||=1，则=．上述命题中，假命题个数是 ．16．若数列{a n }的首项a 1=2，且；令b n =log 3（a n +1），则b 1+b 2+b 3+…+b 100= ．二、解答题（20分）17.已知f （x ）=x 2﹣ax +lnx ，a ∈R ．（1）若a=0，求函数y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若函数f （x ）在[，1]上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）令g （x ）=x 2﹣f （x ），x ∈（0，e ]（e 是自然对数的底数）；求当实数a 等于多少时，可以使函数g （x ）取得最小值为3．2017年高二年级下学期数学周测试卷参考答案1.【解答】先求出z 与|z |，再计算z |z |.∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5，∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i. 2.【解答】首先求出x ＞0时函数的解析式，再由导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式得切线方程．设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x .∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案：2x －y ＝03.【解答】解析：先利用二倍角公式展开，再进行“1”的代换，转化为关于tan θ的关系式进行求解．∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ，又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.4.【解答】解析：根据古典概型的概率公式求解．∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.5.【解答】解析：利用椭圆的几何性质列方程求离心率．不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12. 6.【解答】解析：将θ－π4转化为⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2. 由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4535＝－43. 7.【解答】解析：利用圆的弦长、弦心距、圆的半径之间的关系及勾股定理列方程求解．圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.8.【解答】解析：根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF ⊥x 轴，知点P ，F 的横坐标相等，再根据点P 在曲线y ＝kx上求出k .∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝kx(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx(k ＞0)得k ＝2.9.【解答】解析：作出不等式组表示的可行域，利用数形结合思想求解． 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－510.【解答】试题分析：由得，得2sin 23sin b A a B =4sin sin cos 3sin sin B A A A B =，又.∴，则11.【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，=， =2，则=2=∙=→→CA CB12.【解答】解：∵f （x ）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得k ≤﹣1或1≤k ≤2，则实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]， 故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．13.【解答】解：由当m ∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线， 双曲线+=1即为﹣=1，且a 2=4，b 2=﹣m ，则c 2=4﹣m ，即有，14.【解答】解：由抛物线y 2=4x 可得p=2． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．∵线段AB 的中点M 的横坐标为2，∴x 1+x 2=2×2=4． ∵直线AB 过焦点F ，∴|AB |=x 1+x 2+p=4+2=6．15.【解答】解：对于①，向量是既有大小又有方向的量， =||•的模相同，但方向不一定相同，∴①是假命题； 对于②，若与平行时，与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=﹣||•，∴②是假命题；3cos 4A =2c b =22222cos 2a b c b A b =+-=2a b =对于③，若与平行且||=1时，与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=﹣，∴③是假命题；综上，上述命题中，假命题的个数是3．16.【解答】解：∵数列{a n}的首项a1=2，且，+1=3（a n+1），a1+1=3，∴a n+1∴{a n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，∴，∴b n=log3（a n+1）==n，∴b1+b2+b3+…+b100=1+2+3+…+100==5050．故答案为：5050．17.【解答】解：（1）a=0时，f（x）=x2+lnx，x＞0∴f′（x）=2x+，∴f′（1）=3，f（1）=1，∴数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣2=0，（2）函数f（x）在[，1]上是增函数，∴f′（x）=2x﹣a+≥0，在[，1]上恒成立，即a≤2x+，在[，1]上恒成立，令h（x）=2x+≥2=2，当且仅当x=时，取等号，∴a≤2，∴a的取值范围为（﹣∞，2]（3）g（x）=x2﹣f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]．∴g′（x）=a﹣=（0＜x≤e），①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；②当a＞0且＜e时，即a＞，g（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得a=e2，满足条件；③当a＞0，且≥e时，即0＜a≤，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g （e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时，g（x）有最小值3．。
(完整版)高二数学周测卷--导数及其应用(含答案)
2019—2020学年第二学期高二数学周测试卷 2020.3.1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒/f ′(x )>0.答案A2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0. 答案B3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－53)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150° 解析y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案B4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( )A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4) C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8)解析设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x20＝1，∴x0＝1，或x0＝－1.∴P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案B5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝sin2x B．y＝x3－xC．y＝x e x D．y＝－x＋ln(1＋x)解析对于C，有y′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x＋1)>0.答案C6．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有( ) A．极大值5，极小值为－27 B．极大值5，极小值为－11 C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．当x<－1时，f′(x)>0，当－1<x<3时，f′(x)<0.∴x＝－1是f(x)的极大值点．且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值．答案C7．函数y＝2x3＋x2的单调递增区间是( )A ．(－∞，－13)∪(0，＋∞)B ．(－16，＋∞) C ．(－∞，－13)和(0，＋∞) D ．(－∞，－16) 解析y ′＝6x 2＋2x ＝2x (3x ＋1)， 令y ′>0，得x <－13，或x >0. ∴函数y ＝2x 3＋x 2的单调增区间为 (－∞，－13)和(0，＋∞)． 答案C8．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断：①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②③④解析由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知：(1)f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；(2)f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值．故②③正确．答案 B9．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 解析f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.答案B10．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13内 B ．二个零点，分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0，＋∞)内C ．三个零点，分别在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，(1，＋∞)内D ．三个零点，分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，(0,1)，(1，＋∞)内解析 利用导数法易得函数f (x )在(－∞，－13)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－5927<0，f (1)＝－1<0，故函数f (x )的图象与x 轴仅有一个交点，且交点横坐标在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13内 答案A11．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1) 解析当1≤x ≤2时，f ′(x )≥0，则f (2)≥f (1)；而当0≤x ≤1时，f ′(x )≤0，则f (1)≤f (0)， 从而f (0)＋f (2)≥2f (1)． 答案C12．设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f ′(x )>f (x )，对任意的正数a ，下面不等式恒成立的是( )A ．f (a )<e a f (0)B ．f (a )>e a f (0)C ．f (a )<f (0)e aD ．f (a )>f (0)e a 解析 构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x >0，故函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递增，所以g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e 0，即f (a )>e af (0)． 答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2＋2x ＋5，则f ′(2)＝________.解析 ∵f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋2， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2. ∴f ′(1)＝1. ∴f ′(x )＝x 2－2x ＋2. ∴f ′(2)＝22－2×2＋2＝2.答案214．过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线的方程为________．解析：设所求切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)， ∵y ′＝－1x 2，∴y ′ |x ＝x 0＝－1x 20，所求切线的方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．∵点(2,0)在切线上，∴0－y 0＝－1x 20(2－x 0)，∴x 20y 0＝2－x 0.①又∵x 0y 0＝1，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1， ∴所求直线方程为x ＋y －2＝0.答案x ＋y －2＝0.15．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n∈N ＋)的前n 项和是________．解析：f ′(x )＝mxm －1＋a ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝1.则f (x )＝x 2＋x ，1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，其和为⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案nn ＋116．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．解析：根据题意，知f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x >0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.答案 [1，＋∞)三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m 的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值． 解 f ′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x)＝0，得x ＝－2，或x ＝2.故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞),减区间为(－2,2)． (1)当x ＝－2，f(x)取得极大值， 故f(－2)＝－83＋8＋m ＝283， ∴m ＝4.(2)由(1)得f(x)＝13x 3－4x ＋4， 又当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.18．(12分)已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x . (1)求函数)(x f y =的解析式； (2)求函数)(x f y =的单调区间.解（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f（2）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得.21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.19.(12分) 已知函数323()(2)632f x ax a x x =-++- （1）当2a >时，求函数()f x 极小值； （2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数解（1）2a >时 '22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a=-++=--由0)(>'x f 得 ax x 21<>或 由0)(<'x f 得12<<x a∴()f x 极小值为(1)2af =-（2）①若0a =，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02a f =->，()f x Q 的极小值为2()0f a<， ()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133()4()044f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。
高二数学周测7解析
高二数学周测7一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若椭圆的一个焦点是，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由，得， 又椭圆的一个焦点为，故，解得，故选B ．2．直线1:60l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则m 的值为（ ） A ．1-或3B ．3C ．1-D ．1或3-【解析】∵直线1:60l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行∴13(2)0126(2)0m m m m ⨯--=⎧⎨⨯--≠⎩∴1m =-故选C.3．过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A ．4x ＋3y ＝0 B ．4x －3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 C ．4x －3y ＝0 D ．4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0截距均为0时，设方程为y ＝kx ，将点(3，－4)，代入得k ＝－43，得直线4x ＋3y ＝0；当截距不为0时，设方程为1x ya a+=，将(3，－4)代入得a ＝－1，得直线x ＋y ＋1＝0.故选D.4．若双曲线（，）的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ） AB ．CD ．【解析】由题得，所以，，2255x ky +=(0,2)k =521115252255x ky +=2215y x k+=(0,2)2512k-=1k =2231mx ny -=0m >0n >2y x =22221113x y m n-=213a m =21b n=∴，，所以，所以，，所以双曲线的离心率，故选A ． 5．已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为，则等于（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】∵椭圆的焦点在轴上，∴，， ∵焦距为，∴，即，在椭圆中：，即，解得，故选D ．6．已知离心率为的双曲线（，）与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ． 【解析】∵双曲线（，）与椭圆有公共焦点， 由椭圆，可得，∴， ∵双曲线离心率，∴，， ∴双曲线的方程为，故选C ． 7．已知双曲线的一条渐近线是，则双曲线的离心率是a =b =2=34m n =a =b =c =ce a==221102x y m m +=--y 4m 4578221102x y m m +=--y 22a m =-210b m =-424c =24c =222a b c =+2(10)4m m -=-+8m =222221x y a b -=0a >0b >22184x y +=221412x y -=221124x y -=2213y x -=2213x y -=22221x y a b -=0a >0b >22184x y +=22184x y +=2844c =-=2c =2ce a==1a =222413b c a =-=-=2213y x -=222:1y C x b-=y =C（ ） A ．BC ．D ．【解析】双曲线的渐近线方程为，而渐近线方程为，故，故双曲线的方程为，故，， 所以离心率，故选A ．8．已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） A ． B ．53C ．52D 【答案】C【解析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得其一条渐近线的方程为b y x a=，即0bx ay -=，又由圆22:10210C x y y +-+=，可得圆心为(0,5)C ，半径2r ，则圆心到直线的距离为5a d c ==，则52a c =，可得52c e a ==， 故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知点，点，直线：（其中），若直线与线段有公共点，则可能的取值是（ ） A ． B ． C ． D ． 【解析】由题意，（其中）， 则，∵，∴，解得，234222:1y C x b-=y bx =±y =b =C 2213y x -=1a =2c =2e =)0,2(A )0,2(-B l 04)1()3(=--++λλλy x λ∈R l AB λ012404)1()3(=--++λλλy x λ∈R 0)3()4(=-+-+y x y x λλ∈R ⎩⎨⎧=-=-+0304y x y x ⎩⎨⎧==31y x∴直线所过定点，∵点，点，设直线所过定点为，则的坐标为， ∴，， ∵直线与线段有公共点，当时，直线，与线段有公共点； 当时，直线的斜率，∴或， 解得或，综上所述：的取值范围为，故答案为ABC ．10．已知点是双曲线的右支上一点，双曲线的左、右焦点，的面积为，则下列说法正确的有（ ）A ．点的横坐标为B ．的周长为C ．小于D ．的内切圆半径为【解析】因为双曲线，所以， 又因为，所以， 将其代入，得，即，所以选项A 正确；所以的坐标为， 由对称性可知， 由双曲线定义可知， l )3,1()0,2(A )0,2(-B l P P )3,1(32103-=--=PA k 1)2(103=---=PB k l AB 1=λ1=x AB 1≠λl λλ-+=13k 113≥-+λλ313-≤-+λλ11<≤-λ31≤<λλ]3,1[-P 22:1169x y E -=12F F E 12PF F △20P 20312PF F △80312F PF ∠π312PF F △3222:1169x y E -=5c ==12112||10||2022PPF F P S c y y =⋅=⋅⋅=△||4P y =22:1169x y E -=2241169x -=203x =P 20(,4)3±213||3PF ==121337||||2833PF PF a =+=+=所以，所以选项B 正确； 因为，所以，即， 所以，所以选项C 正确； 因为，所以，所以选项D 正确，故选ABCD ．11．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确； B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；12121337||||21083033PF F C PF PF c =++=++=△122920tantan22PF F b S θθ===△9πtantan 22036θ=<=π26θ<12π3F PF θ∠=<1212180122320PF F PF F S r C r =⋅⋅=⋅⋅=△△32r=C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>， 所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确；D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误； 故选：ABC. 12．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（ ）A ．卫星向径的取值范围是[a ﹣c ，a +c ]B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a ﹣c ，最大值为a +c ，所以A 正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B 正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即＝＝﹣1+越小，则e 越大，椭圆越扁，故C 不正确．因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D 正确； 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,2)=-a ，(,1)m =b ．若向量+a b 与a 垂直，则m =__．【解析】∵(1,3)m +=-a b ，∴()=0+⋅a b a 所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．14．已知点在双曲线（）上，则双曲线的离心率是 ．【解析】由题意可得，解得，所以，故双曲线的离心率是， 故答案为．15．已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程为_________．【解析】由圆的方程可知，圆心，半径等于的坐标为， ∵的垂直平分线交于点，∴，又，∴， 依据椭圆的定义可得，点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且，，∴，故椭圆方程为． 16．已知直线l ：y kx =被圆C ：()()22124x y -++=截得的弦长为k =______，圆C 上到直线l 的的距离为1的点有______个.【答案】34- 3【解析】由题意得：圆心(1,2)C -， 则圆心到直线l 的距离d ==，解得34k =-； 因为1d =，2r ，则圆C 上到直线l 的距离为1的点应有3个.故答案为：34-；3． 222:112x y C a -=0a >C 2915112a -=2a =4c ==C 422=222:(3)48C x y ++=(3,0)B P BP CP M M (3,0)C -M (,)x y BP CP M ||||MB MP =||||MP MC CP +==||||||MB MC BC +=>M B C 2a =3c =b =221123x y +=四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①其中一条渐近线方程为y=x ，②等轴双曲线，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中；双曲线过点． （1）求双曲线的标准方程；（2）求该双曲线焦点坐标和焦点到渐近线的距离．【解析】（1）设双曲线方程为（），因为等轴双曲线过点，所以将代入（）得，所以等轴双曲线的标准方程为． （2）∵，，因为等轴双曲线焦点在轴上，所以焦点坐标为，． 焦点到渐近线的距离为b=318．（12分）已知双曲线． （1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； （2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，双曲线方程化为， 所以，，，所以焦点坐标为，，顶点坐标为，， 渐近线方程为． （2）因为，，e=(4,22x y λ-=0λ≠(4,(4,22x y λ-=0λ≠9λ=22199x y -=3a=c ==x(-22:15x y E m -=4m =EE e ∈m 4m =22145x y -=2a=b =3c =(3,0)-(3,0)(2,0)-(2,0)y x =222551c m e a m m +===+e ∈所以，解得， 所以实数的取值范围是．19．（12分）已知椭圆（，，是椭圆的左、右焦点，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程． 【解析】（1）由，，，解得，， 所以，椭圆的方程为．（2）设过的直线方程为代入椭圆的方程，化简得，显然． 设，，则，， 从而， 所以，解得， 所以直线的方程为或．20．（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=. （1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.35122m<+<510m <<m (5,10)2222:1x a C y b +=0ab >>1F 2F 2C 2F l C A B OAB △l 2c a =22b =222a b c =+2a =1b =C 2214x y +=2F x my =+C 22(4)10m y +--=Δ>012(,)A x x 12(,)B x x 1224y y m +=+12214y y m -=+12||y y -==122||11||2254OABS OF y y m =⋅-==+△1m =±l 0x y --=0x y +-=【解析】（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =,又2c e a==,222a b c =+,解得c =,2b =, 所以椭圆的标准方程为221164x y +=（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-,22(3,)QB x y =-,联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=, 所以120x x +=,1221641x x k -=+, 因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>,所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+12121293()x x x x y y =-+++2121293()(1)x x k x x =-+++2216(1)9041k k +=->+,解得k >k <已知圆22:410()C x y x ay a R +-++=∈，过定点(0,1)P 作斜率为1-的直线交圆C于AB 、两点，P 为AB 的中点． （1）求实数a 的值；（2）从圆外一点M 向圆C 引一条切线，切点为N，且有MN =，求MN 的最小值．【答案】（1）6a =-．（2）4-【解析】（1）由22410()x y x ay a R +-++=∈得2,2a C ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为P 为AB 的中点，所以P 在圆内且CP AB ⊥．所以211101212a a ⎧+⨯+<⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得6a =-．（2）由（1）得圆22:4610C x y x y +--+=，即22(2)(3)12x y -+-=，所以圆心(2,3)C，半径r = 设M 点坐标为(,)x y ，因为MN 为圆C 的切线，所以MN CN ⊥， 所以222212MN MC r MC =-=-又MN =，所以22212MP MC =-，则222222(1)(2)(3)12x y x y +-=-+--，整理，得22(2)(1)4+++=x y ．由于MN =故MN 取最小值即MP 取最小值，点(0,1)P 到圆22(2)(1)4+++=x y的圆心距离d == 所以，MP的最小值为2，所以，MN的最小值为4-已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点，设椭圆Γ的上顶点为B ，右顶点和右焦点分别为A ，F ，且56AFB π∠=．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线:(1)l y kx n n =+≠±交椭圆Γ于P ，Q 两点，设直线BP 与直线BQ 的斜率分别为BP k ，BQ k ，若1BP BQ k k +=-，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）因为椭圆Γ过点，所以222112a b += ①，（1分）设O 为坐标原点，因为56AFB π∠=，所以6BFO π∠=，又||BF a ==，所以12b a = ②，（3分）将①②联立解得21a b =⎧⎨=⎩（负值舍去），所以椭圆Γ的标准方程为2214x y +=．（4分）（2）由（1）可知(0,1)B ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ．将y kx n =+代入2214x y +=，消去y 可得222(14)8440k x knx n +++-=，（5分）则22222(8)4(14)(44)16(41)0kn k n k n ∆=-+-=-+>，122814knx x k -+=+，21224414n x x k -=+，（7分）所以122121************11()()2(1)()BP BQ y y x kx n x x kx n x kx x n x x k k x x x x x x --+-++-+-++=+== 222224482(1)8(1)214141444(1)(1)114n kn k n k n k k k n n n n k --⋅+-⋅-++====--+-++，（10分） 所以21n k =--，此时2216[4(21)1]640k k k ∆=---+=->，所以0k <， 此时直线l 的方程为21y kx k =--，即(2)1y k x =--，（11分）令2x =，可得1y =-，所以直线l 过定点，该定点的坐标为(2,1)-．（12分）。
2019-2020年高二下学期周测数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期周测数学（理）试题 含答案一．选择题1.复数z 满足:()2z i i i -=+，则z =在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A.假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 3.32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ．316 C ．313 D ．3104.曲线x ex x f ln )(-=单调递减区间为（ ）A ．)1,(e-∞ B ．),1(+∞eC ．)1,0(eD ．),0(+∞5.已知: ()131312111++++++++=n n n n n f ，则()1+k f 等于( ) A.()()1131+++k k f B. ()231++k k f C. ()11431331231++++-+++k k k k k f D. ()11431++-+k k k f 6.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ） D ． 要排在一起，不同排法的种数为（ A. 88A B. 4444A A C. 4455A A D. 58A8.一次演出，原计划要排4个节目，因临时有变化，拟再添加2个小品节目，若保持原有4 个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方法有（ ）人去参加数学、屋里、化学、外语四科竞赛，要求每科竞赛只有每人也只参加一科竞赛，且这6人中甲、乙两人不参加外语竞赛，则不同的选择方案共有（ ）A. 300B.240C. 144D. 9610.已知集合M={1，﹣2，3}，N={﹣4，5，6，﹣7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点（ ）法的种数为 （ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．4012. 9名乒乓球运动员，男5名，女4名，现要从中选出2名男队员、2名女队员进行混合双打比赛，不同的配对方法共有（ ）A ．60种B ．84种C ．120种D ．240种 二．填空题13.设m ∈N *，且m ＜25，则（25﹣m ）（26﹣m ）…（30﹣m ）=_________.（用排列数mn A 作答）14.从0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为_ __ 15. 求曲线23x y -=与直线y=2x 围成图形的面积 . 16.设n 为正整数，n n f 131211)(++++= ，计算得23)2(=f ，2)4(>f ，25)8(>f ，3)16(>f ，观察上述结果，可推测一般的结论为___ _____．三．解答题17（本题满分15分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）18（本题满分15分）用0，1，2，3，4，5这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？（以上各问均用数字作答）19（本题满分20分）某产品生产成本C 与产量q （*N q ∈）的函数关系式为q C 4100+=，销售单价p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．(1)、产量q 为何值时，利润最大？(2)、产量q 为何值时，每件产品的平均利润最大？20（本题满分20分）已知函数)(,32,)(23x f y x c bx ax x x f ==+++=时若有极值，曲线y=f(x)在x=1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为.1010（1）求c b a ,,的值；（2）求]1,4[)(-=在x f y 上的最大值和最小值。
高二数学周测1
高二数学周测一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2、已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于( ) A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．56π A ．[0，π4] B ．[3π4，π) C ．[0，π4]∪(π2，π) D ．[π4，π2)∪[3π4，π)4、已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是 ( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或15、若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为 ( )A ．13B ．－13C ．－32D ．236、在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0，0)，A (1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为 ( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．3x ＋y －6＝07、如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 28、已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，34C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，4 9、过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有 ( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条10、直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－311、已知直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0，则“a ＝1”是“l 1⊥l 2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12、已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2020至2021学年高二(上)数学周测试卷
姓名 学号 班级
一、选择题
1.直线x ＋y ＝0的倾斜角为( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．135°
1.答案 D
解析 因为直线的斜率为－1，所以tan α＝－1，即倾斜角为135°.
2.已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.532 B.352 C.372 D.212
答案 B
解析 因为a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，
所以2a －b ＝(4,2n －1,2)．
因为2a －b 与b 垂直，
所以(2a －b )·b ＝0，
所以－8＋2n －1＋4＝0，
解得n ＝52
，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1，52，2， 所以|a |＝12＋22＋⎝⎛⎭⎫522＝352.
3.过点(0，－2)且与直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为( )
A ．2x －y ＋2＝0
B ．x ＋2y ＋2＝0
C ．2x －y －2＝0
D ．2x ＋y －2＝0
2.答案 C
解析 设该直线方程为2x －y ＋m ＝0，
由于点(0，－2)在该直线上，
则2×0＋2＋m ＝0，即m ＝－2，
即该直线方程为2x －y －2＝0.
4.已知直线l 经过两点O (0,0)，A (1，3)，直线m 的倾斜角是直线l 的倾斜角的两倍，则直线m 的斜率是( )
A ．－ 3
B ．－
33 C.33 D.3 答案 A
解析 依题意，得k OA ＝3－01－0＝3，
所以直线l 的倾斜角为π3
， 所以直线m 的倾斜角为2π3
， 所以直线m 的斜率为tan 2π3＝－ 3. 5.已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＋n 等于( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
6.若点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322
，则实数a 的值为( ) A ．－1
B ．5
C ．－1或5
D ．－3或3 答案 C
解析 ∵点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322
， ∴|1－a ＋1|2
＝322，即|a －2|＝3， 解得a ＝－1或a ＝5，∴实数a 的值为－1或5.
7.“m ＝－2”是“直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 C
解析 若直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行，则m 2＝4，可得m ＝±2. 当m ＝2时，直线l 1：2x ＋4y －6＝0，直线l 2：x ＋2y －3＝0，两直线重合，不符合题意． 所以“直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行”等价于“m ＝－2”． 所以“m ＝－2”是“直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行”的充要条件．
8.已知直线2x ＋my －1＝0与直线3x －2y ＋n ＝0垂直，垂足为(2，p )，则p ＋m ＋n 的值为( )
A ．－6
B ．6
C ．4
D ．10
答案 A
解析 因为直线2x ＋my －1＝0与直线3x －2y ＋n ＝0垂直，
所以2×3＋(－2)m ＝0，解得m ＝3，
又垂足为(2，p )，
代入两条直线方程可得⎩⎪⎨⎪⎧
4＋3p －1＝0，6－2p ＋n ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝－1，n ＝－8， 则p ＋m ＋n ＝－1＋3＋(－8)＝－6.
9.（多选）下列说法正确的是( )
A ．直线x －y －2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B ．点(0,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(1,1)
C ．过(x 1，y 1)，(x 2，y 2)两点的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1
D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x ＋y －2＝0
答案 AB
解析 A 选项，直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，故正确； B 选项，⎝⎛⎭⎫0＋12，2＋12在直线y ＝x ＋1上，且(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，故正确； C 选项，需要条件y 2≠y 1，x 2≠x 1，故错误；
D 选项，还有一条截距都为0的直线y ＝x ，故错误．
二、填空题
10．已知A (0，－1)，点B 在直线x －y ＋2＝0上，若直线AB 平行于直线x ＋2y －3＝0，则B 点坐标为________．
答案 (－2,0)
解析 因为直线AB 平行于直线x ＋2y －3＝0，
所以设直线AB 的方程为x ＋2y ＋m ＝0，
又点A (0，－1)在直线AB 上，
所以0＋2×(－1)＋m ＝0，解得m ＝2，
所以直线AB 的方程为x ＋2y ＋2＝0，
联立两直线方程⎩
⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝0，故B 点坐标为(－2,0)． 11.若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________． 答案 垂直
解析 将点A (4，－1)的坐标代入ax －y ＋1＝0，
得a ＝－12，则12·l l k k ＝－12
×2＝－1，∴l 1⊥l 2. 12.已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －1
解析 因为直线x ＋my ＋6＝0与(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0平行，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
1×3－m (m －2)＝0，6×3≠2m ×m ，解得m ＝－1. 13.已知点A (1,2)，B (2,1)，则线段AB 的长为________，过A ，B 两点直线的倾斜角为________． 答案 2 3π4
解析 根据两点之间的距离公式，得线段AB 的长为(1－2)2＋(2－1)2＝2，
根据斜率公式，得过A ，B 两点直线的斜率为k AB ＝
2－11－2
＝－1， 又因为直线的倾斜角的范围为[0，π)，
所以过A ，B 两点直线的倾斜角为3π4. 三、解答题
14.已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34
. (1)求直线l 的方程；
(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．
解 (1)由直线方程的点斜式，
得y －5＝－34
(x ＋2)， 整理得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.
(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得|3×(－2)＋4×5＋C |32＋42
＝3， 即|14＋C |5
＝3，解得C ＝1或C ＝－29， 故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.
答案 A
解析 由题意，所给两条直线平行，所以n ＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|
12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5， 解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，则m ＋n ＝0.
15.已知直线l 过点(1,2)，且在两坐标轴上的截距相等．
(1)求直线l 的方程；
(2)当直线l 的截距不为0时，求A (3,4)关于直线l 的对称点．
解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为零时，可设直线l 的方程为x ＋y ＋b ＝0， 将点(1,2)代入直线l 的方程，得1＋2＋b ＝0，解得b ＝－3，
此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0；
当直线l 过原点时，可设直线l 的方程为y ＝kx ，将点(1,2)代入直线l 的方程，
得k ＝2，此时直线l 的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.
综上所述，直线l 的方程为x ＋y －3＝0或2x －y ＝0.
(2)当直线l 的截距不为0时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，
设点A 关于直线l 的对称点B 的坐标为(a ，b )，
则线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫a ＋32，b ＋42，且点M 在直线l 上，
则a ＋32＋b ＋42
－3＝0， 整理得a ＋b ＋1＝0，
又直线AB ⊥l ，且直线l 的斜率为－1，
所以直线AB 的斜率为k AB ＝
b －4a －3＝1， 整理得b ＝a ＋1，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝0，b ＝a ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝0， 因此，点A (3,4)关于直线l 的对称点为(－1,0)．。