理论力学哈工大第七版第12章

dm l dx
J z l x dx
0
l l
3
3
由 m
l l ，得
1 2 J z ml 3
2.均质薄圆环对中心轴的转动惯量
J z mi R R mi mR
2 2
2
3.均质圆板对中心轴的转动惯量
m mi 2 ri dri A A 2 R 4 R R 2 J O (2 r Adr r ) 2 A 0 4 或 J 1 mR 2 O 2
第十二章 动量矩定理
§12–1 质点和质点系的动量矩
§12–2 动量矩定理
§12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-6 刚体的平面运动微分方程 课后习题
一、空间力对点的矩以矢量表示 —力矩矢—定位矢量
MO F r F
2
mi ri ri mi ri
转动惯量
J z mi ri
2
Lz J z
12 6
§12-2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理 设O为定点,有
d d M O (mv ) (r mv ) dt dt dr d mv r (mv ) dt dt v mv r F r F M O F dr v （O为定点） d (mv ) F dt 质点的动量定理 dt v mv 0
1 1 R2 因 i12 2 2 R1
解得
J 11 M 1 FtR1
J 2 2 Ft R2 M 2
Ft F
' t
M2 M1 i12 1 J2 J1 2 i12
§12-4 刚体对轴的转动惯量
一、转动惯量表述公式
J z mi ri
i 1
由
v dv , a， 得 R dt
MR mgR 2 sin a J mR 2
例12-2 切线夹角分别为 ,
1
,出口水速度 v ，它们与 水轮机转轮,进口水速度 v1 2
2 ,总体积流量 qV
.
求水流对转轮的转动力矩.
解：
设叶片数为 n ,水密度为 ,有
LCDcd
2
0 时,
Lz2 2m(a l sin )
2
由
Lz1 Lz2 ,
得
a 20 (a l sin ) 2
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力:
F1 , F2 ,, Fn
约束力: FN , FN 1 2
根据质点系对z 轴的动量矩定理有： d ( J z ) M z ( Fi ) M z ( FNi ) M z ( Fi ) dt
m, J O , a
d J O 2 mga sin dt 微小摆动时， sin
d 2 J O 2 mga dt
d 2 mga 即： 0 2 dt JO
mga t ) 通解为 O sin( JO
周期
T 2
JO mga
O 称角振幅，

e 若 M z F 0，则Lz 恒量.

应用举例：质点在有心力作用下的运动。 有心力：力作用线始终通过某固定点,该点称力心。
由于 M O ( F ) 0,有
MO mv r mv 恒矢量
(1)矢量积 r m v方向不变，即矢径和速度位于一固定平 面，质点在有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。
[ LO ]z Lz
Lz M z (mi vi )
i 1
1.刚体平移 可将全部质量集中于质心,作为一个质点 来计算. ,
LO M O (mvC )
Lz M z (mvC )
2.刚体绕定轴转动
Lz M z (mi vi ) mi vi ri
二、质点系的动量矩定理 第i个质点 n个质点
(i ) (e) d M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
(i ) d d 由于 M ( F ) 0 M (m v ) M (m v ) dLO O i O i i O i i dt dt dt
三、动量矩守恒定律 1.质点的动量矩守恒定律 若 MO F 0，则 MO mv 恒矢量
若 M z F 0，则M z mv 恒量.


2.质点系的动量矩守恒定律 e 若 MO F 0，则 LO 恒矢量
d Jo FR f FN R dt
t 0


0
o
J o d fFN Rdt
J oo t fFN R
R2 , M1 , M 2 求： 例12-7：已知 J1 , J 2 , i12 R1
I
解：轴I与轴II为两个转动刚体，分别取为两个研究对 象，受力情况如图。
两轴对轴心的转动微分方程分别为
i j k z Fz x Fx y Fy

矢量的模—— M O F F h 2 AOAB ； 矢量的方位—与力矩作用面的法线方向相同； 矢量的指向—按右手螺旋法则确定。

二、力对轴的矩—代数量—转化为平面力对点之矩 力对轴的矩是力使刚体 绕该轴转动效果的度量 ，是一个代数量，其绝 对值等于该力在垂直于 该轴平面上的投影对轴 与该平面交点之矩。
n
2
对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式
Jz r2 d m
物理意义： 刚体转动惯性的度量 相关因素：各质点质量大小、质量分布 单位：kg· 2 m
工程应用：常常根据工作需要来选定转动惯量的大小。
二、简单形状物体的转动惯量计算
1.均质细直杆对过一端点的轴的转动惯量
单位长度质量
l 2
l
对比：空间力对点之矩矢
2.对固定轴的动量矩 ——对z 轴的动量矩 定义：质点动量m v 在 Oxy平面内的投影 mv xy 对于平面 与z轴交点O的矩。——质点对于z轴的动量矩
Mz mv MO mv xy
是代数量，从z 轴正 向看，逆时针为正， 顺时针为负。 对比：空间力对轴之矩 单位:kg· 2/s（SI） m
J z M z ( F )
ma F
刚体绕定轴的转动微分方程 质点的运动微分方程
形式相似，求解方法相似。
解:
J ( F1 F2 ) R
( F1 F2 ) R J
例12-5 物理摆（复摆），已知 求微小摆动的周期。 解：设 角以逆时针方向为正。 当小 角为正，重力对点O之矩 为负。 2
d M O (mv ) M O ( F ) dt 质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一 阶导数，等于作用于质点的力对同一点的矩。
利用对点之矩与对轴之矩的关系：
d M x (mv ) M x ( F ) dt
投影式:
d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
J z J zC md
2
J z c J z md
2
由平行轴定理可知，刚体对于诸平行轴，以通过 质心的轴的转动惯量为最小。
证明： J zC mi ( x1 y1 )
2 2
J z m i r 2 m i ( x2 y2 )
mi [ x12 ( y1 d )2 ]
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LABab
1 qV dt v 2 r2 cos 2 n 1 qV dt v1 r1 cos 1 n
1 dLO qV dt (v2 r2 cos 2 v1r1 cos 1 ) n dLO M O (F ) n qV (v2 r2 cos 2 v1r1 cos 1 ) dt
3.质点对固定点的动量矩与对固定轴的动量矩的关系
[M O (mv )]z M z (mv )
类似：空间力对点之矩与对轴之矩的关系 二、质点系的动量矩 对固定点O的动量矩 对固定轴的动量矩
n LO M O (mi vi ) i 1 n
矢量和 代数和
二者关系：
即
LO Lx i Ly j Lz k
由图, r d r 2d A
dA dt
称为面积速度.
面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒。 当人造卫星绕地球运动时,离地心近时速度大,离地心 远时速度小。
解：此系统所受的重力和轴承的约束力对于转轴的矩 都等于零．因此系统对于转轴的动量矩守桓。 0 时,
Lz1 2ma 0a 2ma 0
适用范围：对固定点或固定轴。 内力不能改变质点系的动量矩。 思考：内力的影响？
解:1.取小车与鼓轮组成质点系，视小车为质点。 以顺时针为正。
2.运动分析 3.外力分析
LO J m v R
( M Oe ) M mg sin R
4.应用动量矩定理（加运动学的补充方程）
d [ J mvR ] M mg sin R dt

力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。
§12-1 质点和质点系的动量矩 一、质点的动量矩
1.对固定点O的动量矩
M O (mv ) r mv
i j k z mvz x mv x y mv y
定义：质点的动量对固定点的矩——定位矢量
质点系的动量矩定理:质点系对某定点O的动量矩对时 间的导数,等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的 矢量和。（外力对定点O的主矩）。
投影式:
(e) dLx M x ( Fi ) dt
dLy dt
(e) M y ( Fi )
(e) dLz M z ( Fi ) dt
M z ( F ) M o ( Fxy ) Fxy h
三、力对点的矩矢与力对过该点的轴的矩的关系
MO MO M O

F F F
yFz zF y M x F x zFx xFz M y F y xFy yFx M z F z
mi ( x12 y1 ) 2d mi y1 d 2 mi
2
因为
m i y1 yC 0 mi
dω n 即 Jz M z Fi 12 11 dt i 1 ＇ 或 J z α M z Fi 12 11
２
或 Jz
d M F dt
２
z i
12 11
＇＇
刚体绕定轴的转动微分方程
转动惯量 J z ：刚体转动惯性的度量，体现了刚 体转动状态改变的难易程度。 类比：
4.回转半径（惯性半径）
z
Jz m
或
J z m
2 z
回转半径的几何意义：假想地将物体的质量集中到 一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点 到轴的距离就等于回转半径的长度。 对于几何形状相同的均质物体，其回转半径公式相 同（物质组成可不同）。
三、平行轴定理
刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质 心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积，即
2
称初相位，由初始条件确定.
T mga 测定转动惯量的一种方法 JO 4 2
例12-6：已知 J O ,0 , FN , R 动滑动摩擦系数 f ， 求制动所需时间 t . 解：以轮为研究对象。作用于轮 上的力除 FN 外，还有摩擦力F和 重力、轴承约束力。取逆时针方 向为正，刚体的转动微分方程为