群论课后答案

群论课后答案

【篇一：群论习题】

概念

*1.1下列定义了乘法运算的集合，哪些构成了群，哪些不构成群，并说明理由。

（1）在复数加法下全体复数的集合

（2）在矩阵乘法下所有幺正矩阵的集合

（3）在数的减法下所有整数的集合

（4）在数的乘法下所有正实数的集合

提示：任二群元a和b：a?b?a?e?b?a??a?b?2?b?b?a。

1.3验证矩阵集合：

??10??0??2???,,?????2?01??0???0????0??01??0?2??0?,? ?,?2?,?10????0???????????其中?，0??????ei2?3在矩阵

乘法下构成群，并且与d3群同构。

提示：先写出该集合的乘法表，便可证得其自封闭性，并能找每个元素的逆元和单位元。再和d3群的乘法表对比就可发现同构关系。

1.4验证集合

????1?????1??21????????????i??,?c???c,c为光速在乘法l?l??l?,????12332?112??2????2?c1???c??c2之下构成abel群（注：改群成为lorentz群）

提示：只需证明?c??3?c条件成立，则l??3?也必属于该集合，得到

??0时l(0)对应单位元，的集合的封闭性。?3中的?2和?1的地位对称，

所以l??1?l??2??l??2?l??1?。

*1.5证明群的任何两个左陪集或者完全相等，或者没有任何公共元素。

1.6证明有限群g的非空子集h为子群的充要条件是：若a,b∈h，则ab∈h。提示：易证必要条件成立，证充分条件时，要用到：

c=a,c=b则cc∈h，进而cm∈h（m为正整数）。

*1.7证明指数为2的子群必是正规子群。

提示：先要理解子群指数这一概念

*1.8证明群阶为质数的有限群必为abel群，并且必为循环群。提示：证明中须用到子群的阶是该群的阶的因子，每一类中元素的数

目也必为该群阶的因子，以及单位元自成一类等定理和推论。

1.9如果h是群g的正规子群，而n又是h的正规子群，那么是否

n也一定是g的正规子群？

提示：不一定是，例如，考虑c4v ，c2v和{e mx}三群的关系。

*1.10设h是g的子群，证明a和b同属于h的同一个左陪集的充

要条件是a?1b?h。

1.11证明h是g的正规子群的充要条件是：h整类地包含g的元素。提示：见课堂笔记或见徐、喀书p26之证明。

1.12若群g 和g’同态，则阶较大的群g中与阶较小的群g’的单位元e’对应的那些元素，称为这一同态关系的同态核，记作p 。证明：p

是g的正规子群。

提示：见徐、喀书p29证明。

*1.13设h是g的子群，对于任一元素g?g，证明集合ghg-1={ghg-1, h?h}也是g的子群。（该群称为h的共轭子群）

1.14证明四阶群只有两种，一种是循环群，另一种是非循环的abel 群。

提示：写出四阶群所有可能的乘法表，见笔记。

1.15证明直积群的两个直积因子群必为直积群的正规子群。

1.16证明直积群g?ga?gb的类的数目等于直因子群ga和gb的类

的个数的乘积。

提示：见徐、喀书p31或课堂笔记。

1.17证明：（1）群的单位元核逆元都是唯一的。

（2）设f和g是群的任二元素，则?f?g??1?g?1?f?1

1.18证明：二阶循环群与四阶循环群同态。

1.19设直积群g=h?n 证明：（a）g共轭类数等于h和n的共轭类

数的乘积。

（b）n?g h

(c)g∽h g∽n

第二章群的表示理论

2.1 为什么对于任一群都有单位表示做为其一种不可约表示。

提示：一维的单位表示对应平庸群{1}。该群和任一群有同态表示。

*2.2 证明有限群任何一维表示的表示矩阵的模必为1。

*2.3 证明除恒等表示外，有限群的任一不可约表示的特征标对群元

素求和为零。

提示：利用不可约表示特征标的正交性关系，并令其中一个表示为

单位表示。

2.4 对有限群的某一表示的所有表示矩阵都乘以同一常数后组成的矩阵集合是否还能构成该群的一个表示。

2.5 dj是有限群g的一个不可约表示，证明：g中同一类元素在dj

上的表示矩阵之和必为单位矩阵的常数倍。

提示：直接利用舒尔引理可证。

*2.6求d 3群在三维实空间上的矩阵表示，三维实空间的基矢为

(e1,e2,e3)并判断该表示是否是不可约表示。

提示：利用gei??ejdji，g是d 3群的群元，它可以变换3个基矢。 j?????

??22u(r)u(r2.7某线性空间的基函数为{1=x?y,2)=2xy}，该空间是

否构

成c3v群的封闭性空间？

提示：见教材《群及其表示》p49之相关论述。

??u(r)u(r*2.8某线性空间的两基函数为{1=sinx,2)=siny}。该空间

是否

构成c2v的封闭性空间，如果是，给出c2v的相应表示矩阵，并判

断该

表示是否可约。(设c2v的主轴沿z方向)。

*2.9求c4v群在线性空间{u1=x2, u2=y2, u3=2xy}上的表示，并判

断该表示是否可约，如果可约，写出其约化形式。（c4v的主轴沿z

轴方

向）。

提示：利用可约表示的约化式aj=

不可约表示。

2.10 群g的两个表示为da 和db，对于g中任一元素a，取它在

da和db表示中的表示矩阵的直积，即d(a)=da(a)?db(a)。则对于

每一群元d组成一个新的矩阵集合，证明：d也是g的一个表示。（提示：见徐、喀书p107之证明）

2*2.11 c3h群是c3群{e，}和c1h={e，即c3h=c3?c1hc3，?n}的

直积群，c31?(r)?j(r)?求出该表示含有哪些?gr

求c3h的所有不可约表示的特征标系。（提示：见笔记）