数学分析三试卷及答案(新)

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准

一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

1.

求函数11

(,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

解：

11

(,)f x y y x =

=，

因此二重极限为0.……(4分)

因为011x y x →+

与011

y y x

→+均不存在，

分)

2. 分别

分)

分)

3. 设μ,(,),,22

y z w w e μνμν====

。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得：

2222w w

w μμν

??+

=???。 ……(9分)

4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中

目标函数: 222S rh r ππ=+表,

约束条件: 21r h π=。 ……(3分) 构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

令 2

2420,20.r h

F h r rh F r r πππλππλ=++=??=+=? ……(6分) 解得2h r =

，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在，当底面半

径为r =

高为h =时，制作圆桶用料最省。 ……(9分)

5.

3

2

y (F '分)

分) 6. ) 则

)

22

2

20

sin cos a b d c π

θθθ=

?

222

2a b c =. ……(9分)

7. 计算曲线积分352L

zdx xdy ydz +-?,其中L 是圆柱面221x y +=与平面

3z y =+的交线（为一椭圆），从z 轴的正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面3z y =+上由曲线L 所围的部分作为Stokes 公式中的曲面∑，定向为上侧，则∑的法向量为

(

)cos ,cos ,cos 0,αβγ?

= ?

。 ……(3分)

由Stokes 公式得

352L

zdx xdy ydz +-?cos cos cos 352dS x y z z x y αβγ∑???

=???-??

dS ∑

= ……(6分)

=??

)

∑

??

)

)

二. 9.（9可偏导性和可微性.

解：连续性：当220x y +≠时，

2242424

()022

xy x y y y

f x y x y x y +=?≤?=→++，当()(),0,0x y →， 从而函数在原点()0,0处连续。 ……(3分)

可偏导性：()()()

00,00,00,0lim

0x x f x f f x

?→+?-==?，

()0,0y f ()()

00,00,0lim

0y f y f y

?→+?-==?，

即函数在原点()

0,0处可偏导。……(5分)

3

f f x f y

?-?-?

=不存在，

从而函数在原点()

0,0处不可微。……(9分) 10.（9分）（9分）设()

,

F x y满足：

（1）在()

{}

00

,,

D x y x x a y y b

=-≤-≤上连续，

（2）()

00

,0

F x y=，

（3）当x固定时，函数

,

F x y是y的严格单减函数。

2）知(F

取δ=

) 而(),

F x y关于y严格单减，从而使(),

F x y＝0的y是唯一的。再由x的任意性，

证明了对:

δ

I=

(,)

O xδ内任意一点，总能从(),0

F x y=找到唯一确定的y与x相对应，即存在函数关系:f x y

→或()

y f x

=。此证明了隐函数的存在性。

……(6分) （ii）下证隐函数()

y f x

=的连续性。

设

*

x是:

δ

I=

(,)

O xδ内的任意一点，记()

**

:

y f x

=。

对任意给定的0

ε>，作两平行线

*

y yε

=-，

*

y yε

=+。

由上述证明知

()**,0F x y ε->， ()**,0F x y ε+<。 由(),F x y 的连续性，必存在*x 的邻域*(,)O x δ使得

()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<， *(,)x O x δ?∈。

对任意的*(,)x O x δ∈，固定此x 并考虑y 的函数(),F x y ，它关于y 严格单减且

()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<。 于是在()**,y y εε-+内存在唯一的一个零点y 使

(),0F x y =，

即 对任意的*(,)x O x δ∈，它对应的函数值y 满足*y y ε-<。这证明了函数

(y f =11.（

)

]24n ππ?

+??

)

分) 分) 尽管对任意的1B >积分1sin B tdt ?一致有界，且函数21

t

α-关于x 单调，但是当

x →+∞时，21

t α-关于()0,2α∈并非一致趋于零。事实上，取,t n = 相应地取

12n

α=-，则112111

lim lim 10lim t n n n

n t n n α-→∞→∞→∞

===>，并非趋于零。