高中数学同步讲义必修一——第一章 1.2 1.2.1 函数的概念

§1.2函数及其表示

1.2.1函数的概念

学习目标 1.理解函数的概念.2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号．

知识点一函数的有关概念

函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法y＝f(x)，x∈A

定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域

值域函数值的集合{}

f(x)|x∈A叫做函数的值域

特别提醒：对于函数的定义，需注意以下几点：

①集合A，B都是非空数集；②集合A中元素的无剩余性；③集合B中元素的可剩余性，即集合B不一定是函数的值域，函数的值域一定是B的子集．

知识点二函数相等

一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．

特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．

知识点三区间

区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：

定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]

{x|a

{x|a≤x

{x|a

{x|x≥a}[a，＋∞)

{x|x>a}(a，＋∞)

{x|x≤a}(－∞，a]

{x|x

R(－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值

特别提醒：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．

②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．

正方形可以作为某个函数的定义域．(×)

1．集合A＝{}

2．若1∈A，则对于f：A→B，f(1)可能不存在．(×)

3．对于函数f：A→B，当x1>x2∈A，可能有f(x1)＝f(x2)．(√)

4．区间不可能是空集．(√)

类型一函数关系的判断

命题角度1给出三要素判断是否为函数

例1判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．

(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；

(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；

(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；

(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.

考点函数的概念

题点判断两个变量是否为函数关系

解(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．

(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．

(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．

(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．

反思与感悟判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：

(1)A，B必须是非空数集；

(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；

(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．

跟踪训练1下列对应是从集合A到集合B的函数的是()

A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→1

|x|

B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|

C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2

D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→x

考点函数的概念

题点判断两个变量是否为函数关系

答案 C

解析A中，x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中，当x＝1时，绝对值|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应．

命题角度2给出图形判断是否为函数图象

例2下列图形中不是函数图象的是()

考点函数的概念

题点函数概念的理解

答案 A

解析A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义．

反思与感悟判断一个图象是否为函数图象的方法，作任何一条垂直于x轴的直线，不与已知图象有两个或两个以上的交点的，就是函数图象．

跟踪训练2下列图形中，不能确定y是x的函数的是()

考点 函数的概念 题点 函数概念的理解 答案 D

解析 任作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，结合选项可知D 不满足要求，因此不表示函数关系． 类型二 已知函数的解析式，求其定义域 例3 求下列函数的定义域． (1)y ＝3－1

2x ；

(2)y ＝2x －1－7x ； (3)y ＝(x ＋1)0

x ＋2；

(4)y ＝2x ＋3－

12－x ＋1

x

. 考点 函数的定义域 题点 求具体函数的定义域 解 (1)函数y ＝3－1

2

x 的定义域为R .

(2)由⎩

⎪⎨⎪⎧

x ≥0，1－7x ≥0，得0≤x ≤17，

所以函数y ＝2x －1－7x 的定义域为]7

1,0[. (3)由于0的零次幂无意义， 故x ＋1≠0，即x ≠－1. 又x ＋2>0，即x >－2， 所以x >－2且x ≠－1.

所以函数y ＝(x ＋1)0

x ＋2的定义域为{}x | x >－2且x ≠－1.

(4)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪

⎧

2x ＋3≥0，2－x >0，

x ≠0，

解得－3

2≤x ＜2，且x ≠0，

所以函数y ＝2x ＋3－

12－x ＋1

x 的定义域为}0,22

3|{≠<≤-x x x 且. 反思与感悟 求函数定义域的常用依据