圆锥曲线大题专题训练[答案和题目]

圆锥曲线大题专题训练

1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式

（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值．

1.解：

（Ⅰ）由题意知，(A a ．

因为OA t =，所以2

2

2a a t +=．由于0t >

，故有t （1） 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为

1x y

c t

+=． 又因点A 在直线BC

上，故有

1a c +=，将（1

）代入上式，得1a c =，

解得2c a =+

（Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为

1CD k =

===-．

所以直线CD 的斜率为定值．

2．设F 是抛物线2

:4G x y =的焦点．

（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；

（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r

g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求

四边形ABCD 面积的最小值．

2.解：（I ）设切点2

004x Q x ?? ???，．由2x

y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为

2000()42x x y x x -=-． 即2

04

24

x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上．

2x =

所以2044

x -=-，2

016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-．

（II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．

由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．

点A C ，的坐标满足方程组2

14y kx x y =+??

=?，

，

得2

440x kx --=，

由根与系数的关系知1212

44.x x k x x +=??

=-?，

24(1)AC k ===+．

因为AC BD ⊥，所以BD 的斜率为1k -

，从而BD 的方程为1

1y x k

=-+． 同理可求得22214(1)

41k BD k k ??+??=+-= ? ? ?????． 222

2218(1)18(2)322ABCD

k S AC BD k k k

+===++≥． 当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．

3．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．

3．解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系

O xy -（如图）

，则点C 的横坐标为x ． 点C 的纵坐标y 满足方程22

221(0)4x y y r r

+=≥，

解得)y x r =<<

1

(22)2

S x r =+g

2()x r =+{}

0x x r <<．

（II ）记222

()4()()0f x x r r x x r =+-<<，

，

则2

()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得12

x r =． 当02r x <<

时，()0f x '>；当2r

x r <<时，()0f x '<，所以12f r ??

???

是()f x 的最大值． 因此，当1

2

x r =

时，S

2=．

即梯形面积S

2

． 4．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程

为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程；

（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；

（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 外接圆外切，求动圆P 的圆心

轨迹方程．

4.解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点

(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．

（II ）由36032=0x y x y --=??++?

，

解得点A 的坐标为(02)-，，

因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．

又AM ==ABCD 外接圆方程为2

2

(2)8x y -+=．

（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，

所以PM PN =+

PM PN -=

故点P 的轨迹是以M N ，

为焦点，实轴长为

因为实半轴长a =

2c =

．所以虚半轴长b ==

从而动圆P

的圆心的轨迹方程为22

1(22

x y x -=≤．

5．已知函数y kx =与22(0)y x x =+≥的图象相交于11()A x y ，，22()B x y ，，1l ，2l 分别是2

2(0)y x x =+≥的图象在A B ，两点的切线，M N ，分别是1l ，2l 与x 轴的交点． （I ）求k 的取值范围；

（II ）设t 为点M 的横坐标，当12x x <时，写出t 以1x 为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （III ）试比较OM 与ON 的大小，并说明理由（O 是坐标原点）．

5．解：（I ）由方程2

2

y kx y x =??

=+?，消y 得2

20x kx -+=．

①

依题意，该方程有两个正实根，

故212

800k x x k ??=->?+=>?，，

解得k >

（II ）由()2f x x '=，求得切线1l 的方程为1112()y x x x y =-+，

由2

112y x =+，并令0y =，得11

12x t x =

- 1x ，2x 是方程①的两实根，且12x x <

，故12k x -==

k > 1x 是关于k 的减函数，所以1x

的取值范围是(0．

t 是关于1x

的增函数，定义域为(0，所以值域为()-∞，0，

（III ）当12x x <时，由（II ）可知11

1

2x OM t x ==-

+． 类似可得2212x ON x =

-．121212

2x x x x OM ON x x ++-=-+． 由①可知122x x =．从而0OM ON -=．

当21x x <时，有相同的结果0OM ON -=．所以OM ON =．

6．如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ．

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M

（1）已知1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r

，求12λλ+的值；

（2）求MA MB u u u r u u u r

g 的最小值．

6.解：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r

g

g 得： (10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--g g ，，，，，化简得2:4C y x =．

（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．

设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ?

?-- ???

，

， 联立方程组241y x x my ?=?=+?，，

，消去x 得：2440y my --=，2

(4)120m ?=-+>，

121244y y m y y +=??

=-?，

． 由1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r

得：

1112y y m λ+=-，2222

y y m

λ+=-，整理得：

1121my λ=--

，22

2

1my λ=--， 12122112m y y λλ??∴+=--

+ ?

??

121222y y m y y +=--g 2424m

m =---g 0=． 解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =u u u r u u u r u u u r u u u r g

g 得：()0FQ PQ PF +=u u u r u u u r u u u r

g ， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+=u u u r u u u r u u u r u u u r

g ，

22

0PQ PF ∴-=u u u r u u u r ， PQ PF ∴=u u u r u u u r ．

所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：2

4y x =．

（Ⅱ）（1）由已知1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r

，得120λλ

． 则：12MA AF MB BF

λλ=-u u u r u u u r u u u r u u u r ．…………①

过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，

则有：11MA AA AF

MB BB BF

==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．…………②

由①②得：12AF

AF BF BF

λλ-=u u u r u u u r

u u u r u u u r ，即120λλ+=．

（Ⅱ）（2

）解：由解法一，2

12M M MA MB y y y y =

--u u u r u u u r

g

22

1212(1)()M M

m y y y y y y =+-++ 2224(1)44m m m m =+-+

?+224(1)4m m ?

?=++ ??

?

2214(2)4216m m ?=++

+= ?

≥． 当且仅当2

21

m m

=，即1m =±时等号成立，所以MA MB u u u r u u u r g 最小值为16．

7．在平面直角坐标系xOy

，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆

22

219

x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；

（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 7.解：（1）圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；

（2）由条件可知a=5，椭圆22

1259

x y +=，∴F （4，0），若存在，则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、

Q 关于直线CF 对称；

直线CF 的方程为y-1=1(1)3x --,即340x y +-=，设Q （x,y ），则3340

22y

x x y ?=????+-=??，解得45

125x y ?=????=??

所以存在，Q 的坐标为412

(,)55

。

8．在平面直角坐标系xOy

中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；

（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r

共线？如

果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

8．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+

代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ??

+++= ???

① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2

221844202k k k ??

?=-+=->

???

，

解得2k <-

或2k >．即k 的取值范围为22???--+ ? ?????

U ，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r

，，

由方程①，122

12x x k +=-

+． ② 又1212()y y k x x +=++ ③

而(01)(A B AB =u u u r

，，．

所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r

共线等价于1212)x x y y +=+，

将②③代入上式，解得2

k =

．

由（Ⅰ）知2k <-

或2

k >，故没有符合题意的常数k ． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2

2

12320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交

于不同的两点A

B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB +u u u r u u u r 与PQ uuu r

共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

9．解：（Ⅰ）圆的方程可写成22

(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代

入圆方程得2

2

(2)12320x kx x ++-+=， 整理得2

2(1)4(3)360k x k x ++-+=． ①

直线与圆交于两个不同的点A

B ，等价于 2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ?=--?+=-->，

解得304k -

<<，即k 的取值范围为304??

- ???

，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++u u u r u u u r

，，

由方程①，122

4(3)

1k x x k

-+=-

+ ② 又1212()4y y k x x +=++． ③ 而(02)(60)(62)P Q PQ =-u u u r

，，

，，，． 所以OA OB +u u u r u u u r 与PQ uuu r

共线等价于1212()6()x x y y +=+，

将②③代入上式，解得34

k =-

． 由（Ⅰ）知304k ??∈ ???

，

，故没有符合题意的常数k ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线2

2x py =（0p >）相交于A B ，两点． （I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；

（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．

10.解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，

直线AB 的方程为y kx p =+，与2

2x py =联立得22x py y kx p ?=?=+?，．

消去y 得22220x pkx p --=．

由韦达定理得122x x pk +=，2

122x x p =-．

于是12122

ABN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．

12p x x =-=

2p ==，

x

∴当0k =

时，2min ()ABN S =△．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，

AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，

则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +??

???

，．

12O P AC '=

==∵， 111

222

y p O H a a y p +'=-

=--， 222

PH O P O H ''=-∴22

1111()(244y p a y =+---1()2p a y a p a ?

?=-+- ??

?，

2

2(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ????=-+- ???????

．

令02p a -

=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

p

y =， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

12AB x =-==

2=

又由点到直线的距离公式得d =

．

从而1

12222

ABN S d

AB p ===△···

∴当0k =时，2min ()ABN S =△．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为

11(0)()()()0x x x y p y y -----=，

将直线方程y a =代入得2

11()()0x x x a p a y -+--=，

则2

1114()()4()2p x a p a y a y a p a ???

?=---=-

+- ???????

△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，

则有34PQ x x =-==

令02p a -

=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

p

y =， 即抛物线的通径所在的直线．

11．已知双曲线2

2

2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．

（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++u u u u r u u u r u u u r u u u r （其中O 为坐标原点）

，求点M 的轨迹方程； （II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA u u u r ·CB u u u r

为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．解：由条件知1(20)F -，

，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． 解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)FM x y =+u u u u r ，，111(2)F A x y =+u u u r

，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=u u u r u u u r ，，，，由1111FM F A F B FO =++u u u u r u u u r u u u r u u u r 得 121226x x x y y y +=++??

=+?，即12124x x x y y y

+=-??+=?，

于是AB 的中点坐标为422x y -??

??

?，． 当AB 不与x 轴垂直时，1212

24822

y

y y y x x x x -==

----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22

222x y -=，两式相减得

12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．

将1212()8

y

y y x x x -=

--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，

，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是2

2

(6)4x y --=．

（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，

，使CA CB u u u r u u u r

g 为常数．

当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2

2

2x y -=有2

2

2

2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，212242

1

k x x k +=-，

于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--u u u r u u u r

g

22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++

22222222

(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222

22

2(12)2442(12)11

m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB u u u r u u u r g

是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB u u u r u u u r g =1-． 当AB 与x 轴垂直时，点A B ，

的坐标可分别设为(2

，(2-，，

此时(1(11CA CB ==-u u u r u u u r

g

g ，． 故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB u u u r u u u r

g

为常数． 解法二：（I ）同解法一的（I ）有1212

4x x x y y y +=-??+=?，

当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2

2

2x y -=有2

2

2

2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2

12241

k x x k +=-．

21212244(4)411

k k

y y k x x k k k ??+=+-=-= ?--??．

由①②③得22441k x k -=-．…………④ 241

k

y k =-．……………⑤

当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，

4

x k y

-=，将其代入⑤有

222

2

4

44(4)(4)(4)1x y x y y x x y

y -?

-==----．整理得22

(6)4x y --=． 当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．

当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是2

2

(6)4x y --=．

（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB u u u r u u u r

g

为常数， 当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，212242

1

k x x k +=-．

以下同解法一的（II ）．

12．已知双曲线2

2

2x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是(10)，．

（I ）证明CA u u u r ·CB u u u r

为常数；

（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++u u u u r u u u r u u u r u u u r （其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．

12．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．

（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，

的坐标分别为(2

，(2，，

此时(1(11CA CB ==-u u u r u u u r

g

g ，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2

2

2x y -=，有2

2

2

2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，212242

1

k x x k +=-，

于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--u u u r u u u r

g

2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++

2222222

(1)(42)4(21)4111

k k k k k k k +++=-++--22

(42)411k k =--++=-． 综上所述，CA CB u u u r u u u r

g

为常数1-．

（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-u u u u r ，，11(1)CA x y =-u u u r

，，

22(1)CB x y =-u u u r

，，(10)CO =-u u u r ，

，由CM CA CB CO =++u u u u r u u u r u u u r u u u r 得： 121213x x x y y y -=+-??

=+?，即12122x x x y y y

+=+??+=?，

于是AB 的中点坐标为222x y +??

??

?，． 当AB 不与x 轴垂直时，1212

22222

y

y y y x x x x -==

+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22

222x y -=，两式相减得

12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．

将1212()2

y

y y x x x -=

--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是2

2

4x y -=．

解法二：同解法一得12122x x x y y y

+=+??

+=?，

……………………………………①

当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有2

12241

k x x k +=-．…………………②

21212244(4)411

k k

y y k x x k k k ??+=+-=-= ?--??．………………………③

由①②③得22421k x k +=-．………④ 241

k

y k =-．……………⑤

当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，

2

x k y

+=，将其代入⑤有 222

2

2

44(2)(2)(2)1x y x y y x x y

y +?

+==++--．整理得22

4x y -=．

当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．

当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22

4x y -=．

13．设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在

常数(01)λλ<<，使得2

12sin d d θλ=．

（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；

（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的

范

围，使

OM ON =0u u u u r u u u r g ，其中点O 为坐标原点．

13．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，

2212124()4sin d d d d θ=-+

，即122d d -==<（常数），

故点P 的轨迹C 是以A B ，

为焦点，实轴长2a =的双曲线．

方程为：

22

11x y λλ

-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，

①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．

即

211111012λλλλλ-±-=?+-=?=-，因为01λ<<

，所以1

2

λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．

由22

11(1)x y y k x λλ?-=?-??=-?

得：2222

(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ??--+---+=??

， 由题意知：2(1)0k λλ??--≠??，

所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122

(1)()

(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22

2

12122

(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．

y

因为0OM ON =u u u u r u u u r

g

，且M N ，在双曲线右支上，所以

2121222

122212(1)0(1)21011310

01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-?+=?-?=?>???+-+>???<<+--???

???>+->>???-?

．

2

3

λ<． 14．已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线2

2y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB △的内接圆（点C 为圆心）

（I ）求圆C 的方程；

（II ）设圆M 的方程为2

2

(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线PE PF ，，

切点为E F ，，求CE CF u u u r u u u r

g

的最大值和最小值． 14.（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ?? ???，，2

222y y ??

???

，，由题设知

== 解得22

1212y y ==，

所以(6A

，(6B -，

或(6A -，

，(6B ． 设圆心C 的坐标为(0)r ，，则2

643

r =

?=，所以圆C 的方程为 22(4)16x y -+=． ······················································································· 4分

解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知

22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，2222y x =，可得22112222x x x x +=+．

即1212()(2)0x x x x -++=．

由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．

设C 点的坐标为(0)r ，

，则A

点坐标为32r ??

? ???

，于是有2

3222r r ??=? ? ???，解得4r =，所以圆C 的方程为22(4)16x y -+=． ······················································································· 4分

（II ）解：设2ECF a ∠=，则

2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ． ·································· 8分

在Rt PCE △中，4

cos ||||

x PC PC α=

=，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，

所以12cos 23α≤≤，由此可得 16

89CE CF --u u u r u u u r g ≤≤．

则CE CF u u u r u u u r g

的最大值为16

9

-，最小值为8-． 15.已知椭圆22

132

x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．

（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：22

00

132

x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．

15.证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c =

=，

由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22

001x y +=，

所以，2222

00021132222

y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22

132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．

设11()B x y ，，22()D x y ，，则

2122632k x x k +=-+，212236

32

k x x k -=+

12BD x x =-==g ；

因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1

k

-

，

所以，2211132k AC k

?+?

??==?+ 四边形ABCD 的面积

222222222124(1)(1)962(32)(23)25

(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++??+++????

g ≥．

当2

1k =时，上式取等号．

（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为

9625

． 16．在直角坐标系xOy 中，以O

为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；

（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB u u u r u u u r

g 的取值范围．

16．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O

到直线4x =的距离，

即

2r =

=． 得圆O 的方程为224x y +=． （2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，

，，．由24x =即得

(20)(20)A B -，，，．

设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得

22x y =+， 即 222x y -=．

(2)(2)PA PB x y x y =-----u u u r u u u r

g g ，， 22242(1).x y y =-+=-

由于点P 在圆O 内，故22

22

42.

x y x y ?+

1y <． 所以PA PB u u u r u u u r

g 的取值范围为[20)-，

． 17.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，

由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2

2

2

3b a c ∴=-=．

∴椭圆的标准方程为22

143

x y +

=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.4

3y kx m x y =+??

?+=??，

得2

2

2

(34)84(3)0k x mkx m +++-=，

222222122

21226416(34)(3)03408344(3)

.34m k k m k m mk x x k m x x k ?

??=-+->+->?

?

+=-?+?

?-=

?+?

g ，即，则， 又222

2

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，

因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，，

1AD BD k k ∴=-，即

1212122

y y

x x =---g ， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=，

222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k

--∴+++=+++， 2291640m mk k ∴++=．

解得：

12m k =-，227

k m =-

，且均满足22

340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，

，与已知矛盾； 当227k m =-

时，l 的方程为27y k x ??=- ???，直线过定点207?? ???

，

．

所以，直线l 过定点，定点坐标为2

07?? ???

，

． 18．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，坐标原点O 到直线l

，求AOB △面积的最大值． 18．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c

，依题意3c a a ?=?

??=?

1b ∴=，∴所求椭圆方程为2

213

x y +=．

（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥

轴时，AB ． （2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+．

=

2

23(1)4m k =+．

把y kx m =+代入椭圆方程，整理得2

2

2

(31)6330k x kmx m +++-=，

122

631

km

x x k -∴+=+，2122

3(1)31m x x k -=+． 2

2

2

21(1)()AB k x x ∴=+-2222

222

3612(1)(1)(31)

31k m m k k k ??

-=+-??++?? 222222222

12(1)(31)3(1)(91)

(31)(31)k k m k k k k ++-++==++

24222121212

33(0)34196123696k k k k k k

=+=+≠+=++?+++≤．

当且仅当2

2

1

9k k

=

，即k =时等号成立．当0k =

时，AB = 综上所述max 2AB =．

∴当AB 最大时，AOB △

面积取最大值max 12S AB =

?=． 19.设1F 、2F 分别是椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.

19.解：

（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===

所以(

))

12

,F F ，设(),P x y ，则

(

))

2212,,

,3PF PF x y x y x y ?=--=+-u u u r u u u u r

()22

21

133844

x x x =+--=-

因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ?u u u r u u u u r

有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ?u u u r u u u u r 有最大值1

解法二：易知2,1,a b c ===

(

))

12

,F F ，设(),P x y ，则

22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-?=??∠=???u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r

(

(2

2

222211232x y x y x y ?

?=

+++-=+-???

?

（以下同解法一）

（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，

联立22

2

1

4

y kx x y =-???+=??，消去y ，整理得：22

14304k x kx ??+++= ??? ∴12122

2

43,114

4

k x x x x k k +=-

?=

+

+

由()2

2

14434304k k k ???=-+

?=-> ?

?

?

得：2k <

或2k >- 又0

0090cos 000A B A B OA OB <∠??>u u u r u u u r