6第六章频率域图像增强解析

n 1
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1

2 1 T1
n1
7
直流 系数
余弦分量 系数
1 a0 T1

t 0 T1
t0
f (t ).dt
2 t0 T1 an f (t ).cos n1t.dt T1 t0
2 bn T1
正弦分量
系数

t0 T1
t0
f (t ).sin n1t.dt
rk WN WN 2 2 r (k N ) 2
N 都是 2

一维傅里叶变换及其反变换
设 x：空间变量（实变量） f(x)：实变量x的连续函数 u：频率变量（实变量）
F(u)：频率函数（有实部和虚部）
傅里叶正变换为：
F u


f x e
j 2 u x
dx
若已知F(u), 则利用傅里叶反变换，可求得f(x)
f x F u e
1 cos nx 1 cos nx 2 1 cos nπ π n π π nπ n 0
1 0 1 π (1)sin nx d x 1 sin nxdx 0 π π π π 0
2 1 (1) n nπ
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n ,
a0 (an cos n x bn sin n x ) 2 n 1
得函数项级数
称上述形式的级数为三角级数.
三角函数的傅里叶级数:
6
f1 (t ) a0 (an cosn1t bn sin n1t )
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它
6.1频率域介绍

频域图像增强是指通过对图像进行傅立叶变换， 将图像从空间域变换到频域，并对图像的频率 成分进行相应处理，从而实现图像增强的功能； 傅立叶变换是频域图像增强的基础工具； 通过傅立叶变换重建可以不丢失任何信息；


6.2背景
6.2.3傅里叶变换和频率域的介绍
移中性
DFT取的区间是[0,N-1]，在这 个区间内频谱是由两个背靠背的 半周期组成的
要显示一个完整的周期， 必须将变换的原点移至 u=N/2点。

图像移中后进行傅里叶变换，则变换后主要能量（低频分 量）集中在频率平面的中心（M/2,N/2）；

DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上； 如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的 平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。

离散形式：
M 1 1 M x 0

j 2 u x
du
j 1
F(u )
f ( x) e
j 2 u x / M
u 0,1,2,, M 1
f ( x)
M 1 u 0
j 2 u x / M F ( u ) e
x 0,1,2,, M 1
例：两个简单一维函数的傅里叶谱
dxdy
反变换:
f ( x, y)


j 2 ( ux vy )
dudv
变换对:
f ( x, y) F (u, v)
定义: 若f(x,y)是离散图像函数（尺寸M*N）
正变换:
1 F (u, v) MN
M 1 N 1

x 0 y 0
f ( x, y ) e j 2 (ux / M vy / N )
nk 2 rk k 2 rk x(n)WN x(2r )(WN ) WN x ( 2 r 1 )( W N ) , (3.2 1) n 0 r 0 r 0 N 1 N 1 2 N 1 2
2）按时间抽取的FFT算法
由于
j 2
则上式(3.2-1)可表示成
§6.2.4直接计算DFT的问题及改进途 径
设x(n)为N点有限长序列，其DFT为
X (k )
nk x ( n ) W 1,...N 1 ，（ 3.1 1 ） N , k 0, n 0 N 1
nk 都是复数，X(k)也是复数， 一般来说，x(n)和wN 因此每计算一个X(k)值，需要N次复数乘法以及 （N-1)次复数加法。而X(k)一共有N个点，所以 完成整个DFT运算总共需要 N 2 次复数乘法及 N(N-1)次复数加法。
2）按时间抽取的FFT算法
N 式中G ( k ) 及 H (k ) 分别是 x1 (r ) 及 x2 (r ) 的 2
点DFT
G(k )
rk x ( 2 r ) W 3.2 4） N ，（ r 0 2
N 1 2
H (k )
rk x ( 2 r 1 ) W 3.2 5） N ，（ r 0 2
F (u, v) R(u, v) jI (u, v) F (u, v) e
幅度谱:
j ( u ,v )
F (u, v) R (u, v) I (u, v)
2 2
相位谱:
I (u, v) (u, v) tg R(u, v)
1
功率谱：
P(u, v) R 2 (u, v) I 2 (u, v)
1）直接计算DFT的问题及改进途径
N 4 时
共需16次乘法，12次加法。
1）直接计算DFT的问题及改进途径
由于一次复数乘法需用四次实数加法；一次复数 加法则需二次实数加法。因此每运算一个X(k)需 要4N次实数乘法及2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加 法。所以整个DFT运算总共需要 4 N 2 次实数乘法和 次加法。 N 2(2 N 1) 2 N (2 N 1) 例如：N=1024时，DFT需要复乘1,048,576次。所 以，直接计算DFT对实时性很强的信号处理来说， 对计算速度要求是太高了。

0,
当n 2 , 4 , 6 ,
4 1 1 sin( 2k 1) x f ( x) sin x sin 3x 3 2k 1 π ( x , x 0 , π , 2π , )

4 sin 3x sin 5 x sin 7 x sin 9 x f ( x) sin x ] 5 7 π 3 9
第六章 频率域图像增强
为什么要在频率域研究图像增强
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域 表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试 验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
1 , π x 0 f ( x) 1, 0 x π
将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 先求傅里叶系数
1
y
π Oπ
1
x
1 0 1 π (1) cos nx d x 1 cos nx d x π π π 0 0 ( n 0 , 1 , 2 , )
傅立叶分析

周期函数可以表示为不同频率
的正弦和/或余弦和的形式（傅
立叶级数）

非周期函数可以用正弦/或余弦 乘以加权函数的积分来表示 （傅立叶变换）
§6.2.1傅立叶级数.
简单的周期运动 :
( A为振幅, 复杂的周期运动 :
(谐波函数)
为角频率,
φ为初相 )
An sin n cos n t An cos n sin n t
nk N
k ( N n ) N
W ，（ 3.1 5）
nk N
nk 2、 的对称性 WN N 因为 W 2 1 ，于是得到
W
( nk
N ) 2
W nk，（ 3.1 6）
1）直接计算DFT的问题及改进途径 这样，(1)利用这些特性，使DFT运算中有些项可 nk W 以合并；(2)利用 N 的对称性和周期性，可以将 长序列的DFT分解为短序列的DFT。前面已经说 过，DFT的运算量与N 2 成正比，所以N越小越有 利。 快速傅立叶变换就是在这种思路下发展起来的。 下面将详细介绍。
2）按时间抽取的FFT算法
先设序列长度为N 2M ,M为整数。 M 将N 2 的序列x(n)(n=0,1,..,N-1),先按n的奇 x(2r ) x1 ( r ) 偶分成两组 x(2r 1) x2 ( r ) r=0,1,…, N 2 -1 则将DFT化为
X (k ) DFT[ x(n)]
N 1 2
由上式可以看出，一个N点DFT已分解为两个 N 2 点DFT。
2）按时间抽取的FFT算法
G(k ), H (k ) 但是， 点的序 x1 (r ), x2 (r ) 以及 列即r,k满足r,k=0,1…,N X (k ) 却有N点， 2 -1。而 而用上面的式子计算得到的只是 X (k ) 的前一 G(k ), H (k ) X (k ) 半项数的结果，要用 来表达全部的 值，还必须应用系数的周期性，即
１、当曲线下的面积在x域加倍时， 频率谱的高度也加倍。
２、当函数的长度加倍时，相同间 隔下频谱中零点的数量也加倍。
二维DFT及其反变换（2DFT）
定义: 若f(x,y)是连续图像函数
正变换:
F (u, v)



f ( x, y) e F (u, v) e
j 2 ( ux vy )

1 F (0,0) MN
M 1 N 1 x 0 y 0