结构力学朱慈勉第二版 第8章 矩阵位移法
合集下载
第八章-矩阵位移法(一)
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计 算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却 日益突出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几 十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 和结果分析上。
2019/1/14
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造 都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛 的重视。 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发 具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局 （NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的 NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前 世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。 目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、 价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的 PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、 BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。
2019/1/14
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
有限元分析技术的发展现状
由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例如：结构工程中的弹塑性分析（物理非线性）；索膜结构（几何非线性）。
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来 国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等 专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。 增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
结构力学第8章.
附加链杆（阻止结点线位移的约束） 引入附加的刚臂或附加链杆后，使得结构的结点变 成固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。所得的 结构即为位移法计算时的基本结构。 而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为 基本结构时，所附加的刚臂和附加链杆数目之和。这样 ，在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本 未知量的数目。如：
Z1 附加刚臂
基本结构
一个基本未知量
附加链杆 Z1 Z2
基本结构
Z2
Z3
Z1
两个基本未知量 三个基本未知量
基本结构
EA EA
பைடு நூலகம்
Z2
Z3
Z1
基本结构
三个基本 未知量
Z1
EA
EA
基本结构
Z2
两个基本 未知量
若：EA=？
0个基本 未知量
§8.3 等截面直杆的转角位 移方程（物理方程）
前面曾提到，位移法分析刚架的基本计算单元为单跨 超静定梁，因此，需事先知道这种梁在杆端位移和荷载作 用下的杆端内力情况。
1 约束刚臂使沿Z1方向上无转动，在荷载的作用下，此 时附加刚臂上将产生反力矩R1p，如图(c)所示。
2 使基本结构的 1 结点发生与原结构相同的转角Z1，此时 附加刚臂上的力矩为K11，如图(d)所示。
Z1 Fp
1
图(b) 基本结构
R1p Fp
1
=
图(c) 约束结点
K11
1
+
Z1
图(d) 放松结点
ui
FN ili EAi
(c)
Fp 图(a)
Fp
图(b)
i i ui
图(c)
ui sini (b)
Z1 附加刚臂
基本结构
一个基本未知量
附加链杆 Z1 Z2
基本结构
Z2
Z3
Z1
两个基本未知量 三个基本未知量
基本结构
EA EA
பைடு நூலகம்
Z2
Z3
Z1
基本结构
三个基本 未知量
Z1
EA
EA
基本结构
Z2
两个基本 未知量
若：EA=？
0个基本 未知量
§8.3 等截面直杆的转角位 移方程（物理方程）
前面曾提到，位移法分析刚架的基本计算单元为单跨 超静定梁，因此，需事先知道这种梁在杆端位移和荷载作 用下的杆端内力情况。
1 约束刚臂使沿Z1方向上无转动，在荷载的作用下，此 时附加刚臂上将产生反力矩R1p，如图(c)所示。
2 使基本结构的 1 结点发生与原结构相同的转角Z1，此时 附加刚臂上的力矩为K11，如图(d)所示。
Z1 Fp
1
图(b) 基本结构
R1p Fp
1
=
图(c) 约束结点
K11
1
+
Z1
图(d) 放松结点
ui
FN ili EAi
(c)
Fp 图(a)
Fp
图(b)
i i ui
图(c)
ui sini (b)
结构力学自测题(第八单元)矩阵位移法
A
q M
10kN/m 2EI 6m
y
l
y
M, x
l
七、图 a 所示结构，整体坐标见图 b，图中圆括号内数码为
结点定位向量(力和位移均按水平、 竖直、 转动方向顺序排列 )。求等效结点荷载列阵 PE 。(不考虑轴向变形)
于： A． 6 ； C．10 ；
20kN/m M1 1 Y1 2m 2 4m 3 y M, x
e
T K
e
。
(
)
二、选择题（将选中答案的字母填入括弧内） 1、已知图示刚架各杆 EI=常数，当只考虑弯曲变形，且各
杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正 确编号是：
是：
附：
EA l 0 0 EA l 0 0
0 12EI l 6 EI l 0 12EI l 6 EI l
2 3 2 3
0 6 EI
2
EA l 0 0 EA l 0 0
0 12EI l 6 EI l
2 3
l 4 EI l 0 6 EI l 2 EI l
(1,0,2) i 6m ② (0,0,0) 6m (a) y M, x (b) i ① (1,0,3)
1 3 1m 1m
y 5
M, x
十、试用矩阵位移法解图示连续梁，绘弯矩图。EI=已知常
数。
50 kN. m B EI 4m 20 kN C 2m D x M,
六、求图示结构的自由结点荷载列阵 P 。
A. 2(0,1,2) 1(0,0,0) 4(0,0,0) 3(0,1,3) C. 2(1,0,2) 1(0,0,0) 4(0,0,0) 3(1,0,3) 1(0,0,0) D. 2(0,1,2) 4(0,0,0) 1(0,0,0) B. 2(1,2,0) 4(0,0,0) 3(0,0,3) y M, x
q M
10kN/m 2EI 6m
y
l
y
M, x
l
七、图 a 所示结构，整体坐标见图 b，图中圆括号内数码为
结点定位向量(力和位移均按水平、 竖直、 转动方向顺序排列 )。求等效结点荷载列阵 PE 。(不考虑轴向变形)
于： A． 6 ； C．10 ；
20kN/m M1 1 Y1 2m 2 4m 3 y M, x
e
T K
e
。
(
)
二、选择题（将选中答案的字母填入括弧内） 1、已知图示刚架各杆 EI=常数，当只考虑弯曲变形，且各
杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正 确编号是：
是：
附：
EA l 0 0 EA l 0 0
0 12EI l 6 EI l 0 12EI l 6 EI l
2 3 2 3
0 6 EI
2
EA l 0 0 EA l 0 0
0 12EI l 6 EI l
2 3
l 4 EI l 0 6 EI l 2 EI l
(1,0,2) i 6m ② (0,0,0) 6m (a) y M, x (b) i ① (1,0,3)
1 3 1m 1m
y 5
M, x
十、试用矩阵位移法解图示连续梁，绘弯矩图。EI=已知常
数。
50 kN. m B EI 4m 20 kN C 2m D x M,
六、求图示结构的自由结点荷载列阵 P 。
A. 2(0,1,2) 1(0,0,0) 4(0,0,0) 3(0,1,3) C. 2(1,0,2) 1(0,0,0) 4(0,0,0) 3(1,0,3) 1(0,0,0) D. 2(0,1,2) 4(0,0,0) 1(0,0,0) B. 2(1,2,0) 4(0,0,0) 3(0,0,3) y M, x
结构力学第8章
Z1
附加刚臂
一个基本未知量
基本结构
附加链杆
Z1
Z2
两个基本未知量
基本结构
Z2 Z1 Z3
三个基本未知量
基本结构
Z2
Z3
Z1
三个基本 未知量
基本结构
EA EA
Z1
EA
EA
Z2
两个基本 未知量
若：EA=？ 0个基本 未知量
基本结构
§8.3 等截面直杆的转角位 移方程（物理方程）
前面曾提到，位移法分析刚架的基本计算单元为单跨 超静定梁，因此，需事先知道这种梁在杆端位移和荷载作 用下的杆端内力情况。
K k Z 11 11 1
代入(a)式得
k11
1
1
k Z R 0 11 1 1 p
(8-4)
这就是一个基本未知量时的位移法典型方程。
4 EI 3 2 EI 10 EI k 11 a a a 3 R F 1p pa 16
代入典型方程得
Z 1 R 1p k 11 160 EI 3F pa
n EA 2 i F i p l sin 1 i i
上式就是位移法的基本方程
(e)
它反映了结构的结点位移与结构的结点荷载之间的关系。
由基本方程得 Fp n EAi 2 sin i i 1 li
(f)
n EA 2 i sin F e ) i p ( 1 l i i
图(b)
用下的杆端转角，如图(b)所示。
1 1 M AB M BA 3i 6i 1 1 M AB M BA B 6i 3i A
(a)
i= EI/l 称为杆的线刚度。
结构力学 矩阵位移法
F1 K111 K122 K133 4i11 2i12
F2 K211 K222 K233 2i11 4i1 4i2 2 2i23
F3 K311 K322 K333 2i22 4i23
写成矩阵形式
l 2EI
l
2EI e
e
l 4EI
1
2
l
4EI
k
e
l 2E
I
l
2EI e
l 4EI
l
§9-2节 单元刚度矩阵(局部坐标系)
⑵桁架结构中杆件单元
e EA
Fx1
Fx2
l EA
l
F x1 e
4i1 2i1
2i1
4i1
F1
F2
①
1
F1①
②
2
F2①
①
②
1
2
F1② 0
+ F2②
①
②
2
F3 3 F3① 0
F3② 3
§9-4节 连续梁的整体刚度矩阵
F1① 4i1 2i1 01
F①
F2①
2i1
4i1
0
2
F3① 0
Fy1
cos sin
sin cos
0 0
M
1
Fx2
0 0
01 00
0 0 0 cos
0 0 0 sin
0 e Fx1 e
0
结构力学第8章位移法
注意：在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两 端之间的距离保持不变。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架独立结点角位移数目为2
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
（2）确定独立结点线位移的方法—— 观察法、换铰法 观察法
略去受弯杆件的轴向变形，设弯矩变形是微小的。 如图a， 4、5、6点不动，三根柱子长度不变，故1、2、3点均无竖向位移。 两根横梁长度不变。因而，1、2、3点有相同的平位移。 独立结点线位移数目为1。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）
结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
特例：1、（1）考虑轴向变形
图a所示刚架，结点线位移数目=2
（2）受弯曲杆 图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2
6i F M AB 4i A 2i B ΔAB M AB l 6i F M BA 4i B 2i A ΔAB M BA l
转角位移方程
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B端为铰支，则有
A
A
F
B
由图e可得 Δ1 Δ Δ2 Δ AB
ΔAB l
βAB—弦转角，顺时针方向为正。
4 EI 2 EI 6 EI X1 A B 2 ΔAB l l l 解典型方程得 4 EI 2 EI 6 EI X2 B A 2 ΔAB l l l
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
B
B
ql/2
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12