作两点一线的切圆(LPP)
圆外一点做圆的两条切线的切点连线方程
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圆外一点作切线的3种方法
圆外一点作切线的3种方法
圆外一点作切线的3种方法是在几何中的一种抽象的概念，可以表示
两个有关系的端点之间的距离。
它有三种常用的求解方法，即：直线
对称，极坐标法和中点法。
第一种求解方法是直线对称法，就是在圆上的两个点，它们互为对称，这时可以将一条直线内部劈成两半，作为两个点之间连接的线段，当
这两点在同一个圆上时，可以将一条直线作为基准线，将两点分别与
基准线进行对称，最后得到圆周上的两个点之间的线段。
极坐标法是求解圆外一点作切线的另一种方法。
极坐标系中的圆拟合
是由极轴和极数构成的，在极坐标系中，每个点可以由它的极数和极
轴构成，因此，我们可以用极坐标法构造一个圆，并且可以用圆上的
两点及极数进行求解，最终得到圆外一点作切线的结果。
最后，也是最常用的是中点法。
在这种方法里，我们可以通过计算出
圆与直线的中点，最后用中点作为一点，其他两点作为另两个点进行
求解，最终得到圆外一点作切线的结果。
总之，求解圆外一点作切线的3种方法是直线对称法、极坐标法和中
点法。
它们各自有自己的特点，也都有自己的使用场景。
因此，在求
解圆外一点作切线时，应该根据具体问题的情况，考虑更加合适的方
法来解决问题。
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法切线是与圆相切于一点且只与圆的该点相交一次的直线。
切线与半径垂直，也就是与半径所在的直径形成直角。
切线的定义给定一个圆，如果通过圆上的一点作两条直线，其中一条与半径垂直且只与该点相交一次，那么称这条直线为这个圆的一条切线。
切线的性质1. 切线与圆相切于一点，且只与圆的该点相交一次。
2. 切线与半径垂直，即与半径所在的直径形成直角。
3. 以切点为端点的切线被称为切线段。
4. 圆心到切点的线段被称为切线的斜率。
切线的求解方法求解圆的切线可以根据以下步骤进行：1. 给定一个圆和切点P，连接圆心O与切点P，得到半径OP。
2. 利用切线性质，使切线与半径OP垂直，得到直角三角形。
3. 根据已知条件，计算切线的长度。
切线的长度可以通过利用勾股定理或几何构造法进行计算。
勾股定理法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 根据勾股定理，有切线长度s的平方等于d的平方减去圆的半径r的平方，即s^2 = d^2 - r^2。
3. 取根号可以得到切线的长度s。
几何构造法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 以切点为圆心，作一条半径为r的圆。
3. 连接圆心与新圆上与切点P相对应的点Q，得到直角三角形OPQ。
4. 根据直角三角形OPQ中的三边关系，可以计算出切线的长度s。
这是圆的切线的定义、性质和求解方法的简要介绍。
掌握这些基本概念和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用切线在几何学中的重要性。
过圆外一点做圆的切线 过程证明
过圆外一点做圆的切线过程证明过圆外一点做圆的切线的过程证明可以通过几何方法和解析几何方法进行。
我将从这两个角度分别进行解释。
首先，我们从几何方法来证明。
假设有一个圆，以及圆外一点P。
我们要证明通过点P存在唯一一条切线。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 连接圆心O和点P，得到直线OP。
2. 以点P为圆心，作一个以OP为直径的圆，交原圆于两点A和B。
3. 证明PA和PB都是切线。
证明PA是切线：由于PA和PB是以点P为圆心的圆的两条切线，根据切线定理，PA和PB与圆的切点处的切线垂直于半径。
因此，PA是圆的切线。
证明PB是切线：同理可得，PB也是圆的切线。
因此，通过点P存在唯一一条切线，即PA和PB重合，构成唯一的切线。
接下来，我们从解析几何的角度来证明。
假设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，点P的坐标为(x₀, y₀)。
我们要证明以点P为圆外一点的切线方程。
1. 首先，我们可以列出点P到圆的距离公式：d = √((x₀ a)² + (y₀ b)²)。
2. 接着，我们列出圆的方程：(x-a)² + (y-b)² = r²。
3. 然后，我们将点P到圆的距离代入圆的方程，得到：(x₀ a)(x a) + (y₀ b)(y b) = r²。
4. 最后，我们得到以点P为圆外一点的切线方程：(x₀ a)(x a) + (y₀ b)(y b) r² = 0。
这样，我们通过解析几何的方法也得到了以点P为圆外一点的切线方程。
综上所述，我们通过几何方法和解析几何方法分别证明了过圆外一点做圆的切线的存在性和切线方程。
希望这样的回答能够全面地解答你的问题。
过圆锥曲线上一点作圆的两条切线
过圆锥曲线上一点作圆的两条切线
通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线：
1、概述：通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线，它们在曲线的某一点
上的切线方向无论如何都不会重合，它们交于这个圆锥曲线外的无限
远处。
2、定义：圆锥曲线上一点作圆的两条切线，是指从一个圆锥曲线上一
点出发，以曲线为切线方向，以圆为切线形式作为圆锥曲线上该点出
发的两条切线。
3、特点：
(1) 切线方向无论如何都不会重合：从圆锥曲线上一点出发，它们的切
线方向是有一定的角度关系的，但这个角度度数是不会重合的，这一
点是它们的特点之一。
(2) 两条切线的交点：这两条切线交于这个圆锥曲线外的一个无限远处，是一个比较远的地方，是无法触及的，但它们是相交的。
4、应用：两条切线能够用来解决新一类几何问题，比如通过圆锥曲线
上一点，求解两条相交线段的夹角；而且它们还可以用来刻画单位圆
中的形状，比如椭圆，圆台等。
5、总结：通过圆锥曲线上一点作圆的两条切线，它们在某一点处的切线方向无论如何都不会重合，而且它们的交点在一个比较远的地方，是无法触及的；结合单位圆，它们还能够解决新一类几何问题，可以用来刻画单位圆中的形状，是一种重要的数学概念。
圆的切线的性质定理和画法
.
A
.O
.
B
l
.O
.
切点A
l
.O
l
二、用圆心o到直线l的距离d与圆的半 径r的关系来区分
．Ｏ
1、直线和圆相离
d > r
r d ┐ l
2、直线和圆相切
d = r
．ｏ d r ┐
l
3、直线和圆相交
d < r
．O d r ┐
l
探究
如图，直线l是圆O的切线，切点为A，圆O的半径为r . 试探究：半径OA与l的位置关系？
． O
A
C D
已知：AB是直径，AD是切线，判 断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC 之间的关系 B E
O
C D
A
结束寄语
下课了!
• 具有丰富知识和经验的人，比 只须一种知识和经验更容易产 生新的联想和独到的见解。
直线l就是所求作的切线,如图
练习
1.如图,这是手表的圆形表盘,两个圆的圆心都是O, 大圆的弦AB所在直线是小圆的切线,切点为C,
求证:C是线段AB的中点.
证明: 两个同心圆.连接OA,OB
OA=OB ∴△OAB为等腰三角形 C为切点,OC⊥AB 即OC为△ABO的高,
A
O · C ·
B
∴OC为△ABO的中线
25.5直线与圆的位置关系
-----切线的性质和画法
知识回顾 直线与圆的位置关系
一、用公共点的个数来区分
特点： 直线和圆有两个公共点， 叫直线和圆相交， 这时的直线叫做圆的割线。 特点： 直线和圆有唯一的公共点， 叫做直线和圆相切。 这时的直线叫切线， 唯一的公共点叫切点。 特点： 直线和圆没有公共点， 叫做直线和圆相离。
【课件】5.7切线长定理
7 切线长定理
C·
引入新知
P
切线长： 经过圆外一点作圆的切线，
这点和切点之间的线段长，叫做这点
到圆的切线长.
点击此处添A加小标题
01
点击此处添加正文
点击此处添加小标题
02
点击此处添加正文
O
探究
纸上有一⊙O，PA为⊙O的切线，沿着直线PO将 纸对折 ，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是 ⊙O的一条半径吗？ 利用图形的轴对称性，说明图中的PA与PB，∠APO 与∠BPO的关系？
P
O
M
AL
B
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
课外练习
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别
是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切
线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，
求△PEF的周长.
易证EQ=EA,
FQ=FB,
A
PA=PB
E
O
∴
PEP+F+EFQQ==PPAB==P1A2=c1m2c
的半径.
解: 连接OD，OE，OF，设OD=r.
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，
A
AC2 BC2 102 242 26.∴AB=
D
∵ ⊙O分别与AB，BC，CA相切于 点D，E，F，
B ∴OD⊥AB，OE⊥BC，
O· F EC
OF⊥AC，BE=BD，AF=AD，CE=CF.
• 又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形. ∴EC=FC=r. ∴BE=24-r， AF=10-r.
圆外一点作切线的4种方法
圆外一点作切线的4种方法在几何学中，有四种常见的方法可以在圆的外部点上找到一条切线。
这些方法是切线与半径的关系、半径垂直于切线、切线与切点连线垂直、以及切线与半径之间形成的角是直角。
接下来，我将详细介绍这四种方法。
方法一：切线与半径的关系在圆的外部点上找到切线的一种方法是利用半径与切线之间的关系。
具体来说，假设我们有一个圆，圆心是O，半径的长度为r，P是圆的外部点，其中OP是半径。
然后，我们画一条经过P点的线段，并将其与圆相交于两个点A和B。
最后，通过这两个点A和B，我们可以画出两条切线，它们分别与半径OP垂直。
这是因为，根据圆的性质，半径与切线之间的夹角是呈直角的。
方法二：半径垂直于切线第二种方法是利用半径垂直于切线的性质来找到切线。
以圆心O和半径的长度为r为起点，画出半径OP。
然后在圆的外部点P处选择一个点Q。
通过Q点和圆心O，画出一条直线。
接下来，我们可以发现，这条直线与圆相交于两个点A和B，并且这两条直线与半径OP垂直。
因此，通过点A和点B，我们可以画出两条切线。
方法三：切线与切点连线垂直另一种方法是利用切线与切点连线垂直的性质来找到切线。
首先，在圆上选择一个切点T。
然后，在圆心O和切点T之间连接一条线段，即连线OT。
接着，选择圆外的点P，并画出一条经过点P的线段。
我们可以观察到，线段PT与圆相交于点A。
然后，可以发现，切点T和切线PA之间的连线OT与切线PA垂直。
因此，通过点A和T，我们可以画出一条与线段PT垂直的切线。
方法四：切线与半径之间形成的角是直角最后一种方法是利用切线与半径之间形成的角是直角的性质来找到切线。
选择圆心O和半径的长度为r，然后在圆的外部点P处选取一个点Q。
接下来，通过点Q和O，画出一条直线。
然后，我们可以观察到，半径OP与直线OQ之间形成了一个角角POQ。
我们可以发现，角POQ是一个直角。
而切线与半径之间形成直角是切线和圆的性质之一、因此，通过点P，我们可以画出一条切线。
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阿波罗尼奥斯问题之常规解答
金占魁
湖北随县第一高级中学
写在前面的话
这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一
股想把所学知识系统归纳的冲动。
想到了就干起来。
第一系列是阿波罗
尼奥斯问题，前后共四篇，先作如下简介：
《解法基础》：介绍尺规作图中常见的概念，如位似中心、相似轴、根轴、根心、极线、极点、反演变换、正交圆等等，以及它们的尺规作法。
同时还介绍圆退化为点或线后，位似中心、相似轴、根轴、根心、极点是如何跟随变化的。
最后用CCC的“热尔岗解法”、“庞斯列—福切解法”，作出PPC、PCC、PLC、LLC、LCC的切圆。
《常规解答》：把阿波罗尼奥斯问题退化为十种组合，本书全面介
绍每种组合中一般情况下的多种解法，并介绍该种情况下的全部解圆的
作法。
可谓洋洋大观解法大全了。
《特款解法》：这里特款指点线圆组合中，比较特殊的位置关系，
不在《常规解答》讨论之列，比如：两条平行线＋点或线或圆，两个同
心圆+点或线或圆，这些特款在反演变换过程中，经常用到。
书中还介
绍了“鞋匠的刀“形中的切圆的解法、相交三圆的休伯特·舒特里克解法、以及相切三圆的Soddy圆的多种解法。
《名家解法》：以阿波罗尼奥斯问题历史为序，介绍世界上著名数
学家们的解法，重点介绍他们的解法思路或详细作法，但不介绍多解的
作法，只是尊重他们当时的情况。
需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只
为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，
在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢
他们的辛勤付出!
2019年7月于随州
目录
一．PPP：求作一圆经过不共线的三点 (3)
二、LLL：求作一圆与不共点三线都相切 (3)
三、PPL：求作一圆经过已知两点且与已知直线相切 (3)
四、PLL：求作一圆经过已知点且与两相交直线都相切 (4)
五、LLC：求作一圆与两已知直线和已知圆都相切 (6)
六、PPC：求作一圆与已知圆相切并过圆外两已知点 (10)
七、PCC：求作一圆与两已知圆相切并过圆外一已知点 (11)
八、PLC：求作一圆经过定点且与定直线、定圆相切 (15)
九、LCC：求作一圆与两定圆、一定直线都相切 (17)
十、CCC：求作一圆与三个已知圆都相切 (19)
简介及说明：
Apollonius问题是给定三个圆，作这三个圆的切圆。
这里圆可以退化为点或线，把点看作是半径为零的点圆，把线看作是半径为无穷大的线圆。
Apollonius问题就退化为：给定三个元素(点线圆)的一种组合，求作这个组合的切圆。
具体的说就是，如果有定点的话，切圆就过这个定点，如果有定线、定圆的话，切圆要与它们都相切。
点P，线L、圆C的十种组合是：
（1）PPP （2）LLL （3）PPL （4）PLL （5）LLC
（6）PPC （7）PCC （8）PLC （9）LCC （10）CCC 阿波罗尼奥斯问题分了十大类，每类再按所给图形位置关系和解的数目，又可分若干情况，总体数目众多，其中一些比较简单，也有的难度较大。
就解的数目而言，阿波罗尼奥斯问题有无解、退化解（退化为直线或点）、唯一解、两解乃至无穷多解等可能。
本文只对一般情况进行梳理，用通法作图，特殊的位置关系可类推之。
限于篇幅，本书不讨论、不证明，不作全部的解圆，未作出的解圆会注明作法的。
本文作图力求简约，隐藏了旁条斜枝，尺规基本作图法也是一带而过。
同时为叙述简洁，解答部分先作如下约定：
1、红实线圆为目标解圆，红细线圆为正交圆或反演基圆。
蓝绿黑实线圆
为已知圆，蓝绿黑线为已知直线。
细实线为重要线。
2、细虚直线、细虚圆为作图过程中的示意线。
3、圆的记法：⊙(ABC)---表示过A、B、C三点的圆。
⊙A(R)----表示以A为圆心，R为半径的圆。
示例，⊙A(R-r)--表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。
⊙A(BC)---表示以A为圆心，BC为半径的圆。
预备知识：
1、什么条件确定一个圆？
(1)、已知圆心和半径，可以确定一个圆。
(2)、不共线的三点确定一个圆。
(此法应用较多，是重点)。
2、圆幂定理
(1)、割线定理：圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
(2)、共根心的多圆顺次相交时，积的传递性
(3)、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
3、怎么作目标圆上的点？
阿波罗尼奥斯问题就是作满足条件的切圆，这个切圆叫做解圆或目标圆。
知道了目标圆上的三个不共线的点，就可作出目标圆。
但在已知条件中，点的个数不够三个，其它的点该怎么作呢？
(1)、割线定理的逆定理：若三三不共线的四点满足PA×PB=PC×PD ，
则A、B、C、D四点共圆。
(2)、结论：共根心的多圆顺次相交时，每一根割线上有两个交点，任意
两割线上的四点共圆。
(虚线圆为示例)。
(3)、△ABC的外接圆因某原因不能作出，圆心也不能作出。
求作一点D，使A、B、C、D四点共圆。
作法：
如图，延长BA至P，过A、B两点任作一圆⊙O，过P点任作⊙O的一割线PEF。
作⊙(CEF)交PC于D，则D即是所求。
(4)、切割线定理的逆定理：P是⊙O外一点，PAB是⊙O的割线。
C是⊙O 上的点。
若PC2=PA×PB ，则PC是⊙O的切线。
(5)、结论：PM是⊙O1的切线，若PN=PM，则直线PN是⊙O2的切线。
(6)、一圆因某种原因不能作圆心，过圆外一点求作此圆的切线。
4、四点共圆的常用判定和性质：
(1)、判定一：若∠ACB=∠ADB ，则A、B、C、D四点共圆。
判定二：若∠ACB+∠ADB=180°，则A、B、C、D四点共圆。
(2)、性质一：四边形ABCD内接于圆，则对角互补，外角等于内对角。
5、相离两圆位似的性质：
(1)、两圆的两条外公切线的交点叫做两圆的外位似中心，左图中的P是
两圆⊙O1、⊙O2的外位似中心。
过P作两圆的公割线PBA，则O1A∥O2B。
(2)、右图中不知道⊙O1的圆心，已知两圆的外位似中心P，作两圆的公
割线PBA，若AC∥BO2 ，则AC与PO2的交点是⊙O1的圆心。
说明：此法在LPP、LLP作图中常用，不妨把它叫做“位似作心法”。
主要是为了后面叙述方便。
三、LPP：求作一圆经过已知两点且与已知直线相切。
求作：⊙O，使之过A、B且与L相切。
作法一：
1、作直线AB交直线L于C。
2、作以AB为直径的圆，过C作此圆的切线CD，D为切点。
3、作⊙C(CD)交直线L于E、F点。
则⊙(ABE)和⊙(ABF)即是所求。
作法剖析：
目标圆(红圆)上已有两个点A、B，还缺少一个点。
目标圆与以AB为直径的圆相交于A、B，两圆的根心为C，CD是AB为直径的圆的切线，
CE=CD，CF=CD，由“切点作法”可知，E、F是目标圆的切点，这样目标圆上就有三个不共线的点A、B、E或A、B、F，所以目标圆就可作出了。
作法二：
1、作AB的中垂线DC交直线L于C，在直线CD上取点F，作
FG⊥L于G，作⊙F(FG)交直线AC于M、N。
作法剖析：
此法为“位似求心法”，先作⊙F的目的是，使⊙F与⊙O位似，位
似中心为C。
然后利用“位似图形的对应点连线互相平行”，来确定圆心
O的位置。
圆心O定了，那么半径OA就定了，于是目标圆就可作出来了。
作法三：
1、作B关于直线L的对称点B 。
作B C∥L交直线AB于C。
2、作⊙(AC B )交直线L于D、E两点。
则⊙(ABD)、⊙(ABE)即是所求。
作法剖析：
假设切点D已作出，那么D满足什么条件呢？答案是，D应满足A、B′、C、D四点共圆。
这样D点就可作出了。
为什么A、B′、C、D四点共圆呢？如图：
∵∠DAB=∠BDE (圆周角等于弦切角) ∠BDE=∠B′DE (对称图形性质)
∠B′DE=∠D B′C (内错角相等)
∴∠DAC=∠D B′C (等量代换)
∴ A、B′、C、D四点共圆。
【常规解答之点点线问题】 ※※※※※※※※
10 【金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索!
2019年7月于随州。