2.2.3习题课等差数列

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人教版高中数学必修5第二章数列 2.3 等差数列的前n项和

n (2 2n)
Sn
2
n(n 1).
3.等差数列5, 4, 3, 2, 前多少项和是-30？
解：a1 5,d 1, Sn 30.
n(n 1) Sn 5n 2 (1) 30 n 15 或 n 4(舍).
1.等差数列前n项和Sn公式的推导； 2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
Sn

n(a1 2
an ) ,Sn

na1

n(n 1) d
2
说明：两个求和公式的使用-----知三求一.
第2课时等差数列习题课
1.能够利用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题； 2.能够利用函数与数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．
重点：能够利用等差数列的前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．
伟大的数学家高斯十岁时,一天上数学课老师出了一道题目：1+2+…+100=?其他同学忙用笔在纸上计算，而小高斯却很快求出了他的结果.后人称其使用的方法为 “高斯算法”.
1.等差数列定义：an-an-1=d（d为常数）（n≥2） 2.等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d 3.等差数列的通项变形公式：
// \\ \\
2S100=101+101+101+…101+101+101
多1少00个个110011 ?
1 所以S100= 2 (1+100)×100
=5050
？总和

1 2
( 首项？＋？尾项）？项数
这就是等差数列前n项
和的公式！
Sn

等差数列习题课(教师版)

等差数列习题课1. 进一步了解等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式；2. 理解等差数列的性质，等差数列前n 项和公式的性质应用；项和之比问题，以及实际应用。

一、知识回顾1．等差数列的定义用递推公式表示为：)(1++∈=-N n d a a n n 或),2(1+-∈≥=-N n n d a a n n ，其中d 为常数，叫这个数列的公差。

2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=， 3．等差数列的分类：当0>d 时，}{n a 是递增数列；当0<d 时，}{n a 是递减数列；当0=d 时，}{n a 是常数列。

4．等差中项：如果在b a ,中间插入一个数A ，使b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2ba A += 5．等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=，或d n n na S n 2)1(1-+=，此式还可变形为n da n d S n )2(212-+= 6．等差数列的主要性质：（1）d m n a a m n )(-+=（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+（反之也成立）（其中+∈N q p n m ,,,）；特别的，若pn m 2=+（,,m n p N +∈），则p n m a a a 2=+（3） ,,,2m n m n n a a a ++组成公差为md 的等差数列. （4） ,,,232n n n n n S S S S S --组成公差为d n 2的等差数列. 7.等差数列的判定方法：(1)定义法：1n n a a d +-=(d 为常数)(n ∈N*){}n a ⇔是等差数列； (2)中项法：122n n n a a a ++=+(n ∈N*){}n a ⇔是等差数列；(3)通项公式法：n a kn b =+(k ，b 是常数)(n ∈N*){}n a ⇔是等差数列； (4)前n 项和公式法：2n S An Bn =+(A 、B 是常数)(n ∈N*){}n a ⇔等差数列．二、典例分析 ※等差数列的判定例1：※等差数列性质的应用例2：※已知前n 项和求通项公式例3.已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。

2.2等差数列(优秀课件)

大班打击乐杯子畅想教案标题：大班打击乐杯子畅想教案在幼儿园里，音乐教育是一个十分重要的课程，而打击乐则是其中的一个重要组成部分。

而杯子作为一种具有特殊音响效果的打击乐器也非常受幼儿们的喜爱。

本文将从杯子的音响特点入手，结合幼儿园教育课程，讲解如何在大班儿童中开展杯子打击乐的教学活动。

一、杯子的音响特点杯子作为一种打击乐器，在音响特点上有独特的表现。

主要体现在以下两个方面：1.变化丰富杯子的音响效果可以通过不同的敲打力度、不同的敲打部位和不同的敲打方法进行变化。

可以轻敲杯口、轻轻摇动；也可以用手掌拍打杯子的边缘，发出清脆的砰砰声；还可以用刷子刮打杯子，发出清新悦耳的声音。

因此，杯子具有音响变化丰富的特点。

2.回荡长久在敲打杯子时，杯中的空气会被推动而发生共振，使得杯子内部空气产生震动，进而产生长时间的回响声。

这种回荡的特点使得杯子发出的声音更加有韵律感，也使得杯子成为一种特别适合用来创造氛围的打击乐器。

二、教学活动设计结合杯子的音响特点和幼儿园的教育课程，我设计了以下的教学活动。

1.感受杯子的音响特点在教学开始时，让幼儿们亲身感受杯子的音响特点，可以让他们更好地理解打击乐杯子的魅力所在。

具体操作可以是让幼儿们分别用手指、手掌、刷子等敲打杯子，去比较不同敲打方式下产生的音响效果。

这样，幼儿们可以自己听到，自己感受到不同的声音，从而更好地认识打击乐杯子的音乐特点。

2.敲出节奏在学习了打击乐杯子的基础知识后，选取适当的音乐，要带领幼儿们一起练习敲出杯子的节奏，创造音乐氛围。

这个过程中也可以让幼儿在听音乐时，动起来，进一步体验到音乐的魅力所在。

3.模仿作品通过模仿一些经典的曲目，如《鼓打鸭》、《篝火旁的故事》等熟知的儿童歌曲，让幼儿们能够更有针对性地去练习敲打杯子的技能，从而在专注实践中提升其技能水平。

4.自己进行表演在串联练习了一段时间后，可以让幼儿自己进行一场音乐表演，展现自己的才华。

在这个环节中，可以根据幼儿不同能力去分组表演，让每组幼儿都有展示自己所学所会的机会。

第二章数列

例题一
已知数列1/1×2,1/2×3,1/3×4,….,1/n×(n+1),…… (1)求这个数列的第10项，第20项。（2）1/2009是不是这个数列中的项，如果是，是第几项？
例题二
写出下面数列的一个通项公式，使它们的前4项分别是下列各数：（1）1，-1/2,1/3,-1/4; （2）2，0，2，0.
的前n项和，已知s7=7,s15=75,Tn为数列【 sn/n 】
记等差数列
的前n项和为sn,若a1=1/2,s4=20,则s6=?
已知数列是等差数列，sn是其前n项和，且sm=n,sn=m（m≠n且m n 是正整数），则sm+n=?
求和：1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+……1/n(n+2)
递推公式是求数列的通项公式的一种重要途径
例题四
设数列
满足
a1=1 an=1+1/an-1 （n>1）写出这个数列的前五项
例题五
已知数列中，a1=a>0,an+1=f（an）(n为正整数)，其中f(x)=2x/(x+1)
（1）求a2 a3 a4
（2）猜想数列
的一个通项公式。
an与sn的关系
数列的前n项的和通常记为sn，sn=a1+a2+……+an. S1 (n=1) Sn与an的关系：an= Sn-sn-1 （n≥2）
………
……
………
等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，A叫做a与b 的等差中项
等差数列的通项公式
一般的，如果一个数列数列的定义，可以得到：
的首项是a1,公差是d，我们根据等差

第二章 2.2 第2课时等差数列的性质(优秀经典课时作业练习题及答案详解).

[A 组学业达标]1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝4π，则cos a 5的值为( ) A ．－12 B ．－32 C.32D.12解析：因为{a n }为等差数列，a 1＋a 5＋a 9＝4π，所以3a 5＝4π，解得a 5＝4π3. 所以cos a 5＝cos 4π3＝－12. 答案：A2．在等差数列{a n }中，a 3＋3a 8＋a 13＝120，则a 3＋a 13－a 8＝( ) A ．24 B ．22 C ．20D ．－8解析：因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋3a 8＋a 13＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以a 3＋a 13－a 8＝a 8＝24. 答案：A3．设e ，f ，g ，h 四个数成递增的等差数列，且公差为d ，若eh ＝13，f ＋g ＝14，则d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：e ，f ，g ，h 四个数成递增的等差数列，且eh ＝13，e ＋h ＝f ＋g ＝14，解得e ＝1，h ＝13或e ＝13，h ＝1(不合题意，舍去)；所以公差d ＝13(h －e )＝13×(13－1)＝4. 答案：D4．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m为()A．12 B．8C．6 D．4解析：由等差数列性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.答案：B5．若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中不为等差数列的是() A．{λa n}(λ为常数) B．{a n＋b n}C．{a2n－b2n} D．{a n·b n}解析：等差数列{a n}和{b n}的公差均为d(d≠0)，对于A，由λa n＋1－λa n＝λ(a n＋1－a n)＝λd为常数，则该数列为等差数列；对于B，由a n＋1＋b n＋1－a n－b n＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝2d为常数，则该数列为等差数列；对于C，由a2n＋1－b2n＋1－(a2n－b2n)＝(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)－(b n＋1－b n)(b n＋1＋b n) ＝d(2a1＋(2n－1)d)－d(2b1＋(2n－1)d)＝2d(a1－b1)为常数，则该数列为等差数列；对于D，由a n＋1b n＋1－a n b n＝(a n＋d)(b n＋d)－a n b n＝d2＋d(a n＋b n)不为常数，则该数列不为等差数列．答案：D6．在等差数列{a n}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________.解析：法一：d＝a10－a510－5＝b－a5，∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a5＝2b －a .法二：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10. ∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a . 答案：2b －a7．若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则x 3－x 1y 3－y 1＝________.解析：∵a ，x 1，x 2，x 3，b 成等差数列，∴其公差d 1＝b －a4.又∵a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 成等差数列，∴其公差d 2＝b －a6. ∴x 3－x 1y 3－y 1＝2d 12d 2＝d 1d 2＝b －a 4×6b －a ＝32.答案：328．已知等差数列{a n }，a 3＋a 5＝10，a 2a 6＝21，则a n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝10，a 2a 6＝21，所以a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝10，所以a 2，a 6是方程x 2－10x ＋21＝0的两个根，解方程x 2－10x ＋21＝0，得a 2＝3，a 6＝7或a 2＝7，a 6＝3，当a 2＝3，a 6＝7时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋5d ＝7，解得a 1＝2，d ＝1，此时a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，当a 2＝7，a 6＝3时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝7，a 1＋5d ＝3，解得a 1＝8，d ＝－1，此时a n ＝8＋(n －1)×(－1)＝－n ＋9. 综上，a n ＝n ＋1或a n ＝－n ＋9. 答案：n ＋1或－n ＋99．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4＜a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)， ∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )， ∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)， ∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.10．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231. (1)求该数列中a 2的值； (2)求该数列的通项公式a n .解析：(1)由等差数列的性质可知，a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，则a 2＝7. (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝14，a 1·a 3＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，a 3＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 3＝11，所以公差d ＝3－113－1＝－4或d ＝11－33－1＝4.所以a n ＝11＋(n －1)×(－4)＝－4n ＋15或a n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1.[B 组能力提升]11．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A ．1升 B ．6766升 C.4744升D.3733升解析：设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{a n }，其首项为a 1，公差为d ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766.答案：B12．设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A ．－182 B ．－78 C ．－148D ．－82解析：a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33＝－82.答案：D13．在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________. 解析：因为等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，所以a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，所以(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，所以2a 4·2a 6＝16，所以a 4a 6＝4. 答案：414．已知数列{a n }满足a 1＝0，数列{b n }为等差数列，且a n ＋1＝a n ＋b n ，b 15＋b 16＝15，则a 31＝________.解析：因为数列{a n }满足a 1＝0，数列{b n }为等差数列，且a n ＋1＝a n ＋b n ，b 15＋b 16＝15，所以a n ＋1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，所以a 31＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 30＝302(b 1＋b 30)＝15(b 15＋b 16)＝15×15＝225. 答案：22515．看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列．随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一．请用所学数学知识对此给出简要的说明．解析：由题意，在等差数列中，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . 因为12＝4＋202＝5＋192＝6＋182＝11＋132，所以12＝(4＋20)＋(5＋19)＋(6＋18)＋(11＋13)8.16．已知f (x )＝x 2－2x －3，等差数列{a n }中，a 1＝f (x －1)，a 2＝－32，a 3＝f (x )，求：(1)x 的值；(2)通项a n . 解析：(1)由f (x )＝x 2－2x －3，得a 1＝f (x －1)＝(x －1)2－2(x －1)－3＝x 2－4x ，a 3＝x 2－2x －3，又因为{a n }为等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3，即－3＝x 2－4x ＋x 2－2x －3，解得x ＝0或x ＝3.(2)当x ＝0时，a 1＝0，d ＝a 2－a 1＝－32，此时a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－32(n －1)；当x ＝3时，a 1＝－3，d ＝a 2－a 1＝32，此时a n ＝a 1＋(n －1)d ＝32(n －3)．。

2-3-2等差数列习题课

，
∵a1<0，∴d>0，解得 10≤n≤11. ∴n 取 10 或 11 时，Sn 取最小值．
第二章

2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
解法 3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，∴3a11＝0， ∴a11＝0.∵a1<0，∴前 10 项或前 11 项和最小．
第二章
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
合作探究已知在正整数数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足： 1 Sn＝ (an＋2)2. 8 (1)求证：{an}是等差数列； 1 (2)若 bn＝ an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值． 2
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第二章
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[分析]
Sn 是等差数列前 n 项的和，故 Sn 是 n 的不含常数
2
1 项的二次函数，即 Sn＝an ＋bn 形式，从而可拆项，从而相 Sn 加相消可得 S.
第二章
2.3
第2课时
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[解析]
kk－1 ∵Sk＝3k＋ ×2＝k2＋2k＝k(k＋2)， 2
2.3
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评]
解法 1 利用等差数列前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数
(公差 d≠0 时)，通过二次函数求最值的方法求解；解法 2 利用等差数列的性质由 a1<0 及 S9＝S12 知 d>0，从而数列中必存在一项 an≤0 且 an＋1>0 以找出正负项的分界点；解法 3 利用 S9 ＝S12 及等差数列的性质．要注意体会各种解法的着眼点，总结规律．

等差数列习题课教案

等差数列习题课教案第一章：等差数列的概念与性质1.1 等差数列的定义引导学生复习数列的概念，引入等差数列的定义。

通过示例，让学生理解等差数列的特点，即相邻两项的差是常数。

1.2 等差数列的性质引导学生探究等差数列的性质，如相邻两项的差是常数，第n项的公式等。

通过练习题，让学生掌握等差数列的性质，并能够运用性质解决问题。

第二章：等差数列的通项公式2.1 等差数列的通项公式推导引导学生复习数列的通项公式，引入等差数列的通项公式推导过程。

通过示例，让学生理解等差数列通项公式的推导过程，并能运用通项公式求解等差数列的第n项。

2.2 等差数列的通项公式应用引导学生运用等差数列的通项公式解决实际问题，如求等差数列的前n项和、某项的值等。

通过练习题，让学生熟练掌握等差数列的通项公式，并能够灵活运用。

第三章：等差数列的前n项和3.1 等差数列前n项和的公式引导学生复习数列的前n项和的概念，引入等差数列前n项和的公式。

通过示例，让学生理解等差数列前n项和的公式，并能运用公式计算等差数列的前n项和。

引导学生探究等差数列前n项和的性质，如前n项和的公式中的参数关系等。

通过练习题，让学生掌握等差数列前n项和的性质，并能够运用性质解决问题。

第四章：等差数列的求和公式4.1 等差数列求和公式的推导引导学生复习数列的求和公式，引入等差数列求和公式的推导过程。

通过示例，让学生理解等差数列求和公式的推导过程，并能运用求和公式计算等差数列的和。

4.2 等差数列求和公式的应用引导学生运用等差数列求和公式解决实际问题，如求等差数列的和、某项的值等。

通过练习题，让学生熟练掌握等差数列求和公式，并能够灵活运用。

第五章：等差数列的综合应用5.1 等差数列在实际问题中的应用引导学生运用等差数列的知识解决实际问题，如人口增长模型、物体运动等。

通过示例，让学生理解等差数列在实际问题中的应用，并能够解决实际问题。

5.2 等差数列的综合练习提供一些综合性的练习题，让学生综合运用等差数列的知识解决问题。

等差数列求和(顾文同)

知识基础：我班学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。
认知水平与能力：学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。
三、学法指导和教法分析
学法指导：建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
北师大版普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5
等差数列的前n项和
阜阳师处理 •教学目标 •教学重点、难点 •课程资源的开发与信息技术的整合
教材地位与作用
本节课是《北师大版普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》的〈第一章§2.2 等差数列的前n项和〉的第一课时：等差数列的前n项和公式的推导和简单应用问题。
教学目标
知识与技能目标： (1)掌握等差数列前n项和公式; (2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程; (3)会简单运用等差数列的前n项和公式。
过程与方法目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一
般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
在老师引导下总结出等差数列的几个重要性质设计意图：复习通项及性质，帮助学生巩固旧知识，同
时为前n项和公式的的推导作好知识准备
推导公式
操作步骤：展示高斯求和课例并引导学生推导公式 ⑴等差数列前n项和 ⑵等差数列的前和公式师生活动：引导学生从高斯求和的方法入手，总结出倒

2.3等差数列的前n项和公式1.2.3.doc

第一课时等差数列的前n 项和公式推导及简单应用一、教学目标1、等差数列前n 项和公式．2、等差数列前n 项和公式及其获取思路；3、会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题．二、教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题．三、教学过程（一）、复习引入： 1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n≥2，n ∈N +） 2．等差数列的通项公式：（1）d n a a n )1(1-+= （2）=n a d m n a m )(-+ （3） n a =pn+q (p 、q 是常数) 3．几种计算公差d 的方法：① n a d =－1-n a ② 11--=n a a d n ③ mn a a d m n --=4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )6．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . “小故事”1、2、3高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．(二)、讲解新课：1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2)(1n n a a n S +=． 2．等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+= ．用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1．但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1dn n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个．公式二又可化成式子： n da n d S n )2(212-+=，当d≠0，是一个常数项为零的二次式． (三)、例题讲解例1、(1)已知等差数列{an}中, a 1 =4, S 8 =172,求a 8和d ;(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：(1) 392)4(817288=⇒+=a a 5)18(439=⇒-+=d d (2)设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S 则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a 由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n . 解之得：3,921-==n n （舍去） ∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54．例2、例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？⑴、先阅读题目；⑵、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解。

2.2等差数列(优秀经典公开课比赛课件)

即: an an1 d (n 1, n N *) 或 : an1 an d (n N *)
练习一
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些
不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
（1）1，3，5，7，… 是 a1=1,d=2
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9,d=-3 （3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
项公式是：
an a1 (n 1)d
在等差数列通项公式中，有四个量，
a1 ，d ，n，an ，
知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 .
例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项? 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
分析（1）由给出的等解：(1)由题意得：
差数列前三项，先找 a1=8,d=5-8=-3,n=20
到首项a1,求出公差d, ∴这个数列的通项公式是：
写出通项公式，就可
an=a1+(n-1)d=-3n+11
以求出第20项a20.
∴a20=11-3×20=-49
分析（2）要想判断 -401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得
3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为 18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13，10.5，8，5.5.
a4 a3 d a4 a31 d3d

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高二数学导学案编写人：仝慧忍周谦
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等差数列习题课
一．选择题
1．由3,11da确定的等差数列na，当298na时，序号n等于（）
A. 99 B. 100 C. 96 D. 101
2．等差数列na中，,7,10451aaa则数列na的公差为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．在等差数列na中，,4,232aa则10a（）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
二．填空题
4．设数列na，nb都是等差数列，若,21,73311baba则55ba

5．已知等差数列na的首项及公差均为正数，
nNnaabnnn,(*2012



＜2012），当kb是数列nb的最大项时，k

6．若na为等差数列，且951aaa，则)cos(82aa的值
为，
三．解答题
7．已知一个无穷等差数列na的首项为1a，公差为d。
（1）将数列中的前m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是
等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列
吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
（3）如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？你能
根据得到的结论作出一个猜想吗？
高二数学导学案编写人：仝慧忍周谦

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8. 已知na是等差数列，
（1）7352aaa是否成立？9152aaa呢？为什么?
(2) 112nnnaaa(n>1)是否成立？据此你能得出什么结论？

knknnaaa
2
（n>k>0）是否成立？，你又能得出什么结论？

9. 在等差数列na中，
（1）已知21ad=3,n=10,求na
（2）已知2,21,31daan,求n
（3）已知,27,1261aa求d
（4）已知d=,3187a求1a
高二数学导学案编写人：仝慧忍周谦

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10. 已知三个数成等差数列并且这个数列是递增的，它们的和为18，平方和为
116，求这三个数。

11. 数列na是等差数列，1a),1(,0),1(32xfaaxf其中
,24)(2xxxf
求通项公式na

12. 已知数列na满足22,211nnnaaaa。
（1）求证：数列na1为等差数列；
（2）求数列na的通项公式。