5《用三种方式表示二次函数》教学课件
2.5用三种方式表示二次函数
2.5用三种方式表示二次函数知识点一：用三种方式表示二次函数1.解析法：两个变量之间的函数关系式用一个含有这两个变量及数学符号的等式表示。
2.列表法：又叫表格法，把自变量X 的一系列值和函数Y 的对应值列成一个表来表示函数关系。
3.图像法：用图像表示函数关系。
【例1】已知两个数的和为8，设其中一个数为X ，它们的积用Y 表示。
请问： （1）用三种方法分别表示X ，Y 的函数关系 （2）自变量和因变量的取值范围分别是多少？ （3）图像的对称轴和顶点坐标分别是多少？ 分析：根据题意列出等式，转化成函数形式练习：1.二次函数的三种表达式是表格， ， 。
2.两个数的差为3，若其中较大的数为X ，则它们的积Y 与X 的函数表达式是 ，它有最 值，即当=x ，=y3.已知圆的半径为R ，圆的面积为S ，（1）用函数表达式表示=S4.已知正方形的周长为Ccm.,面积为2Scm 则S 与C 之间的函数关系式为（ ） A 、)0(1612>=C C S B 、2161C S = C 、)0(162>=C C SD 、216C S = 5.小华要送给同学生日礼物，他给这位同学买了一只杯子，为了美观，小华准备包装杯子的盒子（是个长方体）.已知盒子的长和宽相等，高是长是3倍，则包好后，重叠部分不计，外层包装纸的面积是（）A 、设长和宽为x ，表面积为y ，则有214x y = B 、设长和宽为x ，表面积为y ，则有212x y =C 、设高为x ，则长和宽为3x ，表面积为232x y = D 、设高为x ，则长和宽为3x，表面积为22x y =6．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率是x ，两年后这台机器是的价约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A B 、)1(602x y -= C 、260x y -= D 、2)1(60x y +=7.如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像与X 轴的交点的横坐标分别是1,2.写出符合下列结论的X 的取值范围：（1）当0<y 时，X 的取值范围是（2）当0=y 时，X 的取值范围是 ；（3）当0>y 时，X 的取值范围是 8.长方形的周长为18cm ，长为X 。
用三种方式表示二次函数
§2.5用三种方式表示二次函数学习目标：1.经历三种方式表示二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；2.掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；3.掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
学习重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础。
学习过程：一、复习旧知，温故知新1.二次函数的一般形式是 ，它的图象是一条 ，对称轴是 ， 顶点坐标是 。
当a>0时，抛物线开口向 ，有最 点（填高或低）， 函数有最 值（填大或小），是 ;当 a<0时，抛物线开口向 ，有最 点（填高或低），函数有最 值（填大或小，是 .2. 二次函数y=a(x-h)2+k 的图象是一条 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
3、作出函数图象的具体步骤是___________、_______________、_________________ 。
二、创设情境，引入新知对于一般的二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）我们可以用哪些方式来表示呢？ 三、合作探究，发现新知1.已知矩形周长20cm ,并设它的一边长为xcm ,面积为ycm 2，y 随x 的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？(1)用函数表达式表示：__________________。
（3）用图象表示： (2)用表格表示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 910-x y(4)议一议：①在上述问题中，自变量x 的取值范围是_________________。
②当x_______时，矩形面积最大是__________,从_________方式可以得到。
③y 随x 的变化规律是__________________________________________________________。
2.两个数相差2,设其中较大的一个数为x ,那么它们的积y 是如何随x 的变化而变化的？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?(1)用函数表达式表示：___________________。
5用三种方式表示二次函数
1
2
(1)在上述问题中，自变量x的取值范围是 什么? (2)当x取何值时，长方形的面积最大?它的 最大面积是多少?你是怎样得到的?请你描 述一下y随x的变化而变化的情况．
y/cm2
9 7 5 3 1 解：⑴∵x是边长， ∴x取正数，6-x也取正数 6-x＞0 x＜6 ∴取值范围为 0＜x＜6 ⑵先把二次函数y=-x2+6x顶点式 y=-x2+6x =-(x2-6x) =-(x2-6x+9-9) =-(x-3)2+9 ∴当x =3时 y最大值为9cm2 当0＜x ＜3时,y随x的增大而增大 X/cm 当3＜x ＜6时,y随x的增大而减小 6
2
课后活动与探究
1．长度为120米的竹篱笆一面靠墙围成一个矩 x 形养鸡场，墙长50米，设宽为x米长为y米，求y关 于x的表达式____，x取值范围为_____
y
2．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么? (2)完成下表；
边上的小 圆圈数
1
2
3
4
5
小圆圈的 总数
(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形 中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
1
2
3
4
5
二次函数的三种表示方式有什么特点?它 们之间有什么联系?与同伴进行交流．
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间
的数值对应关系； 函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程 和变化趋势； 函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出 变量之间的关系， 这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不 同的需要． 它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化 为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方 式表示．
用三种方式表示二次函数 二次函数PPT精品课件3
用函数表达式表示：
列表法—用表格表示函数 两个数相差2,设其中较大的一个 数为x,那么它们的积y是如何随x 的变化而变化的?
Y=
x
做一做
x2-2x= (x-1)2-1
… … … -2 8 -1 3 0 0 1 -1 2 0 3 3 4 8 … … …
用表格表示：
做一做
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那 么它们的积y是如何随x的变化而变化的?
在对称轴的左侧,y随x的增大而增大
做一做
函数的表示方式
已知矩形周长20cm, 并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2.
x
y
y随x的变化而变化的规 律是什么？你能分别用 函数表达式，表格和图 象表示出来吗？
做一做
解析法—用表达式表示函数 已知矩形周长20cm,并设它的 一边长为xcm,面积为ycm2.
并且毫不畏惧地，过着我理想中的生活 成功，会在不期然间忽然降临！
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● 一个不注意小事情的人，永远不会成功大事业。──卡耐基 ● 一个能思考的人，才真是一个力量无边的人。──巴尔扎克 ● 一个人的价值，应当看他贡献了什么，而不应当看他取得了什么。 ──爱因斯坦 ● 一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。 ──雨果 ● 一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有 益。──高尔基 ● 生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。──马克思 ● 浪费别人的时间是谋财害命，浪费自己的时间是慢性自杀。──列 宁 ● 哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。──鲁迅 ● 完成工作的方法，是爱惜每一分钟。──达尔文 ● 没有伟大的愿望，就没有伟大的天才。──巴尔扎克 ● 读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。──笛卡尔 ● 成功＝艰苦的劳动＋正确的方法＋少谈空话。 ──爱因斯坦
《用三种方式表示二次函数》二次函数4精品 课件
m=1+2+3+4+ ……+nn(n=1)
2
1.（乐山·中考）设a,b是常数，且b＞0，
抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，
则a的值为（ ）
y
y
y
y
－1 O
1x
－1 O 1 x
O
x
A.6或－1 C.6
B.－6或1 D.－1
【答案】选D.
O
x
2.(鄂尔多斯·中考)已知二次函数 y x 2 bx c
•
十一、不相信下辈子，只想善待你今生 。因为 我不知 道，下 一辈子 是否还 能遇见 你，所 以我今 生才会 那么努 力把最 好的给 你。
•
十二、世上最好的缘，便是有个聊得来 的伴， 永远不 嫌你的 话多， 不厌其 烦且久 处不厌 ，永远 会陪在 身边， 念你冷 暖，且 懂你悲 欢。
•
十三、你相信吗，未来要和你共度一生 的那个 人，其 实在与 你相同 的时间 里，也 忍受着 同样的 独。那 个人一 定也怀 着满心 的期待 ，拥着 一腔孤 勇，穿 过茫茫 人海， 也要来 与你相 见。
九、没有人不想和你同坐一辆豪华轿车 ，但你 需要的 ，却是 轿车坏 了还会 和你一 起搭巴 士的人 。环境 影响下 ，公司 面临改 革，需 要裁员 ，高学 历出身 的她赫 然在列 。
彼时才发现，面临初出茅庐的年轻人 ，自己 的体力 和脑力 都已经 拼不过 ，几年 来累积 下来的 阅历和 经验没 有转化 成核心 竞争力 。
毕业八年的她被迫重返人才市场，但 彼时的 她与毕 业时相 比毫无 长进， 面试屡 屡碰壁 。
李尚龙曾说：
真正的安稳是历经世事后的淡薄，你 还没有 见过世 界，就 想隐退 山林， 到头来 只会是 井底之 蛙。”
2021完整版《用三种方式表示二次函数》二次函数PPT课件2
列表法：
x
12
3
4
5
6
7
8
9
10－x 9 8
76543
21
y 9 16 21 24 25 24 21 16 9
议一议 请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
y x2 10x
议一议
请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
y x2 10x (x 5)2 25
当0<x<5时,y随x的增大而增大; 当5<x<10时,y随x的增大而减小.
用三种方式表示二次函数
1、二次函数的定义：
y ax2 bx c(a 0) 一般式： y ax2 bx c(a 0)
顶点式： y a(x m)2 n(a 0)
两根式： y a(x x1)(x x2 )(a 0)
y ax2 bx c
a(x2 b x) c a
a[x2 b x ( b )2 ( b )2 ] c a 2a 2a
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
2、根据二次函数有关知识填写下表：
y ax2 bx c(a 0) 开口方向 对称轴 顶点坐标
a0 a0
开口向上 开口向下
x b 2a
x b 2a
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
可知图象的对称轴是:直线x=1;
顶点坐标是:(1,-1).
y x 12 1
y x2 2x
教材62页：题略
议一议
3.如何描述y随x的变化而变 化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变 化而变化的情况是: 当x<1时,y随x的增大而减小; 当x>1时,y随x的增大而增大.
y x2 2x
用三种方式表示二次函数-二次函数 优秀PPT课件2
10－x
y
议一议
请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
议一议 请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
当0<x<5时,y随x的增大而增大; 当5<x<10时,y随x的增大而减小.
说一说
结合问题的分析过程，总结二次函数的三 种表示方式是什么？
解析法—用表达式表示函数 列表法—用表格表示函数 图象法—用图象表示函数
0 -1 0
练一练
教材62页：题略
用图象表示:
议一议
教材62页：题略
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么?
∵x表示任意一个数 ∴自变量x的取值范围是:全体实数
议一议
教材62页：题略 2.图象的对称轴和顶点坐标 分别是什么? 由表达式的顶点式和图象,
可知图象的对称轴是:直线x=1; 顶点坐标是:(1,-1).
缺点
需要通过计算,才能得到 所需结果 不能反映函数整体的变化 情况 函数值只能是近似值
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表 达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.
1、作出函数 并根据图像填空：
的图像，
当x= -3 时，函数取到最小值 -8 ； 当x≥－3时，y随x的增大而增大．Байду номын сангаас
议一议
教材61页：题略
解析法：
∴当x=5时,y最大=25． 即当x=5cm时,长方形的面积最大, 它的最大面积=25cm２．
议一议
教材61页：题略
当x取何值时,长方形的面积最大？
图像法：
议一议
教材61页：题略
当x取何值时,长方形的面积最大？
列表法：
§2-5_用三种方式表示二次函数(1)解析法,列表法,图象法
y
y随x的变化而变化的规律是什 么？你能分别用函数表达式， 表格和图象表示出来吗？
合作探究
2.已知矩形周长20cm,并设它的 2. 一边长为xcm,面积为ycm ①在上述问题中,自变量x的取值 范围是什么？
因为x表示周长为20cm矩形的边长,
所以x>0,10-x>0.因此，自变量x的
取值范围是0<x<10.
解答下列问题
（1）由已知图象上 的三点坐标，求累积 利润S（万元）与时 间t（月）之间的函 数表达式；
（2）求截止到几月 末公司累积利润可 达到30万元； （3）求第8个月公 司所获利润是多少 万元？
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经 过点（2，9）． （1）求这个函数的表达式； （2）求出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范 围．
6.二次函数的
y 2x 2x 1
2
当 x_____时,y随x的增 大而减小．
2＋b不经过第三、四 7．若抛物线y=ax
2＋bx＋c（ 象限，则抛物线y=ax
）
A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴 C．开口向上，对称轴是y轴或在左侧 D．开口向下，对称轴平行于y轴
2+bx+8 9.如果抛物线y=x
【例2】一次函数y=2x＋3，与 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象 交于A（m,5）和B(3,n）两点， 且当x=3时，抛物线取得最值 为9． 求二次函数的表达式；
小结
拓展
函数的表示方式
解析法—用表达式表示函数 , 列表法—用表格表示函数, 图象法—用图象表示函数. 二次函数的三种表示方式的特点, 它们之间的联系.
的顶点的在x轴的正半轴 上，那么b的值是＿＿ .
用三种方式表示二次函数4ppt
４ ３
1．已知函数y=ax ＋bx＋c（a≠0）的图 象，如图所示，则下列关系式中成立的是 ( ) b b B．0＜－ ＜2 A．0＜－ 2 a ＜1 2a b b C．1＜－ 2 a ＜2 D．－ 2 a =1
训练反馈 2
2.抛物线 y ax bx c 和直线 y = ax + b 可以在同一直角坐标系中的是（ ）
问题导学
1. 你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定 距离吗？
汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离。
2. 刹车距离与什么因素有关？
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度
及路面的摩擦系数.
有研究表明:汽车在某段公路上行驶 时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离 s(m)可以由公式：
那么刹车距离与什么因素有关？ 1 v2 晴天时：s= 100 雨天时：s= 1 v2 50
14．等边三角形的边长2x与 面积y之间的函数表达式为 ． 2＋kx－2k通 15．抛物线y=x 过一个定点，这个定点的坐 标为 ．
16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用 品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈 利的过程．图中二次函数图象（部分）刻 画了该公司年初以来累积利润S（万元）与 销售时间t（月）之间的关系（即前t个月 的利润总和S与t之间的关系）． 根据图象提供的信息，：
解答下列问题
（1）由已知图象上 的三点坐标，求累积 利润S（万元）与时 间t（月）之间的函 数表达式；
（2）求截止到几月 末公司累积利润可 达到30万元； （3）求第8个月公 司所获利润是多少 万元？
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经 过点（2，9）． （1）求这个函数的表达式； （2）求出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范 围．
用三种方式表示二次函数
x y
边长,所以x>0,10-x>0.因此，
自变量x的取值范围是
0<x<10.
议一议
(2)当x取何值时,长方形的面积最大？它 的最大面积是多少?
y x 10x ( x 5) 25
2 2
（5，25）
∴当x=5时,y最大=25
即:当x=5cm时,长方形的 面积最大,它的最大面积 =25cm2.
解析法—用表达式表示函数 2、两个数相差2,设其中较大的一个数为x, 那么它们的积y是如何随x的变化而变化的?
用函数表达式表示：
y xx 2,即y x 2x.
2
做一做
列表法—用表格表示函数
Y= x2-2x = (x-1)2-1 用表格表示：
x
2
两个数相差2,设其中较大的一个数为 x,那么它们的积y是如何随x的变化而 变化的?
下 （3）把函数y = - 2x2的图像向______ 平移 6 ______ 个单位，就得到函数y=- 2x2- 6的图像 右 （4）把函数y=-2x2的图像向______ 平移 3 ______ 个单位，就得到函数y=-2(x-3)2的图像
2.抛物线y=-2(x+2)2+3向右平移3个单位得 2+3 y=-2(x1) 到图象的解析式为 , 再向下平移2个单位得 y=-2(x-1)2+1 y=-2(x+4) +1 到 ,继续向左移 52个单 位得到 .
y x2 2x
4.你是分别通过哪种表示方式回答一面三个问题的 ?
议一议
二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们 之间有什么联系? 与同伴进行交流.