数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第九章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章
篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题x1．若f?(e)?1?x，则f(x)?___________2．设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_____________ 3．若e?xx是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?________________4．若f(x)?1，则f(x)?____________ 5．?max(x,x)dx?___________________ 6．若f(x)有原函数xlnx，则?xf(x)dx?_______________ 7．?ln(sinx)sin2?32xdx?________________8．若?dx(1?2cosx)2?Asinx1?2cosx?B?dx1?2cosx，则A?__________，B?__________9．设?xf(x)dx?arcsinx?C，则?dxx(4?x)lnx?1x2dxf(x)?_________10．??_________________11．?dx?_________________12．?13．?14．??a?sin(lnx)?cos(lnx)nx?________________?f(x)?xf?(x)?dxdx1?ex?________________?_____________15．?16．?xex2(1?x)dx?_____________________4sinx?3cosxsinx?2cosxdx?______________217．已知f?(2?cosx)?sinx?tan2x，则f(x)?_______________18．?f?(x)1f(x)?2dx?______________19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u(x),则?f(u)du?___________. 20设函数f(x)的二阶导数f(x)连续,那么?xf(x)dx?__________. 21设f(x)的原函数是sinxx,则?xf?(x)dx?__________.11222已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x1时,y?则f(x)?__________;f(x)的极小值是__________.1?x2是极大值,23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于32?,则这个函数为F(x)?__________. 24 设f?(sin2x)?cosx(x?1),则f(x)?__________.225 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?__________. 26 若(?f(x)dx)lnx,则f(x)?__________. 27 已知e28?x2是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?__________.22?f()dx?__________. 2xx1?x29 设f(x)dxC,则f(x)?__________.1?x?1?30 在积分曲线族?二、选择填空题 1．设I?1xxdx中,过(1,1)点的积分曲线是y?__________.?xe?1e?1xx，则I?()A.ln(1?e)?CB.2ln(1?e)?x?CC.x?2ln(1?e)?CD.ln(e?1)?C2．设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数xxx3．设I1??1?xdx,I2??du，则存在函数u?u(x)，使()x(1?xex)u(1?u)A.I1?I2?xB.I1?I2?xC.I2I1D.I2?I1 4．当n1时，?xnlnxdx?() nn?1A.xn(lnx?1n)?C B.xn?1(lnx?1n?1)?Cn?1C.1?1xn?1xn(lnx?1n?1)?CD.n?1lnx?C7．?(cosx2?sinx2)dx?()A.2(sinx?cosx)?C B.2(cosxx222?sin2)?CC.sinx?cosxxx22?C D.cos2?sin2?C8．?x?sinx1?cosxdx?()A.xcotxxxx2?CB.xtan2?CC.x2cotx?CD.2tan2?C9．若f(x)的导函数是e?x?cosx，则f(x)的一个原函数为()A.e?x?cosxB.?e?x?sinxC.?e?x?cosxD.e?x?sinx10．若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案20+22
习 题 二十、二十二1．计算下列第一型曲线积分．(1) ，其中L 是的上半圆周． ()x y ds L +∫x y R 22+=2 (2) x y d L 22+∫s 2，其中L 是的右半圆周． x y R 22+= (3) e d x y L 22+∫s 2，其中L 是圆，直线x y a 22+=y x =以及x 轴在第一象限中所围成图形的边界． (4) xyds L ∫，其中L 是由所构成的矩形回路．x y x y ====004，，，2(5) ，其中： xds L∫ (a) L 是上从原点O 到点y x =2(,)00B (,)11间的一段弧．(b) L 是折线OAB 组成，A 的坐标为(,，B 的坐标为．)10(,)11(6)，其中∫L ds y 2L 为曲线)cos 1()sin (t a y t t a x −=−=，,其中,0>a π20≤≤t .(7) ，其中L 是螺旋线弧段(x y z d L 222++∫)s cos sin ，，x a t y a t z bt ===）（π20,0≤≤>t a ．(8) ,其中∫L yzds x 2L 为折线,这里依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)ABCD D C B A ,,,2．计算下列第二型曲线积分．(1),其中∫−L ds y x )(22L 为在抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.2x y =(2) ，其中L 为xdy ydx L −∫① 沿直线从点(,到点(,；)00)12② 沿抛物线x y =24从点到点； (,)00(,)12③ 沿折线从点(,经点(,到点(,．)00)02)12(3) xydx L ∫，其中L 是由所构成的沿逆时针方向的矩形回路．x y x y ====004，，，2(4) x dy y dxx y L 225353−+∫，其中L 是沿星形线在第一象限中从点(,x R t y R t ==cos sin 33，)R 0到(,)0R 的弧段（R >0）．(5) ，其中L 是从点到xdx ydy zdz L ++∫A (,,)111B (,,)234的直线段． (6) ,其中L 为曲线∫−+Lydz zdy dx x 2θθκθsin cos ,a z a y x ===，上对应θ从0到π的一段弧.3．设质点受力F 作用，力的方向指向原点，大小等于质点到原点的距离．(1) 计算当质点沿椭圆在第一象限中的弧段从(,到(,时，F 所作的功；x a t y b t ==cos sin ，)a 0)0b (2) 计算当质点沿椭圆逆时针方向运动一圈时，力F 所作的功．4．利用格林公式计算下列积分．(1) ()()x y dx x y dy L +++∫222，L 是沿逆时针方向，以为顶点的三角形． A B C (,)(,)(,)113125，， (2)()()x y dx x y dy L ++−∫，L 是方程x y +=1所围成的顺时针方向的闭路．(3) []e ydx y y x L (cos (sin )1−−−∫dy x ，L 是沿y =sin 上从点(,)π0到点的一段弧．(,)00(4) dy ye x x dx e y x xy x y x x x L )2sin ()sin 2cos (222−+−+∫,其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a yx . (5) dy y x x y dx x y xy x L )3sin 21()cos 2(223+−+−∫,其中L 为在抛物线上由点(0,0)到22y x π=)1,2(π的一段弧. (6) ,其中dy y x dx y x L ∫+−−)sin ()(22L 为在圆周22x x y −=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.5．验证下列曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ，L 是从点经圆周上半部到点的弧段．()()12222++−∫xe dx x e y dy y y L O (,)00+−2)2(x 42=y A (,)40 (2)，L 是从点到点的任意弧段． e ydx ydy x L (cos sin )−∫(,)00(,)a b (3) ydx xdy x −∫22112(,)(,)沿右半平面的任意路线．(4) ，L 是从点经抛物线到点的弧段．()(x y xdx ydy L22++∫)(,)00y x =2(,)11 (5) ∫++L y x xcdxydy 322)(，L 是从点到点的不经过原点的弧段．(,)11(,)22 6．求椭圆所围图形的面积．x a t y b t ==cos sin ， 7．求下列微分方程的通解．(1) ．()()x xy y dx x xy y dy 222222+−+−−=0 (2) [][]e e x y y dx e e x y dy x y x y ()()−+++−+=1100=．(3) ．()()x xy dx x y y dy 43224465++− 8．下列各式是否为某函数的全微分，若是，求出原函数．(1) ; (2)x dx y dy 22+xdx ydy x y ++22. 9．求下列第一型曲面积分．(1)，其中S 是球面:． zds S ∫∫x y z R 222++=2 (2)(243x y z d S ++∫∫)s ，其中S 是平面x y z 2341++=在第一卦限的部分． (3) ，其中S 是锥面(xy z d S 222++∫∫)s z x y =+22）介于之间的部分．z z ==01、 (4) ，其中S 是由曲面和平面所围立体的表面．∫∫+Sds y x )(22x y z 2220+−=z h h =>（0(5) ，其中S 是锥面(xy yz zx dsS ++∫∫)z x y =+22x 被柱面所截得的部分．x y a 222+=(6) ∫∫SxyzdS ,其中S 是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的整个边界曲面.(7) ,其中S 为锥面∫∫++S ds zx yz xy )(z x y =+22x ）0被柱面所截得的有限限部分.x y a 222+= 10．计算下列第二型曲面积分．(1) ， 其中S 是三个坐标平面与平面所围成的正方体的表面的外侧．()()()x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy S222−+−+−∫∫x a y a z a a ===>，，（0(2) ，其中S 是由平面 xydydz yzdzdx xzdxdy S++∫∫x y z ===00，，与平面x y z ++=1所围成的四面体表面的外侧．(3)，其中S 是上半球面yzdzdx S ∫∫z a x y =−−222的下侧． (4) e x y dxdy z S 22+∫∫，其中S 是锥面z x y =+22与平面所围成立体边界曲面的外侧．z z ==12， 11．利用奥－高公式计算下列第二型曲面积分． (1) x dydz y dzdx z dxdy S333++∫∫，其中S 是球面：的外侧．x y z a a 22220++=>（） (2) xdydz y dzdx z dxdy S 222++∫∫，其中S 是锥面与平面所围成的立体表面的外侧．x y z 22+=2)z h =(h >0 (3) ()()x y dxdy x y z dydz S−+−∫∫，其中S 为柱面及平面所围立体的表面外侧．x y 221+=z z ==0，1(4) ，其中S 为三个坐标平()()()x y z dxdy y z z dzdx S+++++−∫∫23212面与平面x y z ++=1所围成的四面体的外侧．（5）∫∫++S yzdxdy dzdx yxzdydz 24，其中为平面S 0,0,0===z y x ，所围成的立方体的表面外侧.1,1,1===z y x 12．利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分． (1) x y dx dy dz L 23++∫，其中L 为坐标平面上圆周，并取逆时针方向． Oxy x y a 22+=2 (2) ()()()y z dx x z dy x y d L 222222+++++∫z ，其中L 是x y z ++=1与三个坐标平面的交线． (3) x yzdx x y dy x y d L 2221+++++∫()(z )，其中L 为曲面与曲面的交线，且从面对z 轴正向看去取顺时针方向．x y z 2225++=z x y =++221 13．验证下列的空间曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ． 22000xe dx z x e dy y zdz y y x y z −−+−−∫(cos )sin (,,)(,,) (2) ． xdx y dy z dz +−∫23111234(,,,)(,,) 14．求下列各式的原函数．(1) yzdx xzdy xydz ++．(2) ． ()()(x yz dx y xz dy z xy dz 222222−+−+−)15.计算,其中为圆周 ∫L ds x 2S ⎩⎨⎧=++>=++.0),0(2222z y x a a z y x 16. 若dy cx Y dy ax X +=+=,，且L 为包围坐标原点的简单的封闭曲线，计算∫+−=L YX YdX XdY I 2221π. 17.证明:若L 为封闭的曲线且l 为任意的方向,有∫=Lds l 0),cos(. 18．若半径为的球面上每点的密度等于该点到球的某一直径上距离的平方，求球面的质量．a 19．为了使线积分()F x y ydx xdy L (,)+∫与积分路径无关，可微函数F x y (,)应满足怎样的条件？20．设磁场强度为E x y z (,,)，求从球内出发通过上半球面的磁通量．x y z a z 22220++=≥，。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2． 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5． 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） （A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ） （A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ） （A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ） （A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （ ） （A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（ ）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
数学分析课本(华师大三版)
数学分析课本(华师大三版)篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题x1．若f?(e)?1?x，则f(x)?___________2．设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_____________ 3．若e?xx是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?________________4．若f(x)?1，则f(x)?____________ 5．?max(x,x)dx?___________________6．若f(x)有原函数xlnx，则?xf??(x)dx?_______________ 7．?ln(sinx)sin2?3??2xdx?________________8．若?dx(1?2cosx)2?Asinx1?2cosx?B?dx1?2cosx，则A?__________，B?__________ 9．设?xf(x)dx?arcsinx?C，则? dxx(4?x)lnx?1x2dxf(x)?_________10．??_________________11．?dx?_________________12．?13．?14．??a?sin(lnx)?cos(lnx)nx?________________?f(x)?xf?(x)?dxdx1?ex?________________?_____________15．?16．?xex2(1?x)dx?_____________________4sinx?3cosxsinx?2cosxdx?______________217．已知f?(2?cosx)?sinx?tan 2x，则f(x)?_______________ 18．?f?(x)1??f(x)?2dx?______________19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u??(x),则?f(u)du?___________. 20设函数f(x)的二阶导数f??(x)连续,那么?xf??(x)dx?__________. 21设f(x)的原函数是sinxx,则?xf?(x)dx?__________.11222已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x??1时,y?则f(x)?__________;f(x)的极小值是__________.1?x2是极大值,23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于32?,则这个函数为F(x)?__________. 24 设f?(sin2x)?cosx(x?1),则f(x)?__________.225 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?__________.26 若(?f(x)dx)??lnx,则f(x)?__________. 27 已知e28?x2是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?__________.22?f()dx?__________. 2xx1?x29 设f(x)dx??C,则f(x)?__________.1?x?1?30 在积分曲线族?二、选择填空题 1．设I?1xxdx中,过(1,1)点的积分曲线是y?__________.?xe?1e?1xx，则I?()(1?e)?C (1?e)?x?C ?2ln(1?e)?C (e?1)?C2．设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数xxx3．设I1??1?xdx,I2??du，则存在函数u?u(x)，使()x(1?xex)u(1?u)?I2?x ?I2?x ??I1 ?I1 4．当n??1时，?xn lnxdx?() nn?1n(lnx?1n)?C B.xn?1(lnx?1n?1)?Cn?1?1xn?1xn(lnx?1n?1)?CD.n?1lnx?C 7．?(cosx2 ?sinx2)dx?() (sinx?cos x)?C (cos xx222?sin 2)?C?cosxxx22?C?sin2?C8．?x?sinx1?cosxdx?()??2cotx??C9．若f(x)的导函数是e?x?cosx，则f(x)的一个原函数为()?x?cosxB.?e?x?sinxC.?e?x??x?sinx10．若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第八章
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题1．若x e f x+='1)(，则=)(x f ___________2．设)(x f 的一个原函数为xxe ，则='?dx x f x )(_____________ 3．若xe-是)(x f 的一个原函数，则?=dx x xf )(________________4．若[]1)(3='x f ，则=)(x f ____________ 5．?=dx x x ),max(2___________________6．若)(x f 有原函数x x ln ，则?=''dx x f x )(_______________ 7．? =dx xx 2sin)ln(sin ________________8．若?+++=+xdx B xx A x dx cos 21cos 21sin )cos 21(2，则=A __________，=B __________9．设C x dx x xf +=?arcsin )(，则?=)(x f dx _________10．?=-)4(x x dx _________________11．?=-dx xx 21ln _________________12．[]=-?dx xx x a n)cos(ln )sin(ln ________________ 13．[]?='+dxx f x x f )()(________________14．?=+xedx 1_____________15．?=+dx x xex 2)1(_____________________16．=++?dx xx x x cos 2sin cos 3sin 4______________ 17．已知x x x f 22tansin )cos 2(+=+'，则=)(x f _______________ 18．[]=+'dx x f x f 2)(1)(______________19. 若?+=C x F dx x f )()(,而),(x u ?=则?=du u f )(___________. 20设函数)(x f 的二阶导数)(x f ''连续,那么?=''__________)(dx x f x . 21设)(x f 的原函数是xx sin ,则?='__________)(dx x f x .22已知曲线)(x f y =上任一点的切线斜率为6332--x x ,且1-=x 时,211=y 是极大值,则)(x f __________=;)(x f 的极小值是__________.23已知一个函数的导数为211)(xx f -=,并且当1=x 时,这个函数值等于π23,则这个函数为__________)(=x F . 24 设)1(cos )(sin22<='x x x f ,则)(x f __________=.25 若)(x f 为连续函数,且)()(x f x f =',则?=__________)(dx x f . 26 若?='x dx x f ln ))((,则)(x f __________=. 27 已知2xe -是)(xf 的一个原函数,则?=__________sec )(tan 2xdx x f .28='__________)2(1dx x f x. 29 设C xxdx x f ++-=?11)(,则)(x f __________=.30 在积分曲线族?dx xx 1中,过(1,1)点的积分曲线是__________=y .二、选择填空题 1．设dx e e I xx+-=11，则=I ( )A.C e x++)1ln( B.C x e x+-+)1ln(2 C.C e x x++-)1ln(2 D.C e x+-)1ln(2．设)(x f 是连续的偶函数，则期原函数)(x F 一定是( ) A.偶函数B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数3．设?+=++=)1(,)1(121u u du I dx xe x x I x，则存在函数)(x u u =，使( )A.x I I +=21B.x I I -=21C.12I I -=D.12I I = 4．当1-≠n 时，?=xdx x n ln ( ) A.C nx nxn+-)1(ln B.C n x n xn +----)11(ln 11C.C n x xn n ++-++)11(ln 111D.C x n xn +++ln 117．?=+dx x x )2sin2(cos ( )A.C x x +-)2cos2(sin 2 B.C x x +-)2sin2(cos2C.C xx +-2cos 2sin D.C x x +-2sin 2cos8．?=++dx xxx cos 1sin ( )A.C x x +2cotB.C x x +2tanC.C x x+cot 2 D.C x x +2tan 29．若)(x f 的导函数是x e xcos +-，则)(x f 的一个原函数为( )A.x excos -- B.x exsin +-- C.x e xcos --- D.x exsin +-10．若)(x f 是以l 为周期的连续函数，则其原函数( )。
华东师大数学分析答案完整版
华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。
2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。
3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。
4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。
6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。
7. 变限积分的导数是原函数的导数。
8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。
9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。
10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。
二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。
A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。
A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。
A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。
A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。
解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。
2. 求不定积分∫(e^x) dx。
解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。
数学分析(华东师大版)上第九章9-4
以 [a,b]为底, f ( ) 为高的矩形面积.而
f ( ) 1
b
f (x)dx
ba a
可理解为 f ( x) 在 [a,b] 上所有函数值的平均值, 这
是有限个数的算术平均值的推广.
定理9.8 ( 推广的积分第一中值定理）
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n
f (i )Δ xi J1
i 1
,
2
n
g(i )Δ xi J2
i 1
.
2
从而
n
[ f (i ) g(i ) ]Δ xi (J1 J2 )
i 1
n
n
f (i )Δxi J1 g(i )Δxi J2
i 1
当 x ( x0 , x0 ) [a, b] 时,
g(x)
f
(x)
1[ 2
g( x0 )
f
( x0 )
].
由此推得
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b
a [ g( x) f ( x) ] d x
[ x0 g( x) f ( x) ]dx [ x0 g( x) f ( x) ]d x
i 1
.
22
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
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b
b
b
a ( f ( x) g( x))dx a f ( x)dx a g( x)dx.
性质3 若 f , g 在 [a, b] 上可积，则 f g 在 [a, b] 上
也可积.
证 因 f , g 在 [a, b] 上可积，故在 [a,b] 上都有界,
1
b
数学分析三习题答案
数学分析三习题答案数学分析三习题答案数学分析是数学的一门重要分支，它研究的是函数、极限、连续等概念和性质。
在学习数学分析的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固和加深对知识的理解。
下面是一些数学分析三的习题答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 求极限lim (x→0) (sinx/x)解：这是一个常见的极限问题。
我们可以利用泰勒展开公式来求解。
根据泰勒展开公式，sinx的泰勒展开式为x-x^3/3!+x^5/5!-...，当x趋近于0时，我们只需要保留到x^3这一项，即sinx≈x。
所以，lim (x→0) (sinx/x) = lim (x→0) 1 = 1。
2. 求函数的导数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x解：要求函数f(x)的导数，我们可以使用导数的定义。
根据导数的定义，f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x))/h。
将函数f(x)带入导数的定义中，得到f'(x) = lim (h→0) ((x+h)^3 - 3(x+h)^2 + 2(x+h) - (x^3 - 3x^2 + 2x))/h。
化简后可得f'(x) = lim(h→0) (3x^2 - 6xh + 3h^2 + 2h)/h。
继续化简，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 3。
3. 求不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解：要求不定积分，我们可以使用不定积分的基本公式。
根据不定积分的基本公式，∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
将函数x^2 + 2x + 1带入不定积分的基本公式中，得到∫(x^2 + 2x + 1) dx = (x^3)/3 + x^2 + x + C。
4. 求定积分∫[0, 1] (x^2 + 2x + 1) dx解：要求定积分，我们可以使用定积分的基本公式。
根据定积分的基本公式，∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案01
第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。
证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。
2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。
3、 设a 、b ∈R 。
证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。
4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。
5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。
6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。
证明|22b a +-22c a +|≤|b-c|。
你能说明此不等式的几何意义吗？7、 设x>0，b>0，a ≠b 。
证明xb x a ++介于1与ba 之间。
8、 设p 为正整数。
证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。
9、 设a 、b 为给定实数。
试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。
§2数集、确界原理 1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）； （4）sinx ≥22。
2、 设S 为非空数集。
试对下列概念给出定义： （1）S 无上界；（2）S 无界。
3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。
4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。
(完整版)华东师大数学分析标准答案
第四章函数的连续性第一节连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）； （2）。
x x f 1)(=x x f =)( 证：（1）的定义域为，当时，有xx f 1)(= ),0()0,(+∞-∞=D D x x ∈0,由三角不等式可得： ，0011x x x x x x -=-00x x x x --≥ 故当时，有00x x x <-002011x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数，取则，当 且时，ε,01020>+=x x εεδ0x <δD x ∈δ<-0x x 有ε<-=-0011)()(x x x f x f 可见在连续，由的任意性知：在其定义域内连续。
)(x f 0x 0x )(x f (2) 的定义域为对任何的，由于x x f =)(),,(+∞-∞),(0+∞-∞∈x，从而对任给正数，取，当时，00x x x x -≤-εεδ=δ<-0x x 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故在连续，由的任意性知，在连续。
)(x f 0x 0x )(x f ),(+∞-∞2．指出函数的间断点及类型： （1）； （2）； （3）；=)(x f xx 1+=)(x f x x sin =)(x f ]cos [x （4）； （5）；=)(x f x sgn =)(x f )sgn(cos x （6）；（7）=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11sin )1(17,7,71解： （1）在间断，由于不存在，故是的第二类间断点。
)(x f 0=x 1(lim xx x +∞→0=x )(x f（2）在间断，由于 ，)(x f 0=x 1sin lim )(lim 0==++→→xxx f x x故是的跳跃间断点。
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第九章 定积分一、填空题=-++-+-∞→_41241141(lim 22222nn n n n Λ2．=+⎰⎰→x xt x dtttdtt 0sin 01sin )1(lim__________3．[]=⎰-222,1max dx x __________4．设⎰+=xdt tt x f 02sin 1cos )(，则=+⎰202)(1)('πdx x f x f ___________ 5．设)(x f 在[]4,0上连续，且⎰--=2123)(x x dt t f ，则=)2(f ___________6．=+-⎰→421ln sin limx x tdt xx _________7．=++⎰-dx x xx 2222)cos 1(sin ππ______________ 8．[]⎰-=-++-11)()(22lndx x f x f xx_________，其中)(x f 连续。
10．设0)()(21=-+⎰x x f dx x f ，则=⎰1)(dx x f _______________11．若⎰=+101sinb dx xx，则=+⎰102)1(cos dx x x _________ 12．设)(x f 连续，则=-⎰x dt t x tf dxd 022)(____________ 13．=⎰022cos xdt t x dx d ______________ 14．=-⎰ππ222cos sin dx x x ____________15．=+-⎰-dx x x 112cos 21sin αα____________16．[]=-⎰π2sin )(cos 'cos )(cos dx x x f x x f ____________17．设)(x f 有一个原函数x xsin ，则=⎰ππ2)('dx x xf ____________18．若1≤y ，则=-⎰-11dx ey x x___________19．已知2)2(x xex f =，则=⎰-11)(dx x f ________20. 已知)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎰=2sin )()(x xdt t f x F ，则=')0(F21．设⎪⎩⎪⎨⎧>⋅<--=⎰-x x x x dt t x x x e x f 0322 0 sin 0 31)(则=→)(lim 0x f x22． 函数dt t t t x x⎰+--=2112)(ϕ在区间[]2 0上的最大值为 ，最小值为23．若已知)(x f 满足方程⎰--=xdx x f xx x f 022)(13)(，则=)(x f24．已知函数)1( )1()(1-≥-=⎰-x dt t x f x，则)(x f 与x 轴所围成的面积为25．函数221x x y -=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23 ,21上的平均值为二、选择填空 1．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分2．若已知5)2(',3)2(,1)0(===f f f ，则=''⎰10)2(dx x f x ______________3．设)(x f 是以l 为周期的连续函数，则()⎰+++lk a kla dx x f )1(之值( )A.仅与a 有关B.仅与a 无关C.与a 及k 均无关D.与a 和k 均有关 4．若0→x 时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数与2x 进等价无穷小，则必有( )(其中f有二阶连续导数)。
A.1)0(=''fB.21)0(=''f C.0)0(=''f D.)0(f ''不存在 5．若x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→，且设k dx x f =⎰20)(，则必有( )。
A.0=kB.1=kC.1-=kD.2=k 6．设⎰+=x x xttdt e x f 2sin sin )(，则=)(x f ( )A.正常数B.负常数C.恒为0D.不是常数 7．已知)(t f 是()+∞∞-,内的连续函数，则⎰⎰ψ=xx dt t dt t f 11)()(3恒成立时，必有=ψ)(t ( )A.)(3t fB.)(33t f tC.)(32t f t D.)(332t f t8．设)(x f 在[]a a ,-上连续且为偶函数，⎰=Φxdt t f x 0)()(，则( )A ．)(x Φ是奇函数 B. )(x Φ是偶函数C. )(x Φ是非奇非偶函数D. )(x Φ可能是奇函数，也可能是偶函数 9．设y 是由方程0sin 2=⎰⎰xy ttdt dt e π所确定的x 的函数，则=dxdy( )。
A.x x cos 1sin - B.1cos sin +-x xC.y e x cosD.y ex cos -11．设,cos 1sin 2262dx x xx M ⎰-+=ππdx x x N )cos (sin 6223+=⎰-ππ，⎰--=22632)cos sin (ππdx x x x P ，则有( )A.M P N <<B.N P M <<C.P M N <<D.N M P <<13．若)(x f 是具有连续导数的函数，且0)0(=f ，设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=ψ⎰0,00,)()(2x x x dtt tf x x ，0≠x ，则=ψ)0('( )A.)0('fB.)0('31f D.3114．若设⎰-=xdt x t dx d x f 0)sin()(，则必有( ) A.x x f sin )(-= B.x x f cos 1)(+-= C.x x f sin )(= D.x x f sin 1)(-=15．若)(t x x=是由方程0112=-⎰+-x t dt e t 所确定，则022=t dt xd 之值为( )C.2e D.22e 16．定积分定义i bani i x f dx x f ∆=⎰∑=)(lim )(1ξ，说明（ ）A ],[b a 必须n 等分，i ξ是],[1i i x x -端点。
B ],[b a 可任意分法，i ξ必须是],[1i i x x -端点。
C ],[b a 可任意分法，0max →∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取。
D ],[b a 必须等分，0max →∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取。
17．积分中值定理⎰-=baa b f dx x f ))(()(ξ其中（ ）A ξ是],[b a 内任意一点B ξ是],[b a 内必定存在的某一点C ξ是],[b a 内唯一的某点D ξ是],[b a 内中点 18．设)(x f 与)(x g 在],[b a 上连续，且⎰⎰>babadx x g dx x f )()(，则)()(x g x f >成立的情况是（ ）A 当+∞<<∞-x 时均成立B b x a ≤≤时成立C 在],[b a 之间至少有些点使之成立D 在],[b a 内不可能成立19．若⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=21,10 ,)(2x x x x x f ，则⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在开区间)2,0(上（ ） A 有第一类间段点 B 有第二类间段点C 两种间段点都有D 是连续的 20．若设⎰-=xdt x t dx d x f 0)sin()(，则必有（ ）A x x f sin )(-=B x x f cos 1)(+-=C x x f sin )(=D x x f sin 1)(-= 21．下面结论错误的是（ ） A 若)(x f 在),(b a 内连续，则)(dx x f ba⎰存在B 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界C 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必可积D 若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积 22．下面结论正确的是（ ） A 若],[],[d c b a ⊇，则必有)()(⎰⎰≥dcbadx x f dx x f ；B 若)(x f 可积，则)(x f 必可积；C 若)(x f 是周期为T 的函数，则对于任意常数a 都有⎰⎰+=Ta aTdx x f dx x f 0)()(D 若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在),(b a 内必定有原函数。
23．下列各式不等于零的是（ ）Adx xx x ⎰-+-212111ln cos Bdx x x xx ⎰--+33242523cosCdx xx ⎰-2322cos 1sin ππD⎰--31)3)(1(x x dx24．设,sin )(2sin tdt e x F x xt ⎰+=π则)(x F （ ）.(A)为正常数; (B)为负常数; (C)恒为零; (D)不为常数;25．设)(x f 连续，则=-⎰dt t x tf dx d x22)(( ) (A));(2x xf (B));(2x xf -(C));(22x xf (D));(22x xf -三、计算题1．按定积分定义证明：（1）()⎰-=ba ab k kdx ；（2）⎰-=baa b x e e e2．根据定理，试比较下列各定积分的大小。
（1）⎰10xdx 与⎰12dx x（2）⎰20πxdx 与⎰20sinxdxπ⎰1x dx3．求下列极限：（1）xdt t cos limx20x ⎰→；（2）⎰⎰∞→x22x0t x dtt 2e )dt e (lim24．计算下列定积分：（1）()⎰+10dx 3x 2； （2）⎰+-1022dx x 1x 1； （3）⎰2e edx xln 1； （4）⎰--10xx dx 2e e ； （5）⎰π302xdx tg ； （6）⎰⎪⎭⎫⎝⎛+94dx x 1x ；（7）⎰+49x1dx ； （8）()⎰ee12dx xx ln ；（9）⎰π205xdx 2sin x cos ；（10）⎰-102dx x 4；（11）()⎰>-a2220a dx x a x ；（12）()⎰+-12321x xdx；（13）⎰-+10xx e e dx ； （14）⎰π+202dx x sin 1x cos ； （15）⎰1x dx arcsin ；（16）⎰π20x xdx sin e ；（17）⎰ee 1dx x ln ；（18）⎰10x dx e ； （19）()⎰>+-a20a dx xa xa x ； （20）⎰ρθθ+θθ20.d cos sin cos5．应用定积分概念求下列极限：（1）⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅++++∞→n 212n 11n 1lim n（2）⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅++++∞→2222n n 212n 11n 1n lim （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+⋅⋅⋅+π+π∞→n 1n sin n 2sin n sin n 1limn （4）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+++∞→1n 2n 11n n 1n 1lim2n 6．设f 具有连续的导函数，试求：()()⎰'-xa dt t f t x dxd 并用此结果求()⎰-x0tdt cos t x dxd四、证明题 1．证明：()⎰=ba J dx x f 存在的充要条件是：对任意一积分和()(∑=fn Tn ,2,1…），只要0lim →∞→Tn n ，都有().lim J Tn f n =∑∞→（这里()∑f Tn 是指f 对某一分割Tn 及所属的某一介点集所作的积分和）。