平面向量的数量积PPT教学课件
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平面向量的数量积PPT课件
【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】 考查平面向量的基本定理及向量数量 积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的 夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
平面向量的数量积_教学PPT课件
a
与
b
的夹角的余弦值为－
2 10 .
(2)设 a 与 c 的夹角为 θ，
则 cos θ＝|aa|··c|c|＝－25·－229＝－75858，
所以 c 在 a 方向上的投影为|c|cos θ＝－72 2.
(3)因为 c＝λ1a＋λ2b，所以5－＝2＝ －λλ11＋ ＋43λλ22， ，
解得 λ1＝－273，λ2＝37.
【解析】 (1)证明：由已知得，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，A→B·A→D＝－3 ＋3＝0，所以A→B⊥A→D.
(2)设 C(x，y)，则由A→D＝B→C得，(－3,3)＝(x－3，y－2)， 所以xy－－32＝＝－3. 3， 解得xy＝ ＝05.， 所以 C(0,5)．
(3)易求得 OD 的方程为 4x＋y＝0.设 M(a，b)，因为点 M 为直 线 OD 上的一个动点，所以 4a＋b＝0，即 b＝－4a.于是M→A·M→B＝ (2－a,1－b)·(3－a,2－b)＝(2－a)(3－a)＋(1－b)(2－b)＝6－5a＋a2 ＋(1＋4a)·(2＋4a)＝17a2＋7a＋8.
|a|＝ x21＋y21
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
典例剖析
知识点 1 平面向量数量积的坐标运算 【例 1】 已知向量 a 与 b 同向，且 b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量 a 的坐标； (2)若 c＝(2，－1)，求(b·c)a. 思路点拨： (1)设出向量 a 的坐标，由已知列出方程，即可解得 a 的坐标． (2)用向量的坐标直接计算即可．
解：由向量的数量积的坐标表示可知，a·b＝3k＋0×5， 又 a·b＝3 k2＋25cos 135°， ∴3k＝3 k2＋25cos 135°，得 k＝－5.
平面向量数量积的坐标表示(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
= 2 −
1
4
3
4
1
4
3
4
3
)(
2
+ 2 − = 1 − − = 0，
∴( + ) ⊥ ( − ).
3
)
2
−
3
)
2
3
).
2
课堂小结
设非零向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，与的夹角为θ，则有:
数量积
模
两点间
距离公式
垂直
夹角
坐标表示
∙ = 1 2 + 1 2
|| =
1 2 + 1 2 或|| = 1 2 + 1 2
设1 (1 , 1 )，2 (2 , 2 )，则|1 2 | =
(1 − 2 )2 +(1 2 )2 ⊥ ⇔ ∙ = 0 ⇔ 1 2 + 1 2 = 0
解决向量夹角问题的方法及注意事项
x1x2＋y1y2
a·b
(1)求解方法：由 cos θ＝
＝
直接求出 cos θ.
|a||b|
2
2
2
2
x1＋y1 x2＋y2
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是
0°≤θ≤180°.利用cos θ＝
a·b
判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：
可设(, 2)，因为 ∙ = ( 2, 0) ∙ (, 2) = 2，所以 = 1，(1,2).
所以 ∙ = ( 2, 1) ∙ (1 − 2, 2) = 2.
B
6.(2)已知与同向， = (1,2)， ∙ = 10.
平面向量的数量积PPT课件
|b|＝ (2n－3m )2＝ 4n2－12m ·n＋9m 2＝ 7. 而a·b＝(2m ＋n)·(2n－3m )＝m ·n－6m 2＋2n2＝－72， 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝|aa|··|bb|＝－772＝－12. 又θ∈[0°，180°]，故a与b的夹角为120°.
20
题型四 平面向量的垂直问题 例4 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．
＝2×((－－44))＋2＋37×2 7＝
13 ＝ 65
65 5.
6
4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在向量 b 方
向上的投影是
(A )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析 a·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上
的投影的乘积，而 cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝－23， ∴|a|·cos〈a，b〉＝6×－23＝－4，故选 A.
23
变式训练4 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， OA
＝(－2，m)，O→B＝(n,1)， OC ＝(5，－1)，且O→A⊥ O→B ，
求实数m，n的值．
解 由于A、B、C三点在同一条直线上， 则 AC ∥A→B， AC ＝OC OA ＝(7，－1－m)， A→B＝O→B－O→A＝(n＋2,1－m)，
4
基础自测 1．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，
|b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b ＝___3_____. 解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2× 3× 23＝3.
5
3
2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10 ,则 AB·AC ＝___2 ___.
20
题型四 平面向量的垂直问题 例4 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．
＝2×((－－44))＋2＋37×2 7＝
13 ＝ 65
65 5.
6
4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在向量 b 方
向上的投影是
(A )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析 a·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上
的投影的乘积，而 cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝－23， ∴|a|·cos〈a，b〉＝6×－23＝－4，故选 A.
23
变式训练4 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， OA
＝(－2，m)，O→B＝(n,1)， OC ＝(5，－1)，且O→A⊥ O→B ，
求实数m，n的值．
解 由于A、B、C三点在同一条直线上， 则 AC ∥A→B， AC ＝OC OA ＝(7，－1－m)， A→B＝O→B－O→A＝(n＋2,1－m)，
4
基础自测 1．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，
|b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b ＝___3_____. 解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2× 3× 23＝3.
5
3
2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10 ,则 AB·AC ＝___2 ___.
6.2.4向量的数量积 课件【共48张PPT】
5×3×4×cos 120°-2×4 =25.
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
[例 3] 已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量 a,b 的夹角是 120°,a,c 的夹角是
45°.求:
(3)a·(a-4b+ c).
2
2
解:(3)a·(a-4b+ c)=a -4a·b+ a·c=|a| -4|a||b|cos 120°+ |a|
向量运算的相互转化.
2
2
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2b2等.
即时训练 4-1:已知|a|=1,|b|=3,且|a-b|=2,求 |a+b|.
解:法一
2
2
2
2
因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1+9-2a·b=4,
→
→
(2)如图(2),在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 M 作直线 ON 的垂线,
→
垂足为 M1,则 就是向量 a 在向量 b 上的 投影向量
.
(3)设与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为θ,对任意的θ∈[0,π],
→
都有 = |a|cos θ e .
||
cos
||
θ=cos
答案:-2e -a
· a=- a.
方法总结
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法
将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向
)中计算即可.
||
相同的单位向量,且 e=
即时训练 2-1:已知|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 60°,则向量 a 在向量 b
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
平面向量的数量积公开课ppt课件
积（或内积），记作a b ，即
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），
则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， （ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
平面向量的数量积教学课件
注意向量的夹角和方向
总结词
平面向量的数量积不仅与向量的模长有关，还与向量 的夹角和方向密切相关。
详细描述
平面向量的数量积是两个向量夹角的余弦值与向量模 长的乘积。因此，向量的夹角和方向对数量积的计算 至关重要。当两个向量的夹角为90度时，它们的数量 积为0；当两个向量的夹角为180度时，它们的数量积 为负；当两个向量的夹角为锐角时，它们的数量积为 正。此外，当两个向量的方向相同时，它们的数量积 为正；当两个向量的方向相反时，它们的数量积为负 。
平行四边形的面积
总结词
平行四边形的面积等于两向量坐标对应 乘积的和。
VS
详细描述
设平行四边形ABCD的两条边AB和AD分 别对应于向量a和向量b，则平行四边形 的面积可以表示为S=|a||b|cos(π−θ)，其 中θ是向量a和向量b之间的角度。可以看 出，当向量a和向量b垂直时， cos(π−θ)=-1，此时面积最小，为0；当 向量a和向量b平行时，cos(π−θ)=1，此 时面积最大，为|a||b|。因此，平行四边 形的面积与两向量的长度和夹
交换律
01
02
03
交换律描述
两个向量的数量积不改变 ，即向量a和向量b的数量 积等于向量b和向量a的数 量积。
数学符号表示
若a = (x1, y1) ，b = (x2, y2)，则a·b = b·a。
交换律的意义
在解决平面向量数量积问 题时，可以任意调换两个 向量的位置，而不会改变 问题的结果。
注意向量的模长和坐标表示
要点一
总结词
要点二
详细描述
平面向量的模长和坐标表示是数量积计算的两种常用方法 ，需注意它们之间的区别和联系。
平面向量的数量积可以通过两种方法进行计算：一种是直 接使用向量的模长和夹角进行计算，另一种是使用向量的 坐标表示进行计算。在使用模长和夹角进行计算时，需要 注意向量的单位长度为1的限制，同时还要考虑向量的方向 。在使用坐标表示进行计算时，需要注意向量的起点是否 重合，以及坐标轴的方向和单位。