哈工大模式识别课程3用概率密度函数估计
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概率密度函数的参数估计
对类条件概率密度函数的函数形式作出假设，参数可以表示为参数矢量θ：
3.1 最大似然估计
似然函数
样本集D出现的概率： 对数似然函数：
最大似然估计
最大似然估计：寻找到一个最优矢量 ，使得似然函数 最大。
正态分布的似然估计
Gauss分布的参数：由均值矢量μ和协方差矩阵Σ构成，最大似然估计结果为：
第三章 概率密度函数的参数估计
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单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
演讲人姓名
STEP1
STEP2
贝叶斯分类器的学习：类条件概率密度函数的估计。
问题的表示：已有c个类别的训练样本集合D1，D2，…，Dc，求取每个类别的类条件概率密度 。
贝叶斯估计的一般理论
学习过程：参数后验概率密度的估计
识别过程：类条件概率密度的计算
单变量正态分布的贝叶斯估计
已知概率密度函数满足正态分布，其中方差σ2已知，均值μ未知，假设μ的先验概率满足正态分布，即：
均值的后验概率
经推导可得，在已知训练样本集合D的条件下，参数μ的分布：
均值的后验概率
均值的后验概率仍满足正态分布，其中：
估值问题的计算
计算复杂度：
HMM估值算法的简化
HMM的前向算法
初始化： 迭代计算： 结束输出：
计算复杂度：
解码问题的计算：同估值问题的计算类似，最直观的思路是遍历所有的可能状态转移序列，取出最大值，计算复杂度为：O(MTT)。
同样存在着优化算法：Viterbi算法。
解码问题
因为需要回朔最优路径，所以建立一个矩阵Φ，其元素 保存第t步，第i个状态在第t-1步的最优状态。
模式识别课后习题答案
• 2.16 证明M ahalanobis距离r符合距离定义三定理，即 – (1) r(a, b) = r(b, a) – (2) 当且仅当a = b时，r(a, b) = 0 – (3) r(a, c) ≤ r(a, b) + r(b, c) 证明： (1) r(a, b) = (a − b)T Σ−1 (a − b) = (b − a)T Σ−1 (b − a) = r(b, a) (2) Σ为半正定矩阵所以r(a, b) = (a − b)T Σ−1 (a − b) ≥ 0，只有当a = b时，才有r(a, b) = 0。 (3) Σ−1 可对角化，Σ−1 = P ΛP T • 2.17 若将Σ−1 矩阵写为：Σ−1 h1d h2d ，证明M ahalanobis距离平方为 . . . hdd
• 2.13 把连续情况的最小错误率贝叶斯决策推广到离散情况，并写出其判别函数。 • 2.14 写出离散情况条件风险R(ai |x)的定义，并指出其决策规则。 解： R(ai |x) = = R(ak |x) = min
c ∑ j =1 c ∑ j =1
λij P (wj |x) λij pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx|wj )P (wj )////omit the same part p(x)
j =1,...,c j =1,...,c
考虑两类问题的分类决策面为：P (w1 |x) = P (w2 |x)，与p(x|w1 )P (w1 ) = p(x|w2 )P (w2 ) 是相同的。 • 2.9 写出两类和多类情况下最小风险贝叶斯决策判别函数和决策面方程。 • 2.10 随机变量l(x)定义为l(x) = p(x|w1 ) ，l(x)又称为似然比，试证明 p(x|w2 )
1
概率密度函数的估计.
∵ P(Xk| μ )=N(μ ,σ2),P(u)=N(μ 0,σ02)
P ( | X i ) a
k 1
1 1 Xk exp{ 2 2
1 N Xk 2 0 2 a' exp{ [ ]} 2 k 1 0
1 N 1 2 1 N 0 a' ' exp{ [( 2 2 ) 2( 2 Xk 2 ) ]} 2 0 k 1 0
三. 参数估计的基本概念
1. 统计量：样本中包含着总体的信息，总希望通过样本 集把有关信息抽取出来。也就是说，针对不同要求构 造出样本的某种函数，该函数称为统计量。 2. 参数空间：在参数估计中，总假设总体概率密度函数 的形式已知，而未知的仅是分布中的参数，将未知参 数记为 ，于是将总体分布未知参数 的全部可容许 值组成的集合称为参数空间，记为 。 3. 点估计、估计量和估计值：点估计问题就是构造一个 统计量d x1, , xN 作为参数 θ 的估计ˆ ，在统计学中 i i 是属于类别 的几个 称 ˆ 为 θ 的估计量。若 x1 , , xN i 样本观察值，代入统计量d就得到对于第i类的ˆ 的具体 数值，该数值就称为 θ 的估计值。
Xk
T
结论：①μ 的估计即为学习样本的算术平均
②估计的协方差矩阵是矩阵 X k X k 的算术 平均（nⅹn阵列， nⅹn个值）
T
二. 贝叶斯估计
极大似然估计是把待估的参数看作固定的未知量， 而贝叶斯估计则是把待估的参数作为具有某种先验 分布的随机变量，通过对第i类学习样本Xi的观察， 通过贝叶斯准则将概率密度分布P(Xi/θ)转化为后 验概率P(θ/Xi) ，进而求使得后验概率分布最大的 参数估计，也称最大后验估计。 估计步骤：
第三章 概率密度函数的估计
当 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) = 的最大似然估计是
解： 定义似然函数 l (θ ) =
k
1
θ
， 否则为0。证明θ
max x k 。
∏ p (x
k =1
N
k
|θ )
1 dH = 0， 即 − N ⋅ = 0 H (θ ) = ln l (θ ) = − N ln θ ，令 dθ θ 方程的解 θ ＝ ∝ ，但实际问题中，θ ≠∝ 。 1 已知有N个随机样本， 且 0 ≤ x ≤ θ 时 ， p (x | θ ) =
参数估计中的基本概念 统计量 参数空间 点估计、估计量和估计值 区间估计 参数估计判断标准 无偏性 有效性 一致性
3.2最大似然估计
（1）前提假设
参数θ（待估计）是确定（非随机）而未知的量 样本集分成c类，为A1，A2，…，Ac，Aj的样本是 从概率密度为 p x | ω j 的总体中独立抽取出来的。
i =1 i =1 i =1 i =1
N
(
)
N
N
例3.2：设x服从正态分N(μ,σ2)，其中参数μ、 σ2未知，求它们的最大似然估计量。
N
解： 设样本集 A = {x1 , x2 ,..., xN }， 定义似然函数 l (θ ) = ∏ p(xi | θ )
i =1 2 ⎧ ⎡ ( xi − μ ) ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ 1 exp⎢− H (θ ) = ln l (θ ) = ∑ ln p (xi | θ ) = ∑ ln ⎨ ⎥⎬ 2 2σ ⎪ i =1 i =1 ⎣ ⎦⎪ ⎭ ⎩ 2π σ 2 N ⎧ ⎫ ( ) x − 1 1 μ 2 i = ∑ ⎨− ln 2π − ln σ − ⎬ 2 2 2σ i =1 ⎩ 2 ⎭ N N 2
3 模式识别原理课件-第4章 概率分类法
则 X 1
（4-15） （4-16）
若 r1 ( X ) r2 ( X )
由（4-15）式：
则 X 2
L11 p X | 1 P(1 ) L12 p X | 2 P(2 ) L21 p X | 1 P(1 ) L22 p X | 2 P(2 )
（4）三者关系：根据(4-4)贝叶斯公式有
P Ai | B
P Ai PB | Ai
P A PB | A
i 1 i i
n
p X | i Pi Pi | X p X
p X | i Pi
p X | P
4.2.2 最小风险贝叶斯决策
1. 风险的概念 * 自动灭火系统： * 疾病诊断：
不同的错判造成的损失不同，因此风险不同，两者紧密相连 。
考虑到对某一类的错判要比对另一类的错判更为关键， 把最小错误率的贝叶斯判决做一些修改，提出了“条件平均
风险” 的概念。
最小风险贝叶斯决策基本思想： 以各种错误分类所造成的平均风险最小为规则，进行分类 决策。
2. 决策规则
对M类问题，如果观察样本X被判定属于ωi类，则条件平 均风险ri(X)指将X判为属于ωi类时造成的平均损失。
M
Lij对P作加权平均
ri ( X ) Lij ( X ) P( j | X )
j 1
式中， i ——分类判决后指定的判决号； j ——样本实际属于的类别号； 即损失函数。
i 1 i i
M
（4-5）
M：类别数
4.2 贝叶斯决策
4.2.1 最小错误率贝叶斯决策
1. 问题分析 讨论模式集的分类，目的是确定X属于那一类，所以 要看X来自哪类的概率大。在下列三种概率中： 先验概率P(ωi) 类(条件)概率密度p(X |ωi) 后验概率P(ωi| X)
模式识别导论章 (5)
第5章 概率密度函数估计
N
L( ) p( X (N ) | ) p( x1, x2, , xN | ) p( xk | ) k 1
(5-1)
我们作最大似然估计的目的是想知道所抽取的样本最可能来自
哪个密度函数。换句话说，我们所抽取出的这组样本来自哪个
密度函数(θ取什么值)的可能性最大，即我们要在参数空间Θ
中找到一个θ值(用 表示)ˆ，它能使似然函数
L(ˆ)
极 达大到化最。 大这的里估计量ˆ 是。θ所的以最，θ大的似然最估大计似量然，估也计就量是是使下似面然微函分数方
程的解；
dL( ) 0 d
(5-2)
第5章 概率密度函数估计
为了便于分析，使用似然函数的对数比使用似然函数本身 更容易些。因为对数函数是单调增加的，因此使对数似然函数
学中称为θ
(4)区间估计：利用抽样分布估计参数可能位于的区间，
即要求用区间［d1，d2］作为θ可能取值范围的一种估计。这
第5章 概率密度函数估计
本章要求估计概率密度函数的某些参数，属于点估计问题。 评价一个估计的“好坏”，不能仅仅以一次抽样结果得到的估 计值与参数真值之间的偏差大小来确定，而必须从平均的和方 差的角度出发进行分析。为了表示这种偏差，统计学中做了很 多关于估计量性质的定义。我们在介绍常用的参数估计方法的 同时,将进一步研究估计量的性质。
θ=［θ1，θ2，…，θs］T 对数似然函数为
H(θ)=ln［L(θ)］=lnp(x1，x2，…，xN|θ1，θ2，…， θs) (5-5)
在N个样本独立抽取的条件下，式(5-5)可写为
N
N
H (θ) ln p( xk | θ) ln p( xk | θ)
k 1
概率密度函数的估计与应用
概率密度函数的估计与应用概率密度函数（probability density function，简称PDF）是概率论和数理统计中常用的概念，广泛应用于可变量的分布描述、数据拟合以及随机变量的概率计算中。
在实际应用中，我们经常用到概率密度函数的估计，以求得随机变量的分布特征和统计学参数，从而为数据分析和建模提供有力支撑。
一、概率密度函数的基本概念及分布函数概率密度函数是描述随机变量取值的概率分布的一种数学模型。
简单来说，概率密度函数是一个连续函数，其在某个点的导数表示该点处的概率密度，对于某个区间上的积分则表示该区间内的概率和。
当随机变量服从某一分布时，我们可以通过该分布的概率密度函数来描述其分布特征。
分布函数是概率密度函数的一个相关概念，其所描述的是随机变量取值在某一范围内的累积概率。
与概率密度函数不同的是，分布函数是一个非降的右连续函数，其在某一点的最左极限为该点处的概率。
二、概率密度函数的估计方法根据大数定律和中心极限定理，我们可以利用样本数据来对总体的概率密度函数进行估计。
这里介绍两种常用的概率密度函数估计方法，分别是核密度估计和最大似然估计。
1. 核密度估计核密度估计将样本数据和一个给定的核函数结合起来，通过计算核函数在每个观测值处的值和分布范围，得到在该点处的概率密度函数估计值。
核密度估计的优点在于其所得到的概率密度函数是一个连续函数，并且无需对数据做出具体的分布假设。
2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其原理是选择某个分布参数（如均值、方差、形状参数等），使得样本数据在该分布下的概率最大。
对于正态分布、指数分布等常见分布，最大似然估计具有较好的稳健性和准确性。
三、概率密度函数的应用概率密度函数的应用十分广泛，下面将简单介绍几个常见的应用场景。
1. 数据拟合在数据分析和建模中，常常需要使用概率密度函数来对数据进行拟合。
通过使用不同的概率密度函数，可以描述不同类型的随机变量，如正态分布、指数分布、泊松分布等。
概率密度函数估计
期望风险：
R Ed
(ˆ, ) p(x, )ddx
(ˆ, ) p( | x) p(x)ddx
Ed
R(ˆ | x) p(x)dx Ed 其中，x Ed ，
条件风险： R(ˆ | x) (ˆ, ) p( | x)d
xEd
X
k
T
1 X k
代入上式得
N
1 X k 0
k 1
1
N
X k 0
k 1
所以
1( N X k N ) 0
k 1
1 N
N
Xk
k 1
这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术
平均。
如果必要条件有多解则需从中求似然函数最大者若不满足条件则无一般性方法用其它方法求最大以均匀分布32最大似然估计maximumlikelihoodestimation正态分布下的最大似然估计示例以单变量正态分布为例样本集似然函数32最大似然估计maximumlikelihoodestimation对数似然函数最大似然估计量满足方程32最大似然估计maximumlikelihoodestimation得方程组未知估计服从正态分布所以在正态分布时待估参数为代入上式得所以这说明未知均值的最大似然估计正好是训练样本的算术平均
非参数方法 (nonparametric methods)
不假定数学模型，直接用已知类别的学习样本的先验知识直 接估计数学模型。
二．监督学习与无监督学习 监督学习：在已知类别样本指导下的学习和训练，
参数估计和非参数估计都属于监督学习。
无监督学习：不知道样本类别，只知道样本的某些 信息去估计，如：聚类分析。
概率密度函数的估计
概率密度函数是描述随机变量取值概率分布的函数，是概率论中的核心概念。在实际问题中，类条件概率密度常常是未知的，因此需要通过样本集进行估计。估计方法主要分为参数估计和非参数估计两种。参数估计是在概率密度函数形式已知但参数未知的情况下，通过训练数据来估计参数，常用方法ห้องสมุดไป่ตู้最大似然估计和Bayes估计。最大似然估计是通过最大化似然函数来求解参数，使得估计出的概率密度函数最符合样本数据的分布。而Bayes估计则考虑了参数的先验分布，通过贝叶斯公式求出参数的后验分布，进而得到估计量。非参数估计是在总体概率密度函数形式未知的情况下，直接利用训练数据对概率密度进行推断，主要方法有Parzen窗法和kN-近邻法。Parzen窗法是通过某种函数表示某一样本对待估计的密度函数的贡献，所有样本所作贡献的线性组合视作对某点概率密度的估计。而kN-近邻法则是把窗扩大到刚好覆盖kN个点，落在窗内的样本点的数目固定，但窗宽是变化的，从而提高了分辨率。这些方法在模式识别、机器学习等领域有广泛应用，特别是在设计贝叶斯分类器时，需要利用样本集来估计类条件概率密度，进而完成分类器的设计。
哈工大模式识别课程12.统计学习理论-I
7
【支持向量机: Support Vector Machine (SVM)】
• SVM是一种基于统计学习理论的机器 学习方法，它是由Boser,Guyon, Vapnik在COLT-92上首次提出，从此 迅速发展起来 Vapnik V N. 1995. The Nature of Statistical Learning Theory. SpringerVerlag, New York Vapnik V N. 1998. Statistical Learning Theory. Wiley-Interscience Publication, John Wiley&Sons, Inc 目前已经在许多智能信息获取与处理 领域都取得了成功的应用。
14
【模型与数学描述】 • 模型：
输入 x 系统 输出 y
预测输出 y’ 学习机
15
【模型与数学描述】
• 学习样本的函数:
– 产生器 (G) generates observations x (typically in Rn), independently drawn from some fixed distribution F(x) – 训练器Supervisor (S) labels each input 训练器Supervisor x with an output value y according to some fixed distribution F(y|x) – 学习机Learning Machine (LM) “learns” 学习机Learning from an i.i.d. l-sample of (x,y)-pairs output from G and S, by choosing a function that best approximates S from a parameterised function class f(x,α), where α is in Λ the parameter set • 关键概念: F(x,y), an i.i.d. l-sample on F, 关键概念: functions f(x,α) and the equivalent representation of each f using its index α
【支持向量机: Support Vector Machine (SVM)】
• SVM是一种基于统计学习理论的机器 学习方法，它是由Boser,Guyon, Vapnik在COLT-92上首次提出，从此 迅速发展起来 Vapnik V N. 1995. The Nature of Statistical Learning Theory. SpringerVerlag, New York Vapnik V N. 1998. Statistical Learning Theory. Wiley-Interscience Publication, John Wiley&Sons, Inc 目前已经在许多智能信息获取与处理 领域都取得了成功的应用。
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【模型与数学描述】 • 模型：
输入 x 系统 输出 y
预测输出 y’ 学习机
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【模型与数学描述】
• 学习样本的函数:
– 产生器 (G) generates observations x (typically in Rn), independently drawn from some fixed distribution F(x) – 训练器Supervisor (S) labels each input 训练器Supervisor x with an output value y according to some fixed distribution F(y|x) – 学习机Learning Machine (LM) “learns” 学习机Learning from an i.i.d. l-sample of (x,y)-pairs output from G and S, by choosing a function that best approximates S from a parameterised function class f(x,α), where α is in Λ the parameter set • 关键概念: F(x,y), an i.i.d. l-sample on F, 关键概念: functions f(x,α) and the equivalent representation of each f using its index α