2014-2015学年山西省大同一中高一(上)数学期末试卷 及解析
山西省朔州市一中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
朔州市一中2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试题 命题人：冯占胜（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U ）等于（ ）A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{2，4，5}D ．{2，5}2．设集合M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）3．下列各组函数是同一函数的是 （ ）①()f x =()g x = ②()f x x =与()g x = ③0()f x x =与g (x )=1； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④4．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ）A 、3a -≤B 、3a -≥C 、a ≤5D 、a ≥5 5．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于直线y x =-对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称6．已知()f x =5(6)(4)(6)x x f x x -≥⎧⎨+<⎩，则(3)f 的值为 （ ）A ．2B ．5C ．4D ．3 7．若0.52a =，πlog 3b =，2log 0.5c =，则（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.b c a >>8．函数()12x f x -=的图象是 （ ）9．已知函数f (x)14x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 （ ） A ．（ 1，5 ） B ．（ 1, 4） C ．（ 0，4） D ．（ 4，0）10．若定义运算b a ba b aa b <⎧⊕=⎨≥⎩，则函数()212log log f x x x =⊕的值域是（ ） A ．[)0,+∞ B ． (]0,1 C ． [)1,+∞ D ． R 11．函数]1,0[在x a y =上的最大值与最小值的和为3，则=a （ ）A ．21B ．2C ．4D ．4112. 下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A 、12log (1)y x =+ B 、2log y =C 、21log y x = D 、2log (45)y x x =-+ 二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分） 13.函数y = .14.已知幂函数)(x f y =的图象过点=)9(),2,2(f 则 .15.已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩ 若()2f x =，则x = .16．数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在(,0]-∞上函数单调递减； 乙：在[0,)+∞上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线x =1对称； 丁：(0)f 不是函数的最小值.老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么，你认为_________说的是错误的．三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本题满分10分）设{}{}24,21,,5,1,9A a a B a a =--=--，已知{}9A B =，求a 的值。
2014-2015年山西省长治一中高一(上)数学期中试卷和答案
2014-2015学年山西省长治一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（4分）下列各组中，函数f（x）与g（x）表示同一函数的一组是（）A．f（x）=lgx2和g（x）=2lgx B．f（x）=x﹣2和g（x）=，C．f（x）=x和g（x）D．f（x）=log33x和g（x）=，3．（4分）设集合A={x|﹣3≤x≤0}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B=（）A．[﹣1，0]B．[﹣3，3]C．[0，3]D．[﹣3，﹣1]4．（4分）设集合A={x|x+1＞0}，B={x|x﹣2＜0}．则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≥2}C．{x|x＞2或x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜2} 5．（4分）若函数f（x）在[a，b]上连续，且有f（a）•f（b）＞0．则函数f（x）在[a，b]上（）A．一定没有零点B．至少有一个零点C．只有一个零点D．零点情况不确定6．（4分）函数f（x）=4+log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（1，4） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，5）7．（4分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a8．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（4分）函数f（x）=+lg（2x+1）的定义域为（）A．（﹣5，+∞）B．[﹣5，+∞）C．（﹣5，0）D．（﹣2，0）10．（4分）若对于任意实数x，都有f（﹣x）=f（x），且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，则（）A．f（﹣2）＜f（2）B．f（﹣1）＜C．＜f（2） D．f（2）＜11．（4分）幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0）12．（4分）下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．①②④B．④②③C．①②③D．④①②13．（4分）函数的大致图象为（）A．B．C．D．14．（4分）给出幂函数①f（x）=x；②f（x）=x2；③f（x）=x3；④f（x）=；⑤f（x）=．其中满足条件f＞（x1＞x2＞0）的函数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）15．（4分）设函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则a的范围为．16．（4分）设全集U={x∈N*|x＜9}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则（∁U A）∩（∁U B）=．17．（4分）函数f（x）=log2的图象关于原点对称，则实数a的值为．18．（4分）方程2x=x2的根有个．19．（4分）已知二次方程（m﹣2）x2+3mx+1=0的两个根分别属于区间（﹣1，0）和（0，2），则m的取值范围是．20．（4分）下列四个命题中：（1）如果两个函数都是增函数，那么这两函数的积运算所得函数为增函数；（2）奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f（x）在R上为增函数；（3）既是奇函数有时偶函数的函数只有一个；（4）若函数的最小值是a，最大值是b，则其值域为[a，b]．其中假命题的序号为．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）（1）计算：；（2）已知：log32=a，3b=5，试用a，b表示log3．22．（10分）已知函数f（x）=﹣（a≠0）（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）证明函数f（x）没有奇偶性．23．（10分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）=（1﹣4m）在[0，+∞）上是增函数，求a．24．（12分）函数f（x）=﹣ax2+4x+1的定义域为[﹣1，2]，（1）若a=2，求函数f（x）的值域；（2）若a为非负常数，且函数f（x）是[﹣1，2]上的单调函数，求a的范围及函数f（x）的值域．25．（14分）已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）其中（a＞0且a ≠1）．（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；（2）判断f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；（3）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．26．（14分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．四、以下题目是精英班同学所做的试题，普通班同学不做，共40分．27．（4分）设集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊊NC．N⊊M D．M与N关系不确定28．（4分）已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜029．（4分）若奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）=0，则＜0的解为．30．（4分）设函数f（x）是f1（x）=4x+1，f2（x）=x+2，f3（x）=﹣2x+4三个函数的最小值，则f（x）的最大值为．31．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=．（1）证明f（x）是奇函数，并求函数f（x）的单调区间；（2）分别计算f（4）﹣5f（2）g（2）和f（9）﹣5f（3）g（3）的值，由此概括出f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．32．（12分）设函数，（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1﹣t）=1；（3）求值：…．2014-2015学年山西省长治一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由{0，1}∪A={0，1}易知：集合A⊆{0，1}而集合{0，1}的子集个数为22=4故选：D．2．（4分）下列各组中，函数f（x）与g（x）表示同一函数的一组是（）A．f（x）=lgx2和g（x）=2lgx B．f（x）=x﹣2和g（x）=，C．f（x）=x和g（x）D．f（x）=log33x和g（x）=，【解答】解：A中的两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；B中的两个函数的对应关系不相同，故不是同一个函数；C中的两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；D中的两个函数即f（x）=x 和g（x）=x，这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系，因此，是同一个函数，故选：D．3．（4分）设集合A={x|﹣3≤x≤0}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B=（）A．[﹣1，0]B．[﹣3，3]C．[0，3]D．[﹣3，﹣1]【解答】解：∵A=[﹣3，0]，B=[﹣1，3]，∴A∩B=[﹣1，0]．故选：A．4．（4分）设集合A={x|x+1＞0}，B={x|x﹣2＜0}．则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≥2}C．{x|x＞2或x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜2}【解答】解：由题意A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}．又由图得，阴影部分对应的集合是（C R B）∩A，∴阴影部分表示的集合为{x|x≥2}故选：B．5．（4分）若函数f（x）在[a，b]上连续，且有f（a）•f（b）＞0．则函数f（x）在[a，b]上（）A．一定没有零点B．至少有一个零点C．只有一个零点D．零点情况不确定【解答】解：∵函数f（x）在[a，b]上的单调性没有说明，∴函数f（x）在[a，b]上的零点情况不确定．故选：D．6．（4分）函数f（x）=4+log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（1，4） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，5）【解答】解：由于函数y=log a x经过定点（1，0），故函数f（x）=4+log a（x﹣1）（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点（2，4），故选：C．7．（4分）三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选：C．8．（4分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．9．（4分）函数f（x）=+lg（2x+1）的定义域为（）A．（﹣5，+∞）B．[﹣5，+∞）C．（﹣5，0）D．（﹣2，0）【解答】解：由题意得：，解得x＞﹣5∴原函数的定义域为（﹣5，+∞）故选：A．10．（4分）若对于任意实数x，都有f（﹣x）=f（x），且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，则（）A．f（﹣2）＜f（2）B．f（﹣1）＜C．＜f（2） D．f（2）＜【解答】解：对于任意实数x，都有f（﹣x）=f（x），所以函数为偶函数根据偶函数图象关于y轴对称，且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，可知f（x）在（0，+∞）上是减函数对于A，f（﹣2）=f（2），∴A不正确；对于B，∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，﹣1＞，∴f（﹣1）＞，∴B不正确；对于C，f（2）=f（﹣2），∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，﹣2＜，∴f（﹣2）＜，∴C不正确，D正确；故选：D．11．（4分）幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0）【解答】解：幂函数f（x）=xα的图象过点（2，），所以=2α，即α=﹣2，所以幂函数为f（x）=x﹣2它的单调递增区间是：（﹣∞，0]．故选：D．12．（4分）下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．①②④B．④②③C．①②③D．④①②【解答】解：离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象④；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象①；最后加速向学校，其距离与时间的关系为二次函数，故应选图象②．故选：D．13．（4分）函数的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由题设条件，当x≥1时，f（x）=﹣（x﹣）=当x＜1时，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x故f（x）=，故其图象应该为综上，应该选D14．（4分）给出幂函数①f（x）=x；②f（x）=x2；③f（x）=x3；④f（x）=；⑤f（x）=．其中满足条件f＞（x1＞x2＞0）的函数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①函数f（x）=x的图象是一条直线，故当x1＞x2＞0时，f=；②函数f（x）=x2的图象是凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，f＜；③在第一象限，函数f（x）=x3的图象是凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，f＜；④函数f（x）=的图象是凸形曲线，故当x1＞x2＞0时，f＞；⑤在第一象限，函数f（x）=的图象是一条凹形曲线，故当x1＞x2＞0时，f＜；故仅有函数f（x）=满足，当x1＞x2＞0时，f＞；故选：A．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）15．（4分）设函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则a的范围为．【解答】解：∵f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，∴2a﹣1＜0，解得．故答案为：．16．（4分）设全集U={x∈N*|x＜9}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则（∁U A）∩（∁U B）={7，8} ．【解答】解：∵全集U={x∈N*|x＜9}={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，∴∁U A={4，5，6，7，8}，∁U B={1，2，7，8}，则（∁U A）∩（∁U B）={7，8}．故答案为：{7，8}17．（4分）函数f（x）=log2的图象关于原点对称，则实数a的值为1．【解答】解：由题意，＞0，则x∈（﹣1，a），则a=1，经验证为奇函数；故答案为：1．18．（4分）方程2x=x2的根有3个．【解答】解：∵2x=x2，设f（x）=2x，g（x）=x2，作出两个函数的图象如图：由图象可知两个函数的交点为3个，即方程根的公式为3个．当x＜0时，有一个根，当x=2或x=4时，也是方程的根，故答案为：3．19．（4分）已知二次方程（m﹣2）x2+3mx+1=0的两个根分别属于区间（﹣1，0）和（0，2），则m的取值范围是．【解答】解：设f（x）=（m﹣2）x2+3mx+1，则f（x）=0的两个根分别属于（﹣1，0）和（1，2）．所以，即，∴解得，故m的取值范围是，故答案为：20．（4分）下列四个命题中：（1）如果两个函数都是增函数，那么这两函数的积运算所得函数为增函数；（2）奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f（x）在R上为增函数；（3）既是奇函数有时偶函数的函数只有一个；（4）若函数的最小值是a，最大值是b，则其值域为[a，b]．其中假命题的序号为①②③④．【解答】解：解：（1），当x∈（0，+∞）时，y=x与y=﹣均为增函数，但这两个函数的积运算所得函数为y=x•（﹣）=﹣1不是增函数（为常函数），故（1）错误；（2），奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，而f（0）不一定存在，（2）错误；（3），既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，错误．如x∈（﹣1，1）时，f （x）=0既是奇函数又是偶函数的函数；f（x）=+既是奇函数又是偶函数的函数，故（3）错误；（4），若a＜b，函数f（x）=，即函数f（x）的最小值是a，最大值是b，则f（x）值域为{a，b}，而不是[a，b]，故（4）错误．故答案为：①②③④．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）（1）计算：；（2）已知：log32=a，3b=5，试用a，b表示log3．【解答】解：（1）原式===10；（2）∵3b=5，∴b=log35，∴=．22．（10分）已知函数f（x）=﹣（a≠0）（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）证明函数f（x）没有奇偶性．【解答】解：（1）证明：设x2＞x1＞0，∵f（x2）﹣f（x1）=﹣（）=﹣=，∵x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（2）证明：∵，∵f（﹣1）≠f（1）∴函数f（x）不是偶函数．又∵f（﹣1）≠﹣f（1）∴函数f（x）不是奇函数．23．（10分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）=（1﹣4m）在[0，+∞）上是增函数，求a．【解答】解：g（x）在[0，+∞）上为增函数，则1﹣4m＞0，即m＜．若a＞1，则函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，最小值为=m，最大值为a2=4，解得a=2，m=，与m＜矛盾；当0＜a＜1时，函数f（x）在[﹣1，2]上单调递减，最小值为a2=m，最大值为a﹣1=4，解得a=，m=．所以a=．24．（12分）函数f（x）=﹣ax2+4x+1的定义域为[﹣1，2]，（1）若a=2，求函数f（x）的值域；（2）若a为非负常数，且函数f（x）是[﹣1，2]上的单调函数，求a的范围及函数f（x）的值域．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3 …（2分）当x∈[﹣1，1]时，f（x）单调递增，当x∈[1，2]时，f（x）单调递减，f（x）max=f（1）=3，又∵f（﹣1）=﹣5，f（2）=1，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣5，∴f（x）的值域为[﹣5，3]…（6分）（2）当a=0时，f（x）=4x+1，在[﹣1，2]内单调递增，…（7分）当a＞0时，f（x）=，…（8分）又f（x）在[﹣1，2]内单调∴或∴﹣2≤a＜0或0＜a≤1∵a＞0∴0＜a≤1，此时函数在[﹣1，2]内单调递增综上：当0≤a≤1时，f（x）在[﹣1，2]内单调递增，∵f（x）min=f（﹣1）=﹣a﹣3，f（x）max=f（2）=﹣4a+9，∴值域为[﹣a﹣3，﹣4a+9]故a的取值范围是[0，1]，f（x）值域为[﹣a﹣3，﹣4a+9]﹣﹣﹣﹣﹣（12分）25．（14分）已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）其中（a＞0且a ≠1）．（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；（2）判断f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；（3）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．【解答】解：（1）f（x）+g（x）=log a（x+1）+log a（1﹣x）．若要上式有意义，则，即﹣1＜x＜1．所以所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}（2）设F（x）=f（x）+g（x），则F（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=log a（﹣x+1）+log a（1+x）=F（x）．所以f（x）+g（x）是偶函数．（3）f（x）﹣g（x）＞0，即log a（x+1）﹣log a（1﹣x）＞0，log a（x+1）＞log a（1﹣x）．当0＜a＜1时，上述不等式等价于解得﹣1＜x＜0．当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．26．（14分）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．试求函数f（t）的解析式，并画出函数y=f（t）的图象．【解答】解：（1）当0＜t≤1时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，又，∴，∴（2）当1＜t≤2时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2﹣t，又，∴∴（3）当t＞2时，综上所述四、以下题目是精英班同学所做的试题，普通班同学不做，共40分．27．（4分）设集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊊NC．N⊊M D．M与N关系不确定【解答】解：对于集合M：=，k∈Z，对于集合N：=，k∈Z，∵2k+1是奇数集，k+2是整数集，∴M⊊N，故选：B．28．（4分）已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0【解答】解：∵函数是R上的增函数设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选：B．29．（4分）若奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）=0，则＜0的解为（﹣2，0）∪（0，2）．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）的图象关于原点对称．∵函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（2）=0，∴函数f（x）的图象过点（2，0），（﹣2，0）．当0＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣2时，f（x）＜0．当x=﹣2或x=0或x=2时，f（x）=0．∵＜0，∴．∴或，∴﹣2＜x＜0或0＜x＜2．故答案为：（﹣2，0）∪（0，2）．30．（4分）设函数f（x）是f1（x）=4x+1，f2（x）=x+2，f3（x）=﹣2x+4三个函数的最小值，则f（x）的最大值为．【解答】解：由题意，可得函数f（x）的图象如图：由得A（，）∴f（x）的最大值为故答案为：．31．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=．（1）证明f（x）是奇函数，并求函数f（x）的单调区间；（2）分别计算f（4）﹣5f（2）g（2）和f（9）﹣5f（3）g（3）的值，由此概括出f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．当x＞0时，函数y=为增函数，y=为减函数，∴根据函数单调性的关系即可得到此时函数f（x）为增函数，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）．（2）f（4）﹣5f（2）•g（2）=0；f（9）﹣5f（3）•g（3）=0；由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是：f（x2）﹣5f（x）•g（x）=0，下面给予证明：∵f（x2）﹣5f（x）•g（x）===0，∴f（x2）﹣5f（x）•g（x）=0对所有不等于零的实数x都成立．32．（12分）设函数，（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1﹣t）=1；（3）求值：…．【解答】解：（1）证明：设任意x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==，∵x1＜x2，∴，∴，又．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），…（4分）∴f（x）在R上是增函数…（6分）（2）对任意t，f（t）+f（1﹣t）====1．∴对于任意t，f（t）+f（1﹣t）=1 …（10分）（3）∵由（2）得f（t）+f（1﹣t）=1∴，，∴+=2011，∴=…（14分）。
山西省大同一中高一数学上学期12月月考试卷 文(含解析)
2015-2016学年山西省大同一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题3分，共3×8=24分）1．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．方程x2+y2﹣2y=0所表示的曲线的特征是（）A．关于直线y=x对称 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称4．若M（x，y）满足，则M的轨迹（）A．双曲线B．直线 C．椭圆 D．圆5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，] C．（0，）D．[，1）6．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．7．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题（每小题3分，共3×8=24分）9．若椭圆=1的焦距为2，则m= ．10．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．11．在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．12．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b= ．13．已知椭圆C： +=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= ．14．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．15．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．16．若椭圆+=1的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．三、简答题17．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．18．已知f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若命题：对于任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2）为真命题，求a的范围．19．已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求该椭圆的标准方程和离心率．20．如图，已知椭圆C的方程为，点P（a，b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．21．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．2015-2016学年山西省大同一中高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共3×8=24分）1．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．故选：C．【点评】命题的否定和否命题的区别：对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题，既否定假设，又否定结论．2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．3．方程x2+y2﹣2y=0所表示的曲线的特征是（）A．关于直线y=x对称 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】判断圆的圆心坐标所在位置，即可得到结果．【解答】解：方程x2+y2﹣2y=0即x2+（y﹣1）2=1，是以（0，1）为圆心以1为半径的圆，图象关于y轴对称．故选：D．【点评】本题考查圆的一般方程的应用，圆的简单性质的判断，是基础题．4．若M（x，y）满足，则M的轨迹（）A．双曲线B．直线 C．椭圆 D．圆【考点】轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意， =，可得（x，y）到（2，1）的距离与到直线2x+y﹣4=0的距离的比为，即可得出结论．【解答】解：，可化为=，∴（x，y）到（2，1）的距离与到直线2x+y﹣4=0的距离的比为，利用椭圆的定义，可得轨迹是椭圆．故选：C．【点评】本题考查曲线与方程，考查椭圆的定义，正确变形是关键．5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，] C．（0，）D．[，1）【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．6．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A．B．3 C．D．【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】设椭圆短轴的一个端点为M．根据椭圆方程求得c，进而判断出∠F1MF2＜90°，即∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±，进而可得点P到x轴的距离．【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．由于a=4，b=3，∴c=＜b∴∠F1MF2＜90°，∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°．令x=±得y2=9=，∴|y|=．即P到x轴的距离为．【点评】本题主要考查了椭圆的基本应用．考查了学生推理和实际运算能力．7．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：设双曲线方程为，则F（c，0），B（0，b）直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，所以或（舍去）【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．8．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】综合题；压轴题．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．二、填空题（每小题3分，共3×8=24分）9．若椭圆=1的焦距为2，则m= 5或．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；规律型；分类讨论；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的焦点坐标所在坐标轴，求解即可得到结果．【解答】解：当m∈（0，4）时，椭圆=1的焦距为2，可得4﹣m=1，解得m=，当m＞4时，椭圆=1的焦距为2，可得m﹣4=1，解得m=5．故答案为：5或．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．10．若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 1 ．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．11．在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为+=1 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16；根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；椭圆的离心率为，即=，则a=c，将a=c，代入可得，c=2，则b2=a2﹣c2=8；则椭圆的方程为+=1；故答案为： +=1．【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．12．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b= 3 ．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．13．已知椭圆C： +=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 12 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，∴|AN|+|BN|=12．故答案为：12．【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查．14．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：，故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．15．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】压轴题；数形结合．【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出的值．【解答】解：如图，，作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案为：．【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．16．若椭圆+=1的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设过点（1，）的圆x2+y2=1的切线为l，根据直线的点斜式，结合讨论可得直线l分别切圆x2+y2=1相切于点A（1，0）和B（0，2）．然后求出直线AB的方程，从而得到直线AB与x轴、y轴交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，最后根据椭圆的基本概念即可求出椭圆的方程．【解答】解：设过点（1，）的圆x2+y2=1的切线为l：y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+=0①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x=1，恰好与圆x2+y2=1相切于点A（1，0）；②当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d==1，解之得k=﹣，此时直线l的方程为y=﹣x+，l切圆x2+y2=1相切于点B（，）；因此，直线AB斜率为k1==﹣2，直线AB方程为y=﹣2（x﹣1）∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．椭圆+=1的右焦点为（1，0），上顶点为（0，2）∴c=1，b=2，可得a2=b2+c2=5，椭圆方程为故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质、圆的切线的性质、椭圆中三参数的关系：a2=b2+c2．三、简答题17．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【考点】反证法与放缩法．【专题】计算题．【分析】至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法【解答】解：假设没有一个方程有实数根，则：16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）4a2+8a＜0（3）（5分）解之得：＜a＜﹣1（10分）故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤}．【点评】本题考查反证法，解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题，以达到简化解题的目的，在求解如本题这类存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对立面情况较少，不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围，然后求此范围的补集，即得所求范围，本题中三个方程都是一元二次方程，故求解时注意根的判别式的运用．18．已知f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若命题：对于任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2）为真命题，求a的范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化法；简易逻辑．【分析】根据条件求出f（x）和g（x）的最值，建立不等式关系即可．【解答】解：f（x）=x2﹣2x的对称轴为x=1，当x∈[﹣1，2]，当x=1时，函数取得最小值f（1）=1﹣2=﹣1，当x=﹣1时，函数取得最大f（﹣1）=1+2=3，则﹣1≤f（x）≤3，即f（x）的值域为[﹣1，3]，当x∈[﹣1，2]时，g（x）=ax+2为增函数，则g（﹣1）≤g（x）≤g（2），即2﹣a≤g（x）≤2a+2，即g（x）的值域为[2﹣a，2+2a]，若对于任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2），则，即，解得a≥3．【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据条件求出函数的最值，结合函数最值的关系建立不等式是解决本题的关键．19．已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求该椭圆的标准方程和离心率．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据圆柱的直径算出椭圆的短轴长，再由二面角的平面角等于30°，利用三角函数定义可算出椭圆的长轴．由此求截面椭圆的方程，进一步求出椭圆的离心率．【解答】解：∵圆柱的底面半径为4，∴椭圆的短轴2b=8，得b=4，又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°，∴cos30°=，得．以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为：．，∴．∴椭圆的离心率为：e=．【点评】本题以一个平面截圆柱，求载得椭圆的焦距，着重考查了平面与平面所成角的含义和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．20．如图，已知椭圆C的方程为，点P（a，b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）先把A、B两点和点Q的坐标设出来，再分A、B两点的横坐标相等和不相等两种情况分别设出直线l的方程，再利用A、B两点既在直线上又在椭圆C上，可以找到A、B 两点坐标之间的关系，最后利用中点坐标公式，就可求点Q的轨迹方程（注意要反过来检验所求轨迹方程是否满足已知条件）；（2）先找到曲线L与y轴的交点（0，0），（0，b）以及与x轴的交点坐标（0，0），（a，0），再对a和b的取值分别讨论，分析出与坐标轴的交点的个数（注意点P（a，b）的坐标满足）．【解答】解：（1）设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），点Q的坐标为Q（x，y）．当x1≠x2时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣a）+b由已知①y1=k（x1﹣a）+b，y2=k（x2﹣a）+b②由①得③由②得y1+y2=k（x1+x2）﹣2ak+2b④由③④及，，，得点Q的坐标满足方程2x2+y2﹣2ax﹣by=0⑤当x1=x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）．显然点Q的坐标满足方程⑤综上所述，点Q的坐标满足方程2x2+y2﹣2ax﹣by=0．设方程⑤所表示的曲线为L，则由得（2a2+b2）x2﹣4ax+2﹣b2=0．因为，由已知，所以当时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）．当时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点．因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内．故点Q的轨迹方程为2x2+y2﹣2ax﹣by=0（2）由解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）．由解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）．当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）．同理，当b=0且0＜|a|≤1，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）．当0＜|a|＜1且，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）．【点评】本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及轨迹方程问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．21．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．。
中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷word版含答案
D．无论 为何值,均有4个零点
9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ADC＝90°,AD＝2,BC＝1,P是腰DC上的动点,
则 的最小值为 （）
A．4B．5C． D．2
10.
A． B． C． D．
二、填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分
(1)当9天购买一次配料时, 求该食堂用于配料的保管费用 是多少元？
(2)设该食堂 天购买一次配料, 求该食堂在这 天中用于配料的总费用 （元）关于 的函数关系式, 并求该食堂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
20.对于函数 , 如果存在实数 使得 , 那么称 为 的线性函数.
(1)下面给出两组函数, 是否分别为 的线性函数？并说明理由;
19.
已知武汉二中食堂需要定期购买食品配料, 该食堂每天需要食品配料200千克, 配料的价格为 元/千克, 每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用（若 天购买一次, 需要支付 天的保管费）. 其标准如下: 7天以内（含7天）, 无论重量多少, 均按10元/天支付; 超出7天以外的天数, 根据实际剩余配料的重量, 以每天0.03元/千克支付.
第一组: ;
第二组: ;
(2)设 , 线性函数 .若不等式
在 上有解, 求实数 的取值范围;
21.(1)有时一个式子可以分拆成两个式子, 求和时可以达到相消化简的目的, 如我们初中曾学
过: = =
请用上面的数学思维来证明如下:
11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2, 则这个圆心角所对的弧长是.
12.已知 ,则 =. (用t表示)
山西省大同一中高一数学上学期12月月考试卷(含解析)
2015-2016学年山西省大同一中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．设集合，，则下列关系中正确的是（）A．A=B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B=[1，+∞）2．用辗转相除法求189与161的最大公约数时，需要做的除法的次数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确一组是（）A．B．C．D．4．把“二进制”数1011001（2）化为“五进制”数是（）A．224（5）B．234（5）C．324（5）D．423（5）5．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是（）A．，B．，C．，D．，6．用秦九韶算法求多项式f（x）=2x7+x6﹣3x5+4x3﹣8x2﹣5x+6的值时，v5=v4x+（）A．﹣3 B．4 C．﹣8 D．﹣57．执行图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．已知a=log0.55，b=log0.53，c=log32，d=20.3，则（）A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜c＜d C．a＜b＜d＜c D．c＜a＜b＜d9．要得到函数的图象，只需将函数y=41﹣x的图象（）A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位10．已知f（x）=|x+1|+|x﹣3|，x1，x2满足x1≠x2，且f（x1）=f（x2）=101，则x1+x2等于（）A．0 B．2 C．4 D．611．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．12．函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（每小题4分，共20分）13．函数f（x）=log0.6（6x﹣x2）的单调递增区间为．14．计算= ．15．已知f（x）=x2011+ax3﹣﹣6，f（﹣3）=10，则f（3）= ．16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为．17．如图是用条件语句编写的一个程序：若输入4，则输出的结果是，该程序的功能是求函数的值．三、解答题18．已知函数f（x）=（+）x3．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）证明 f（x）＞0．19．看下面的问题：1+2+3+…+（）＞10 000这个问题的答案虽然不唯一，但是我们只要确定出满足条件的最小正整数n0，括号内填写的数字只要大于或等于n0即可．试写出寻找满足条件的最小正整数n0的算法并画出相应的程序框图．20．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）21．已知函数f（x）=（log2x）2+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．（Ⅰ）设函数f（x）存在大于1的零点，求实数m的取值范围；（Ⅱ）设函数f（x）有两个互异的零点α，β，求m的取值范围，并求α•β的值．2015-2016学年山西省大同一中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．设集合，，则下列关系中正确的是（）A．A=B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B=[1，+∞）【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据题意，集合A是函数y=的值域，而集合B是函数y=的定义域，由此将集合A、B分别化简，不难选出正确选项．【解答】解：∵集合A={}∴化简，得集合A=[0，+∞）又∵B={}∴化简，得集合B={x|x2﹣1≥0}=（+∞，﹣1]∪[1，+∞）因此，集合A∩B=[1，+∞）故答案为：D【点评】本题给出一个函数的定义域和值域对应的集合，叫我们找出符合题意的关系式，着重考查了函数的定义域、值域的求法和集合包含关系的判断等知识，属于基础题．2．用辗转相除法求189与161的最大公约数时，需要做的除法的次数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题；转化思想；算法和程序框图．【分析】利用辗转相除法即可得出．【解答】解：189=161+28，161=28×5+21，28=21+7，21=7×3．∴需要做的除法的次数是4．故选：B．【点评】本题考查了辗转相除法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．将两个数a=8，b=17交换，使a=17，b=8，下面语句正确一组是（）A．B．C．D．【考点】赋值语句．【专题】规律型．【分析】要实现两个变量a，b值的交换，需要借助中间量c，先把b的值赋给中间变量c，再把a的值赋给变量b，把c的值赋给变量a．【解答】解：先把b的值赋给中间变量c，这样c=17，再把a的值赋给变量b，这样b=8，把c的值赋给变量a，这样a=17故选B【点评】本题考查的是赋值语句，考查逻辑思维能力，属于基础题．4．把“二进制”数1011001（2）化为“五进制”数是（）A．224（5）B．234（5）C．324（5）D．423（5）【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先将“二进制”数化为十进制数，然后将十进制的89化为五进制，即可得到结论．【解答】解：先将“二进制”数1011001（2）化为十进制数为26+24+23+20=89（10）然后将十进制的89化为五进制：89÷5=17余4，17÷5=3余2，3÷5=0余3所以，结果是324（5）故选C．【点评】本题考查的知识点是二进制、十进制与五进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．5．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是（）A．，B．，C．，D．，【考点】简单随机抽样．【专题】计算题；概率与统计．【分析】在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，结合已知中的总体容量，可得答案．【解答】解：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，∵总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为，故选：A【点评】本题考查的知识点是简单随机抽样，正确理解简单随机抽样中的等可能性，是解答的关键．6．用秦九韶算法求多项式f（x）=2x7+x6﹣3x5+4x3﹣8x2﹣5x+6的值时，v5=v4x+（）A．﹣3 B．4 C．﹣8 D．﹣5【考点】中国古代数学瑰宝．【专题】算法和程序框图．【分析】由秦九韶算法可得多项式f（x）=（（（（（（2x+1）x﹣3）x+0）x+4）x﹣8）x﹣5）x+6，即可得出．【解答】解：由秦九韶算法可得多项式f（x）=2x7+x6﹣3x5+4x3﹣8x2﹣5x+6=（（（（（（2x+1）x﹣3）x+0）x+4）x﹣8）x﹣5）x+6，于是v0=2，v1=v0x+1，v2=v1x﹣3，v3=v2x+0，v4=v3x+4，v5=v4x﹣8．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法，属于基础题．7．执行图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量V的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后：M=，a=2，b=，n=2；当n=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后：M=，a=，b=，n=3；当n=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后：M=，a=，b=，n=4；当n=4时，不满足进行循环的条件，故输出的M值为：，故选：D【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．已知a=log0.55，b=log0.53，c=log32，d=20.3，则（）A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜c＜d C．a＜b＜d＜c D．c＜a＜b＜d【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数y=log0.5x在（0，+∞）上是减函数，可得a＜b＜0．再由0＜c＜1，d=20.3=1，可得a、b、c、d 的大小关系．【解答】解：由于函数y=log0.5x在（0，+∞）上是减函数，故有a＜b＜0．再由0＜c＜1，d=20.3＞20=1，可得a＜b＜c＜d，故选A．【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．9．要得到函数的图象，只需将函数y=41﹣x的图象（）A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数的图象与图象变化．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】先将两函数都化为底是的函数，即y=和y=，再根据函数图象平移变换的特征，得出向左平移1个单位即可．【解答】解：函数=，函数y=41﹣x=，根据函数图象平移变换的特征，因此两个函数的底相同，指数分别为：（x﹣1）和x，因此，将函数y=的图象向左平移一个单位即可得到函数y=的图象，故答案为：A．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，涉及幂的运算以及函数图象的变换特征，属于基础题．10．已知f（x）=|x+1|+|x﹣3|，x1，x2满足x1≠x2，且f（x1）=f（x2）=101，则x1+x2等于（）A．0 B．2 C．4 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题．【分析】使得函数值是101，需要针对于函数中绝对值内的正负确定去掉绝对值以后的代数式，去掉绝对值以后，解出x的值，把两个自变量的值相加得到结果．【解答】解：∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|，x1，x2满足x1≠x2，且f（x1）=f（x2）=101，由绝对值的几何意义知x1，x2距离﹣1与3的距离之和是101，当x在﹣1与3的左边时，﹣x﹣1+3﹣x=101，∴x=﹣当x在3的右边时，x+1+x﹣3=101，∴x=则x1+x2=﹣故选B．【点评】本题考查含有绝对值的方程的解法，注意本题中要用到分类讨论思想，当绝对值内的代数式是一个正数时，直接去掉绝对值，当绝对值内是一个负数时，要变为相反数，运算过程中不要出错．11．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的图象．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据a变动时，以及函数的值域可知b为定值4，结合选项即可得到答案．【解答】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．12．函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【专题】计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】结合函数图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；若g（f（x））=0，则f（x）=﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；从而再结合图象求解即可．【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（每小题4分，共20分）13．函数f（x）=log0.6（6x﹣x2）的单调递增区间为（3，6）．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出原函数的定义域，再求出内层函数的减区间，则原复合函数的增区间可求．【解答】解：由6x﹣x2＞0，得0＜x＜6．∴函数f（x）=log0.6（6x﹣x2）的定义域为（0，6）．∵函数t=6x﹣x2在（3，6）上位减函数，而函数y=log0.6t为减函数，∴函数f（x）=log0.6（6x﹣x2）的单调递增区间为（3，6）．故答案为：（3，6）．【点评】本题考查了复合函数的单调性，关键是注意函数的定义域，是中档题．14．计算= ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】利用对数的运算性质，把等价转化为，由此能够求出结果．【解答】解：==lg5（lg5+lg2）+lg2+4+=lg5+lg2+=．故答案为：．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．15．已知f（x）=x2011+ax3﹣﹣6，f（﹣3）=10，则f（3）= ﹣22 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用条件f（﹣3）=10，建立方程关系即可．【解答】解：因为f（x）=x2011+ax3﹣﹣6，f（﹣3）=10，所以，所以，所以f（3）=．故答案为：﹣22．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件建立方程关系是解决本题的关键．16．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（﹣，0）．【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】原问题等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：由二次函数的知识可知，当x=时，抛物线取最低点为﹣，函数y=m的图象为水平的直线，由图象可知当m∈（﹣，0）时，两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点，故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查函数的零点，转化为两函数图象的交点是解决问题的关键，属中档题．17．如图是用条件语句编写的一个程序：若输入4，则输出的结果是15 ，该程序的功能是求函数的值．【考点】伪代码．【专题】计算题；分类讨论；综合法；算法和程序框图．【分析】通过程序可知函数解析式，进而代入计算即得结论．【解答】解：根据程序可知，当x＜3时y=2x，当x＞3时y=x2﹣1，当x=3时y=2，即，又∵输入值x=4，∴输出值为42﹣1=15，故答案为：15，．【点评】本题考查算法和程序框图，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于基础题．三、解答题18．已知函数f（x）=（+）x3．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）证明 f（x）＞0．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数的解析式可得 2x﹣1≠0，解得x≠0，由此求得函数的定义域．（2）显然函数的定义域关于原点对称，再根据f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．（3）当x＞0时， +＞，x3＞0，可得函数f（x）＞0．当x＜0时，同理证的函数f（x）＞0．综上可得f（x）＞0 成立．【解答】解：（1）由函数的解析式可得 2x﹣1≠0，解得x≠0，故函数的定义域为 {x|x∈R，且x≠0}．（2）显然函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=（+）（﹣x）3=（+）（﹣x）3=（+）（﹣x）3=（﹣1++）（﹣x）3=﹣（+）（﹣x）3=（+）x3 =f（x），故函数f（x）为偶函数．（3）当x＞0时， +＞，x3＞0，∴函数f（x）=（+）x3 ＞0．当x＜0时，＜﹣1， +＜0，x3＜0，∴函数f（x）=（+）x3 ＞0．综上可得，f（x）＞0．【点评】本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断方法，不等式的性质应用，属于中档题．19．看下面的问题：1+2+3+…+（）＞10 000这个问题的答案虽然不唯一，但是我们只要确定出满足条件的最小正整数n0，括号内填写的数字只要大于或等于n0即可．试写出寻找满足条件的最小正整数n0的算法并画出相应的程序框图．【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析题目中的要求，发现这是一个累加型的问题，故可能用循环结构来实现，在编写算法的过程中要注意，累加的初始值为1，累加值每一次增加1，退出循环的条件是累加结果＞1000，把握住以上要点不难得到正确的算法和流程图．【解答】解：算法一：第一步，p=0；第二步，i=0；第三步，i=i+1；第四步，p=p+i；第五步，如果p＞10000，则输出i，否则，执行第六步；第六步，回到第三步，重新执行第三步，第四步，第五步．该算法的程序框图如图所示：算法二：第一步，取n的值等于1；第二步，计算；第三步，如果的值大于10000．那么n即为所求，否则，让n的值增加1，然后转到第二步，第三步重复操作．该算法的程序框图：【点评】可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分如下步骤：①观察S的表达式分析，循环的初值、终值、步长②观察每次累加的值的通项公式③在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值④在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长⑤输出累加（乘）值．20．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的表示方法；函数的值．【专题】压轴题．【分析】（I）服装的实际出厂单价为P，应按x≤100和x＞100两类分别计算，故函数P=f （x）应为分段函数；（II）由（I）可求出销售商一次订购了450件服装时的出厂价P，450（P﹣40）即为所求；也可列出当销售商一次订购x件服装时，该服装厂获得的利润函数，再求x=450时的函数值．【解答】解：（I）当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，所以（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则此函数在[0，450]上是增函数，故当x=450时，函数取到最大值因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．【点评】本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力．21．已知函数f（x）=（log2x）2+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．（Ⅰ）设函数f（x）存在大于1的零点，求实数m的取值范围；（Ⅱ）设函数f（x）有两个互异的零点α，β，求m的取值范围，并求α•β的值．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）转化g（t）=t2+4t+m，t∈[﹣3，2]g（t）在t∈（0，2]时有零点g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t0=﹣2，根据二次函数求解得出即即可．（Ⅱ）根据二次函数得出，运用韦达定理求解即可，方程g（t）=t2+4t+m=0的两根t1+t2=﹣4，即再运用对数求解即可，，【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（log2x）2+4log2x+m，x∈[，4]，m为常数．令t=log2x，∵x∈[，4]，∴t∈[﹣3，2]则由已知，若f（x）存在大于1的零点，即g（t）在t∈（0，2]时有零点g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t0=﹣2，所以若g（t）在t∈（0，2]时有零点，即⇒﹣12≤m＜0即m的取值范围为[﹣12，0，（Ⅱ）若f（x）有两个相异的零点，即g（t）在t∈[﹣3，2]时有两个相异零点∴g（t）表示的二次函数开口向上，对称轴为t0=﹣2∴即m的取值范围为[3，4），此时，方程g（t）=t2+4t+m=0的两根t1+t2=﹣4即，【点评】本题综合考查了函数的性质，不等式，方程，函数的零点的求解，属于中档题，关键是确定相应的函数解析式，以及范围．。
山西省大同一中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年山西省大同一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（﹣1，2，﹣3）B．（1，﹣2，﹣3）C．（1，2，﹣3）D．（1，﹣2，﹣3）2．已知一个几何体的三视图及其大小如图，这个几何体的体积V=（）A．12πB．16πC．18πD．64π3．直线l过点A（3，4），且与点B（﹣3，2）的距离最远，则直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．x﹣3y+9=0 C．3x+y﹣13=0 D．x+3y﹣15=0 4．已知不同的直线m、n，不同的平面α、β，下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊂α，则m∥αD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n5．设双曲线（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．6．下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价7．已知直线l与平面α所成的角为30°，在平面α内，到直线l的距离为2的点的轨迹是（）A．线段B．圆C．椭圆D．抛物线8．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣29．以椭圆的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）A．x2=8y B．y2=16x C．x2=﹣8y D．y2=﹣16x10．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④11．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）A．6 B．4 C．12 D．14412．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4）B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：4二、填空题（4分×4）13．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是．14．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是．15．△ABC的三个顶点分别是A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC边上的高BD长为．16．设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则=．三、解答题17．已知：平面α，β和直线l，m，且l∥α，l∥β，α∩β=m．求证：l∥m．18．如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点．（1）用向量，，表示和．（2）若四面体OABC的所有棱长都等于1，求的值．19．在直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）设过点P（0，﹣2）的直线l与圆C交于A，B两点，求|PA||PB|的值．20．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．21．已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．2015-2016学年山西省大同一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（﹣1，2，﹣3）B．（1，﹣2，﹣3）C．（1，2，﹣3）D．（1，﹣2，﹣3）【考点】空间中的点的坐标．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），∴点（1，﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标为：（1，2，﹣3）故选：C．【点评】本题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．已知一个几何体的三视图及其大小如图，这个几何体的体积V=（）A．12πB．16πC．18πD．64π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱，底面直径为4，高为3，上面是圆锥，高为3的简单组合体．【解答】解：由几何体的三视图知这个几何体是一个下面是圆柱，上面是圆锥的简单几何体．圆柱底面直径为4，高为3，圆锥高为3，体积为：V=Sh+Sh=π223+π223=16πcm3．故选B．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积、体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．3．直线l过点A（3，4），且与点B（﹣3，2）的距离最远，则直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．x﹣3y+9=0 C．3x+y﹣13=0 D．x+3y﹣15=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的一般式方程与直线的性质．【专题】计算题．【分析】由题意知，直线l应和线段AB垂直，直线l的斜率是线段AB斜率的负倒数，又线l过点A（3，4），点斜式写出直线l的方程，并化为一般式．【解答】解：∵线l过点A（3，4）且与点B（﹣3，2）的距离最远，∴直线l 的斜率为： ==﹣3， ∴直线l 的方程为y ﹣4=﹣3（x ﹣3），即 3x+y ﹣13=0，故选C ．【点评】本题考查直线方程的求法，点到直线的距离，直线方程的一般式．4．已知不同的直线m 、n ，不同的平面α、β，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥αD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A 中，m 与n 相交、平行或异面；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，m ∥α或m ⊂α；在D 中，由直线与平面垂直的性质定理得m ∥n ． 【解答】解：由不同的直线m 、n ，不同的平面α、β，知：在A 中：若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中：若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故B 错误； 在C 中：若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α或m ⊂α，故C 错误；在D 中：若m ⊥α，n ⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m ∥n ，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查命题真判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．设双曲线（a ＞0，b ＞0）的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．y=±2xC ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】依题意可求得a，b，从而可求得该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为，∴b=1，c=，∴a==，∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x，故选C．【点评】本题考查双曲线的简单性质，求得a，b的值是关键，属于中档题．6．下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】由四种命题的等价关系可判断A，B；写出原命题的逆否命题，可判断C；利用等价命题的定义，可判断D；【解答】解：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故A错误，B正确；“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误；“a＞b”⇔“a+c＞b+c”，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是四种命题，等价命题，熟练掌握四种命题的等价关系和定义是解答的关键．7．已知直线l与平面α所成的角为30°，在平面α内，到直线l的距离为2的点的轨迹是（）A．线段B．圆C．椭圆D．抛物线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；轨迹方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知点在以直线l为轴，半径为2的圆柱上，从而得到点的轨迹是圆柱被与轴成30°的面α截得的椭圆．【解答】解：∵平面α内的点P到直线l的距离为2，∴点P在以直线l为轴，半径为2的圆柱上，又∵定直线l与平面α成30°角，点P是面α内的一动点，∴P的轨迹是圆柱被与轴成30°的面α截得的椭圆，故选：C．【点评】本题考查点的轨迹的求法，是中档题，是一道把空间几何与平面几何巧妙结合在一起的好题．8．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程y=﹣=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．9．以椭圆的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）A．x2=8y B．y2=16x C．x2=﹣8y D．y2=﹣16x【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆的a，b，c，可得左焦点，即可得到开口向左的抛物线的方程．【解答】解：椭圆的a=5，b=3，c==4，可得左焦点为（﹣4，0），即有抛物线的方程为y2=﹣16x．故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及抛物线的方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．11．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）A．6 B．4 C．12 D．144【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】连接PB，PC，由余弦定理可得AC的值，由PA⊥AC，故根据勾股定理可得PC 的值．【解答】解：连接PB，PC，∵PA=AB=BC=6，∴由余弦定理可得AC==6，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴PC==12．故选：C．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．12．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4）B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：4【考点】平面的法向量．【专题】空间向量及应用．【分析】利用平面法向量的性质即可得出．【解答】解：，，∵平面α的法向量为=（x，y，z），∴，取y=3，则x=2，z=﹣4．∴x：y：z=2：3：（﹣4）．故选A．【点评】熟练掌握平面的法向量的性质是解题的关键．二、填空题（4分×4）13．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．由此可求出a的范围．【解答】解：由x2＞1得x＜﹣1或x＞1，又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，知“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立．则a的最大值为﹣1．∴a≤﹣1故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答．14．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．15．△ABC的三个顶点分别是A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC边上的高BD长为5．【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据A、C、D三点共线，设=λ，利用向量垂直的充要条件建立关于λ的方程，解出λ的值．由此得到向量的坐标，再利用向量模的坐标公式即可求出AC边上的高BD的长．【解答】解：∵A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），∴=（4，﹣5，0），=（0，4，﹣3），∵点D在直线AC上，∴设=λ=（0，4λ，﹣3λ），由此可得==（0，4λ，﹣3λ）﹣（4，﹣5，0）=（﹣4，4λ+5，﹣3λ），又∵⊥，∴=﹣4×0+（4λ+5）×4+（﹣3λ）×（﹣3）=0，解得λ=．因此=（﹣4，4λ+5，﹣3λ）=（﹣4，，），可得||==5故答案为：5【点评】本题给出空间的点A 、B 、C 的坐标，求点B 到直线AC 的垂线段的BD 的长．着重考查了向量的坐标运算、向量共线与垂直的充要条件、向量的模长公式等知识，属于中档题．16．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若，则= 6 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据，可判断点F 是△ABC 重心，进而可求x 1+x 2+x 3的值，再根据抛物线的定义，即可求得答案．【解答】解：抛物线焦点坐标F （1，0），准线方程：x=﹣1设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）∵=，∴点F 是△ABC 重心， ∴x 1+x 2+x 3=3，∵|FA|=x 1﹣（﹣1）=x 1+1，|FB|=x 2﹣（﹣1）=x 2+1，|FC|=x 3﹣（﹣1）=x 3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x 1+1+x 2+1+x 3+1=（x 1+x 2+x 3）+3=3+3=6故答案为：6【点评】本题重点考查抛物线的简单性质，考查向量知识的运用，解题的关键是判断出F 点为三角形的重心．三、解答题17．已知：平面α，β和直线l，m，且l∥α，l∥β，α∩β=m．求证：l∥m．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】分别过直线l作两个平面，分别和α，β相交，得到两条交线，利用线面平行的性质定理和直线平行的传递性证明l∥a．【解答】证明：设过l的平面与α交于a，与β交于b，∵l∥αl∥β，∴l∥a l∥b，∴a∥b，由线面平行的判定定理得a∥β，∵α∩β=m，由线面平行的性质得a∥m，∴l∥m．【点评】本题主要考查了线面平行的判断和性质定理，以及利用直线平行的平行公理证明直线平行，作两个辅助平面，是解决本题的关键．18．如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点．（1）用向量，，表示和．（2）若四面体OABC的所有棱长都等于1，求的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】（1）用向量，，表示出，则=，；（2）四面体OABC的所有棱长都等于1时，||=||=||=1，===．将（1）中的结论进行数量积运算即可．【解答】解：（1）=，=，∴=++=++=+（）+（）=﹣++，∴==+=﹣++=++．==+=﹣++=++．（2）=（++）（++）=2++++2++++2=++++++++=【点评】本题考查了向量的加减法的几何意义及数量积运算，向量，，表示出是解题关键，属于中档题．19．在直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）设过点P（0，﹣2）的直线l与圆C交于A，B两点，求|PA||PB|的值．【考点】直线与圆的位置关系；二次函数的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）设出圆心坐标，求出曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点，利用交点都在圆C 上，即可求得圆C的方程．（2）利用切割线定理，即可求|PA||PB|的值．【解答】解：（1）由题意，设圆心坐标为（3，b）令x=0，则y=1；令y=0，则x=3±2∴（3﹣0）2+（b﹣1）2=（±2）2+b2，∴b=1∴（3﹣0）2+（b﹣1）2=9∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9；（2）由题意，圆与y轴切于点D（0，1），∴由切割线定理，可得|PA||PB|=|PD|2=9．【点评】本题考查圆的标准方程，考查待定系数法的运用，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．20．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE 中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．21．已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
太原市2014-2015学年高一上学期期末数学试题及答案统考
太原市20 1 4 ——20 1 5学年高一年级第二学段测评数学试卷（考试时间：上午8：00——9：30）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将其字母标号填入下表相应位置．1．在简单随机抽样中，某个个体被抽到的可能性A．与第n次有关，第一次可能性最大B．与第n次有关，第一次可能性最小C．与第n次无关，每次可能性不等D．与第n次无关，每次可能性相等答案：D解析：简单随机抽样中，每次可能性都相等，所以选D。
2．某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别是0.20，0.30，0.20，则此射手在一次射击中不足8环的概率为A．0.40 B．0.30C．0.60 D．0.90答案：B解析：此射手在一次射击中不足8环的对立事件是：一次射击中大于等于8环。
此射手在一次射击中大于等于8环的概率P=0.20+0.30+0.20=0.7，所以答案为1-0.7=0.3.x y（i=1，2，…，10），得散点图(1)；对变量u，v有观测3．对变量x，y有观测数据(,)i iu v（i=1，2，…，10），得散点图(2)．由这两个散点图可以判断数据(,)i iA．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案：C.解析：从图中易看出y随着x增加呈下降趋势，v随着u的增加呈上升趋势，故选C.4．下列各数中，可能是五进制数的是A．55 B．106C．732 D．2134答案：D.解析：由进制的概念可知，进制为五，所有位数上的数5，故选D。
5．读下图程序，当输入的x为60时，输出y的值为A．30 B．31C．36 D．61答案：B.解析：本程序框图是条件结构，分段函数，输入x=60，y=25+0.6*（60-50）=31.6．某班共有52名学生，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是A. 10 B．11 C．12 D. 16答案：D.解析：系统抽样中，组距= 524=13，没有剔除数据，所以第一个数为3，第二个数为3+13=16.选D.7．如右图，平面图形中阴影部分面积S 是[]()0,h h H ∈的函数，则该函数的图象大致是答案：D.解析：由图中可知，S 随着h 的增加而减少，并且减小的趋势在减小，当2Hh =时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，选D 。
山西省大同一中2014-2015学年高三上学期期中考理科数学试题(word含解析)
山西省大同一中2014－2015学年高三上学期期中考理科数学试题注意事项:1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。
2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合04x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}21016B x y x x ==-+-，则A B 等于A ．[2,4]B ．[0,2]C ．[)2,4D ．[0,8]2．若命题“,0R x ∈∃使得032020<-++m mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围是 A ．[]6,2B ．[]2,6--C ．()6,2D ．()2,6--3．已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有 A ．相同的准线 B ．相同的焦点 C ．相同的离心率 D ．相同的长轴4．设b a ,是平面α内两条不同的直线，是平面α外的一条直线，则”“b l a l ⊥⊥,是”“α⊥l 的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知数列{}n a 为等比数列，且5642a a a =⋅，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若552b a =，则9S = A ．36 B ．32 C ．24 D ．226．函数)(cos sin 42sin )(3R x x x x x f ∈-=的最小正周期为 A ．8πB ．4πC ．2πD ．π7．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的 等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 A ．12π B ．43π C ．3π D ．123π8．函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是 A ．()1,0 B ．()3,1C．(]3,1D ．[)+∞,39．已知函数f （x ）=x ﹣4+，x ∈（0，4），当x=a 时，f （x ）取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g（x ）=的图象为 A ．B ．C ．D ．10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为A ．32 B ． 22C ． 12D ． 12-11．已知偶函数() ()y f x x R =∈在区间[0,3]上单调递增，在区间[3,)+∞上单调递减，且满足(4)(1)0f f -==，则不等式3()0x f x <的解集是A ．(4,1)(1,4)--B ．(,4)(1,1)(3,)-∞--+∞C ．(,4)(1,0)(1,4)-∞-- D ．(4,1)(0,1)(4,)--+∞12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则)0(')1(f f 的最小值为A ．3B ．25 C ．2 D ．23 二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上) 13．已知向量a 的模为1，且b a ,满足2||,4||=+=-b a b a ，则b 在a 方向上的投影等于 .14．函数f （x ）=lnx+ax 存在与直线2x ﹣y=0平行的切线，则实数a 的取值范围是_________. 15．在等差数列{}n a 中，20131-=a ，其前n 项和为n S ，若210121012=-S S ，则2013S 的值等于 .16．设函数()()()220log 0x x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为_________.三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上)17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B A A b a s i n 2c o s 3s i n ,=+≥． (1)求角C 的大小； (2)求a bc+的最大值． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >.且1452a a a ，，分别是等比数列}{n b 的432b b b ，，．(1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； (2)设数列{}n c 对任意自然数n 均有1212c c b b ++…1n n n ca b ++=成立，求12c c ++ (2013)c + 的值.19.（本小题满分12分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且AD PD PA 22==．(1)求证：面PAB ⊥平面PDC ； (2)求二面角B PD C --的余弦值．20.（本小题满分12分）如图已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，直线AO BO ,分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．21．（本小题满分12分）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m 元（1≤m ≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x 元/本（9≤x ≤11），预计一年的销售量为2)20(x -万本． (1)求该出版社一年的利润L （万元）与每本书的定价x 的函数关系式；(2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(m R 22.（本小题满分12分）设函数()ln a f x x x x=+， 32()3g x x x =--． (1)讨论函数()()f x h x x=的单调性； (2)若存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ；(3)如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．DC BAP参考答案（理科）一、选择题：(每小题5分,共60分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CABCACCBBCDC二、填空题：(每小题5分,共20分)13． -3 14．()2,∞- 15．-2013 16．2 三、解答题：(共70分) 17．(10分)解：（1）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋ π 3)＝2sinB ，则sin (A ＋ π3)＝sin B ．…3分因为0＜A ，B ＜π，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋ π 3＝π－B ，故A ＋B ＝2π3，C ＝ π3． …6分 （2）由正弦定理及（1）得 a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ π 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋ π6)．…9分 当A ＝ π3时，a ＋b c 取最大值2． …10分 18．(12分)解：（1）∵a 2=1+d ，a 5=1+4d ，a 14=1+13d ，且a 2、a 5、a 14成等比数列∴ 2)131)(1()41(2=++=+d d d d 即 …3分∴122)1(1-=⋅-+=n n a n…4分又∵9,35322====a b a b .∴113,1,3-===n n b b q…6分（2）∵1212cc b b ++…1n n n ca b ++=①∴121ca b = 即1123c b a ==，又1212c c b b ++ (11)(2)n n n ca nb --+=≥ ②①－②：12nn n nc a a b +=-= ∴1223(2)n n n c b n -==⋅≥ …10分∴ 13(1)23(2)n n n c n-=⎧=⎨⋅⎩≥ …11分zyxOFEDCBAP则123c c c +++…12201332323c +=+⋅+⋅+…2013123-+⋅123201232(3333)=+⋅++++ 201220133(13)32313-=+⋅=-…12分19．(12分)(1)解法一：因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD面ABCD AD =ABCD 为正方形，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ∴CD PA ⊥ …………………………2分 又22PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形， 且2PAD π∠= 即PA PD ⊥CDPD D =，且CD 、PD ⊆面PDCPA ⊥面PDC又PA ⊆面PAB 面PAB ⊥面PDC …………………………6分 解法二：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF .∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PAD ABCD AD ⋂=平面平面, ∴PO ABCD ⊥平面, 而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB , 又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥.∵22PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,2a OP OA ==.以O 为原点,向量OA →,OF →,OP →为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,则有(,0,0)2a A ,(0,,0)2a F ,(,0,0)2a D -,(0,0,)2a P ,(,,0)2a B a ,(,,0)2aC a -. ∵E 为PC 的中点, ∴(,,)424a a aE - …………………………2分(1)∵(,0,)22a a PA =-,CD →=(0,-a,0) ∴⋅PA →⋅CD →=(a2,0,- a 2)⋅(0,-a,0)=0,∴PA CD ⊥,从而PA CD ⊥,又PA PD ⊥,PD CD D =,∴PA PDC ⊥平面,而PA PAB ⊂平面, ∴平面PAB ⊥平面PDC ． …………………………6分 (2)由(1)知平面PDC 的法向量为(,0,)22aa PA =-.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =.∵DP →=(a 2,0, a 2)⋅,BD →=(-a,-a,0)∴由0,0n DP n BD ⋅=⋅=可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2⋅x+0⋅y+a 2⋅z=0-a ⋅x-a ⋅y+0⋅z=0取1x =,则y=-1,z=-1,故n →=(1,-1,-1) …………………………10分 ∴6cos ,3232n PA a n PA n PAa ⋅<>===⨯, 即二面角B PD C --的余弦值为63,……………………12分 20．(12分)解：（1）由焦点坐标为(1,0) 可知12p = 所以2=p ,所以抛物线C 的方程为x y 42= …5分（2）当直线垂直于x 轴时，ABO ∆与MNO ∆相似， 所以21()24ABOMNO OF S S ∆∆==, …7分 当直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(1)y k x =-, 设)y 2,(M -M ，)y 2,(N -N ，),(11y x A ，),(22y x B ，解2(x 1),4,y k y x =-⎧⎨=⎩ 整理得2222(42)0k x k x k -++=， …9分 所以121=⋅x x ,…10分121sin 121224sin 2ABO MNOAO BO AOBS x x AO BO S MO NO MO NO MON ∆∆⋅⋅⋅∠∴==⋅=⋅=⋅⋅⋅∠, 综上14ABO MNO S S ∆∆= …12分 21.解：（1）该出版社一年的利润L （万元）与每本书定价x 的函数关系式为：]11,9[,)20)(5(2∈---=x x m x L ．……………5分（定义域不写扣1分）（2）)20)(5(2)20()(2/x m x x x L -----=)3230)(20(x m x -+-=．…………………6分令0L '=得m x 3210+=或x=20（不合题意，舍去）．…………7分31≤≤m ， 123210332≤+≤∴m ．在m x 3210+=两侧L '的值由正变负．① 当231≤≤m 即113210332≤+≤m 时， L(x)在[9, 10+23m]上是增函数，在[10+23m ，11]上是减函数。
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析没有明显有问题的段落需要删除，只需修改格式错误和语言表达不清的地方。
XXX2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1、已知集合$S=\{x|x+1\geq2\}$，$T=\{-2,-1,0,1,2\}$，则$S\cap T=$（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{1,2\}$。
C。
$\{0,1,2\}$。
D。
$\{-1,0,1,2\}$解题思路】：题目给出了集合$S$和$T$，需要先求出它们的具体表达内容，再求它们的交集。
$S$是一次函数不等式的解，$S=\{x|x\geq1\}$；$S\cap T=\{1,2\}$，故选B。
2、用阴影部分表示集合$C\cup A\cup B$，正确的是（）解题思路】：题目给出了四个图形，需要判断哪个图形表示$C\cup A\cup B$。
利用XXX求解，A中阴影部分表示$C\cup(A\cup B)$，B中阴影部分表示$(C\cup A)\cap B$，C中阴影部分表示$A\cap B$，D中阴影部分表示$C\cup A\cup B$，故选D。
3、函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的定义域是（）A。
$(1,+\infty)$。
B。
$[1,+\infty)$。
C。
$(0,+\infty)$。
D。
$[0,+\infty)$解题思路】：题目给出了函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$，需要求出它的定义域。
由$\log_{\frac{1}{2}}(x-1)>0$得$x-1>0$，即$x>1$，故选A。
4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A。
$y=-|x|$。
B。
$y=x$。
C。
$y=|x|$。
山西省忻州市第一中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题
学校 姓名 考号山西省忻州市第一中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题注意事项1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、考号、座位号填写在试题和试卷上。
2．请把所有答案做在试卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。
3．满分150分+15分，考试时间120分钟。
一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2．角θ的终边与单位圆交于点()55P -，则cos()πθ-的值为A ．B ．CD 3．下列关系式中正确的是A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin11°< sin168°< cos10°C ．sin168°< sin11°< cos10°D ．sin168°<cos10°< sin11° 4．定义在R 上的函数()f x ，满足)()(x f x f =-且在(0,)+∞上是增函数，则A ．(3)(4)()f f f π<-<-B ．()(4)(3)f f f π-<-<C ．(3)()(4)f f f π<-<-D ．(4)()(3)f f f π-<-< 5．下列函数在(0,)+∞上单调递增的是A ．11y x =+ B ．2(1)y x =- C ．12x y -=D ．lg(3)y x =+6．下面程序运行时，从键盘输入－3，则输出值为A ．－3B ．3C ．1D ．－1 7．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我 们可以估计出阴影部分的面积为A ．235B ．2350C ．10D ．不能估计8．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于 A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－329．执行下图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝A ．4B ．5C ．6D ．710．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则a ＜b 的概率为A ．45B ．35C ．25D ．1511．已知函数()()()2511x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是A ．[3,0)-B ．[]3,2--C ．](,2-∞-D ．(),0-∞12．在R 上定义运算)1(:y x y x -=⊗⊗，若不等式x a x a x 对任意实数1)()(<+⊗-成 立，则实数a 的取值范围是A ．{a|11<<-a }B ．{a|20<<a }C ．{a|2321<<-a } D ．{a|2123<<-a } 二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)13．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10xy = ▲ .14．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x<1，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围为 ▲ .15．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ≈－2.气象部门预测下一个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下一个月毛衣的销售量约为 ▲ 件. 16．设函数f(x)=a x ，（a>0且a ≠1），对于任意x ，y ∈R ，下列算式中： ① f(x+y)=f(x)·f(y) ; ② f(xy)=f(x)+f(y) ; ③ f(x-y)=()()f x f y ; ④)()(x f nx f n=; ⑤)()(])[(y f x f xy f n n n ⋅=, 其中不正确．．．的是 ▲ .（填上所有不正确题号）三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17.(本题满分10分)已知集合2{|60}A x x x =+-≥，2{|650}B x x x =-+<，{|12}C x m x m =-≤≤. （Ⅰ）求A B ，()R C A B ；（Ⅱ）若BC C =，求实数m 的取值范围．18. (本题满分12分)已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----. （Ⅰ）化简()fα；（Ⅱ）若31cos()25πα-=，求()f α的值. 19. (本题满分12分) 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率． 20. (本题满分12分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕，y 与t 的函数关系为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭(a 为常数)．整个过程的图象如图所示．（Ⅰ）写出从药物释放开始，y 与t 的函数关系式；（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室．从药物释放开始，至少需要几小时，学生才能回到教室？ 21. (本题满分12分)已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像过点(0,1)，且有唯一的零点1-. （Ⅰ）求()f x 的表达式;（Ⅱ）当[2,2]x ∈-时，求函数()()F x f x kx =-的最小值()g k . 22. (本题满分12分)设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2+-=ax x x f ，R a ∈.（Ⅰ）若1)1(=f ，求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若0=a ，不等式(2)(41)0x xf k f k ⋅+++>恒成立，求实数k 的取值范围.附加题：(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上) 1. 若函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为 ▲ .2. 设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为 ▲ .3. 已知函数()()()()222222,228.f x x a x ag x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最大值为B ,则A B -= ▲ .忻州一中2014－2015学年高一上学期期末数学答案一、选择题二、填空题13. 96 14. (-∞,-1)∪[1,+∞) 15．46 16. ②⑤ 三、解答题17．（本题满分10分）解：（Ⅰ）(][)+∞⋃-∞-=,23,A ，()5,1=B ,[)5,2=⋂B A ,(){|35}R C A B x x =-<<；…………5分（Ⅱ）{|12}C x m x m =-≤≤, 当∅=C 时，1,21-<∴>-m m m ，当∅≠C 时，252,52111<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<>--≥m m m m ，实数m 的取值范围是5(,1)(2,)2-∞-．…………10分(Ⅱ)由图可知落在[50,60)的频率为2a ×10＝0.1，由频数＝总数×频率，从而得到该范围内的人数为20×0.1＝2. 同理落在[60,70)内的人数为20×0.15＝3. …………8分(Ⅲ)记[50,60)范围内的2人分别记为A 1、A 2，[60,70)范围内的3人记为B 1、B 2、B 3，从5人选2人共有情况：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3,共10种情况，其中2人成绩都在[60,70)范围内的有3种情况，因此P ＝310．答：2人成绩都在[60,70)范围内的概率是310…………12分21. （本题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得1c =，12ba-=-，240b ac -= 解得1a =，2b =，1c =， 从而2()21f x x x =++； ………3分 （Ⅱ）2()(2)1F x x k x =+-+，对称轴为22k x -=，图像开口向上 当222k -≤-即2k ≤-时，()F x 在[2,2]-上单调递增， 此时函数()F x 的最小值12)2()(+=-=k F k g ；…………6分 当2222k --<≤即26k -<≤时，()F x 在2[2,]2k --上递减，在2[,2]2k -上递增，此时函数()F x 的最小值224()()24k k kg k F --==-； ………8分 当222k ->即6k >时，()F x 在[2,2]-上单调递减， 此时函数()F x 的最小值()(2)92g k F k ==-; ……10分综上， 函数()F x 的最小值,6,2962,442,12)(2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<----≤+k k k kk k k k g ………12分22. （本题满分12分）(Ⅰ) 1=x 时，1,1011,1)11lg(=∴=-∴=-a a a 设)10lg()()(,0,02++-=--=∴>-<x x x f x f x x∴ 22lg(10),0()0,0lg(10),0x x x f x x x x x ⎧-++<⎪==⎨⎪-+>⎩…………5分,222212)1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-t t (由对勾函数性质可得)，2k >-12分附加题：1. [3,2]--2. 87a ≤-3. -16。
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2014-2015学年山西省大同一中高一（上）期末数学试卷一．选择题（每小题3分，共36分）1．（3.00分）已知全集U={0，1，2，3，5，6，8}，集合A={1，5，8}，B={2}，则集合（∁U A）∪B=（）A．{0，2，3，6}B．{0，3，6}C．{1，2，5，8}D．∅2．（3.00分）下列各函数中，表示同一函数的是（）A．y=x与（a＞0且a≠1）B．与y=x+1C．与y=x﹣1 D．y=lgx与3．（3.00分）已知函数f（x）=，x∈R，则f（）=（）A．B．C．D．4．（3.00分）下列式子中成立的是（）A．log0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log675．（3.00分）已知x0是函数f（x）=e x+2x﹣4的一个零点，若x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，2），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞06．（3.00分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．7．（3.00分）在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为（）A．B．C．D．8．（3.00分）如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为（注：方差s2=[++…+]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（）A．5.8 B．6.8 C．7.8 D．8.89．（3.00分）已知f（x）=g（x）+2，且g（x）为奇函数，若f（2）=3，则f（﹣2）=（）A．0 B．﹣3 C．1 D．310．（3.00分）二次函数y=ax2+bx与指数函数在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C．D．11．（3.00分）若x∈R，n∈N*，规定：=x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），例如：=（﹣4）•（﹣3）•（﹣2）•（﹣1）=24，则f（x）=x•的奇偶性为（）A．是奇函数不是偶函数B．是偶函数不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数12．（3.00分）已知函数是R上的增函数，那么实数a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．（0，1）二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3.00分）如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是．14．（3.00分）用辗转相除法求两个数102、238的最大公约数是．15．（3.00分）阅读程序框图，若输入m=4，n=3，则输出a=，i=．（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”）16．（3.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都成立，则实数a的取值范围是．三．解答题17．（8.00分）设集合A={x|0＜x﹣m＜2}，B={x|﹣x2+3x≤0}，分别求满足下列条件的实数m的取值范围：（1）A∩B=∅；（2）A∪B=B．18．（8.00分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．19．（8.00分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．20．（8.00分）已知甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．（1）分别计算两组数据的平均数；（2）分别计算两组数据的方差；（3）根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些．21．（10.00分）已知函数．（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；（2）当函数f（x）为奇函数时，求a的值；（3）当函数f（x）为奇函数时，求函数f（x）在[﹣1，2]上的值域．22．（10.00分）已知二函数f（x）=ax2+bx+5（x∈R）满足以下要求：①函数f（x）的值域为[1，+∞）；②f（﹣2+x）=f（﹣2﹣x）对x∈R恒成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设M（x）=，求x∈[e，e2]时M（x）的值域．2014-2015学年山西省大同一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共36分）1．（3.00分）已知全集U={0，1，2，3，5，6，8}，集合A={1，5，8}，B={2}，则集合（∁U A）∪B=（）A．{0，2，3，6}B．{0，3，6}C．{1，2，5，8}D．∅【解答】解：∵全集∪={0，1，2，3，5，6，8}，集合A={1，5，8}，B={2}，∴∁U A={0，2，3，6}，则（∁U A）∪B={0，2，3，6}．故选：A．2．（3.00分）下列各函数中，表示同一函数的是（）A．y=x与（a＞0且a≠1）B．与y=x+1C．与y=x﹣1 D．y=lgx与【解答】解：A、∵y=x与=x（a＞0且a≠1），且f（x）和g（x））的定义域都为R，故A正确．B、的定义域为{x|x≠1}，而y=x+1的定义域为R，故B不对；C、∵=|x|﹣1，而y=x﹣1，表达式不同，故C不对；D、∵x＞0，∴y=lgx的定义域为{x|x＞0}，而的定义域为{x|x≠0}，故D不对；故选：A．3．（3.00分）已知函数f（x）=，x∈R，则f（）=（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=，x∈R，∴f（）==．故选：D．4．（3.00分）下列式子中成立的是（）A．log0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log67【解答】解：对于A：设函数y=log0.4x，则此函数单调递减∴log0.44＞log0.46∴A 选项不成立对于B：设函数y=1.01x，则此函数单调递增∴1.013.4＜1.013.5 ∴B选项不成立对于C：设函数y=x0.3，则此函数单调递增∴3.50.3＞3.40.3 ∴C选项不成立对于D：设函数f（x）=log7x，g（x）=log6x，则这两个函数都单调递增∴log76＜log77=1＜log67∴D选项成立故选：D．5．（3.00分）已知x0是函数f（x）=e x+2x﹣4的一个零点，若x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，2），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【解答】解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4在R上单调递增，且f（x0）=0，∴由x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，2），可得f（x1）＜0，f（x2）＞0．故选：B．6．（3.00分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=．故选：C．7．（3.00分）在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵以线段AP为边的正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间∴线段AP的长介于5 cm与7cm之间满足条件的P点对应的线段长2cm而线段AB总长为10 cm故正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率P=故选：B．8．（3.00分）如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为（注：方差s2=[++…+]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（）A．5.8 B．6.8 C．7.8 D．8.8【解答】解：∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是=11∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]=[9+4+1+4+16]=6.8故选：B．9．（3.00分）已知f（x）=g（x）+2，且g（x）为奇函数，若f（2）=3，则f（﹣2）=（）A．0 B．﹣3 C．1 D．3【解答】解：∵f（x）=g（x）+2，f（2）=3，∴f（2）=g（2）+2=3∴g（2）=1∵g（x）为奇函数则f（﹣2）=g（﹣2）+2=﹣g（2）+2=1故选：C．10．（3.00分）二次函数y=ax2+bx与指数函数在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C．D．【解答】解：根据指数函数的解析式为，可得＞0，∴﹣＜0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣位于y轴的左侧，故排除B、D．对于选项C，由二次函数的图象可得a＜0，且函数的零点﹣＜﹣1，∴＞1，则指数函数应该单调递增，故C 不正确．综上可得，应选A，故选：A．11．（3.00分）若x∈R，n∈N*，规定：=x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），例如：=（﹣4）•（﹣3）•（﹣2）•（﹣1）=24，则f（x）=x•的奇偶性为（）A．是奇函数不是偶函数B．是偶函数不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【解答】解：由定义可知，f（x）=x•=x（x﹣2）（x﹣1）（x）（x+1）（x+2）=x2（x2﹣1）（x2﹣4），因为f（﹣x）=x2（x2﹣1）（x2﹣4）=f（x），所以函数f（x）是偶函数不是奇函数．故选：B．12．（3.00分）已知函数是R上的增函数，那么实数a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．（0，1）【解答】解：要使f（x）为R上的增函数，则须有x＜1时f（x）递增，x≥1时f（x）递增，且（2﹣a）•1﹣≤log a1，所以有，解得＜2，所以实数a的取值范围为[，2）．故选：C．二、填空题（每小题3分，共12分）13．（3.00分）如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是1﹣．【解答】解：S=a2正方形S阴影=故他击中阴影部分的概率P==1﹣故答案为：1﹣14．（3.00分）用辗转相除法求两个数102、238的最大公约数是34．【解答】解：∵238=2×102+34102=3×34故两个数102、238的最大公约数是34故答案为：3415．（3.00分）阅读程序框图，若输入m=4，n=3，则输出a=12，i=3．（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”）【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出m和n的最小公倍数a．∵输入m=4，n=3∴a=12，而a=12=m•1•2• (i)故此时i=3，故答案为：12，316．（3.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【解答】解：根据奇函数在对称区间上单调性相同且f（x）在[0，+∞）上是增函数，故f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，若f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都成立，则ax+1≤x﹣2对任意都成立，即a≤=1﹣对任意都成立，由函数y=1﹣在为增函数，故x=时，最小值﹣5即a≤﹣5故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]故答案为：（﹣∞，﹣5]三．解答题17．（8.00分）设集合A={x|0＜x﹣m＜2}，B={x|﹣x2+3x≤0}，分别求满足下列条件的实数m的取值范围：（1）A∩B=∅；（2）A∪B=B．【解答】解：由题意得：B={x|﹣x2+3x≤0}={x|x≤0或x≥3}，A={x|0＜x﹣m＜2}={x|m＜x＜m+2}，（1）当A∩B=∅时，有，解得：m=1；（2）当A∪B=B时，有A⊆B，应满足m+2≤0或m≥3，解得m≥3或m≤﹣2．18．（8.00分）为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．【解答】解：（1）∵各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3∴第二小组的频率是=0.08∵第二小组频数为12，∴样本容量是=150（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，∴高一学生的达标率是=88%即高一有88%的学生达标．（3）∵这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，∵测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，∴中位数落在第四小组，即跳绳次数的中位数落在第四小组中．19．（8.00分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．【解答】解：（1）从中任取2道题解答，试验结果有=15种；设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，则包含的基本事件共有C=6种，因此，P（A）=．（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，从6件中抽取2道，有C62种情况，而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C41•C21=8种情况，根据古典概型的计算，有P（B）=．20．（8.00分）已知甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．（1）分别计算两组数据的平均数；（2）分别计算两组数据的方差；（3）根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些．【解答】解：（1）=（8+6+7+8+6+5+9+10+4+7）=7（环），=（6+7+7+8+6+7+8+7+9+5）=7（环）．（2）由方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]可求得S甲2=[（8﹣7）2+（6﹣7）2+…+（7﹣7）2]=3.0（环2），S乙2=[（6﹣7）2+（7﹣7）2+…+（5﹣7）2]=1.2（环2）．（3）由S甲=S乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；又S甲2＞S乙2，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．21．（10.00分）已知函数．（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；（2）当函数f（x）为奇函数时，求a的值；（3）当函数f（x）为奇函数时，求函数f（x）在[﹣1，2]上的值域．【解答】解：（1）证明：任取x1＜x2∈R则==．∵x1＜x2 ，，故f（x1）﹣f（x2）＜0所以函数f（x）在R上为增函数．（2）因函数f（x）在x=0 有意义，又函数f（x）为奇函数，则f（0）=0即，当a=时，f（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数．∴a的值为（3）根据①函数是增函数，x∈[﹣1，2]时，f（﹣1）≤f（x）≤f（2），∵f（﹣1）=﹣，f（2）=∴函数的值域是[﹣，]22．（10.00分）已知二函数f（x）=ax2+bx+5（x∈R）满足以下要求：①函数f（x）的值域为[1，+∞）；②f（﹣2+x）=f（﹣2﹣x）对x∈R恒成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设M（x）=，求x∈[e，e2]时M（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=ax2+bx+5=a（x+）2+5﹣，又∴f（﹣2+x）=f（﹣2﹣x），∴对称轴为x=﹣2=﹣，∵值域为[1，+∞），∴a＞0且5﹣=1，∴a=1，b=4，则函数f（x）=x2+4x+5，（2）∵M（x）==，∵x∈[e，e2]，∴令t=lnx+1，则t∈[2，3]，∴===t++2，∵t∈[2，3]，∴t++2∈[5，]，∴所求值域为：[5，]．。