第39讲 双曲线(解析版)-【高考艺术生专用】2022年高考数学复习(,全国通用版)

第39讲 双曲线一、单选题1．（2021·全国高三月考（文））双曲线22134y x -=的焦点坐标（ ）A ．()B ．()5,0±C ．(0,D ．、()0,5±【答案】C 【详解】由22134y x -=知，23a =，24b =，且焦点在y 轴上，所以222347c a b =+=+=，所以c =所以焦点坐标为(0,和. 故选：C2．（2021·全国）以双曲线221169x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．221169x y +=B ．2212516x y +=C ．221259x y += D ．2251162x y += 【答案】C 【详解】双曲线221169x y -=的焦点为()5,0-，()5,0，顶点为()4,0-，()4,0，所以椭圆的焦点坐标为()4,0-，()4,0，顶点为()5,0-，()5,0， 所以22225169b a c =-=-=， 所依椭圆的方程为221259x y +=. 故选：C3．（2021·江苏姑苏·苏州中学高二月考）双曲线2212523x y -=的两个焦点为1F ，2F ，双曲线上一点P 到1F 的距离为8，则点P 到2F 的距离为（ ）A ．2或12B ．2或18C ．18D ．2【答案】C 【详解】解：由双曲线定义可知：28210PF a -==解得218PF =或2-（舍）∴点P 到2F 的距离为18， 故选：C.4．（2021·湖北黄冈·高二期末）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点()2,3，则双曲线离心率为（ ）A B C D 【答案】B 【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由题意可知点()2,3在直线by x a=上， 所以23ba=，即32b a =，所以离心率为c e a ==== 故选：B5．（2021·全国高二课时练习）双曲线22916144y x -=的渐近线方程是（ ） A ．169y x =±B ．916y x =±C ．43y x =±D ．34yx 【答案】C 【详解】双曲线标准方程为221169y x -=，渐近线方程为43y x =±．故选：C ．6．（2021·河南洛阳·高二期末（理））已知是1F ，2F 双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 是右支上一点，且12F PF ∆是1230PF F ∠=︒的直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A B 1C D 1 【答案】B 【详解】当1290F PF ∠=︒时，122F F c =，2132PF PF c c a -=-=，所以31==+ce a， 当1290F F P ∠=︒时，122F F c =，223c PF =，143c PF =，12223c PF PF a -==，所以3==ce a ． 故选：B ．7．（2021·全国高二专题练习）若双曲线2214x y m -=的离心率大于2，则正数m 的取值范围是（ ）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【详解】解：由题意可知22,4a m b ==，则24c m =+， 因为离心率大于2，所以2c a >，即224c a>，所以44m m +>且0m >，解得403m <<， 故选：A8．（2021·江苏南京·高三一模）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．3y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】B 【详解】因为22221(0,0)y x a b a b-=>>，所以下焦点为()0,c -，渐近线方程为ay x b=±，即 0ax by ±=， 则下焦点到0ax by ±=的距离为2d b ===，又因为2c e a ==，解得b a =a b =所以渐近线方程为：y x = 故选：B 二、多选题9．（2021·河北张家口·高二期末）已知双曲线C ：2213x y -=，下列对双曲线C 判断正确的是（ ）A ．实轴长是虚轴长的2倍B ．焦距为4C D ．渐近线方程为0x =【答案】BD 【详解】∵双曲线C ：2213x y -=∴23a =.21b =.∴2224c a b =+=∴2c =.∴双曲线的实轴长是2a =21b =，A 错误；焦距为24c =.B 正确；离心率为c a =C 错误：渐近线方程为y x =，D 正确.故选：BD10．（2021·鹤山市第二中学高二月考）若方程22141y x m -=+表示双曲线，则实数m 可能是（ ） A ．8 B ．4 C ．0 D ．－5【答案】ABC 【详解】若方程22141y x m -=+表示双曲线，则其是焦点在y 轴上的双曲线，所以10m +>，即1m >-． 故选：ABC ．11．（2021·全国）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且12PF PF λ=，则下列结论正确的是（ ） A ．若17λ=，则双曲线离心率的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．若17λ=，则双曲线离心率的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．若7λ=，则双曲线离心率的取值范围为41,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．若7λ=，则双曲线离心率的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】BC 【详解】由题意，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且12PF PF λ=， 若17λ=，可得217PF PF =， 根据双曲线的定义可得21162PF PF PF a -==，则13aPF c a =≥-，解得413c e a <=≤；若7λ=，可得127PF PF =，根据双曲线的定义可得12262PF PF PF a -==，则23a PF c a =≥-，解得413c e a <=≤．故选：BC ．12．（2021·全国高二单元测试）设1F ，2F 分别是双曲线22:1yC x b-=的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与C 交于,A B 两点，若1ABF ∆为正三角形，则（ ）A ．2b =B ．C 的焦距为C ．CD ．1ABF ∆的面积为【答案】ACD 【详解】设2AF t =，则12AF t =，12F F =，离心率1212F F e AF AF ==-C 正确.=2b =，选项A 正确.12F F ==B 错误.1ABF 的面积为121221b F F =D 正确. 故选：ACD . 三、填空题13．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线C ：221x y -=，点1F 、2F 为其两个焦点，点P 为双曲线C 上一点，且满足12PF PF ⊥，则12||||PF PF +的值为________.【答案】【详解】1a b ==，c =12||||22PF PF a -==，22221212||||(2)8PF PF F F c +===，222121212()||24PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=，12||||2PF PF =⋅，设1||PF m =，2||PF n =，则2m n ⋅=，2m n -=，解得1m =，1n ，所以12||||PF PF +=故答案为：14．（2021·上海市新场中学高二期中）已知两点()(),3,03,0A B -，若4PA PB -=±，那么P 点的轨迹方程是______. 【答案】22145x y -= 【详解】设P 点的坐标为(),x y因为44PA PB PA PB -=±⇒-= 所以P 点的轨迹为焦点在x 轴的双曲线 且3,242c a a ==⇒=所以b 所以P 点的轨迹方程为：22145x y -=故答案为：22145x y -= 15．（2021·全国高三月考（理））已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 过坐标原点O 且与双曲线C 交于点M ，N ．若12||MN F F =，则四边形12MF NF 的面积为______． 【答案】8 【详解】由双曲线的对称性可知，四边形12MF NF 的对角线互相平分且相等， 所以四边形12MF NF 是矩形． 设1MF m =，2MF n =， 则||8m n -=．因为12F F = 所以2280m n +=，化简得8mn =，所以四边形12MF NF 的面积为8． 故答案为：816．（2021·全国）设P 是双曲线221916x y -=上一点，M ，N 分别是圆()2254x y -+=和()2251x y ++=上的点，则PM PN -的最大值为______，最小值为______． 【答案】9 9- 【详解】设双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，则点()15,0F -为圆()2251x y ++=的圆心，点2F 为圆()2254x y -+=的圆心，连接1PF ，2PF ．当点P 在双曲线的左支上时（如图），由双曲线的定义，可得216PF PF -=，由圆的几何性质，得2222PF PM PF -≤≤+，1111PF PN PF +≥≥-， 所以212133PF PF PM PN PF PF --≤-≤-+，即39PM PN ≤-≤， 此时PM PN -的最大值为9，最小值为3．同理可得，当点P 在双曲线的右支上时，PM PN -的最大值为3-，最小值为9-． 综上，PM PN -的最大值为9，最小值为9-． 故答案为：9，9- 四、解答题17．（2021·全国高二课时练习）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且124F F =，一条渐近线的倾斜角为60°．（1）求双曲线C 的标准方程和离心率；（2）求分别以1F ，2F 为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程． 【答案】（1）2213y x -=，2 （2）22143x y +=【详解】（1）由题意，12242F F c c ==∴== 又tan 603ba==解得：1,a b ==故双曲线C 的标准方程为：2213y x -=，离心率为2c e a ==（2）由题意椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程为()222210x ya b a b ''+=>>''故2,a c b b ''====即椭圆方程为：22143x y += 18．（2021·全国高三专题练习（理））根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）4a =，经过点1A ⎛ ⎝⎭；（2）与双曲线221164x y -=有相同的焦点，且经过点2). 【答案】（1）221169y x -=；（2）221128x y -=.【详解】（1）当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为2221(0)16x y b b-=>，把点A 的坐标代入，可得2161600159b =-⨯<，不符合题意； 当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为2221(0)16y x b b-=>，把A 点的坐标代入，可得29b =，故所求双曲线的标准方程为221169y x -=.（2）设所求双曲线的方程为221(416)164x y λλλ-=-<<-+，因为双曲线过点2)，所以1841164λλ-=-+，解得4λ=或14λ=- (舍去). 所以双曲线的标准方程为221128x y -=.19．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线C 的焦点坐标为()1F ，)2F ，实轴长为4，（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F ∆的面积． 【答案】（1）2214x y -=；（2）1．【详解】（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由条件知5c =，24a =， ∴2,1a b ==，∴双曲线C 的方程为2214x y -=．（2）由双曲线的定义可知，124PF PF -=±． ∵12PF PF ⊥，∴22212420PF PF c +==，即21212()220PF PF PF PF ⨯-+=∴122PF PF ⋅=， ∴12PF F △的面积12112122S PF PF =⋅=⨯=． 20．（2021·全国高三专题练习（文））如图，若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； （2）若P 是双曲线左支上的点，且12|||3|2F PF P =⋅，试求12F PF ∆的面积. 【答案】（1）10或22；（2）1216F PF S =△. 【详解】解：（1）12,F F 是双曲线221916x y-=的两个焦点，则3,4,5a b c ===， 点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点M 到另一个焦点的距离为m ， 则由双曲线定义可知，|16|26m a -==，解得10m =或22m =， 即点M 到另一个焦点的距离为10或22；（2）P 是双曲线左支上的点，则21||||26PF PF a -==，则221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=，而12|||3|2F PF P =⋅，所以2212||||36232100PF PF +=+⨯=， 即2221212||||||100PF PF F F +==，所以12F PF △为直角三角形，1290F PF ∠=︒， 所以121211||||321622F PF S PF PF =⋅=⨯=.。