立体几何知识网络结构图以及例题
39知识讲解_《空间向量与立体几何》全章复习与巩固_提高
《空间向量与立体几何》全章复习与巩固【学习目标】1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】【要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段AB u u u r表示，A 叫作起点，B 叫作终点；一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a r（而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB uuu r或||a r ．向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ,的相等向量OA u u u r 和OB u u u r，则∠AOB 叫作向量a b ,的夹角，记作〈〉，a b ，规定0π≤〈〉≤，a b ．如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =r．相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．a ρ平行于b ρ记作b a ρϖ//，此时．a b 〈〉r r ，=0或a b 〈〉r r ，=π． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（3）对于任意一个非零向量a ρ，我们把aarr 叫作向量a ρ的单位向量，记作0a u u r ．0a u u r 与a ρ同向．（4）当a b 〈〉r r ，=0或π时，向量a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//；当 a b 〈〉r r ，=2π时，向量a b r r ，垂直，记作a b ⊥r r ． 要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算： 运算类型几何方法运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则：OC OA OB a b=+=+u u u r u u u r u u u r r r加法交换率：.a b b a ρρρρ+=+加法结合率：()()a b c a b c ++=++r r r r rr()a b a b -=+-r r r r AB BC=AC +u u u r u u u r u u u r0AB BA=+u u u r u r r2三角形法则：OB OA ABa b=+=+u u u r u u u r u u u r rr向 量 的 减 法 三角形法则： BA OA OBa b=-=-u u u r u u u r u u u r rrAB OA OB =-向 量 的 乘 法 a λ是一个向量，满足：λ>0时，a λr 与a r同向； λ<0时，a λr 与a r异向；λ=0时， a λr=0()()a a λμλμ=r r()a a a λμλμ+=+r r r()a b a b λλλ+=+r r r ra r∥b a b λ⇔=r r r 向 量 的 数 量 积1．a b r rg是一个数：||||cos()a b a b a b =r r r r r r g ，；2．0a =r ，0b=r或a b ⊥⇔b a •=0．a b b a =r r r r g g()()()a b a b a b λλλ==r r r r r r g g g()a b c a c b c +=+r r r r r r r g g g22||a a =r r||||||a b a b ≤r r r r g g要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ的充要条件是存在唯一的实数λ，使b a ϖϖλ=．共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，则向量p r与向量,a b r r 共面的充要条件是存在唯一的一对实数,x y ，使p xa yb =+r r r．要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r.要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四：空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则①222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---u u u r u u u r u u u r；②||AB ==u u u r；③ AB 的中点坐标为121212222x +x y +y z +z ⎛⎫⎪⎝⎭，，．空间向量运算的的坐标运算设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则 ① 121212(,,)a b x x y y z z +=+++r r； ② 121212(,,)a b x x y y z z -=---r r； ③ 111(,,)()a x y z R λλλλλ=∈r； ④ 121212a b x x y y z z ⋅=++r r；⑤ 222111a a a x y z ==++r r r g ，222222b b b x y z ==++r r r g ； ⑥ ()121212222222111222cos 00x x y y z z a ba b a b a bx y z x y z ++==≠≠++++r rr r r rg r r g g ，，．空间向量平行和垂直的条件若111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则①12//a b a b x x λλ⇔=⇔=r r r r ，12y y λ=，12()z z R λλ=∈⇔111222x y zx y z ==222(0)x y z ≠；②12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=r r r r．要点诠释：（1）空间任一点P 的坐标的确定：过P 作面xOy 的垂线，垂足为'P ，在面xOy 中，过'P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A C 、，则|'|||||x P C y AP z PP ===，，＇＇．如图： （２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：a b a b |a ||b|cos a b cos a b |a ||b|⋅⋅=<⋅>⇒<⋅>=⋅r rr r r r r r r rr r ，其中θ的范围是[0,]π．（３）0r与任意空间向量平行或垂直．要点五：用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行 （a //b ）a //b（a b ，分别为直线a b ，的方向向量）线线垂直 （a b ⊥）⊥a b（a b ，分别为直线a b ，的方向向量）线面平行 （l //α）⊥a n ，即0=⋅a n（a 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量）．线面垂直 （l α⊥）a //n（a 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量） 面面平行 （α//β）//u v（u v ，分别是平面α，β的法向量）面面垂直 （αβ⊥）⊥u v ，即0=u v g（u ，v 分别是平面α，β的法向量）要点诠释：（１）直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB u u u r 为直线l 的一个方向向量；与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．（２）平面的法向量：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．要点六：用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅u u u r u u u r u u ur u u u r（A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上不同的两点）直线和平面的夹角||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u（其中直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ）二面角cos θ（平面α与β的法向量分别为1n 和2n ，平面α与β的夹角为θ）要点诠释：①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。
高中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）
⾼中数学数形结合思想必考题型全梳理（附例题）数学好教师2020-07-17⼀数形结合的三个原则⼀等价性原则在数形结合时，代数性质和⼏何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．⾸先，由代数式、⽅程、不等式构造函数时⼀要注意变量(包括⾃变量和因变量)的取值范围。
⼆双向性原则既要进⾏⼏何直观分析，⼜要进⾏相应的代数抽象探求，直观的⼏何说明不能代替严谨的代数推理.另⼀⽅⾯，仅⽤直观分析，有时反倒使问题变得复杂，⽐如在⼆次曲线中的最值问题，有时使⽤三⾓换元，反倒简单轻松.三简单性原则不要为了“数形结合”⽽数形结合．具体运⽤时，⼀要考虑是否可⾏和是否有利；⼆要选择好突破⼝，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运⽤函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定⼆次曲线．⼆数形结合的应⽤⼀利⽤数轴、韦恩图求集合利⽤数形结合的思想解决集合问题，常⽤的⽅法有数轴法、韦恩图法等。
当所给问题的数量关系⽐较复杂，不好找线索时，⽤韦恩图法能达到事半功倍的效果。
⼆数形结合在解析⼏何中的应⽤解析⼏何问题往往综合许多知识点，在知识⽹络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的⾓度把抽象的数学语⾔与直观的⼏何图形结合起来，达到研究、解决问题的⽬的.构建解析⼏何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的⼏何特征，就要考虑⽤数形结合的⽅法来解题，即所谓的⼏何法求解，⽐较常见的对应有：（⼀）与斜率有关的问题（⼆）与距离有关的问题三数形结合在函数中的应⽤（⼀）利⽤数形结合解决与⽅程的根有关的问题【点拨】数形结合可⽤于解决⽅程的根的问题，准确合理地作出满⾜题意的图象是解决这类问题的前提.（⼆）利⽤数形结合解决函数的单调性问题（三）利⽤数形结合解决⽐较数值⼤⼩的问题（四）函数的最值问题（五）利⽤数形结合解决抽象函数问题四运⽤数形结合思想解不等式（⼀） 解不等式（⼆）求参数的取值范围五运⽤数形结合思想解决三⾓函数问题纵观近三年的⾼考试题，巧妙地运⽤数形结合的思想⽅法来解决⼀些问题，可以简化计算，节省时间，提⾼考试效率，起到事半功倍的效果.六解决⼏何问题图象解决⼏何问题借助向量的借助向量的图象利⽤向量可以解决线段相等，直线垂直，⽴体⼏何中空间⾓（异⾯直线的⾓、线⾯⾓、⼆⾯⾓）和空间距离（点线距、线线距、线⾯距、⾯⾯距），利⽤空间向量解决⽴体⼏何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，⼤⼤降低了空间想象能⼒，是数形结合的深化。
立体几何题型与方法总结
立体几何题型与方法总结1．平面平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线.（1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行⇒线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑥直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）（3）. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行⇒线线平行”）（4）. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， ● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直⇒线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）.a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
高中数学人教A版新旧教材立体几何部分的比较研究
高中数学人教A版新旧教材立体几何部分的比较研究一、内容综述随着教育改革的不断深入，教材的更新换代已成为一个重要的课题。
在高中数学教学中，立体几何作为一门重要的学科，其教材的编写和更新对于提高学生的数学素养具有重要意义。
本文旨在对人教A 版新旧教材立体几何部分进行比较研究，以期为教材的编写和更新提供参考。
首先从教材的结构上来看，新旧教材均将立体几何分为了若干个章节，如立体图形的认识、空间直线与平面的位置关系、空间直线与平面的夹角、空间直线与平面的距离等。
这些章节的内容相互衔接，形成了一个完整的立体几何知识体系。
然而在新旧教材中，对于立体图形的认识部分，新教材更加注重培养学生的空间想象能力，而旧教材则更侧重于对立体图形的基本性质和计算方法的讲解。
此外新教材还增加了一些新的知识点，如立体图形的运动、旋转等，使得立体几何的知识更加丰富和立体。
其次从教材的内容上来看，新旧教材在立体几何的基本概念和基本性质方面保持了一致性。
例如在新旧教材中，都涉及到了点、线、面、体等基本概念，以及它们的性质和相互关系；都涉及到了平行公理、垂直公理等基本原理。
然而在新旧教材中，对于一些具体的定理和公式，新教材进行了一定的调整和优化。
例如新教材将“三垂线定理”简化为“两点确定一条直线”，使得定理的表述更加简洁明了；同时，新教材还引入了一些新的定理和公式，如“正方体的表面积公式”、“球的体积公式”等，使得学生能够更好地理解和掌握立体几何的知识。
从教材的教学方法上来看，新旧教材都强调了启发式教学和探究式学习。
在新教材中，通过设置大量的实例和问题，引导学生主动思考和探究；同时，新教材还引入了一些多媒体教学手段，如动画、视频等，使得学生能够更加直观地感受立体几何的知识。
然而在新旧教材中，对于一些抽象的概念和定理，新教材采用了更加直观的方式进行讲解，如通过立体图形来帮助学生理解空间直线与平面的关系；而旧教材则更多地依赖于文字描述和例题讲解。
以两个案例谈高三课堂教学中对知识网络的构建
复 习 ．就剩下原 来的百分 之二十五 ，随着时 间的推 移 ．遗忘 的速度 减慢 ，遗 忘的数量也减 少． 因此 艾 宾浩斯 的实验告诉我们一个道理 ．学习要勤于复 习， 及 时 复 习 ，而 且 记忆 的效果 越 好 ．遗 忘 的速 度越 慢． 当你在反复 学习某一知识 时 ，也就是 在不停 的 复 习，不 断地理解 ．加深对这 知识 的印象 。自然记 忆 的效果就 好 ，遗忘 的速度就慢 ．针对 以上两份教 材 内容编排顺 序表格就 着艾宾 浩斯 遗忘 曲线作 如下
这里 的复 习与 以往 大纲教材 的课前 引入复 习相 比是 完全不 同的，甚至对于有些学校 中的某些班级而言 ，
几乎 与上新课相 差无几 ．因此这在很 大程 度上造成
隔 中， 教材几乎未有再 涉及 立体 几何 的知识 ，必修 ２ 中立体几何知 识除 了删 除三垂线定理 及其逆 定理 内 容和应用 外 ，几乎涵盖 了大纲教材 几何法 中的立体 几何知识 ，课标 教材还增 加了三视 图这 一部分 的内 容．故 ｌ 课 时不足一个月的时间学习 ，只是给学生 ８ 形 成初步 的空 间思维意识 。并未 曾对所 学的有关 定
的第 二学段 ．时 间夸越 一年整 。在这一年 的时间间
多的时 间复 习．而只有 熟悉 了以上这些知识 ．对选 修 ２１ － 中知识的学 习才会流畅顺利而又有信心． 故而 复 习是必要 的 。而这一部分 的课 时是课标 中未安排 的．是一线教学 实践 中必需增加的． 从 以上大纲教材 与课标教材 内容编排 的顺序 的 比较 可以看 出，并非只有立 何几何部 分存在这种情 况 。象 解析几何 、概率统计 、三角 函数 、不等式部 分均存 在上述情 况．由于 同一 系列 内容分 散在两个 不 同的时间段 中学习 ．从而缩 短了学 习时间 ，减少 了反复 复习的机 会，降低 了记忆 的有效性 ．从艾宾 浩斯遗忘 曲线揭示 的规 律 ，无形 中增加 了遗 忘 内容 的容量．故 而一线教 师在讲授新 知识 的 同时 。必需 花费许多 的时间复 习前 面所学 的内容 ，否 则学生无 法将 旧知 与新知衔接 ．由于所学知识 间隔时 间较长 ． 学 习的时 间较短 ，学 生未曾形成深 刻的印象 ，故而
高中数学必修1-5知识点总结
高一数学必修1知识网络 集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。
经典——高中数学知识网络(新课标)
函 数
平移变换、对称变换 翻折变换、伸缩变换
求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布
函数的平均变化率
函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线的斜率
'
f ( x )与 f ( x 0 )的区别
v t = S '， a t = v t '
0 0 0
第 二 部 分 映 射 、 函 数 、 导 数 、 定 积 分 与 微 积 分
平方关系、商的关系
奇变偶不变，符号看象限
公式正用、逆用、变形 及“1” 的代换 化简、求值、证明（恒等式）
作图象 几何作图法 定义域、值域 单调性、奇偶性、周期性 性质 对称性 最值 对称轴（正切函数 除外）经过函数图 象的最高（或低） 点且垂直x轴的直线 对称中心是正余弦函 数图象的零点，正切 函数的对称中心为 kπ ( 2 ，0)（k∈Z）
余弦定理
2
2
2
解的个数是一个？ 两个？还是无解？
推论：求角
c = a + b − 2 ab cos C
适用范围：①已知三边，解三角形；②已知两 边和它们的夹角，解三角形。
2
2
2
S ∆ABC =
面积 =
1 1 ah = ab sin C 2 2
实际应用 向量的概念 线性运算
a +b+ c⎞ p ( p − a )( p − b )( p − c )⎛ ⎜ 其中 p = ⎟ 2 ⎝ ⎠ abc = (R是外接圆半径 ) 4R 1 = (a + b + c ) ⋅ r (r是内切圆半径 ) 2
≠
(4 )若 A ⊆ B ， B ⊆ C ，则 A ⊆ C ； (5 )含有 n 个元素的集合有 2 n 个子集， 有 2 n−1 个真子集； (6 ) ∈ ， ⊆ 的区别： ∈ 表示元素与集合关系， ⊆ 表示集合与集合关系； (7 ) a 与{a }区别：一般地， a 表示元素，
《直线,平面垂直的判定及其性质》教案(新人教必修)
§2.3.1直线与平面垂直的判定一、教案目标1、知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法（1）通过教案活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教案重点、难点直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教案设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
专题：立体几何题型与方法
专题：立体几何题型与方法. 空间向量.（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.（2）空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使cz b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OCz OB y OA x OP++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ++=用MQ AM AQ +=即证.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足O P xO A y O B z O C =++ ，则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=（3）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+，))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ，332211b a b a b a b a ++=⋅ ，a∥)(,,332211R b a b a b a b∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔。
0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 。
222321aaa++==(用到常用的向量模与向量之间的转化：a a =⇒⋅=)空间两个向量的夹角公式232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）。
高三数学必背必考知识点
高三数学必背必考知识点高三数学必背必考知识点1第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二、平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三、数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五、概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六、解析几何。
这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。
考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
第七、押轴题。
考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。
这是高考所考的七大板块核心的考点。
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证明：由AB=AC，D是BC的中点，得
又 平面ABC，得
因为 ，所以 平面PAD，
故
方法二：
证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系O—xyz
则 ，
，由此可得 ，所以
，即
4.2.2线、面垂直证明方法思路模式
线面垂直的定义和线面垂直的定理时处理线面垂直问题的重要工具，有些题目却依赖转化法灵活处理才可以解决，而向量法乃是一些线面垂直问题常用而又切实可行的方法。
证明略
4.1.2线、面平行证明方法的思路模式
2011年高考题中，对立体几何平行问题的考察几乎全都是考察线面平行问题。此类问题的考察方法、方式复杂多样，解决方法也比较灵活，大多以转化法及向量法为主，特别是空间向量的内容加入到高中数学教材后，向量法几乎成为此种类型题的首选办法。
（2011江苏理16）如图，在四棱锥 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）略
分析：本题考察的是线面平行判定定理的应用，利用中位线证明EF∥PD入手，再由线面平行的判定定理即可证明。
解：在 PAD中，因为E,F分别为AP，AD的中点，
所以EF∥PD.又因为 EF 平面PCD,PD 平面PCD,
所以直线EF‖平面PCD
面面平行在高考中以主观题出现的频率较少，在选择题出现的频率较大。两直线平行常用到的判定方法有。（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾；（2）判定定理。线面平行，则面面平行；（4）垂直于同一直线的两个平面平行；（4）平行于同一个平面的两个平面平行。由于此类题型的考查较为简单，在此不再详加叙述。
构造二面角的平面角的常用方法有：定义法；垂线法；垂面法，有些题目还可以应用公式法、向量法解决问题。
（天津理17）如图，在三棱柱 中， 是正方形 的中心， ， 平面 ，且
（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）略．
方法一：向量法
（II）解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.
（辽宁理18）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）略
解： 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.
（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.
下面根据对立体几何平行问题的研究，构建平行问题证明方法的认知方法网络图 。
4.1.1线线平行证明方法的思路模式
线线平行问题高考时几乎不单独对考生进行考察。初中常用的方法是利用内错角相等、同位角相等、同旁内角互补可证线线平行；特殊的平面图形中的平行（平行四边形、菱形、矩形、正方形以及梯形上下底等）；特殊位置的直线如中位线（三角形、梯形）、垂直于同一直线相等两直线平行等；高中方法是理解此类问题通常与线面平行问题结合起来，运用“线线平行，线面平行”的推理模式解决问题，即“线面平行的判定定理”简记为“线线平行 线面平行”；将“线面平行的性质定理”简记为“线面平行 线线平行”。
下面根据对立体几何平行问题的研究，构建平行问题证明方法的思路模式的网络
图。
立体几何中平行问题主要有三种：（1)线线平行；（2）线面平行；（3）面面平行。而解决这些平行问题的方法总体上分为：（1）定义法；（2）判定定理法；（3）
向量法；（4）转化法等。利用好线线、线面与面面平行之间的内在联系，找到问题的切入点，抓思想、抓方法解决具体问题。
下面主要依据对立体几何中距离的研究，构建立体几何求距离的思路模式网络图。
下面结合实际问题，再对空间距离问题的思维模式的网络图加以诠释。
两点之间的距离相对于而言是较易解决的问题，在具体问题中常用两点距离公式或构造直角三角形用勾股定理来解决，有时也转变成其他问题如与函数问题联系到一起等。高考考察的内容较为简单，所以不再详细叙述。
证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
4.2.3面、面垂直证明方法思路模式
面面垂直的证明方法有:(1)利用定义，证明两个平面构成的两面角是 ；（2）将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题;利用两面的法向量互相垂直的向量法等。
5.1空间求角与距离思想方法
解决立体几何问题，不能单凭记忆相关的定义或几条公式就可以解决所有问题的，而更重要的是抓其“思想”，领悟其“方法”。立体几何中角与距离问题都有一些常见的思想方法，有了“思想方法”，就等于有了“指导思想”，
我们才可能落实解决具体的实际问题。
立体几何中求空间角的大小一般都是根据有关角的定义，如异面直线所成的角；斜线与平面所成的角，二面角的平面角等，将其转化为平面中所成角来求的，也有一些题目需要根据三垂线定理或逆定理做平面角或通过作棱的垂面的方法来解决问题。立体几何中求角问题有时也可以根据一些常用的公式来求解，总之，只要把握恰当的方法，就可使看似复杂的问题迎刃而解。
空间垂直关系之间的转化
3空间向量与立体几何
（1）空间Leabharlann 量知识认知结构网络图（2）空间向量及其运算认知结构网络图
3.4直线、平面、简单几何体知识要点认知结构网络图
3.2.1；立体几何初步
（1）空间几何体
①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
有关空间中平行与垂直（线线、线面及面面）的问题，是在解决立体几何问题的过程中经常遇到的，而且是各种各样的问题中不可缺少的内容。因此在立体几何的复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题他的分析和概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）互相转化的思想，来提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。本章主要从平行与垂直证明方法的研究入手，探讨立体几何中平行与垂直证明的思路模式。
则
所以
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ 平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
第5章立体几何求角与距离方法的思路模式
立体几何求角与距离问题都是立体几何中解答问题的必考出题点，从1977年恢复高考至今，每一年的高考大体都有一道立体几何求角与距离问题。此类问题是立体几何常见的问题。但如何选择最恰当的方法去处理具体问题一直使许多教学中感到困惑，学生在学习中也普遍有无从下手之感。下面结合教学经验，本人主要从角与距离的求法和经典问题处理方法入手，构建空间求角与距离的认知方法网路图。
（浙江理20）如图，在三棱锥 中， ，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）略
分析：本题要证空间异面垂直的问题，除了可以用三垂线定理，
证明BC与PA垂直解决问题以外，也可以用向量法通过建立空间直角坐，
求两直线上方向向量，利用向量的数量积来证两直线垂直。
（北京理16）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形，
.
(Ⅰ)略；（Ⅱ）若 求 与 所成角的余弦值；（Ⅲ）略.
分析：运用向量法求平面的角关键是解决直线的方向向量和平面的法向量法的
所成的角问题，但要注意所得的角并不直接就是线面角，而应取其余角或与
的差角。
解：（Ⅱ）设AC∩BD=O.
因为∠BAD=60°，PA=PB=2,
下面依据立体几何中求角问题的研究，构建立体几何中求角方法的认知网络图
求异面直线所成角的大小通常分为三步：（1）准确地选取角的顶点；（2）平移直线；（3）构造三角形，解三角形。而构造异面直线所成的角有如下几种常用方法：（1）过一条异面直线上的已知点，做另一条直线的平行线，使异面直线所成的角成为相交直线的交角；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接过异面直线上的点平移直线有困难时，利用该几何体中的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）通过构造辅助平面，辅助几何体来平移直线，但应注意：若用余弦定理求出cos <0( 是平移后相交直线所成的角),则异面直线所成的角应是 - 。
依题意得
易知
设平面AA1C1的法向量 ，
则 即
不妨令 可得 ，
同样地，设平面A1B1C1的法向量 ，
则 即 不妨令 ，
可得
于是
从而
所以二面角A—A1C1—B的正弦值为
方法二：垂线法
解：连接 ，易知 = ，
又由于 = ， = ，
所以 ≌ ，过点A作 于点R，
连接 ，于是 ，故 为二面角A— — 的平面角.
所以BO=1，AO=CO= .
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则
P（0，— ，2），A（0，— ，0），B（1，0，0），
C（0， ，0）.
所以
设PB与AC所成角为 ，则
.
求解斜线和平面所成角的一般方法是：（1）确定斜线与平面的交点即垂足；（2）经过斜线上除垂足外任意一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；（3）求解由垂线、斜线以其射影构成的直角三角形。
（2011安徽理17）如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，⊿OAB,⊿OAC,⊿ODE,⊿ODF都是正三角形.
（Ⅰ）证明直线BC∥EF;
（Ⅱ）略
分析：本题考察的是线线平行问题，由题设条件及特殊位置的思维模式，可先转化为中位线来求两直线平行，进而可得结论。
立体几何中，点到直线距离问题的解决主要包括：（1）定义法；（2）面积法；（3）公式法；（4）向量法等。而应用这些方法解决问题时，又分为直接法和转化法，直接法就是直接从该点向直线做垂线，而若垂足位置不容易确定时，则往往借助三垂线定理等用转化法来解决。高考考察的内容较为简单，所以不再详细叙述。