高考数学专题复习：用样本估计总体

高考数学专题复习：用样本估计总体一、单选题1．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部不小于13秒且小于19秒，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y的值分别是（）A．90%，35 B．90%，45C．10%，35 D．10%，452．某同学郑一粒均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数，若其中至少出现了1次点数6，则这组数据不可能得出的统计结果是（）A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为3 D．中位数为3，方差为2.83．某中学有10个学生社团，每个社团的人数分别是70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的平均数，众数，中位数的和为（）A．165 B．160 C．150 D．1704．四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为2，方差为2.4 B．中位数为3，众数为2C．平均数为3，中位数为2 D．中位数为3，方差为2.85．某市2020年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下，则这组数据的中位数是（）A ．21B ．22C ．22.5D ．236．为了从甲､乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲､乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲､乙两人的平均成绩分别是 ,x x 甲乙，则下列说法正确的是（ ）A ． x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ． x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ． x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ． x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7．已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）A ．242,x s ==B ．24,2x s =>C ．24,2x s =<D ．24,2x s ><8．某校高一年级一名学生七次月考数学成绩(满分100分)分别为78,82,84,84,86,89,96，则这名学生七次月考数学成绩的第80百分位数为（ ） A ．82B ．84C ．89D ．969．某校高一甲、乙两个班分别有男生24名、15名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为13的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为175cm 、177.6cm ，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为（ ）A ．176cmB ．176.3cmC ．176.6cmD ．176.9cm10．设一组样本数据12,,n x x x 的平均值为2，则数据1229,29,,29n x x x ++⋅⋅⋅+的平均值为（ ） A ．11B ．12C ．13D ．1411．某同学掷骰子4次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为12的统计结果，则下列点数中一定不出现的是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．512．某单位共有A 、B 、C 三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁，又已知A 和B 两部门人员平均年龄为30岁，B 和C 两部门人员平均年龄为34岁，则该单位全体人员的平均年龄为（ ） A ．34岁 B ．35岁C ．36岁D ．37岁二、填空题13．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的80%分位数为________．14．学校进行30秒跳绳测试，某小组8名同学的跳绳个数如下面的茎叶图所示，则该组数据的方差为________.15．某企业生产甲､乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测量结果如下：由于表格被污损，数据a ，b 看不清，统计员只记得甲､乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则ab =________.16．已知样本数据1x ，2x ，⋯，2020x 的平均数与方差分别是m 和n ，若2(1i i y x i =-+=，2，⋯，2020)，且样本数据的1y ，2y ，⋯，2020y 平均数与方差分别是n 和m ，则222122020x x x ++⋯+=________．三、解答题17．高一年级期末考试成绩各分数段[)0,90，[)90,105，[)105,120，[)120,135，[]135,150的频率分布如下图.（Ⅰ）计算高一年级所有同学成绩的中位数；（Ⅱ）用各分数段的中间值代替各分数段的平均值，并且删去[)0,90，[]135,150两个分数段，试估计高一年级期末考试成绩的平均值；（Ⅲ）若高一年级有1000人，把成绩从低到高编号，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，其中一个个体的编号为63，请写出抽样在[)105,120之间的个体的编号.18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计总体中成绩落在[)50,60中的学生人数；（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数，中位数；19．甲､乙两位同学要参加数学竞赛，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，绘制成茎叶图如下(单位：分)．（1）分别写出甲､乙两位同学6次预赛成绩的众数､中位数；（2）计算甲､乙两位同学6次预赛成绩的平均数与方差，并判断谁的成绩更稳定．20．现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图所示.（1）确定直方图中x 的值，并求月平均用电量的众数和中位数；（2）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240内的用户中应抽取多少户？21．下表为30位学生参加语文竞赛的成绩，并由小到大排列．（1）求第一、二、三四分位数；（2）求第10百分位数；（3）求第95百分位数．22．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x的值；（2）①求在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数；②如果按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，那么用电量在[150，200）内的居民数应抽取多少？参考答案1．A 【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．建立相应的关系式，即可求得． 【详解】解：从频率分布直方图上可以看出1(0.060.04)0.9x =-+=，50(0.360.34)35y =⨯+=，故选：A ． 2．C 【分析】对于选项ABD ，举出满足条件且出现点数为6的例子，对于选项C ，由于至少出现一个点数6，结合平均数为2，计算方差即可判断作答. 【详解】对于A ，中位数为2的5个点数是1，1，2，5，6，平均数为1125635++++=，选项A 可能出现；对于B ，中位数为3，众数为2的5个点数是2，2，3，4，6或2，2，3，5，6均符合要求，即选项B 可能出现；对于C ，因平均数为2，且至少出现了1次点数6，则方差221(62) 3.25s >-=，即方差不可能为3，选项C 不可能出现；对于D ，中位数为3的5个点数是1，2，3，3，6，平均数为1233635++++=，方差2222221[(13)(23)(33)(33)(63)] 2.85s =-+-+-+-+-=，选项D 可能出现.故选：C 3．C 【分析】将数字从小到大（或从大到小）排列，得到众数和中位数，再算出平均数，即可得到答案. 【详解】人数分别是10,30,30,40,40,50,60,60,60,70，则众数为60，中位数为4050452+=，平均数为103030404050606060704510+++++++++=，∴平均数，众数，中位数的和为：60+45+45=150. 故选：C. 4．A 【分析】选项A ，利用反证法说明一定含6，选项BCD 中依次举例说明可能含有6即可. 【详解】对于A ，若平均数为2，且出现点数6，则方差221(62) 3.2 2.45S >-=>，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以A 可以判断；对于B ，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B 不能判断；对于C ，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以C 不能判断；对于D ，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为1(12336)35x =++++=，方差为2222221[(13)(23)(33)(33)(63)] 2.85S =-+-+-+-+-=，所以可以出现点6，所以D 不能判断. 故选：A. 5．B 【分析】由茎叶图得到数据最中间的两个数是21和23，即得解. 【详解】由茎叶图可知，数据最中间的两个数是21和23， 所以数据的中位数为21+23=222. 故选：B 6．D 【分析】根据茎叶图中的数据计算平均数得的平均数是82，乙的平均数是87，再根据茎叶图分析甲与乙的稳定性即可得答案. 【详解】由茎叶图可知，甲的平均数是727879858692826+++++=，乙的平均数是788687879193876+++++=，所以乙的平均数大于甲的平均数，即 x x <甲乙， 从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛. 故选:D. 7．C 【分析】由已知条件，根据平均数和方差的计算公式进行求解即可. 【详解】 根据题意有47448x ⨯+==， 而()22724428s ⨯+-=<.故选：C. 8．C 【分析】利用百分位数的定义分析求解即可． 【详解】解：因为780% 5.6⨯=,所以这名学生七次月考数学成绩的第80百分位数为89． 故选：C. 9．A 【分析】由题知13个的样本中，甲班男生有8人，乙班男生有5人，进而得两个班男生的平均身高为()11758177.6517613⨯+⨯=. 【详解】解:根据题意，抽出来的13个的样本中，甲班男生有241382415⨯=+人，乙班男生有151352415⨯=+人，所以根据题意得两个班男生的平均身高为()11758177.6517613⨯+⨯= 故选：A 10．C 【分析】利用平均数公式求解即可. 【详解】 因为122nx x x n+++=，所以12292929n x x x n++++++，()122913n x x x n+++=+=，故选：C. 11．D 【分析】利用方差的公式检验四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】当有一个数是5，则()25291442-=>，所以5一定不出现；当有一个数是3时，()23211442-=<，所以3可能出现； 当有一个数是2时，()2221042-=<，所以2可能出现； 当有一个数是1时，()21211442-=<，所以1可能出现；故选：D. 12．B 【分析】设A 、B 、C 三个部门的人数分别为,,a b c ，根据已知条件列出方程组可求出34a b =，54c b =，然后再根据平均数的计算公式，即可求出该单位全体人员的平均年龄.【详解】设A 、B 、C 三个部门的人数分别为,,a b c ，由题意得382430244234a b a b b c b c+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，所以3454a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以该单位全体人员的平均年龄为3538244238244244353544b b b a bc a b c b b b ⨯++⨯++==++++. 故选：B13．4.5【分析】将数据按从小到大的顺序排列，第8和第9个数的平均数即可.【详解】一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1按从小到大的顺序排列，可得1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，共10个，由1080%8⨯=，所以该组数据的80%分位数为45 4.52+=， 故答案为：4.5.14．17.5【分析】先求出该组数据的平均数，再由方差公式即可求出.【详解】 由图可知，该组数据的平均数为4144454750515254488+++++++=， 所以方差为()()()()2222222217431234617.58⎡⎤⨯-+-+-+-++++=⎣⎦. 故答案为：17.5.15．72【分析】求出均值可得17a b +=，再由方差相等可得()()22881a b -+-=，解方程组即可求解.【详解】77+7.5+9+9.56+8.5+8.5+=8=55a x xb ++==甲乙，可得17a b += ①， ()()()()()22222878787.58989.5 5.5D =-+-+-+-+-=甲 ，则()()()()()2222286888.588.58 5.5D a b =-+-+-+-+-=乙，可得()()22881a b -+-= ②， 由①②可得89,98a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，所以72ab = ， 故答案为：72 .16．4040【分析】由样本数据的平均数、方差的性质列方程组求出1m =，1n =，从而2221220201[(1)(1)(1)]12020x x x -+-+⋅⋅⋅+-=，由此能求出222122020x x x ++⋯+的值． 【详解】由题意得：2m n m n -+=⎧⎨=⎩， 解得1m =，1n =， ∴2221220201[(1)(1)(1)]12020x x x -+-+⋅⋅⋅+-=， 22212202012202020202()2020x x x x x x ∴++⋯++-++⋅⋅⋅+=，2221220201220202()220204040x x x x x x ∴++⋯+=++⋅⋅⋅+=⨯=．故答案为：4040．17．（Ⅰ）110分；（Ⅱ）111.5分；（Ⅲ）413，463，513，563，613，663.【分析】（1）根据中位数的概念即可求解；（Ⅱ）结合加权平均数的计算公式即可求出结果；（Ⅲ）由系统抽样中等间隔即可求出结果.【详解】（1）由题图可知[)0,90和[)90,105分数段内的人数占总人数的40%，故中位数在[)105,120分数段内从低到高13处，则中位数为1105151103+⨯=（分）. （Ⅱ）[)90,105，[)105,120，[)120,135三个分数段的中间值分别为97.5，112.5，127.5，人数比为25%:30%:20%5:6:4=，则估计高一年级期末考试成绩的平均值为97.55112.56127.54111.5564⨯+⨯+⨯=++（分）. （Ⅲ）由题图可得[)0,90分数段内有150人，[)90,105分数段内有250人，[)105,120分数段内有300人，则[)105,120分数段内的编号是从401到700，由题意，两个相邻样本的编号差为10005020=，则在分数段[)105,120内抽取的个体的编号为413，463，513，563，613，663. 18．（1）0.005a =；（2）2人；（3）众数为75，中位数为5407. 【分析】（1）由频率和为1可求出a 的值；（2）先求出成绩落在[)50,60的频率，从而可求出频数；（3）由图可知众数在第3组，从而可得众数为7080752+=，由于前2组的频率和小于0.5，前3组的频率和大于0.5，所以中位数在第3组，列方程可求得结果【详解】（1）()23762101a a a a a ++++⨯=，解得0.005a =．（2）由频率分布直方图得成绩落在[)50,60中的频率为2100.1a ⨯=，∴估计总体中成绩落在[)50,60中的学生人数为：200.12⨯=人．（3）根据频率分布直方图估计20名学生数学考试成绩的众数为：7080752+=， 由于前2组的频率和10(0.010.015)0.250.5⨯+=<，前3组的频率和10(0.010.0150.035)0.60.5⨯++=>，所以中位数在第3组，设中位数为x ，则()()0.010.015100.035700.5x +⨯+-= 解得5407x =，所以中位数为540719．（1）甲同学6次预赛成绩的众数为82分，中位数为82分，乙同学6次预赛成绩的众数为85分，中位数为81.5分；（2）甲同学预赛的平均成绩82分；乙同学预赛的平均成绩81分，甲同学预赛成绩的方差为313；乙同学预赛成绩的方差为13；甲同学成绩更稳定． 【分析】（1）甲同学的6次预赛成绩分别为：78,79,82,82,83,88;乙同学的6次预赛成绩分别为：76，77，80，83，85，85，进而可得答案；（2）根据茎叶图,计算即可得平均数与方差，再根据数字特征的意义即可得答案.【详解】（1）由茎叶图可知，甲同学的6次预赛成绩分别为：78,79,82,82,83,88;乙同学的6次预赛成绩分别为：76，77，80，83，85，85；所以，甲同学6次预赛成绩的众数为82分，中位数为8282822+=(分)，乙同学6次预赛成绩的众数为85分，中位数为808381.52+=(分) （2）甲同学预赛的平均成绩121223880826x --++++=+=分 乙同学预赛的平均成绩243035580816x --++++=+=分， 甲同学预赛成绩的方差为22222221131(7882)(7982)(8282)(8282)(8382)(8882)63s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 乙同学预赛成绩的方差为222222221(7681)(7781)(8081)(8381)(8581)(8581)136s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 由2221s s >，所以，甲同学成绩更稳定20．（1）0.0075x =，众数为230度，中位数224度；（2）5户.【分析】（1）由频率和为1列方程可求出x 的值，由[)220,240对应的频数最大，可求出众数，由前3组的频率和小于0.5，前4组的频率和大于0.5，所以中位数在第4组，设中位数为t 度，则0.50.45220200.25t -=+⨯； （2）利用分层抽样的比进行求解即可【详解】（1）因为()0.0020.00250.0050.00950.0110.0125201x ++++++⨯=，所以0.0075x =； 由频率分布直方图可知：[)220,240对应的频数最大，所以众数为230度；因为前三组频率之和为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，第四组频率为0.0125200.25⨯=，且0.450.250.70.5+=>，所以中位数在第四组数据中，设中位数为t 度， 所以0.50.45220202240.25t -=+⨯=. （2）因为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的频率之比为()()()()0.012520:0.007520:0.00520:0.0025205:3:2:1⨯⨯⨯⨯=，所以月平均用电量在[)220,240内的用户中应抽取：51155321⨯=+++户， 答：月平均用电量在[)220,240内的用户中应抽取5户.21．（1）第一四分位数为65，第二四分位数为75.5，第三四分位数为85；（2）56.5；（3）99．【分析】（1）由30×25%，30×50%，30×75%分别确定第一、二、三四分位数的位置即可； （2）由30×10%确定第10百分位数的位置； （3）由30×95%确定第95百分位数的位置 【详解】解：（1）30×25%=7.5，取第8项数据，所以第一四分位数为65，30×50%=15，取第15、16项数据的平均数，所以第二四分位数为75762+=75.5；30×75%=22.5，取第23项数据，所以第三四分位数为85．（2）30×10%=3，取第3、4项数据的平均数，所以第10百分位数为55582+=56.5． （3）30×95%=28.5，取第29项数据，所以第95百分位数为99． 22．（1）x ＝0.0044；（2）①70户；②3（户）．【分析】（1）由频率分布直方图，列出方程，能求出直方图中x 的值．（2）①先求出用电量在[100，250)内的频率为0.7，由此能求出在这些用户中，用电量在区间[100，250)内的居民数．②用电量在[150，200)内的户数为30户，由此利用分层抽样的性质能求出用电量在[150，200)内的居民数应该抽取的户数．【详解】（1）由频率分布直方图得：（0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060）×50＝1，解得直方图中x＝0.0044．（2）①用电量在[100，250）内的频率为：（0.0036+0.0060+0.0044）×50＝0.7，∴在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数为100×0.7＝70户．②用电量在[150，200）内的户数为0.0060×50×100＝30（户），按分层抽样方法，在这些用户中按1：10的比例抽取用户进一步调查，用电量在[150，200）内的居民数应该抽取：130310⨯=（户）．。