控制工程基础(第六章,系统稳定性分析)

N=1
对于原点上的极点，一个极点可看作无穷大半径顺时 针绕过π/2。所以对于系统中积分数目为γ=1,2,3时，在0 0 时刻，Gk(jω)的相角发生突变，在曲线起始部分补充相应的 相位角。 原点上 的极点
（2）开环系统伯德图的正、负穿越：
乃奎斯特图和伯德图间有对应关系
在伯德图的幅频曲线内所有L(ω)≥0的频率范围内，随着ω 由0变化到∞，相频曲线φ(ω)从下而上（相角增加）穿过-180o，称 为“正穿越”，φ(ω)从上而下（相角减小）穿过-180o，称为“负 穿越”， φ(ω)起始或终止于- 180o 线时，则穿越次数为半次，分 别为“±1/2次穿越”。 同样，对于原点上的极点，一个极点可看作无穷大半径顺 时针绕过π/2。所以对于系统中积分数目为γ=1,2,3时，在 0 0 时刻，Gk(jω)的相角发生突变，在φ(ω)起始部分补充相应的相位 角。
1670 1 K ＞ 0 1 ＜K＜ 11 .9
41.5 517 - 1670 1 K ＞ 0
排劳斯表时，有两种可能出现的特殊情况： 1）劳斯表中某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项 不全为零。解决的办法是以一个很小正数ε来代替为零的这 项。然后完成劳斯表的排列。
如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表 示方程中有一对其它虚根存在；如果第一列系数中有符号变 化，其变化的次数等于该方程在S平面右方根的数目。 例 已知系统的特征方程为
下例中 （a）中N=0，（b）中N=0， （c）中N=1，（d）中N=-1。
乃奎斯特稳定性判据：
欲使闭环系统稳定，则需Z=0，即P-2N=0，得： N=P/2
此即闭环系统稳定的充要条件，称为乃奎斯特稳定性判据。
又当P=0，即开环系统稳定时，则闭环系统稳定的条 件为：N=0。 一般所分析系统均为最小相位系统。
K G (s) s(1 0.2s)(1 0.05s)
试求 1) K 1时的K g 和
2) 要求通过对增益K的调整，使系统的增益裕量为 20lg K g 20dB，相位裕量 40。
解 1) (g ) 90 arctan 0.2g arctan 0.05g 180
-20dB/dec 20lgK
试用对数稳定判据判 断其稳定性 。

0
1/ T
-40dB/dec
( )()
0° -90° -180°

解：系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点，即P=0， 而在L(ω)≥0的频段内，相频特性(ω)不穿越－180°线，故 闭环系统必然稳定。
例 已知
s2 s
1
6 83
16 0
s0 16
例
用劳斯判据检验下列方程
2s 3 10 s 2 13s 4 0
是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂直线S=-1的右方 解： 列劳斯表
又令s z 1代入方程
2z 3 4z 2 - z - 1 0 z3 z2 2 4 1 2 1 -1 -1 0 0 0
arctan 0.2 g arctan 0.05 g 90
0.2 g 0.05 g 1 0.2 g 0.05 g
1 0.2 g 0.05 g 0
g 10
10 2 10 2 L( g ) 20 lg 1 20 lg 10 20 lg 1 ( ) 20 lg 1 ( ) 5 20 28dB
可用系统的单位脉冲响应函数 g t 来描述系统的稳定性。
对于系统的单位脉冲响应
C s G s
q
K s z1
i 1
m
s s p1 s 2 k nk s nk
2 2 j 1 k 1
r



q
Aj
j 1 s p1

k 1
以下围绕该结论进行说明：
1、系统开环传函Gk ( s) G( s) H ( s)与闭环传函 Gb ( s )，及两者 间关系。
2、“穿越”的概念
（1）开环系统乃奎斯特图的正、负穿越： 在极坐标平面的（-1，j0）点左边实轴上，随着ω由 0变化到∞，开环Gk(jω)的轨迹由上而下（相角增加）穿过 （- ∞ ，-1）段实轴称为“正穿越”，由下而上（相角减小） 穿过（- ∞ ，-1）段实轴称为“负穿越”，若轨迹起始或终 止于（- ∞ ，-1）段实轴上，则穿越次数为半次，分别为 “±1/2次穿越”。 正、负穿越次数之差N的计算
有一个根在垂直线 S=-1的右方。
z
1
z0
相对稳定性，稳定度a
三、频域稳定性判据
系统的频域稳定性判据为一种图形法，它可由实验法得 出的系统开环频率特性曲线（乃奎斯特图和伯德图）来判断对 应闭环系统的（绝对）稳定性，及相对稳定性，而不需求得闭 环系统的特征根，甚至不用系统的解析模型——传递函数、频 率响应函数等。该方法还有利于研究系统的结构和参数的改变 对稳定性的影响。以下先给出一重要结论： 设开环系统的不稳定根（在s右半平面上）的个数为P， 而ω由0变化到∞时，开环系统频率特性曲线的正、负穿越次数 之差为N，则相应闭环系统不稳定根的个数为Z=P-2N。
教材中例题分析
（三）稳定裕度
在系统设计时，系统的参数稳定域应具有一定的稳定 储备，此即系统的相对稳定性问题。在频域内，可用稳定裕 度来定量地衡量系统的相对稳定性。
对于最小相位系统，开环系统稳定的情况下，闭环系 统的稳定裕度值定义如下。 1、相位裕度γ
在截止频率ωc处，
γ= φ(ωc)-（-180o）=φ(ωc)+180o γ>0时，闭环系统稳定，且γ越大，闭环系统的稳定程度越 高；γ<0时，闭环系统不稳定。 相位裕度γ表明：若系统对ωc时的相角滞后再增加γ 度时，则系统处于临界稳定状态，也即在保证闭环系统稳定 的前提下，开环系统尚可增大的最大相位滞后量。
s 6 1 8 20 16 0 s 2 12 16 0 s 4 2 12 16 0 s 0 0 0 3 s 8 24
3 5
令Ps 2s 12 s 16
4 2
dPs 8s 3 24 s ds
s1,2 j 2, s3,4 j 2, s5,6 1 j
（2） 劳斯稳定判据
令系统特征方程为
a0 s a1 s
n
n 1
a n1 s a n 0, a0＞ 0
a2 a3 b2 c2 d2 e2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4
排劳斯表： s n
a0 a1 b1 c1 d1 e1 f1
s n 1 s n2 s
20 lg K g L( g ) 28dB
K 1，c 1 (c ) 90 arctan 0.2 arctan 0.05 104 .17
76
2)20 lg K 20 lg10 20 lg 1 ( 10 2 10 ) 20 lg 1 ( ) 2 20 lg 0.1 5 20
令系统特征方程为： n n 1 0 1
a n1 s a n 0, a0＞ 0
如果方程所有的根均位于S平面的左方，则方程中多项系 数均为正值，且无零系数。 对于一阶和二阶系统，其特征方程式的多项系数全为正值
是系统稳定的充分和必要条件。对三阶及三阶以上系统，
特征方程的多项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件而 非充分条件。
-3 2
0 0
- 3 - 2

2
s0
结论：有两个根在S的右半平面。
2）如果劳斯表的某一行中所有的系数都为零，用全零行的上一 行元素构成辅助方程，由辅助方程的导数方程的系数代替全零行， 使劳斯表继续计算下去。全零行也表示相应方程中含有共轭虚根， 并可由辅助方程求得。 劳斯列表： 6 2s 5 8s 4 12 s 3 20 s 2 16 s1 16 0 s
2
1 41.5 - 38.5 2.3 10
4
517 2.3 10
4
0
s1
0
表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有 二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。
对于三阶系统，特征方程为：
a3 s a2 s a1s a0 0
3 2
系统稳定的充要条件为：
ai 0(i 0,1, 2,3), 且a1a2 >a0a3
s0
c3
（1）若表中第一列的系数均为正值，则系统稳定； （2）如果表中第一列的系数有正、负符号变化，其变化的次 数等于该特征方程式的根在S右半平面上的个数，相应的系统 为不稳定。 例 一调速系统的特征方程为
s 3 41.5s 2 517 s 2.3 10 4 0 s3 s s
r
B s k nk Ck nk 1 s 2 2 k nk s nk
2
2 k
g t A j e
j 1
q
p jt
Bk e
k 1
r
k nk k t
cos nk 1 t C k e
2 k
k nk t
sin nk 1 , t 0
控制工程基础
——郭世伟
第六章
系统稳定性分析
一、线性定常系统的稳定性
1、系统稳定性的概念 线性定常系统原处于某一平衡状态，若它在瞬间受到某 一扰动而偏离了原有的平衡状态。当此扰动撤消后，系统借助 于自身的调节作用，如能使偏差不断的减小，最后仍能回到原 来的平衡状态，则称此系统是稳定的，反之，则称为不稳定。 稳定性是系统的一种固有特性，它与输入信号无关，只取决 其本身的结构和参数
2 k
若 lim g t 0 ，表示方程的所有根全位于S平面的左半平面， 此即系统稳定的充要条件。它不仅是零输入时系统稳定的充要
t
条件，而且也是在给定信号作用下系统稳定的充要条件。
2、系统稳定的充要条件
系统稳定、不稳定时根的分布
二、系统稳定性的判断
（1）稳定判断的必要条件
a s a s
s 3 2s 2 s 2 0 ，试判别相应系统的稳定性
解：列劳斯表
s3 s
2
1 2 0 2
1 2
0 0
s1 s0
方程中有对虚根，系统不稳定。
例 已知系统的特征方程为 3
s 3s 2 0
s3 s2 s
1
试用劳斯判据确定方程式的根在S平面上的具体分布
解：列劳斯表
1 0
n 3
s2 s
1
a1a 2 a 0 a 3 a1a 4 a 0a 5 b1 , b2 , a1 a1 a1a 6 a 0a 7 b3 , a1 c1 b1a 3 a1b 2 b a a b , c2 1 5 1 3 , b1 b1 b1a 7 a1b 4 , b1
实际系统的分析、设计时，需要同时用幅值裕度 和相位裕度来说明系统的稳定程度。
工程实际中，为了既保证系统足够的稳定性，又 能得到较为满意的动态性能，一般希望：
相位裕度：γ=30o～60o 幅值裕度：Kg >2（即6dB）
例 系统开环传递函数为
K G( s) H ( s) s(Ts 1)
L( )(dB)
2、幅值裕度Kg（又称增益裕度） 在相位交界频率（穿越频率ωg）处，
1 1 Kg A( g ) Gk ( j g )
即为ωg处幅值的倒数。也可用分贝值来表示，为：
1 K g 20 lg 20 lg A(g ) L(g ) A(g )
Kg >0时，闭环系统稳定，且Kg越大，闭环系统的稳定程度 越高； Kg < 0时，闭环系统不稳定。 幅值裕度Kg 表明：若系统的开环增益增大至原来的 Kg倍时，系统就处于临界稳定状态，也即在保证闭环系统稳 定的前提下，开环系统增益尚可增大的最大分贝量。
例 已知系统的特征方程为
s 41.5s 517 s 1670 1 K 0
3 2
求系统稳定的K值范围
s3 s2
1
1 41.5
517 1670 源自文库 K 0
0
41.5 517 - 1670 1 K s 41.5 s0 1670 1 K
欲使系统稳定则应满足