第三章恒定电流的电场和磁场

10 7
媒质 海水 淡水 干土 变压器油 玻璃 橡胶
电导率(S/m) 4
10 3 10 5 10 11 10 12 10 15
第3 章
按电导率 对介质的分类
理想导体 0 理想介质（绝缘介质） 0 导电媒质
与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均 匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的 含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。
即
J1n J2n
E1t E2t
1E1n 2E2n
J1t J2t
1 2
恒定电流场中不同导电媒质分界面两侧的电场强度切向 分量连续，但其法向分量不连续；而电流密度的法向分量连
续，但其切向分量不连续。
第3 章
应用边界条件，可得分界面处的折射定理
tan1 1 tan2 2
在恒定电场中， 分界面处用电位表示的边界条件为
2
恒定电场的电位满足拉普拉斯方程
第3 章
例 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面之
间的电阻。
y
解 选用圆柱坐标系。设两个端面之间
U
t
(r,)
r
的电位差为U，且令 当角度 时0，电位 。1 0
0 a
0
x
b
当角度 时 ，电位 。2 U
2
由于导电媒质中的电位 仅与角度 有关，电位满足的方程式为
P UI
在导体中，沿电流线方向取一长度为ΔL、截面为ΔS的体积 元，该体积元内消耗的功率为
P UI (EL)(JS) EJV
第3 章
载流导体内任一点的热功率密度为
p lim P EJ E2
V 0 V
rr
p J E E 2 焦耳定律的微分形式
焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场 力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶 格碰撞的热能。
第3 章
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比，而且
电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。可以证
明运流电流的电流密度
r J
与运动速度 vr
的关系为
rLeabharlann BaiduJ
vr
式中 为电荷密度。
第3 章
焦耳定律 电功率密度
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间 内电场力对电荷所作的功——电功率
d dt
V
dV
r
ÑS J
dS
V
t
dV
V
r J
t
dV
0
第3 章
V
r J
t
dV
0
要该积分对任意的体积V均成立，必须有被积函数为零
r J
0
t
电流连续性方程微分形式
Ñ r J
r dS
dq
电流连续性方程积分形式
S
dt
第3 章
若电荷分布恒定，即 dq 0 ( 0)
dt
t
恒定电场的电流连续性方程
r
ÑS J dS 0
电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理 想介质。理想介质内无电流存在。
电导率不为零的媒质，具有导电能力，这种媒质称为导 电介质。
第3 章
表 常用材料的电导率
媒质 银
紫铜 金 铝
黄铜 铁
电导率(S/m)
6.17 107
5.80 107 4.10 107 3.54 107 1.57 107
该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
RV π
I 2t ln b
a
第3 章
五、 恒定电流场的边界条件
由积分形式
rr
ÑS
J r
dS r
0
Ñl E dl 0
可得恒定电流场中不同 导电媒质分界面的边界 条件
第3 章
恒定电流场的边界条件为
rr r
n nr
(rE2 rE1 (J2 J1)
)0 0
第3 章
第三章 恒定电流的电场和磁场
§ 3.1 恒定电流的电场
分类：传导电流与运流电流 传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解 液中的离子运动形成的电流。 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体 中运动形成的电流。
第3 章
一、 电流分布
1、（
体）电流密度
r J
设垂直通过ΔS 的电流为ΔI，则该点处的电流密度 为Jr
r J
lim
I
nr
dI
nr
S0 S dS
第3 章
载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场，
称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。
电流密度
r J
与流过任意面积S的电流强度
I
的关系：
rr
I S J dS S J cosdS
通过面积 S 的电流等于电流密度在 S 上的通量
第3 章
1 2
1
1
n
2
2
n
第3 章
讨论：
1) 两种导电媒质 当一种导电媒质为不良导
体 ( 2 0) ，另一种导电媒质为
良导体，若电导率 2 1 ，
如同轴线的内外导体通常由电导 率很高(107 数量级)的铜或铝制
成，填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有 很小的漏电导存在，如 聚乙烯的电导率为 10 -10 数量级，由
r 2、（ 面）电流密度 JS
r 设垂直通过ΔL 的电流为ΔI，则该点处的电流密度 J为s
r JS
lim
S 0
I l
nr
dI dl
nr
第3 章
二、 电流连续性方程
在电流场中有一闭合曲面S，由电荷守恒定律
r
ÑS J
r dS
dq dt
电流连续性方程
第3 章
Q q V dV
r
ÑS J
r dS
dq dt
d 2 0 d 2
此式的通解为
C1 C2
第3 章
利用给定的边界条件，求得
2U
导电媒质中的电流密度 J 为
r J
r E
er
r
er
2U r
由 的端面流进该导电媒质的电流 I 为
2
I
J dS
S
S
e
2U
πr
(e
tdr)
2Ut b dr 2Ut ln b
π a r π a
第3 章
四、 恒定电流场的基本方程 电位方程
载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源）
积分形式
微分形式
rr
ÑS Jr
dS r
0
r J 0
r
Ñl E dl
0
r
E 0
r
本构关系
J E
第3 章
电位及电位方程
r Q E 0
r Q J 0
r
E
rr
J E
() 0
0 对于均匀的导电媒质
r J 0
第3 章
三、 欧姆定律的微分形式
一段载流I导体，端电压为U， 电阻为R，由欧姆定律
U IR
Q RL
S
U EL I JS
J E ( 1/ )
rr
J E 欧姆定律微分形式
第3 章
电导率为无限大的导体称为理想导电体。在理想导电体 中，无需电场推动即可形成电流，所以在理想导电体中 是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电 流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限 的。
tan2 tan1
2 1
1010 107
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第3 章
tan2 tan1