由一道高考题解法引发思考论文
高考题的解法探究论文
高考题的解法探究论文题目（2011年浙江卷）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是[cd#3].一、基本不等式法解令s=2x+y，则s2=[sx（]（2x+y）2[]1[sx）]=[sx（]4x2+4xy+y2[]rx2+xy+y2[sx）]=1+[sx（]3xy[]4x2+xy+y2[sx）]=1+[sx（]3[][sx（]4x[]y[sx）]+[sx（]y[]x[sx）]+1[sx）] 1+[sx（]3[]2[kf（][sx（]4x[]y[sx）]·[sx（]y[]x[sx）][kf）]+1[sx）]=[sx（]8[]5[sx）]，当且仅当[sx（]4x[]y[sx）]=[sx（]8[]5[sx）]，即4x2=y2时等号成立，此时s max=[sx（]2[kf（]10[kf）][]5[sx）].点评本题通过构造二次分式型函数模型，并注意1的整体代换，利用基本不等式.二、判别式法解设2x+y=t，则y=t—2x，代入4x2+y2+xy=1中，得6x2—3tx+t2—1=0.将它看作一个关于x的二次方程，由x是实数，知δ=（3t）2—4×6×（t2—1）≥0，解得—[sx（]2[]5[sx）][kf（]10[kf）]≤t≤[sx（]2[]5[sx）][kf（]10[kf）].因此2x+y的最大值为t max=[sx（]2[]5[sx）][kf（]10[kf）].点评考虑到题目的结构特征，将2x+y视为一个整体并引入参数t，进而通过消元把问题转化为二次方程有实数根的问题.三、配方法解由已知条件得（2x+y）2=1+3xy=1+[sx（]3[]2[sx）]×（2x）×y1+[sx（]3[]2[sx）]（[sx（]2x+y[]2[sx）]）2，即（2x+y）2≤[sx（]8[]5[sx）]，故当x=[sx（]1[][kf（]10[kf）][sx）]，y=[sx（]2[][kf（]10[kf）][sx）]时，2x+y的最大值是[sx（]2[kf（]10[kf）][]5[sx）].另解由1=4x2+y2+xy=（2x+y）2—[sx（]3[]2[sx）]（2x）×y2x+y）2—[sx（]3[]2[sx）]（[sx（]2x+y[]2[sx）]）2，解得2x+y的最大值为[sx（]2[]5[sx）][kf（]10[kf）]（利用不.点评本题解法关键是配方，然后根据结构特征运用基本不等式转化为解不等式问题，此法不仅简捷明快，而且锻炼了学生的解题.四、三角换元法解 1=42+y2+xy=（2x+[sx（]y[]4[sx）]）2+[sx（]15[]16[sx）]y2，设2x+[sx（]y[]4[sx）]=cosθ[sx（][kf（]15[kf）][]4[sx）]y=sinθ则2x=cosθ—[sx（]1[][kf（]15[kf）][sx）]sinθ，y=[sx（]4[][kf（]15[kf）][sx）]sinθ.所以2x+y=cosθ+[sx（]3[][kf（]15[kf）][sx）]sin θ=[sx（][kf（]8[kf）][][kf（]5[kf）][sx）]sinθ+φ）（其中tanφ=[sx（][kf（]15[kf）][]3[sx）]）=[sx（]2[kf（]10[kf）][]5[sx）]sinθ+φ）≤[sx（]2[kf（]10[kf）][]5[sx）]，所以2x+y的最大值是[sx（]2[kf（]10[kf）][]5[sx）].点评解答本题第一步配方很关键，接下来根须据结构特征采用三角换元顺利地将问题转化为三角函数问题来解决.五、极坐标法解将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入4x2+y2+xy=1中，化简得ρ2=[sx（]2[]5+3cos2θ+sin2θ[sx）].设ω=2x+y，则ω2=（2x+y） 2=[sx（]1[]2[sx）]ρ2（5+3cos2θ+4sin2θ）=[sx（]5+3cos2θ+4sin2θ[]5+3cos2θ+sin2θ[sx）].令tanθ=t，那么ω2=[sx（]t2+4t+4[]t2+t+4[sx）]，即（ω2—1）t2+（ω2—4）t+4ω2—4=0.若ω2=1，则t=0，符合条件；若ω2—1≠0，则由δ=（ω2—4）2—16（ω2—1）2≥0，解得—[sx（]2[kf（]10[kf）][]5[sx）]≤ω≤[sx（]2[kf（]10[kf）][]5[sx）].综上可知（2x+y）max=[sx（]2[kf（]10[kf）][]5[sx）].点评此题的解法很多，但用极坐标法求解别致新颖，应该是最简洁而优美的方法.该题的5种解法，以数学思想方法引领，从不同的角度切入，应用不同的数学知识，呈现不同的精彩，给人以美的享受.为此，笔者建议，加强高考题解法的研究，很有必要.练习题1.（1993年全国高中联赛题）若x，y∈[wthz]r[wtbx]，且有4x2—5xy+4y2=5，记s=x2+y2.求[sx（]1[]s max[sx）]+[sx（]1[]s min[sx）]的值.（提示：将代人中，化简得由此可知，当时，有最小值为而，所以故此法为极坐标法）.2.（1997年莫斯科大学化学系入学试题）已知x2—xy+2y2=1，求表达式x2+2y2的最大值与最小值.（提示：设则所以中其中故所求最大值是，最小值是 .此法为三角换元法.）3.（2006年安徽高中数学竞赛初赛题）设x，y∈[wthz]r[wtbx]，且x2+xy+y2=3，求x2—xy+y2的最大值与最小值.（提示：设则所以当且仅当时，s取最小值1；当且仅当时，s取最大值9，此法为三角换元法.）答案 1.[sx（]10[]13[sx）] 2.[sx（]8+2[kf（]2[kf）][]7[sx）]，[sx（]8—2[kf（]2[kf）][]7[sx）]3.9，1。
基于一道高考数学题剖析引发的探究与思考
化
种 知识 的教 育 ， 考 查 的是 该 教 的 内容 是 否 教 了 ， 教
累， ３ 个 方 面同等 重要．
在学生 的思 维训 练方 面 ， 数学 主 要有 两大 明显 的
功用 ， 即锻 炼 学 生 的演 绎 推 理 能 力 和 归 纳 推 理 能 力 ． 随着 社会 的进 步 ， 显 而易见 的是 现在 的教 育 本 质 上是
一
查． 如： 在第 一 问 中， 要 求 考生 根 据 ａ 一 ≤／ ２ 。 （ 矗 ：１ ， ２ ， ３ ， …） 这 一信息 ， 通过 分类 讨 论 和演 绎 推 理 ， 计 算 出
（ １ ＋６ ｋ ） 一ｆ （ ２ ＋６ ｋ ） 一ｆ （ ３ ＋６ ｋ ） 一２ ，
＿ 厂 （ ４ ＋６ ｋ ） ＝ ＝ ＝ － 厂 （ ５ ＋６ ｋ ） ＝－ 厂 （ ６ ＋６ ｋ ） 一１
（ 是 一 １， ２， ３ ， …） ．
（ １ ）求 ａ １ ， ａ ３ ， ａ ５ ， ａ ７ ； （ ２ ）求数列 ｛ ｎ ） 的前 ２ ｎ项 和 Ｓ ；
1在数学教学中要注重数学学科本身的思想内涵和学科价值数学教学仅仅遵循传统的数学教学模式是远远不行的传统数学教学比较重视学生基础知识与基本技能的培养在新课标体系Байду номын сангаас数学教学必须改变以往的观念
件， 接 下来 对和式 中前 ７ 项 的偶 数 项 和 奇数 项 进行 分 类组 合 ， 产 生 一个 等 比数 列 与 一 个 等 差 数 列 ， 最 后 分
的放 缩．
■
，
例 已知 数 列 ｛ ａ ｝ 中 的相 邻 两项 ｎ ～ ， ａ 是 关
一道高考题的多角度思考及推广
最大值为 １ . λ
参考文献:
[１]司政君,巩继忠．一 道 数 学 高 考 题 的 多 种 解 法 [J]．数 学 学 习 与 研 究 ,２０１２(５)．
[２]教育部考试 中 心．２０１６ 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 大 纲 的 说 明 [M]．北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,２０１６．
一道高考题的多角度思考及推广
毋晓迪 韩道兰
摘 要:高考数学注重考查学生的解题能力以及逻辑思 维 推 理 能 力,由 于 数 学 学 科 知 识 答 案 的 固 定 性,学 生 往 往 会 被 束 缚 在特定的解题模式中,这样会制约学生的解题思路,对于教师来说主要的任务是教会 学 生 掌 握 解 题 的 思 想,能 学 以 致 用,触 类 旁 通,而不是仅仅教会学生能够解出一道题,下面笔者就针对２０１６年四川卷第８题的 解 法 进 行 多 角 度 分 析,来 谈 一 谈 高 考 题 一 题 多 解 之 妙 ,挖 掘 其 一 题 多 解 的 内 在 联 系 .
２,即 ２
直
线
OM
斜率的最大值为
２. ２
３．函 数 的 视 角 解法３:由 解 法 ４ 知,当 AP 与 抛 物 线 相 切 时 斜 率 最 大,
当然我们可以通过求 导 去 解 决,设 P(x０, ２px０ ),由 y２＝
２px 知y＝ ２px ,所以y′＝kAP ＝k＝ p ,即k＝ p
２px
２px
２
A．３ B．３ C．２ D．１
１．基 本 不 等 式 的 视 角
解
法
１:由
焦
点
一道高考题引发的思考——我的一些教学反思
一道高考题引发的思考——我的一些教学反思高考作为一项重要的考试，对于很多学生和教师来说都是一个重要的里程碑。
过去的几年里，我一直致力于提高自己的教学水平，以帮助学生取得更好的成绩。
然而，最近一道高考数学题引发了我的思考，让我意识到还有很多需要改进的地方。
这道高考数学题是一道综合题，涉及到几何、代数和概率。
题目要求学生利用所学知识，进行推理和计算，并给出准确的答案。
作为老师，我在看到这道题目时感到一丝挑战和好奇。
我想知道学生们是否能够灵活运用所学知识解决问题。
在上课讲解这道题目之前，我给学生们一些时间进行个人思考。
在这个过程中，我意识到学生们在理解问题、推理和计算上都存在着一些困难。
于是，我决定改变我的教学方法，希望能够更好地帮助学生。
首先，我引导学生们通过分析题目，找出关键信息。
我给他们提供了一些提示，让他们从多个角度来理解问题。
我鼓励他们积极思考，让他们相信自己可以解决这道题目。
其次，我在讲解解题思路时，采用了一些具体的例子帮助学生理解。
我尽量用简单的语言和直观的图像来解释概念和计算方法。
通过这种方式，学生们更容易理解抽象的数学概念。
另外，我为学生们提供了一些练习题，让他们在课后进行巩固。
我给他们提供了解题思路和详细的步骤解析，以帮助他们更好地掌握解题方法。
我鼓励学生们多做练习，相信通过不断的练习，他们会用更熟练的方法解决这类问题。
在教学过程中，我还特别注重与学生的互动。
我鼓励学生们主动提问，并给予他们充分的回答。
我还鼓励他们相互之间进行合作，讨论解题思路。
通过合作学习，学生们可以互相促进，共同进步。
此外，在教学中我给学生们提供了一些拓展资料，让他们了解数学在实际生活中的应用。
我通过与生活实际问题的联系，让学生们更深入地理解数学的重要性和应用性。
经过一段时间的努力，我发现学生们对这道高考题目的理解和解决能力有了较大的提高。
他们能够运用所学知识，灵活地解决类似的问题。
我感到非常欣慰，这意味着我的教学方法是有效的。
高中数学论文：由一道习题改编引发的思考
挖掘习题潜能，激活学生思维——由一道习题改编引发的思考【摘 要】新课改实验以来，由于部分教师对新课程认识上的误区和习惯性的思维，造成了在数学教学中对教材习题的忽视和不重视.笔者通过“同课异构”的形式呈现了对一道教材习题改编讲解的过程，传递了要重视研究教材习题和编者意图的信息．对于如何挖掘开发教材习题，笔者在教材习题价值、习题编者意图、习题改编功能、学生思维发展等方面作了一定的思考和尝试．【关键词】教材习题；开发；利用；习题改编新课改实验以来，顺应数学新课程的教育理念很多，正是这些理念带来了师生活力的重新涣发．然而，由于一些教师对新课程理念的认识存在一些偏差，致使现实教学中的欠缺仍有不少：如教师在备课时都过分重视对课外教学参考资料的挖掘，但很少顾及教科书中的例题，特别是忽视编者编写教材习题的意图，无形中遗失了教材习题这个较好的资源．在与其他教师商讨习题设计的座谈中，常有下列“现象”出现．现象一：课前，课外资料，教师寻得津津有味；现象二：课中，课外习题，教师讲得心潮澎湃；现象三：课后，作业习题，教师选得面面俱到；……从中几乎见不到教材中的课后习题的踪影.究其原因，我们教师的头脑中存在这样一个嗜好：外来资料信息灵、设计新、题型全，对落实考点、提升解题能力助益更大.可一次偶然的习题及改编讲解，让我改变了原先的观念.总之，新课程以来，好多教师总是在寻寻觅觅，穿梭课外资料堆中，其实，蓦然回首，好题竟在教材习题处！1 片段习题讲解实录对比再现[高中人教版课本必修2-习题4.2-B 组第5题]22''(-2,-3)Q (x-4)+(y-2)9.(1),,;(2)??(3).P PQ Q Q =已知点和以为圆心的圆画出以为直径为圆心的圆再求出它的方程作出以Q 为圆心的圆和以为圆心的圆的两个交点A,B.直线PA,PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗为什么求直线AB 的方程 1.1 以课后原题铺垫递进形式的Ⅰ班常态课堂问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生热情被激发起来，他们很快地投入到解法探索中．片刻问题（1）、问题（2）的解法跃然纸上，大部分学生回答如下：(如右图)'1(2,3),(4,2)P Q Q --解法：是以为圆心的圆的直径的两个端点， '1161(1,),222Q r PQ ∴-== '2614Q ∴+=2圆方程为（x-2）（y+1） 高中数学论文 x y o Q(4,2)A B M'2(2,3),(4,2)P Q Q --解法：是以为圆心的圆的直径的两个端点'0Q ∴⋅+⋅=圆方程为（x+2）(x-4)（y+3）(y-2)，22即 x +y -2x+y-14=0问题（2）：大部分学生回答有这样2种思路．思路1：联列圆'Q 、圆Q 两方程组解交点A 、B 坐标，再利用点Q 到直线PA 、PB 的距离等于半径r 来判断直线PA 、PB 为圆Q 的切线．思路2：因为点A ，B 在圆222140x y x y +-+-=上，且PQ 是直径，所以PA ⊥AQ ，PB ⊥BQ ，所以PA 、PB 是圆Q 的切线．在问题（1）、（2）的铺垫下，问题（3）的解答学生普遍如下：2222(x-4)+(y-2)=9(3)65250,.x +y -2x+y-14=0x y AB ⎧⎪+-=⎨⎪⎩由相减得这就是直线的方程 1.2 以整合铺垫、开门见山形式的Ⅱ班创生课堂在另一个平行班上班时，笔者对这道题目进行了改编，题目改动了如下：P 22过点（-2，-3）向圆Q （x-4）+(y-2)=9引两条切线，A 、B 为切点，求直线AB 的方程．师：上述问题大家见过吗？你联想到什么？学生（集体回答）：这是求解直线方程有关知识的问题，只要利用直线的相关方程即可．师：给同学们一分钟的思考时间，等下请同学来谈谈解题思路．（一分钟后）学生1：求解直线方程有关的问题，应该与点斜式、斜截式等方程有关，只是方法……（预感情况较多，不易确定而犹豫）学生2：先画图，由图直接可知只要解点A 、点B 的坐标即可．（师生合作，教师板演图像）学生1：对，先求切线PA 、PB 的方程，再联列Q ⎧⎨⎩切线方程圆的方程求解点A 、B 的坐标．学生3：这个思路有一点繁，可直接设切点（a,b ），再联列()().1QB A PB A k k Q =-⎧⎪⎨⎪⎩圆的方程求解点A 、B 的坐标，这样可能计算量少一点． 【思路1：两点式】师：不错，这是用两点式的方法求解直线方程，同学们思路非常好，但运算量较大不宜选取，还有其他想法吗？（当老师把问题提出后，课堂上没有人回答，大约一分钟后）【思路2：点斜式】生1（大声地说）：连接AB 交线段PQ 于点M ，显然65AB k =-，用点斜式只要求点M 坐标就可以了． （此时学生向他投去敬佩的眼光，使他信心倍增）师：如何求点M 的坐标呢？ xy o P(-2,-3)Q(4,2)A BM（借力打力，激发学生的思维活跃性，大约一分钟后）生1（兴奋地说）：29,.61Rt QBM Rt QPB QB QM QP QM QP ∴=⋅=，易得 再利用定比分点公式就能求得点M 的坐标．生4（大声地说）：9.61QP =利用向量QM 也能求解点M 的坐标 （下面同学一下子活跃起来，顿时产生一片讨论声．）【思路3：斜截式】生2（激动地说）：由上可知65AB k =-，设直线AB 方程为65y x m =-+，利用点Q 到直线AB 的距离公式求m 的值会更简单．师：刚才同学说得太好了，很有独创性．（心理学告诉我们：一个人只要体验一次成功的喜悦，便会激起再次追求成功的喜悦，便会激起再次成功的意念和力量．所以适度的让他“闪光”的表扬，将会极大地激发他的学习积极性，增强他的自信心．）【思路4：圆的切线方程的应用】生1(直接站起来说)：还有，还有，设),(,2211y x B y x A ），（1111111122:(4)(4)(2)(2)9,236452965250(,)65250(,)6525065250.PA x x y y P x y x y A x y x y B x y x y A B x y -⋅-+-⋅-=--∴----=+-=∴+-=+-=∴+-=则切线过点（，） （）（）化得 点在直线上，同理点在直线上，过、两点的直线方程为师：感谢生1带给我们的精彩解答！希望大家有所启发．那我们现在再来思考图形的特点，是否还有其他方法？（一题激起千冲浪，说实话，我也没想到这一点．稍顿……）【思路5：直线AB 看成两圆的交线】 生2（大声地喊着说）：()()()2222221611().241611()2465250.4(2)9P A B Q PQ x y x y x y AB x y -++=⎧-++=⎪+-=⎨⎪-+-=⎩ 由题设知、、、四点在以为直径的圆上，易求得该圆的方程为： ①联列方程组，由①、②两式相减得：，这就是直线的方程 ② （下面很多同学露出了赞同的笑容）对学生而言，数学习题的“难易”程度，关键是“铺垫”这个环节是否做得到位、准确．因此，数学习题设计的好，就可以让学生实现“新”与“旧”、“难”与“易”、“繁”与“简”、 “小”与“大”的转化，从而突破思维的难点．对于难度较低的教材习题，适当地整合铺垫，能减少教材习题本身蕴含的预设，拓展课程文本的开放性，让学生在一个陌生的背景中创造新知识的生成，这完全与高考试题的能力立意相吻合．2 同课异构的缘起和课后检测的对比习题为高中人教版课本必修2习题4.2-B 组第5题.作为教材的编者，编该题意图有三：①关于圆方程求法的应用；②关于直线与圆位置关系知识的应用；③关于直线方程求法的应用.将这三个问题集中思考，作为章节小结习题讲解，借此机会强化提高，一箭多雕.其一，复习巩固直线、圆及位置关系的相关知识；其二，如何在通法基础上用技巧观点去处理直线方程的求解问题，体现高考能力立意的理念.习题题型常规且又层层剖析，降低了思维的梯度．在Ⅰ班常态课堂中按部就班，问题（1）、（2）两小题的解答基本到位，但问题（3）却在上述两问题的铺垫下，使学生在惯性思维下解法单一，阻碍了学生思维的深入发展．当时也不及细想，就这样在师生流畅的配合下顺利地完成了这道教材习题的教学任务，但总觉得在Ⅰ班教学的一气呵成中感觉没有激发学生的求知欲，在这层层铺垫中挫伤了学生数学思维的提炼．为此，在Ⅱ班创生课堂中在不影响原题考查知识的情境中整合铺垫问题（1）、（2），直接以问题（3）开门见山的形式出现，表面上改编后只考查了直线方程的求法，可随着学生解题思路的展开，结果不但巩固了原习题中问题（1）、（2）所考查的直线与圆相关知识，且在问题（3）的解答上激发了学生对知识“本源”的探究愿望，打开了他们数学思维的开阔之门，绽放出数学思维拓展、升华的魅力．在教学过程中，根据以往教学反馈提炼的教学经验，对概念教学中的难点、重点，应精心选例给予强化，所以课后为了提高学生对直线、圆及直线与圆位置关系相关知识的理解，两班练习卷中同选取了2009年高考江西卷文科卷16题：设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．存在一个圆与所有直线相交B ．存在一个圆与所有直线不相交C ．存在一个圆与所有直线相切D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．该题为填空题压轴题，其难点为学生不能准确地判断出直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤的图形特征. 通过批改该题后，基础相当的两班得分率统计如下：Ⅰ班得分率情况约为0.21 ，而Ⅱ班得分率情况却达到了0.46．从我个人上课的感觉来说，Ⅰ班的课后原题设计，层层铺垫，学生学得较轻松，思维顺畅，看上去在Ⅰ班讲题清晰且课堂时间效率利用较高．从Ⅱ班教学课堂来看，一道习题的改编讲解花了大半堂课时间，但从课后检测结果可知，深入的教学在容易题上效果不很明显，可是在随后难度较大的2009年高考江西卷文科卷16题上却突现了其功效．究其原因：（1）在Ⅱ班教学课堂中整合改编扩大了习题的开放性，激活了学生的认知内驱力；（2）在Ⅱ班教学课堂中整合改编增加了习题的综合性，拓展了学生的认知水平，培养了学生的探究习惯和思维品质；（3）在Ⅱ班教学课堂中整合改编提升了习题的功能性，发展了学生的数感，促使学生真正学会“数学地思维”．3 对开发、利用教材习题的再思考数学教学是一个动态的过程，充满着变数，教学过程中生成的种种的“意想不到”是无法“设计”的，可借助于例题的选择及讲解却可能让这预计不到的“天外来客”降临到我们的课堂上，让闪光之处及亮光所在得以展现其独特的魅力．所以在学生的最近发展区应适当地选择例题并改编，使学生在课堂中既知其然，又知其所以然，从而提高学生的课堂学习质量．由以上两个课堂教学片段及其效果的分析，并结合平时教学实践体会，笔者对教材习题的开发利用问题有如下一些思考：3.1挖掘教材习题的潜在价值“九层之台，起于累土；合包之木，生于毫末”.学生优良的素质必须根植于“双基”的沃壤之中.因此，平时教学必须常抓基础知识和基本技能，紧扣新课程标准进行教学.笔者通过近几年的高考试题的研究，发现它们都有共同点：1、注重考察学生的基本运算能力、思维能力和空间想象力的同时，着重考核学生运用数学知识分析和解决简单实际问题的能力；2、试题平实创新，知识覆盖面广；3、多数试题源于“教材”又高于“教材”.这就从根本上证明了教材习题正由巩固知识转化为培养学生能力的重要载体，因此平时教学中需充分利用教材习题，注重对教材习题的挖掘和研究，对其深化和发展，挖掘其内含及外延，以达到优化认知、活跃思维、提高能力的目的．如以高中人教版课本必修2-习题4.2-B组第5题讲解为例，在整合铺垫后的Ⅱ班创生课堂，由设问的改变启发学生从不同的角度去联想，使直线、圆及直线与圆相关知识形成一张完整的网络，充分挖掘、放大了教材习题潜在的价值.3.2透析教材习题编者的意图高中数学新课程理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．一道平凡的教材习题可能蕴藏着丰富的教学功能．因此，我们应该明白编者的意图，对一些习题进行有效的开发，作出深入细致的研究探索，以使教材习题成为培养学生各方面能力的有效阵地．例如，在Ⅰ班教学中的教材习题原题，把复杂问题（最后一小题为能力提升题）进行分解，分散了考查难点，降低了思维的梯度，从易入难，表面上学生很快找出解题方法，可实际上却由于过多的铺垫限制了学生的活跃思维．而在Ⅱ班教学时的整合铺垫，使原题在结果不变的情况下提升了求直线方程的开放性，反而激发了学生学习的兴趣，促使学生变被动学习为主动学习．“逼”着学生动脑动手，使学生在解答过程中体验喜悦的情绪，获取更多的成就感，从而促使学生的思维向深刻性、广阔性、批判性发展．3.3提升教材习题整合改编的功能所谓整合改编知识点，就是在陈题的基础上，糅合进一些其他的考查点并注意到题目改编前后的有机结合，最终塑造成一道综合程度较高的新题。
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
对一道高考数学卷压轴题的研究与反思【摘要】本文旨在研究与反思一道高考数学卷压轴题，通过对题目背景和内容的分析，探讨解题方法，解析考生易错点，探讨思维能力的培养以及对考试制度的反思。
通过对这道题目的深入研究，我们可以发现其中蕴含的数学思想和技巧，提高学生解题能力。
也可以反思当前的考试制度是否能真正评估学生的数学能力，是否能激发学生的创新意识和思维能力。
通过本文的研究与反思，我们可以更好地理解高考数学卷的命题思路，为提高学生的数学学习能力提供一定的借鉴。
【关键词】关键词：高考数学卷、压轴题、背景分析、解题方法、考生易错点、思维能力、考试制度、反思、结论。
1. 引言1.1 对一道高考数学卷压轴题的研究与反思现在，让我们来掏探一道高考数学卷压轴题，通过深入研究和反思，探讨其中的奥秘和启示。
这道题目作为高考数学卷的压轴题，往往会引起广泛的讨论和争议。
我们将从题目的背景和内容分析开始，探讨这道题目的设计理念和考察重点。
接着，我们将深入研究解题方法，揭示其中的技巧和逻辑，帮助考生更好地应对类似类型的问题。
我们还将分析考生易错点，指出常见的误区和解题思路，帮助考生避免犯错。
在思维能力的培养方面，我们将探讨如何通过这道题目锻炼考生的逻辑思维、创造力和解决问题的能力。
我们将对考试制度进行反思，探讨如何更好地发挥高考数学卷的作用，促进学生全面发展。
通过对这道高考数学卷压轴题的研究和反思，我们将深化对数学学科的认识，提高解题能力，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
2. 正文2.1 题目的背景和内容分析高考数学试卷作为中国高等教育选拔的重要工具，一直备受广大考生和家长的关注。
每年的高考数学试卷都会有一到多道被称为“压轴题”的较为难题，这些题目不仅考察了考生的数学基础知识，还考察了他们的解题能力和创新思维。
在今年的高考数学试卷中，一道压轴题引起了广泛的讨论和研究。
这道压轴题是一道涉及数论和概率的复合题，内容相对较为复杂，题目设立了多个难点。
高中物理论文从一道高考题反思实验教学
从一道高考题反思实验教学每一届高考结束后，就会有许多物理界的专家对其进行深入的调研、评价、分析。
作为一名一线的物理教师，不能分析得很深很全面，只是其中的一道实验题引起了我的思考。
以下为2007届上海物理高考试卷第15题：为了测量一个阻值较大的末知电阻，某同学使用了干电池（1.5V），毫安表（1mA），电阻箱（0-9999Ω），电键，导线等器材。
该同学设计的实验电路如图（a）所示，实验时，将电阻箱阻值置于最大，断开K2，闭合K1，减小电阻箱的阻值，使电流表的示数为I1＝1.00mA，记录电流强度值；然后保持电阻箱阻值不变，断开K1，闭合K2，此时电流表示数为I1＝0.80mA，记录电流强度值。
由此可得被测电阻的阻值为____________Ω。
经分析，该同学认为上述方案中电源电动势的值可能与标称值不一致，因此会造成误差。
为避免电源对实验结果的影响，又设计了如图（b）所示的实验电路，实验过程如下：断开K1，闭合K2，此时电流表指针处于某一位置，记录相应的电流值，其大小为I；断开K2，闭合K1，调节电阻箱的阻值，使电流表的示数为____________，记录此时电阻箱的阻值，其大小为R0。
由此可测出R x＝___________。
（a）（b）此题其实考的是欧姆表的设计思想，而考纲对此并没有指定要求，只是对欧姆表的原理、使用方法有所要求，相信大多数教师对欧姆表的复习也投入了不少时间，但对之所以要设计欧姆表来测量电阻的初衷并不会让学生思考。
而让本人颇为自得的是，在一次公开课中我正是利用欧姆表的设计思想来引入整节课，不但讲解了欧姆的原理，而且让学生自己体会到了之所以这样设计的缘由。
如此一来学生不但会用，而且知道为什么要这样做，就更容易理解使用时的一些注意事项。
以下是我那节课的教案：欧姆表教案教学目标：知道欧姆表的主要结构，了解欧姆表的原理及其使用方法。
重点与难点1、重点：让学生学会使用欧姆表2、难点：对欧姆表测电阻的原理的理解教材分析：在电流这一章中，前一节讲电路的理论。
高中数学论文：对一道习题引发的思考
对一道习题引发的思考关键词：策略 变式 延拓一、初始问题的提出过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为1y ，2y ，求证：221p y y -=（新教材第二册（上）P119第7题）． 二、解题策略的研究“问题是数学的心脏”，学习数学的过程与数学解题紧密联系，而数学能力的提高在于解题的质量而不是解题的数量，所以要重在研究解题的方向和策略，要善于从题目的条件和求解（求证）的过程中提取有用的信息，作用于记忆系统中的数学认知结构，提取相关的知识，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，这就是解题方向，题目信息与不同数学知识的结合，可能会形成多个解题方向．对于上述命题，通过师生共同探讨，我们可得到如下一些有用信息：（1）由“221p y y -=”，联想到韦达定理中的两根之积，从而形成解题方向一．（2）抛物线的焦点弦，常规解决方法是利用抛物线定义进行转化，形成解题方向二．（3）直线过焦点，事实上就是直线和抛物线的两个交点与焦点成三点共线，从三点共线的角度又可以形成四个解方向：①利用直线方程解决；②利用斜率公式解决；③利用共线向量解决；④利用定比分点公式解决．具体证明如下：证法1（利用违达定理） 当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程为2p x =，代入px y 22=得p y ±=，故221p y y -=成立． 当直线斜率存在时，设其方程为：)0( )2(≠-=k p x k y 则2p k y x +=，代入抛物线方程px y 22=并整理得0222=--p kp y ， 由韦达定理知：221p y y -=得证．证法2（利用抛物线定义）记过焦点F 的直线交抛物线交于两点P 1，P 2，并设① ② ),2( ),,2(22221211y py P y p y P 过P 1，P 2分别作准线的垂线P 1P 1′，P 2P 2′，P 1′、P 2′为垂足．由抛物线定义知 | P 1P 2 |=| P 1F |+| FP 2 |= | P 1P 1′| + | P 2P 2′| 即p py y y y p y p y ++=-+-2)()22(222122122221， 两边平方整理得0)(2221=+p y y ，所以221p y y -=．证法3（利用三点共线）（同证法二）由两点式可得焦点弦P 1P 2所在的直线方程为)2)(())(22(211212122p y x y y y y p y p y --=--，而焦点)0,2(p F 在直线上，则有)22)(()0)(22(211212122py p y y y p y p y --=--． 整理得221p y y -=．证法4（利用斜率公式）略证法5（利用共线向量）略证法6（利用定比分点）……（同证法二）设F 分21p p 的比为λ，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++01 2122212221λλλλy y p p y p y 由②得21y y -=λ，代入①并整理得221p y y -=． 通过引导学生从各种途径，多角度地考虑问题，促使学生主动参与，积极探索、主动思考、主动创造，从而激发了学生的创造创新意识，培养了学生的创造能力．三、问题的变式研究对于原命题，在探求原题的多种证法后，不要为一时的收获而“沾沾自喜”使思维停止不前，教师可进一步引导学生去发现，去寻求更一般的规律，原题是否可能推广、引申呢？通过师生共同探讨，不难获得如下新的规律．结论1 过抛物线)0(22>=p px y 焦点的一条直线与抛物线交于不同的两点，若两交点横坐标为1x ，2x ，则4221p x x =． 结论 2 若一直线与抛物线px y 22=的两交点坐标为（1x ，1y ）、（2x ，2y ），且4221p x x =（或221p y y -=），那么该直线必过抛物线的焦点． 结论3 若过点（t ，0）的直线与抛物线px y 22=的两交点坐标为P 1（1x ，1y ），P 2（2x ，2y ），那么，Pt y y 221-=，221t x x =．证明类似于原命题）结论 4 若一直线与抛物线px y 22=的两交点坐标为（1x ，1y ）、（2x ，2y ），且221t x x =（或pt y y 221-=），那么该直线必过点(t ，0)．通过对原命题的推广引申，不仅调动了学生的学习积极性，开拓了学生的学习思路，而且使学生得到了创造性思维的锻炼，从而在培养和发展学生的创新能力上收到了很好的效果．四、问题延拓的研究应用某些习题的结论和师生共同拓广所获得的新知识解决问题，不仅能使知识深化，而且也有可能使解题方法巧妙、简捷，从而使学生体会创造的美感，激发学生的创造热情，培养自觉、自主的创造品质．应用1 过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的一条直线与它交于P 、Q 两点，通过P 和抛物线顶点O 的直线交准线于点M ．求证：直线MQ 平行于抛物线的对称轴（平几课本P 102第13题）．证明：设P 、Q 坐标于为),2(121y p y ，),2(222y p y ，则PO 所在直线方程为x y p y 12=，令2p x -=得12y p y M -=，又221p y y -=，即122y p y -=，所以，M y y =2，从而MQ 平行于x 轴．应用2 已知抛物线)0(22>=p px y ，求证：在OX 上存在一点M ，使过M 的弦P 1P 2总满足︒=∠9021OP P ．证明 设弦P 1P 2与OX 轴的交点为（t ，0），且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，由结论3知，x 1x 2=t 2且pt y y 221-=，为了使︒=∠9021OP P ，只需02121=+y y x x 即p t pt t 2 ,022==-. 应用3 已知AOB ∆是以原点O 为直角顶角的抛物线)0(22>=p py x 的内接直角三角形，求AOB ∆面积最小值．解 设A )2,(211p x x ，B )2,(222p x x ， 因为︒=∠90AOB ，由应用2知弦AB 与抛物线对称轴交点为（0，2p ），由结论3知2214p x x -=， 又)4(4||),4(4||22222222212212p x p x OB p x p x OA +=+=，于是 =⋅=∆||||21OB OA S AOB )(43221)4)(4(8||222124222221221x x p p p x p x p x x ++=++ 221244||83221p x x p p =+≥， 所以，当||||21x x =，即)2,2(p p A )2,2(p p B -时，AOB ∆的面积取得最小值24p ．研究问题的目的之一是掌握新知识，解决新问题，也是创新意识的表现，通过利用师生共同探讨获得新知识解决相关问题，可使学生深刻体会创造的喜悦，富有新意．五、思考在数学教学中，若教师有目的有意识地引导学生研究课本中的一些典型习题，揭示出其丰富的内涵，则不仅有利于学生掌握基础知识，而且对于培养应变能力，开拓思路，活跃思维都是有益的，同时对于目前高考命题的“源于课本而高于课本，考活题考能力”的原则也有一定的针对性，更重要的是与素质教育要求的“要重视知识的形成过程和发展过程，培养学生创新精神”的本质相吻合．教师在要求学生完成课本习题的同时，对一些典型习题要引导学生挖掘其潜力的功能进行多方探讨，以深化拓广所学知识，培养学生的数学兴趣，提高学生的探索创新能力．。
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由一道高考题的解法引发的思考
摘要：本文对一道高考题的解法进行了探索，通常的做法是构
造函数后再利用导数，但本文用了高等数学中的一个定理从另一个
角度解决了问题，巧妙地回避了构造函数，并就与导数有关的高等
数学的知识在高中如何发挥作用谈了一点体会。
关键词：拉格郞日定理；构造函数；导数
新课程把导数摆在了一个全新的位置，教材没有把导数的概念
建立在形式化的极限定义及相关知识的基础之上。这样引入还能让
学生更深刻地理解变量数学的本质，对函数这一核心概念的深入理
解是很有帮助的。
导数是高中数学教材新增加的内容，从2005年开始，导数成了
高考中必考的一个内容。从这六年（2005-2010）的高考题目中涉
及导数的题目来看，没有超出利用一阶导数研究函数单调性、求函
数极值和最值、不等式问题以及优化问题。这就要求学生掌握并学
会利用一阶导数来讨论函数的单调性、极值、最值不等式问题。以
下笔者用该定理给出2009年高考辽宁的理科第21题第二问的一种
简便做法。
首先通过下面一道题目来看一下如何通过构造函数来应用导数
解决问题的
一、比较ｅ∏和∏ｅ的大小
分析：有的学生肯定认为用计算器不就可以解决了，但高考时
不允许使用计算器，而且∏和ｅ都是无理数，根本没法取近似值去
比较大小，那能不能根据中间量法和图像法得到解决呢？答案也是
否定的。分析一下，要比较ｅ∏和∏ｅ的大小，可比较其对数值的
大小，即ｉｎｅ∏和ｉｎ∏ｅ的大小，进而比较∏ｉｎｅ和ｅｉｎ
∏的大小，即比较■和■的大小关系，于是想到了构造函数ｆ（ｘ）
＝■，这里我们要把■和■看作函数ｆ（ｘ）＝■的两个函数值，
然后利用函数的单调性去比较大小，由于函数不是我们熟悉的基本
初等函数，所以我们想到利用导数这个有力工具先求函数的导数，
在根据导数的符号判断函数的单调性。
先求导＝■解不等式组ｆ＇（ｘ）＜０ｘ＞０得ｘ＞ｅ，故函数
ｆ（ｘ）＝■ 在（ｅ，＋∞）上单调递减，所以ｆ（ｅ）＞ｆ（∏）；
即■＞■→∏ｉｎｅ＞ｅｉｎ∏→ｉｎｅ∏＞ｉｎ∏ｅ，所以ｅ∏
＞∏ｅ。
从以上解题过程中不难看出，构造函数是解决问题的关键，但
对学生而言如果没有积累足够的解题技巧很难想到如此的构造方
法。
既然构造函数是一个用导数解决有关问题的难点，那么如果有
的题目可以回避构造函数的话，而用其他知识来解决的话那一定会
事半功倍的。为了下面解决问题的需要，先给出
拉格朗日定理的内容：
定理【1】（拉格朗日定理）若函数ｆ（ｘ）满足
（１）在（ａ，ｂ）连续；
（２）在（ａ，ｂ）可导；
则在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ，使ｆ＇（ξ）＝■。
下面我们看这样一道题
题目（2009辽宁理21）已知函数ｆ（ｘ）＝■ｘ２－ａｘ＋（ａ
－１）ｉｎｘ，ａ＞１
（１）讨论函数ｆ（ｘ）的单挑性；
（２）证明；若（ａ＞５），则对任意ｘ１，ｘ２∈（ｅ，＋∞），
ｘ１≠ｘ２，
有■＞－１。
证明：（1）略解：当ａ＝２时，ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单
调增加；当１＜ａ＜２ 时，ｆ（ｘ）在（ａ－１，１）上单调减
少，在（０，ａ－１），在（１，＋∞）上单调增加；当（ａ＞２）
时，ｆ（ｘ）在（１，ａ－１）上单调减少，在（０,１），（ａ－
１，＋∞）上单调增加。
（2）考虑函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｘ＝■ｘ２ －ａｘ＋（ａ
－１）ｉｎｘ＋ｘ
ｇ＇（ｘ）＝ｘ－（ａ－）＋■
则≥■－（ａ－１）
＝１－（■－１）２
由于１＜ａ＜５，故ｇ＇（ｘ）＞０，即ｇ＇（ｘ）在（０，＋
∞）上单调增加，从而当ｘ１＞ｘ２＞０时有ｇ（ｘ１）－ｇ（ｘ
２）＞０，即ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＋ｘ１－ｘ２＞０故■＞－
１；当０＜ｘ１＜ｘ２时有■＝■＞－１。
以上第二问的解决又构造了函数，下面用定理【1】给出第（2）
问另外一种简便的做法，可以不用构造函数
不失一般性，假设０＜ｘ１＜ｘ２
则ｆ（ｘ）＝■
由于函数ｆ（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）上连续，在（ｘ１，ｘ２）
上可导，则由定理【1】 可知一定存在ξ∈（ｘ１，ｘ２）使得ｆ＇
（ξ）＝■
要证明■＞－１只需证明ｆ＇（ξ）＝■＞－１，ξ∈（０，８）
即证明ξ２＋（１－ａ）ξ＋ａ－１＞０，ξ∈（０，８）
令ｇ（ξ）＝ξ２＋（１－ａ）＋ａ－１，ξ∈（０，８）
当１＜ａ＜５时，ｇ（０）＝ａ－１＞０
对称轴直线ξ＝■∈（０，２）
ｇ（ξ）ｍｉｎ＝■＞０
即ξ２＋（１－ａ）ξ＋ａ－１＞０，ξ∈（０，８）
故ｆ＇（ξ）＝■＞－１成立，这样就证明了第二问。
一点体会：由以上的证明过程不难看出使用定理1要比构造函
数的思路更加直接，既然我们把许多高等数学的内容放到高中，并
且只是作为工具而很少给出严格的理论证明，那么我们也可以通过
直观让学生把拉格朗日定理作为一个解决问题的理解并运用而不
必给出严格的理论证明，为某些问题的解决提供更多的思路。
本文从一道高考题出发，用学生可以直观接受的拉格朗日中值
定理给出了此题第二问的一种新的方法，回避了构造函数的繁琐技
巧，某种程度上降低了题目的难度，使学生更容易理解和接受。笔
者觉得既然将导数等内容放到高中，那么我们可以适度的将一些涉
及到的高等数学的内容作为结论介绍给学生，这将会在某些问题上
降低难度，给学生以不同的思考角度和方式，拓宽学生的思路。
【参考文献】
[1]复旦大学数学系陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中编数学
分析（第二版）上册．高等教育出版社．1983年7月第二版．
[2]人民教育出版社．课程教学研究所中学数学课程教材研究开
发中心编著.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2a版.北
京．人民教育出版社．2007．
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