整周模糊度的求解方法

GPS整周模糊度的求解方法 遥感学院 地理信息系统 摘要：高精度GPS定位，必须采用相位观测量。接收机纪录的只是相位差的小数部分，而初始的整周部分N 是初始观测历元卫星和观测站间距离相对于载波波长的整数，称为整周模糊度，是未知的。在GPS定位中，得到模糊度初值后，如何选择合适的搜索准则和解算方法将直接影响定位的效率。本文分析了几种常用的整周模糊度的求解算法的优缺点，并详细讲解了整周模糊度的求解的具有较大优势的新方法。

关键字：GPS,整周模糊度；伪距法；经典待定系数法；多普勒法；快速模糊度解算法，整周模糊度函数法，多历元，最小二乘 精密型GPS信号接收机都具有伪距和载波相位两种基本观测量,载波相位观测量能提供厘米级精度的相对定位成果. 但由于载波相位测量存在整周模糊度解算问题,致使其用于快速定位及导航时有些困难,快速而准确地求解模糊度,就成了问题的关键载波相位观测量是进行GPS高精度定位的重要信息。目前，利用载波相位观测量及载波相位的差分技术是获得高精度定位得主要方法。而这种定位方是以整周模糊度的正确求解为前提的，一个整周数值的错误，将会产生0.2m左右的定位偏差。因此整周模糊度的解算是利用载波相位观测值进行高精度导航定位的核心问题。 确定整周模糊度的一般方法: 整周模糊度求解的理论及其实用研究是近一、二十年的研究热点和难点。许多学者提出 了一些解算方法,其中快速模糊度解算法、整周模糊度函数法、经典待定系数法、多普勒法（三差法）、伪距法为常用的方法。 1. 快速模糊度解算法（FARA）[J] 快速模糊度解算法FARA是一种基于统计检验 的算法.首先用一组相位观测数据进行双差解,求解出实数的双差相位模糊度和位置参数.然后,根据解的统计信息,建立置信区间,对每一组落在该置信区间的模糊度组合进行检验,找出一组既能满足统计检验,又具有最小方差的模糊度组合作为正确的模糊度解'". FARA的采样时间很短,利用少量观测量进行初次平差计算所求得的基线和模糊度参数的精度并不高,与它们最接近的整数不一定就是正确的整周模糊度.但是大约有99%的可能性,正确的整数是落在置信区间内的.因此,将全部模糊度参数的候选值排列组合起来.正确的一组整数组合必然在其中,接着通过各种检验,将不正确的整数组合先行剔除,将可能正确的少数组合保留下来,将保留下来的整数组合作为已知值代人重新进行平差计算,计算 的一组整数组合所产生的单位权方差应为最小,根据这一原理将正确的一组整周模糊度挑选出来. 2. 整周模糊度函数法[J] 模糊度函数法AFM是利用模糊度的整数特性来确定模糊度的一种方法。他将载波相位残差转化为复平面上的一个函数，然后利用余弦函数对2郑州倍数的不敏感性，则对应函数值最大的搜索网络点为要求之解。找到该解后，即可由观测值确定整周模糊度。 模糊度函数法确定整周模糊度的方法按以下3歩进行：确定未知点的初始化坐标，简历搜索空间；逐点搜索；固定模糊度。 该方法的缺点是：搜索空间极大，计算量非常庞大，计算时间较长；难以满足动态实时的要求。 3.经典待定系数法[i] 把整周未知数当做平差计算中的来加以估计和确定有两种方法。 (1) 整数解 整周未知数从理论上讲应该是一个整数，利用这一特性能提高解的精度。短基线定位时一般采用这种方法。具体步骤如下： 首先根据卫星位置和修复了周跳后的相位观测值进行平差计算，求得基线向量和整周未知数。由于各种误差的影响，解得的整周未知数往往不是一个整数，称为实数解。然后将其固定为整数（通常采用四舍五入法），并重新进行平差计算。在计算中整周未知数采用整周值并视为已知数，以求得基线向量的最后值。 (2)实数解 当基线较长时，误差的相关性将降低，许多误差消除的不够完善。所以无论是基线向量还是整周未知数，均无法估计的很准确。在这种情况下再将整周未知数固定为某一整数往往无实际意义，所以通常将实数解作为最后解。 采用经典方法解算整周未知数时，为了能正确求得这些参数，往往需要一个小时甚至更长的观测时间，从而影响了作业效率，所以只有在高精度定位领域中才应用。 4.多普勒法（三差法）[i] 由于连续跟踪的所有载波相位观测值中均含有相同的整周未知数N0，所以将相邻的两个观测历元的载波相位相减，就将该未知参数消去，从而直接接触坐标参数。这就是多普勒法。但是两个历元之间的载波相位观测值之差受到此期间接收机钟及卫星钟的随机误差的影响，所以精度不太好，往往用来解算未知参数的初始值。三差法可以消除掉许多误差，所以应用比较广泛。 5.伪距法[i] 伪距法是在进行载波相位测量的同时又进行了伪距测量，将伪距观测值减去载波相位测量的实际观测值（化为以距离为单位）后即可得到λ*N0.但由于伪距测量的精度比较低，所以要有较多的λ*N0取平均值后才能获得正确的整波段数。 确定整周模糊度的新方法： 1基于多历元递推最小二乘卡尔曼滤波方法的模糊度解算【x】 在GPS动态定位中,载波相位模糊度的解算多采用伪距信息和载波相位信息统一解算,其中伪距可以是一个历元的伪距观测信息,也可以是多个历元的伪距平滑信息,但是由于动态定位中目标点空间坐标在变化之中,载波相位信息目前常采用单个历元观测量,而放弃前续历元的载波相位观测信息。如能有效地利用此多个历元的载波相位信息,将有助于模糊度的解算。针对这个问题提出了同时使用多个历元的伪距信息和载波相位信息来解算载波相位模糊度。与此同时,卡尔曼滤波技术在GPS导航定位中有着广泛应用,但是由于受到系统状态方程模型精度的限制,在cm级的差分GPS定位中,卡尔曼滤波使用的并不多。但如果系统状态方程的模型精度很高,即仅对模糊度参数建模,滤波效果则大为改善。 GPS动态差分定位中的迭代最小二乘方法： 由GPS双差线性观测方程:

(1) 式中,L为双差码伪距和载波相位观测矢量;B为差分GPS定位系数矩阵;dx为坐标未知数改正数向量;N为载波相位双差模糊度,具有整数特性;A为模糊度系数矩阵;D为观测矢量方差阵。引入迭代最小二乘方法,可得到不含坐标未知数改正数向量dx的定位方程:

(2)

式中, ,I为单位阵, , ,其对应的法方程为: (3) 由方程(3)可解得模糊度浮点解:

方程(2)中不再具有坐标未知数改正数向量,只具有模糊度参数。根据无周跳时前后历元模糊度不变的特性,可对多个历元的法方程(3)进行叠加,或者使用卡尔曼滤波方法,解得模糊度浮点解。在模糊度浮点解的基础上,可使用动态模糊度搜索方法进行整数模糊度搜索。对此相关文献研究较多[1],此处不再赘述。 基于递推最小二乘的卡尔曼滤波在正确探测并修复周跳的前提下,对于方程(2)模糊度浮点解的解算,既可以使用多历元法方程叠加方法,也可以使用卡尔曼滤波方法。由于卡尔曼滤波方程便于编程实现,特别是在后文重新出现卫星的处理中非常方便,故本文使用后者。 由于方程(2)中只具有模糊度参数,所以滤波器状态方程的精度很高。对于式(2),建立只含有模糊度参数的卡尔曼滤波器:

(4) (5) 式中,式(4)为状态方程,Nk为k时刻的模糊度向量;Nk+1为k+1时刻的模糊度向量;Qk为系统噪声阵,由于前后历元所对应的模糊度保持不变,故系统噪声阵可设为零。式(5)为量测方程,是式(2)在k+1时刻的描述。滤波器的广义滤波方程为:

(6) (7) (8) (9) 式中,P为系统方差阵;K为增益矩阵;I为单位阵; 为滤波器输出,即模糊度的每历元的修正值,其他符号与前文相同。在滤波器中,方程(8)可以同时含有码伪距和载波相位观测信息。 2 使用LAMBDA方法快速、准确解算整周模糊度[y] 基于模糊度域的整周模糊度搜索方法，就是对模糊度估值域的搜索，即搜索程序直接或间接依赖于模糊度浮点解的方差阵的对角元素。如果存在一个可逆的整数变换矩阵，使得变换后的模糊度参数的方差阵的对角元素小于变换前的方差阵对应的对角元素，则搜索效率会大大提高。该观点首先被荷兰Delft 大学的Teunissen 教授表示为LAMBDA方法。 2.1 LAMBDA方法解算整周模糊度可分为三个步骤 1） 标准最小二乘平差求基线和整周模糊度浮点解。 2） 整数最小二乘估计求整周模糊度固定解。 3） 求基线固定解。 其中第二步为求解模糊度的核心，它包括了整数最小二乘估计、模糊度空间的构造，模糊度去相关处理以及模糊度空间尺寸确定等关键问题。 它所用的线性模型为：

式中Y为双差载波相位观测向量；X为未知点位置改正向量；N为整周模糊度向量；e为误差向量A、B分别为X、N所对应的实数阵；P为权阵；σ 为单位权中误差。 它的目的也是要求： 式中为模糊的实数解；为其整数解。当然，它也不存在解析解，也要使用搜索方法，即给定一χ2，以确定其搜索范围

此搜索范围为一超椭球体，以模糊度的实数解为中心，形状由控制，大小由χ2控制。 为了便于进行搜索，它引进序贯条件最小二乘模糊度概念。令表示，则

式中为和之间的协方差。序贯条件中最小二乘模糊度有一个重要的特性，即它们之间不相关。因此他们的方差- 协方差矩阵式对角阵。这样

用表示，所以 式中L是分解为LDLT得到的。

解出展开得 但由于的结构比较差，故搜索范围较大，效率不高，所以又对实行了Z转换，Z为一整数矩阵，通过高斯整数变换得到。变换后的为

其目的就是要使的结构比的好。 2.2 最优点判断标准 如上面所讲，LAMBDA方法的目的就是寻找，使 它等价于 所以它的最优点判断标准同前面的最小二乘搜索法一样，即最优的 模糊度组相对应得残差数平方和最小。 2.3 搜索范围的构造 上面构成了一个搜索范围

把模糊度向量的最小二乘实数解代入上式，就得到一个值，一般X2参考这个值来给定，取为它的2 倍、3 倍等。上式构造的搜索范围是一个狭长的超椭球体，由于观测时间较短，模糊度之间的相关性较强，的结构比较差，故搜索范围较大，效率不高。所以LAMBDA方法引进整数高斯变换，对、整数模糊度向量和最小二乘模糊度实数解向量都实行变换。最后得到的搜索范围近似呈球形，包含的搜索点很少，极大地提高了搜索效率。这使LAMBDA方法在模糊度协方差方法中变得比较突出。 LAMBDA方法由于采用了整数高斯变换，使变换后的模糊度向量之间的相关性变得较弱，从而构造的搜索范围比变换之前的要小得多，有时甚至只包含几个点，它的搜索算法也比较特别，有助于提高搜索速度，所以LAMBDA方法的搜索效率特别高。 3 结语： 整周模糊度的确定只能根据一定的数学理论及方法，通过数据处理手段进行，因此也使得数据处理变得复杂且有相当的难度。准确与快速的解算整周未知数无论对于保障相对定位的精度，缩短观测时间以提高作业效率，或者对于开拓高精度动态定位应用的新领域，都是极其重要的。载波相位模糊度的快速准确确定是实时精密GPS 定位的技术关键。我们应积极开展新算法的研究工作，以充分发挥这一先进定位技术的巨大潜力。 参考文献：[J]GPS整周模糊度确定方法探讨 王延萍 中国电子科技集团公司第20研究所 [i]GPS测量原理与应用 张华海 杨志强 王泽民 编著 [x] GPS整周模糊度的计算与确定 [y] GPS 精确定位中解算整周模糊度方法的研究 李欣 伊斌（哈尔滨理工大学测控技术与通信工程学院，黑龙江哈尔滨 150040）