安徽省“皖北名校”联盟2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文(扫描版)

1 2 3 4 “皖北名校”联盟2015-2016学年第二学期期中考试 高二数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．B【解析】由1zi，∴2z.

2．C【解析】由题意可知|11,1,0,1ABxxxZ„，故选C. 3．B 【解析】由题意得21a，21b，2222cab，所以1,2ac，离心率2cea，故选B.

4．C【解析】设半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π()R2－1

2

＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π. 5．B 【解析】P(－8m，－3)，r＝64m2＋9，∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，∴m>0.

∴4m264m2＋9＝125，∴m＝±12.∵m>0，∴m＝12. 6．B 【解析】因为ACAB，所以0ACAB， 所以2CABCACACABACACAB2204. 7．D【解析】i＝1，S＝4；i＝2时，S＝22－4＝－1；i＝3时，S＝22－－1＝23；i＝4时，S＝22－23＝32；i＝5时，S＝22－32＝4；i＝6时，S＝22－4＝－1，跳出循环，输出S的值－1.

8．D【解析】3位同学各自参加甲、乙两个兴趣小组的情况有8种方式（可以用列举或树状图等方法），其中仅参加一个兴趣小组的各有一种，故所求概率113184p. 9．D【解析】如图作可行域，

z＝OA²OP＝x＋2y，显然在B(0,1)处zmax＝2.故选D.

10．C【解析】2()2fxxxa，由题意知(3)0f，即960a，解得3a.∴321()33fxxxx，2()23fxxx，由2()230fxxx得 1,3xx，∴函数f(x)在区间(﹣∞,﹣1)和(3,﹢∞)递减，在区间(﹣1,3)递增. f(x)

的极大值(3)9f. 11．A【解析】因为sin5sin3AB，所以由正弦定理可得53ab，35ba.因为a是b与c的等差中项，所以b＋c＝2a，所以c＝2a－35a＝75a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得49＝25＋9－2³3³5cos C，解得cos C＝－12，所以C＝2π3. 12．D【解析】如图，连接AC，BD，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F()0，1， |FA|＝|FB|，设圆的半径r，FAB，则Acos,1sinrr，而A在抛物线

上，故22cos44sinrr，又sin2r，所以1sin2，6，∴r＝4. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．4 【解析】由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S－ABCD，

其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，∴V＝13SA³12(AB＋CD)³AD＝13³2³12³(2＋4)³2＝4．

14．0 【解析】由3log2113lglg52213log2113lg2lg52 112lg2lg52



11lg2lg51lg1011022.

15．4 【解析】根据题意将3S2＝a3－2和3S1＝a2－2相减得：3(S2－S1)＝a3－a2，则3a2＝a3－a2,4a2＝a3，所以q＝a3a2＝4.

16．0a或23a. 【解析】如下图，

y

x123

–1–2–3–1

–2

12

y＝f(x)－a的零点即为函数()yfx图像与函数ya的交点个数，结合图像可知，函数y ＝f(x)－a恰有3个零点，则0a或23a. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0. „„„„„3分 ∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－6，∴b＝－6. „„„„„6分

又直线x－3y－3＝0的斜率为13，切线与已知直线垂直，所以切线斜率为－3. 因此，f′(1)＝3a＋b＝－3， ∴a＝1，b＝－6，c＝0. „„„„„10分 18【解析】(1)设圆心P(x0，y0)，由题意可知，圆心应在线段AB的中垂线上，

其方程为x＝4. 由 x＝4，2x－y－3＝0得圆心P(4,5)， ∴半径r＝|PA|＝10. ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10. „„„„„6分 (2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离为2，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－2)，整理得kx－y＋1－2k＝0，

则圆心到直线的距离为d＝|4k－5－2k＋1|k2＋1＝|2k－4|k2＋1.

由题意可知，d2＋(6)2＝r2，即(2k－4)2k2＋1＋6＝10， 解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y－2＝0或x＝2. „„„„12分 19【解析】(1)∵组距为10，∴(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)³10＝200a＝1， ∴a＝1200＝0.005. „„„„„2分 (2)分数在60分以下的频率为2a³10＝20a＝0.1＝10％， ∴这次竞赛不及格的学生人数为0.1³200＝20. „„„„„4分 分数在90分（包括90分）以上的频率为2a³10＝20a＝0.1＝10％， ∴这次竞赛优秀的学生人数为0.1³200＝20. „„„„„6分 (3) ∵样本中落在[60,70)中的学生人数为3a³10³20＝3³0.005³10³20＝3. ∴设样本中落在[50,60)中的2人成绩为A1，A2，落在[60,70)中的3人为B1，B2，B3. 则从[50,70)中选2人共有10种选法，Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}

其中2人都在[60,70)中的基本事件有3个：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，

故所求概率p＝310. „„„„„12分 20【解析】(1)设数列{an}的公差为d， 由a1＝2和a1，a2，a4成等比数列，得2214aaa， ∴(2＋d)2＝2(2＋3d)，解得d＝0或d＝2. „„„„„4分 ∵递增等差数列数列{an}，∴d＝2. „„„6分 ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n， 即数列{an}的通项公式为an＝2n，(n∈N*)． „„„„„8分 (2) 22nnbna＝2n(2n＋2)＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1. „„„„„10分 ∴Sn＝b1＋b2＋„＋bn＝(1－12)＋(12－13)＋„＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1. „„„12分

21【解析】(1)设椭圆的右顶点为(a,0)(a＞0)，则|a－2|2＝1， 解得a＝22或a＝0(舍去)． „„„„„2分 又离心率ca＝32，故c＝6，b＝a2－c2＝2，

故椭圆的方程为x28＋y22＝1. „„„„„5分 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0,0)， 因为NA＝－75NB，所以(x1－x0，y1)＝－75(x2－x0，y2)，y1＝－75y2.① „„„„7分 易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，

于是设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，联立方程 y＝kx－1，x2＋4y2＝8. 消去x得(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝0，② „„„„„9分 因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，于是y1＋y2＝－24k2＋1，③ y1y2＝1－8k24k2＋1， ④

由①③得，y2＝54k2＋1，y1＝－74k2＋1， 代入④整理得8k4＋k2－9＝0，k2＝1，k＝±1， 所以直线l的方程是y＝x－1或y＝－x－1. „„„„„12分 22【解析】(1)原题即为存在x>0，使得ln x－x＋a＋1≥0， ∴a≥－ln x＋x－1， „„„„„1分

令g(x)＝－ln x＋x－1，则g′(x)＝－1x＋1＝x－1x. 令g′(x)＝0，解得x＝1. „„„„„4分 ∵当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数， 当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数， ∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0. 故a的取值范围是[0，＋∞) „„„„„7分

(2)证明：原不等式可化为12x2＋ax－xln x－a－12＞0(x＞1，a≥0)． „„„„„8分

令G(x)＝12x2＋ax－xln x－a－12，则G(1)＝0. 由(1)可知x－ln x－1＞0，则G′(x)＝x＋a－ln x－1≥x－ln x－1＞0， ∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴G(x)>G(1)＝0成立，

∴12x2＋ax－xln x－a－12＞0成立，即12x2＋ax－a>x1nx＋12成立． „„„„„12分