上海市2018届高三5月高考模拟练习(二)数学试题及答案解析
2018届高三5月适应性考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由可得是方程的两根，再根据韦达定理列方程求解即可.详解：，由，可得是方程得两根，由韦达定理可得，即，故选B.点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解．2. 复数（是虚数单位），则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据复数代数形式的除法运算法则化简，利用复数模长公式求解即可. 详解：复数，，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知函数，则“的最大值为”是“恒成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据“的最大值为”与“恒成立”的因果关系可得结果.详解：因为由的最大值为，一定可得恒成立，反之，由恒成立，不一定得到的最大值为，（最大值小于也有恒成立）“的最大值为”是“恒成立”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.4. 若实数满足约束条件则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：作出表示的可行域，平移直线，利用数形结合可得结果. 详解：作出表示的可行域，如图，设，得，平移直线，由图象知，当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，由，解得，此时，即最小值为，故选D.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 已知互相垂直的平面交于直线，若直线满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由相垂直的平面交于直线可得，再由，推导出.详解：互相垂直的平面交于直线，所以，由，可得，直线，满足，或或与相交，所以直线，直线位置关系不确定，故选C.点睛：本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6. 函数的图象可能．．为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据函数是奇函数可排除，再取，得到，排除. 详解：因为，函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，可排除选项，当时，，可排除选项，故选D.点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 已知随机变量满足，，且，．若，则A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且【答案】B【解析】分析：求出，，从而，由，得到，，从而，进而得到.详解：随机变量满足，，，，，，解得，，，，，，故选B.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列、期望公式与方差公式的应用以及作差法比较大小，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，计算能力，属于中档题.8. 已知是双曲线的左，右焦点，是双曲线上一点，且，若△的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：不仿设为第一象限的点，根据双曲线的定义和勾股定理，可得，所以，利用面积相等和离心率公式，化简整理即可得结果.详解：不仿设为第一象限的点，由双曲线的定义可得，①，由勾股定理可得，②，可得，可得，因为△的内切圆半径为，所以由三角形的面积公式可得，化为，即，两边平方可得，可得，解得，故选C.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.9. 如图，在△中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设，由共线可得，由此,利用基本不等式可得结果.详解：设，共线，，，则，，则的最小值为，故选D.点睛：利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 四个同样大小的球两两相切，点是球上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：是正四面体，设边长为，过作底面，运用线面垂直的性质，即可得到所成角的最大值，再由大圆的切线计算可得所成角的最小值.详解：如图是正四面体，设边长为，过作底面，可得为底面的中心，由，可得，则在直线上时，可得直线与直线垂直，即有所成角的正弦值为，作，则，在平面内，过作球的切线，设切点为，此时最大，可得与成的最大角，所以的最小值为，所以与成的最小角为，即有所成角的正弦值为，则直线与直线所成角的正弦值的取值范围为.点睛：解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，利用底面距离点线距离以及利用展开图转化为平面问题，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
2018届上海市五校高三第二次联考理科数学试题及答案
2018学年第二学期五校联合教学调研数学（理科）试卷考生注意：1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分.2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的规定位置准确填写、填涂学校、 姓名、准考证号.3、考试结束只交答题纸.一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．已知线性方程组的增广矩阵为116 02a ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组解为42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则实数a =___．2．已知i 为虚数单位，复数ii-25的虚部是______. 3．在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为 . 4．已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式1(n x x-展开式中2x 项的系数 为 .5. 已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= .6．设P 为函数x x f πsin )(=的图象上的一个最高点,Q 为函数x x g πcos )(=的图象上的一个最低点,则|PQ|最小值是 .7．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 . 8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}使得这两部分的面积之差最大，则该直为 .9. 在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ， 母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积 S=______cm 2.10．设M （0x ，0y ）为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交， 则0y 的取值范围是 .11. 在正项等比数列{n a }中，1a ＝12，67a a +＝3.则满足1212n n a a a a a a +++> 的最大正整数n 的值为________． 12. 定义:如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在00()x a x b <<,满足0()()()f b f a f x b a-=-,则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点.已知函数2()1f x x mx =-++在区间[]1,1-上存在均值点,则实数m 的取值范围是_ ___.13. 若函数)(x f 满足1()1(1)f x f x +=+,当[0,1]x ∈时, ()f x x =，若在区间(1,1]-上，()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是 .14. 在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集},),,(|{R y R x y x a a D ∈∈==上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个向量),,(),,(222111y x a y x a ==，21a a >当且仅当“21x x >”或“2121y y x x >=且”． 按上述定义的关系“>”，给出如下四个命题：① 若)1,0(),0,1(21==e e ,)0,0(0=则21>>e e ； ② 若3221,a a a a >>,则31a a >；③ 若21a a >,则对于任意D a ∈,a a +>+21；④ 对于任意向量0>a ，)0,0(=,若21a a >，则21a a ⋅>⋅. 其中真命题的序号为 .二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15. “a=1”是“函数(]1,||)(∞--=在区间a x x f 上为减函数”的（ ） A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件； C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件.16.设n S 是公差为d(d ≠0)的无穷等差数列{n a }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 ( ) A ．若d ＜0，则数列{n S }有最大项； B ．若数列{n S }有最大项，则d ＜0；C ．若数列{n S }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有n S ＞0；D ．若对任意n ∈N *，均有n S ＞0，则数列{n S }是递增数列. 17. 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2 的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在.18.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=（λ∈R ）， 1412A A A A μ= （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是（ ） （A ）．C 可能是线段AB 的中点； （B ）．D 可能是线段AB 的中点； （C ）．C ，D 可能同时在线段AB 上； （D ）．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上.三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .） 19、(12分)在△ABC 中，角CB A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足CA BA b c a sin sin sin sin --=+． （1）求角C ；（2）求sinA sinB +的取值范围． 解：20、（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（1）求二面角E AC D --的余弦值；（2）在线段AB 上求一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ，并求出AF 的长． 解：21、(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径APEBDC为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？ , 解:22、（16分）如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.（3）倾斜角为a 的直线经过抛物线E 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点,若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交y 轴于点P ，证明|FP|+|FP|cos2a 为定值， 并求此定值.解:(第21题图)23、（18分）在正数数}{n a 中，n S 为n a 的前n 项和，若点),n n S a （在函数12--=c xc y 的图象上，其中c 为正常数，且c ≠1.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足)12(22+=+n a n b n n n ，当2=c 的时候，是否存在正整数m 、n （1<m <n ），使得n m b b b ,,1成等比数列？若存在，求出所有的m 、n 的值，若不存在，请说明理由；（3）设数列}{n c 满足*,2,212,{N k k n a k n n c n n ∈=-==，当33=c 时候，在数列}{n c 中，是否存在连续的三项21,,++r r r c c c ，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数r 的值；若不存在，说明理由.2018学年第二学期五校联合教学调研数学答案（理科） 一、填空题1．已知线性方程组的增广矩阵为116 02a ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组解为42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则实数a =_1__．2．已知i 为虚数单位，复数ii-25的虚部是__2____. 3．在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为 .【解析】曲线(cos sin )1ρθθ+=与(sin cos )1ρθθ-=的直角坐标方程分别为1x y +=和1y x -=，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1,2π4．已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ，则二项式1(n x x-展开式中2x 项的系数为 15 .5. 若已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 3 6．设P 为函数x x f πsin )(=的图象上的一个最高点,Q 为函数x x g πcos )(=的图象上的一个最低点,则|PQ|.7. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为910【解析】：选 D 事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P ＝1－110＝910.8．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y)|x 2＋y 20 。
2018年上海市5月高考数学模练习(三)(word版)
2018年上海市5月高考数学模练习（三）一、填空题.1.向量(3,4)a =在向量(1,1)b =-方向上的投影为 .2.已知正数a b 、满足2a b +=，则行列式11 111 1ab++的最小值为 .3.阅读下边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间1[,1]4，内，则输入的实数x 的取值范围是.4.设αβ、是一元二次方程220x x m -+=的两个虚根，若||4αβ=，则实数m = . 5.集合1{|0}1x A x x -<+，{|||}B x x b a =-<，若“1a =”是“A B ≠∅”的充分条件，则实数b 取值范围是 .6.已知椭圆的焦点在x 轴上，一个质点为(0,1)A -，其右焦点到直线220x y -+=的距离为3，则椭圆的方程为_ .7.在ABC ∆中， A B C 、、所对边分别为a b c 、、，若tan 210tan A cB b++=，则A = . 8.已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则n a = .9.某地球仪上北纬30纬线长度为12cm π，该地球仪的表面上北纬30东经30对应点A 与北纬30东经90对应点B 之间的球面距离为 cm (精确到0.01)10.已知直线(2)y k x =+与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点， F 为抛物线C 的焦点，若||2||FA FB =，则实数k = .11.将()22xxaf x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ， 1C 与2C 关于x 轴对称，若()()()f x F x g x a=+的最小值为m ，且27m >+，则实数a 的取值范围为 .12.已知“a b c d e f 、、、、、”为“123456、、、、、”的一个全排列，设x 是实数，若“()()0x a x b --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”则满足条件的排列“a b c d e f 、、、、、”共有 个二、选择题.13.函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是( ) A ．22(13)y x x =-≤≤ B ．22(3)y x x =->C ．22(13)y x x =--≤≤D ．22(3)y x x =-->14.直线l 的法向量是(,)n a b =，若0ab <，则直线l 的倾斜角为( ) A ．arctan()b a - B ．arctan()a b - C ．arctana b π+ D ．arctan b aπ+ 15.已知A B C 、、是单位圆上三个互不相同的点，若||||AB AC =，则AB AC ⋅的最小值是( ) A ．0B ．14-C ．12-D ．34-16.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，则对正整数m ，下列四个结论中: (1) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列，也可能成等比数列； (2) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列，但不可能成等比数列； (3) 23m m m S S S 、、可能成等比数列，但不可能成等差数列； (4) 23m m m S S S 、、不可能成等比数列，也不叫能成等差数列. 正确的是( ) A.(1)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)三、解答题.17.在直三棱柱111ABC A B C -中， 90ABC ∠=，1AB BC ==，12BB =.求:(1)异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； (2)直线11B C 到平面1A BC 的距离.18.已知2()1(42)f x g x b x =++，其中b 是常数. (1)若()y f x =是奇函数，求b 的值；(2)求证：()y f x =的图像上不存在两点A B 、，使得直线AB 平行于x 轴.19.如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11AA H α∠=.(1)试用α表示11AA H ∆的面；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小.20.已知点12F F 、为双曲线2222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=，圆O 的方程是222x y b +=. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为12P P 、，求12PP PP ⋅的值； (3)过圆O 上任意一点00(,)Q x y 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A B 、两点， AB 中点为M ， 求证: ||2||AB OM =.21.等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中， 112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和.(1)若 lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；(2)是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中?若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；(3)是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中?若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由.上海市2018届高考数学模拟练习试卷03答案一、填空题1. 22-2.33. [2,0]-4.45. (2,2)-6. 2213x y += 7. 23π8. 22 132 2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩9.6.2110. 223±11. 1(,2)212.224二、选择题13. D 14. B 15. C 16. D三、解答题17.解:(1)因为11B C BC ∥，所以1ACB ∠ (或其补角)是异直线11B C 与1AC 所成角. 因为BC AB ⊥，1BC BB ⊥，所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥.1Rt A BC 中，11tan 5A BACB BC∠==，所以1arctan 5ACB ∠= 所以异面直线11B C 与1AC 所成角的大小为arctan 5.(2)因为11B C ∥平面1A BC 所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1A BC 的距离 设1B 到平面1A BC 的距离为d ，因为111B A BCA BBC V V --=, 11133A BC S d ∆∴⨯=111B BC S A B ∆⨯，可得255d =,直线11B C 与平面1A BC 的距离为255. 18解:(1)解法一:设()y f x =定义域为D ，因为()y f x =是奇函数，所以对任意x D ∈, 有()()0f x f x +-=，1b =.此时，2()1(41)f x g x x =++，D R =，为奇函数. (2)设定义域内任意12x x <，设2()42h x x b x =++2121()()42h x h x x b x -=++222422x b x -+-=2212221222[44x x x b x b-+++12]x x +-122()x x =-1222122()(1)44x x x b x b+++++.当0b ≤时，总有120x x ≤≤，1222122()0144x x x b x b+∴<<+++,得12()()h x h x <；当0b >时，120x x -<，21142x b x +≥，22242x b x +≥， 1222122()1144x x x b x b+∴-<<+++，得12()()h x h x <，故总有()f x 在定义域上单调递增.()y f x ∴=的图像上不存在两点,使得所连的直线与x 轴平行.19、解:(1)设1AH 为x ,4sin tan x x x αα∴++=， 4sin sin cos 1x ααα=++，11212tan AA H x S α∆=⋅=28sin cos (sin cos 1)αααα++，(0,)2πα∈， (2)令sin cos (1,2]t αα=+∈,只需考虑11AA H S ∆取到最大值的情况,即为2224(1)84+1(1)t S t t -==-+， 当2t =,即45α=时, 11AA H S ∆达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为64322-.20、解:(1)设2,F M 的坐标分别为2(1,0)b +,20(1,)b y +因为点M 在双曲线C 上,所以22021+1y b b-=,即20y b =±,所以22||MF b =在21Rt MF F ∆中, 1230MF F ∠=,22||MF b =,所以21||2MF b =由双曲线的定义可知: 212||||2MF MF b -==故双曲线C 的方程为: 2212y x -= (2)由条件可知:两条渐近线分别为1:20l x y -=；2:20l x y += 设双曲线C 上的点00(,)Q x y ,设两渐近线的夹角为θ, 则点Q 到两条渐近线的距离分别为001|2|||3x y PP -=，002|2|||3x y PP +=因为00(,)Q x y 在双曲线22:12y C x -=上,所以220022x y -=又1cos 3θ=所以0012|2|3x y PP PP -⋅=00|2|3x y +⋅2200|2|12cos 339x y θ-=⋅= (3)由题意,即证: OA OB ⊥,设1122(,),(,)A x y B x y ,切线l 的方程为: 002x x y y +=①当00y ≠时,切线l 的方程代入双曲线C 中,化简得:(222000(2)4y x x x x -+20(24)0y -+=所以01222004(2)x x x y x +=--，20122200(24)(2)y x x y x +=-- 又01021200(2)(2)x x x x y y y y --=⋅012201[42()x x x y =-+220012220082]2x x x x y x -+=- 所以1212OA OB x x y y ⋅=+220022220000(24)82(2)2y x y x y x +-=-+--2200220042()02x y y x -+==- ②当00y =时,易知上述结论也成立.所以12120OA OB x x y y ⋅=+= 综上, OA OB ⊥,所以||2||AB OM = 21.(1)等比数列{}n b ,公比2122b bq +==+.0||1q <<，40b ∴-<< 解方程231(1)2b b=--+，得4b =或1-.因为40b -<<,所以1b =-.(2)当b 取偶数*(2,)b k k N =∈时, {}n b 中所有项都是{}n a 中的项. 证:由题意: 12,b b 均在数列{}n a 中,当3n ≥时,122()22n n b b -+==1011(1)2(n n n k C k ---+=121n n C k --+++21111)n n n n C k C ----+0211122[(n n n k C k C ---=++3211)1]n n n kC ---+++-说明{}n b 的第n 项是{}n a 中的第021311n n n n C k C k ----++211n n C --++项.当b 取奇数*(21,)b k k N =+∈时,因为n b 不是整数,所以数列{}n b 的所有项都不在数列{}n a 中,综上,所有的符合题意的*2()b k k N =∈(3)由题意,因为12,b b 在{}n a 中,所以{}n b 中至少存在一项(3)m b m ≥在{}n a 中, 另一项()t b t m ≠不在{}n a 中,由m k b a =得12(1)2(1)2m bk b -+=+-,取4m =得32(1)2(1)2b k b +=+-,即2(2)4(2)b k +=-.取4k =,得222b =- (舍负值),此时43b a =,当222b =-时, 38b =,2(1)(222)n a n =+--,对任意3,n n a b ≠.b=-.(此问答案不唯一,请参照给分). 综上,取222。
上海市2018届高三5月高考模拟练习(三)数学试题(解析版)
2018年高考数学模拟练习3一、填空题.1. 向量在向量方向上的投影为____________.【答案】.【解析】【分析】根据投影的计算公式进行计算.【详解】向量在向量的投影为，填.【点睛】一般地，向量在向量的投影为，而的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积.2. 已知正数满足，则行列式的最小值为____________.【答案】3.【解析】【分析】行列式为，利用基本不等式可求最小值.【详解】.又，所以，当且仅当时等号成立，故，当且仅当取最小值，即的最小值为，填.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.3. 阅读下边的程序框图，如果输出的函数值在区间，内，则输入的实数的取值范围是____________.【答案】.【解析】试题分析：流程图表示函数，因为输出的函数值在区间内，所以考点：流程图4. 设是一元二次方程的两个虚根，若，则实数____________.【答案】4.【解析】【分析】求出方程的两个虚根，计算它们的乘积的模可得的值.【详解】，因为方程有两个虚根，所以.又原方程可化为，故两虚根为，两个虚根为共轭复数，故，故，填.【点睛】对于实系数的一元二次方程，当时，方程有两个虚根且它们是一对共轭复数满足.5. 集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________.【答案】.【解析】【分析】由是充分条件得，故可求的取值范围.【详解】，当时，，因为“”是“”的充分条件，所以，故.填.【点睛】在充分条件和必要条件的判断中，注意数学语言叙述上的差异，比如：是的充分条件指若则是真命题，而的充分条件是则是若则是真命题.6. 已知椭圆的焦点在轴上，一个质点为，其右焦点到直线的距离为3，则椭圆的方程为_____________.【答案】.【解析】试题分析：据题意，椭圆方程是标准方程，，右焦点为，它到已知直线的距离为，，所以，椭圆方程为.考点：椭圆的标准方程.7. 在中，所对边分别为，若，则____________.【答案】.【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得，解出即可.【详解】由正弦定理可得，故，通分得到，.因为，所以，故即.因为，故，填.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.8. 已知数列的首项，其前项和为，若，则____________.【答案】.【解析】【分析】先求出的通项，再求的通项.【详解】因为，所以.因为，故，所以，是等比数列，公比为，首项为，故，所以.填.【点睛】一般地，与之间的关系是，我们常常用这个关系实现与之间的转化.9. 某地球仪上北纬纬线长度为，该地球仪的表面上北纬东经对应点与北纬东经对应点之间的球面距离为____________ (精确到0.01)【答案】6.21.【解析】【分析】先根据北纬的纬线长为得到地球仪的半径及的长度，再利用余弦定理算出球心与连线的夹角的余弦值，利用弧长公式可求球面距离.【详解】设地球仪的球心为，因为北纬的纬线长为，纬线所在的小圆的半径为，所以.又地球仪的半径为，所以，所以之间的球面距离为.【点睛】对于球面上两点间的球面距离的计算，关键是球心与两点的连线的夹角的大小计算，可利用纬线长、纬度及两点所在的经度计算的长度，再利用余弦定理算出的大小.10. 已知直线与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点，若，则实数____________.【答案】.【解析】【分析】直线过点，抛物线的准线为，根据抛物线几何性质可知到准线的距离与到准线的距离之比为，故而为的中点，设，则可求的坐标，从而得到的值.【详解】设，为抛物线的准线方程，过点分别作准线的垂线，垂足为，则，，所以，所以.设，则，故，解得，故.填.【点睛】圆锥曲线中与焦点或准线有关的问题，可以考虑利用其几何性质来处理.如抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离，椭圆上的点到一个焦点的距离可以转化到另一个焦点的距离，也可以转化到相应准线的距离.11. 将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称，若的最小值为，且，则实数的取值范围为____________.【答案】.【解析】试题分析：首先应求出的表达式，曲线对应的函数式为，曲线与关于轴对称，因此的函数解析式为，向上平移2个单位，就是函数的图象，则.，其最小值大于，说明函数的最小值大于.下面观察函数，若，则当时，，无最小值，同理当时，时，，无最小值，因此，，当且仅当时等号成立，即最小值为，从而，解得.考点：图象的变换，函数的最小值，解不等式.12. 已知“”为“”的一个全排列，设是实数，若“”可推出“或”则满足条件的排列“”共有_______个.【答案】224.【解析】【分析】中有1和6，分同在或和不同在或两种情况分类讨论即可.【详解】如果为或为，则余下4个元素无限制，共有种，如果中有1，有6，则共有种，如果中有6，有1，则共有种，综上，共有种，填.【点睛】对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．二、选择题.13. 函数的反函数是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】对给定的函数反解（用表示）即可得到反函数．【详解】令，因，故且，因，故，所以反函数为，其中，故选D．【点睛】求给定函数的反函数，只需反解后互换即得反函数，注意反函数的定义域就是原函数的值域且反解时注意自变量的范围．14. 直线的法向量是，若，则直线的倾斜角为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设为直线的倾斜角，则根据法向量可得方向向量为，故斜率为，由知，因此可用反三角函数表示倾斜角．【详解】直线的方向向量为，所以其斜率为．设其倾斜角为，则．又，所以，故且，故选B．【点睛】用反三函数表示角时，要注意反三角函数值角的范围：如，，，也要注意所要表示的角的范围，如本题中直线的方向向量若为且，因倾斜角的范围为，故直线的倾斜角为．15. 已知是单位圆上三个互不相同的点，若，则的最小值是( )A. 0B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：记单位圆的圆心为，由于，则与同向，，，可见最小值为，(时，取得最小值)．选C．考点：向量的数量积．16. 已知等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中:(1)成等差数列，也可能成等比数列；(2)成等差数列，但不可能成等比数列；(3)可能成等比数列，但不可能成等差数列；(4)不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是( )A. (1)(3)B. (1)(4)C. (2)(3)D. (2)(4)【答案】D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，，，，因此(1)错误，(2)正确，由上显然有，，，，故(3)错误，(4)正确．即填(2)(4)．考点：等差数列的前项和，等差数列与等比数列的定义．三、解答题.17. 在直三棱柱中，，，.求:(1)异面直线与所成角的大小；(2)直线到平面的距离.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）或其补角就是异直线与所成角，我们可证为直角三角形且，故可得异面直线所成角的大小.（2）先计算，再利用等积法求到平面的距离，它就是直线到平面的距离.【详解】(1)因为，所以 (或其补角)是异直线与所成角.因为，，，所以平面，所以.中，，所以，所以异面直线与所成角的大小为.(2)因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，设到平面的距离为，因为，，可得，直线与平面的距离为.【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.18. 已知，其中是常数.(1)若是奇函数，求的值；(2)求证：的图像上不存在两点，使得直线平行于轴.【答案】(1).(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用可计算的值.（2）可证为上的增函数.【详解】(1)设定义域为，因为是奇函数，所以对任意,有，整理得，故.此时，，为奇函数.(2)若，则，若，则，若，则，设定义域内任意，设，..当时，总有，，得；当时，，得；当时，，，，，得，故总有在定义域上单调递增，所以总有在定义域上单调递增.的图像上不存在两点,使得所连的直线与轴平行.【点睛】求奇函数或偶函数中参数的取值，我们可以利用恒等式或来求.特别地，如果奇函数处有定义，则可利用来求参数的值（注意检验）.19. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.(1)试用表示的面积；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.【答案】(1)，.(2) 时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【解析】【分析】（1）注意到，从而的周长为，故，所以，注意.（2）令，则，根据可求最大值.【详解】(1)设为,，，，，(2)令,只需考虑取到最大值的情况,即为，当,即时,达到最大此时八角形所覆盖面积前最大值为.【点睛】如果三角函数式中仅含有和，则可令后利用把三角函数式变成关于的函数，注意换元后的范围.20. 已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；(3)过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，求证:.【答案】(1).(2).(3)见解析.【解析】【分析】（1），根据可得，利用双曲线的定义可得从而得到双曲线的方程. （2）设点，利用渐近线的斜率可以得到夹角的余弦为，利用点在双曲线上又可得为定值，故可得的值.（3）设，切线的方程为:，证明等价于证明，也就是证明，联立切线方程和双曲线方程，消元后利用韦达定理可以证明.【详解】(1)设的坐标分别为,因为点在双曲线上,所以,即,所以，在中, ,,所以，由双曲线的定义可知: ，故双曲线的方程为:.(2)由条件可知:两条渐近线分别为；.设双曲线上的点,设的倾斜角为，则，又，所以，故， 所以的夹角为，且.点到两条渐近线的距离分别为，.因为在双曲线上,所以 ，所以.(3)由题意,即证: ,设,切线的方程为:.时,切线的方程代入双曲线中,化简得:(，所以，.又 ，所以 .时,易知上述结论也成立.所以.综上,,所以.【点睛】（1）过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线 交于，则（通径）.（2）直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有或，最后利用韦达定理证明该关系式为恒等式.21. 等差数列和等比数列中，，，是前项和.(1)若，求实数的值；(2)是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中?若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；(3)是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中?若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1).(2) 所有的符合题意的.(3) .【解析】试题分析：(1)数列是等比数列，其前和的极限存在，因此有公式满足，且极限为；(2)由于是正整数，因此可对按奇偶来分类讨论，因此当为奇数时，等比数列的公比不是整数，是分数，从而数列从第三项开始每一项都不是整数，都不在数列中，而当为偶数时，数列的所有项都在中，设，则，展开有，这里用到了二项式定理，，结论为真；(3)存在时只要找一个，首先不能为整数，下面我们只要写两数列的通项公式，让，取特殊值求出，如取，可得，此时在数列中，由于是无理数，会发现数列除第一项以外都是无理数，而是整数，不在数列中，命题得证，(如取其它的又可得到另外的值)．试题解析：（1）对等比数列，公比．因为，所以．２分解方程，４分得或．因为，所以．６分（2）当取偶数时，中所有项都是中的项．8分证: 由题意：均在数列中，当时，说明的第n项是中的第项．10分当取奇数时，因为不是整数，所以数列的所有项都不在数列中。
(完整版)2018年上海高考数学试卷(参考答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。
若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。
若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。
从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。
若11lim2n n n S a →+∞+=，则q =_________.11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
若236p q pq +=，则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A） （B） （C） （D） 14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
2018年上海市高考理科数学第五次模拟考试试题
2018年上海市高考理科数学第五次模拟考试试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.第I 卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题 每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖2. =---+++∞→12)12(31lim2n n n n A. 21 B.2 C.23 D. 323.若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2,则双曲线12222=-ax b y 的离心率为A ．223 B ．2 C ．2 D ．332 4. 设10<<<a b ，则下列不等式中成立的是A ．12<<ab aB ．0log log 2121<<a bC ．12<<b ab D ．222<<ab5．集合},3{2R x x y x A ∈-==，},1{2R x x y y B ∈-==，则A B =A.{(B.{1z z ≤≤C.{1z z -≤≤D.{0z z ≤≤6.设a R ∈，若函数3,axy e x x R =+∈有大于零的极值点，则( )A ．a ＞-3B ．a ＜-3C ．a ＞13-D ．13a <- 7. =---+++∞→12)12(31lim2n n n nA. 21B.2C.23D. 328.若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为2,则双曲线12222=-ax b y 的离心率为A ．223 B ．2 C ．2 D ．332 9. 设10<<<a b ，则下列不等式中成立的是A ．12<<ab aB ．0log log 2121<<a bC ．12<<b ab D ．222<<a b10．设P 为ABC ∆所在平面内一点，且025=--，则PAB ∆的面积与ABC ∆的面积之比为A ．15 B ．25 C ．14 D ．53 11. 从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A ．12 B ．35C ．012. 已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数,且)()(x f x f '<对于R x ∈恒成立,则A. )0()2(2f e f ⋅>, )0()2009(2009f ef ⋅> B. )0()2(2f e f ⋅<, )0()2009(2009f e f ⋅> C. )0()2(2f e f ⋅>, )0()2009(2009f ef ⋅<D.)0()2(2f e f ⋅<, )0()2009(2009f ef ⋅<第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在题中横线上 13.已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则11()()42x yz =⋅的最小值为________.14. 表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ． 15. 二项式6(x+的展开式中的常数项为________.(结果用数值作答).16. 如果一个函数的图象关于直线0x y -=对称,则称此函数为自反函数. 使得函数23x by x a+=-为自反函数的一组．．实数,a b 的取值为________ 三、解答题：本大题共6小题，共74分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本题满分12分）已知函数()2sin()184f x x ππ=++. （Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数(),[2,14]y f x x =∈-的图象(不要求写出作图过程). （Ⅱ）令)()()(x f x f x g -+=，x R ∈.求函数)(x g y =的图象与x 轴交点的横坐标.18. (本题满分12分) 按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动).该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示． （I ）求该班学生参加活动的人均次数x ；（II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率0P ．（III ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．（要求：答案用最简分数表示）19．（本题满分12分）如图所示，在矩形ABCD 中，22==AB AD ，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到EC D '∆的位置，使二面角B EC D --'是直二面角. （Ⅰ）证明：D C BE '⊥；（Ⅱ）求二面角E BC D --'的正切值.123520. （本题满分12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点B 恰好是抛物线y =41x 2的焦点，离心率等于22.直线l 与椭圆Γ交于N M ,两点. （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；(Ⅱ) 椭圆Γ的右焦点F 是否可以为BMN ∆的垂心？若可以,求出直线l 的方程；若不可以,请说明理由.21.（本题满分12分）设函数a t at t f -+=221)(的定义域为]2,2[，记函数)(t f 的最大值为)(a g .（Ⅰ）求)(a g 的解析式;（Ⅱ）已知1()()g a g a>,试求实数a 的取值范围.22. （本题满分14分）已知正项数列{}n a 满足对一切*∈N n ,有233231n n S a a a =+++ ，其中n n a a a S +++= 21. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 求证: 当*N n ∈时, 3ln )11ln(<+nn a a .2018年上海市高三第五次模拟考试数学理答案二.填空题 13.161.; 14. 3; 15. 15; 16. 2a =,b 可以填写任意实数三、解答题 17．（Ⅰ）(Ⅱ)1)48sin(21)48sin(2)()()(++-+++=-+=ππππx x x f x f x g28cos 222)48sin(2)48sin(2+=+--+=x x x πππππ由028cos22)(=+=x x g π得228cos-=x π,从而πππk x 2438+±=,即 Z k k x ∈±=,616.所以,函数)(x g y =与x 轴交点的横坐标为Z k k ∈±,616.12分18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20． （I ）该班学生参加活动的人均次数为x =1023501155*********==⨯+⨯+⨯． 3分 （II ）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为4920250220225250=++=C C C C P ． 6分 （III ）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知4925)()()1(25012012525012515=+=+==C C C C C C B P A P P ξ； 8分 494)()2(25012015====C C C C P P ξ. 10分ξ的分布列：ξ的数学期望：49492491490=⨯+⨯+⨯=ξE ． 12分19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E 是AD 的中点，∴△BAE ，△CDE 是等腰直角三角形， 易知，∠BEC=90°，即BE ⊥EC又∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，面D ′EC ∩面BEC=EC ， ∴BE ⊥面D ′EC ，又CD ′⊂面D ′EC ，∴BE ⊥CD ′ 6分 （Ⅱ）法一：设M 是线段EC 的中点，过M 作MF ⊥BC 垂足为F ，连接D ′M ，D ′F ，则D ′M ⊥EC ∵平面D ′EC ⊥平面BEC ，∴D ′M ⊥平面EBC ， ∴MF 是D ′F 在平面BEC 上的射影，由三垂线定理得：D ′F ⊥BC ，∴∠D ′FM 是二面D ′—BC —E 的平面角.在Rt △D ′MF 中，2121,2221===='AB MF EC M D 。
2018届高三5月第二次调研数学试题含答案
2018年高考熟中模拟卷数学Ⅰ2018.5一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知全集U Z =，集合{}{}|05,,|1,A x x x U B x x X U =<<∈=≤∈，则()U AC B = .2.若复数z 的共轭复数z 满足34z i i ⋅=+，则复数z 的虚部是 .3.双曲线2213x y -=的准线方程是 .4.某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高不小于175cm 的频率分布直方图如图1，由此估计该校身高不小于的人数是 . 5．命题“2x ∀>，都有22x >”的否定是 . 6.图2中流程图的运行结果是 .7.口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1,1,2,2,4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是 .8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4410,28a S ==，数列12n S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，则2017T = . 9.将函数sin cos y x x =的图象向右平移()0m m >个单位，所得曲线的对称轴与函数()cos 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的对称轴重合，则实数m 的最小值为 .10.如图3，在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，直线BE 与边AC 交于点F ，若6AD BC ==，则AB CF ⋅= .11.已知直线1:20l x y -=的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线2l 与圆22:220M x y x y F ++-+=交于,A C 两点，其中()1,0,,A B D -在圆M 上，且位于直线2l 的两侧，则四边形ABCD 的面积的最大值是 .12.已知四面体ABCD 的底面BCD 是边长为2的等边三角形，3AB AC ==,则当棱AD 长为 时，四面体ABCD 的体积最大. 13.已知函数()(),f x g x 是定义在R 上的一个奇函数和偶函数，且()()112x f x g x -+-=，则函数()f x = . 14.已知0b a ≥>，若存在实数,x y 满足0,0x a y b ≤≤≤≤，()()222222x a y b x b a y -+-=+=+，则ba的最大值为 . 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）已知ABC ∆的外接圆半径为1，角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，若sin cos .B a C =，（1）求ac的值； （2）若M 为边BC 的中点，29sin AM AC A ⋅=,求角B 的大小.16.（本题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 是菱形，侧面11C CBB 是矩形.（1）D 是棱11B C 上一点，1//AC 平面1A BD ，求证：D 为11B C 的中点； （2）若11A B AC ⊥，求证：平面11A ABB ⊥平面11C CBB .17.（本题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线()0y kx x =≠与椭圆C 交于A,B 两点，M 为其右准线与x 轴的交点，直线AM,BM 分别与椭圆C 交于11,A B 两点，记直线11A B 的斜率为1k （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在常数λ，使得1k k λ=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.18.（本题满分16分）数列{}n a 满足221220,2,1cos 4sin ,1,2,3,22n nn n a a a a n ππ+⎛⎫===++= ⎪⎝⎭.（1）求34,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设212n n n a b a -=，记()(),,,ni i mF m n b m n N m n *==∈<∑，求证：(),,4m n F m n <<对任意的；（3）设()1352124622,,2kk k k k k kS S a a a a T a a a a W k N T *-=++++=++++=∈+，求使1k W >的所有k 的值，并说明理由. 19.（本题满分16分）某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F （单位：元）与其自重m （包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v （单位：千米/小时）之间满足关系式：211600F mv =.在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元.若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨.汽车来回的速度为v （单位：千米/小时），且最大车速为80千米,一次进货x 千克，而且冰淇淋供不应求.（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w 与车速v 和进货量x 之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润0w ≥）？ （3）当一次进货量x 与车速v 分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值.（提示：'=）20.（本题满分16分）已知函数()2x xf x m e=+（e 为自然对数的底数，m R ∈）. （1）求函数()f x 的单调区间和极值； （2）当1m e=时，求证：()20,ln x f x x x ∀><恒成立； （3）讨论关于x 的方程()ln x f x =的根的个数，并证明你的结论.2018年高考熟中模拟卷数学Ⅱ21. B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M 对应的变换将点()5,7--变换为()2,1，其逆矩阵1M -有特征值-1，对应的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线1C 的参数方程为sin cos 2x y αα=⎧⎨=⎩，（0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，α为参数），曲线2C 的极坐标方程为6πθ=-，求曲线1C 与曲线2C 的交点的直角坐标.【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2,3,4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关.在闯n 关时，转n 次，当次转得数字之和大于2n 时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍.假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立.（1）；求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X 欧元，求X 的概率分布和数学期望.23.（本小题满分10分）（1）证明：()()1111k kn n k C n C +++=+；（2）证明：()01231111123411n nn n n n n C C C C C n n --+-++=++； （3）证明：()1123411111111.23423n nnn n n n C C C C C nn---+-++=++++。
上海市2018年5月高考数学模练习(一)Word版含答案
2018年高考数学模拟练习1第Ⅰ卷（共60分）一、填空题1.幂函数()y f x =的图像经过点14,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________ 2.已知4cos 5α=，则cos 2sin()22tan()cot 2παπαππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭__________ 3.计算：lim 2+211()12n n nn n ∞⎡⎤--=⎢⎥++⎣⎦→__________4.已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为__________5.已知x y R +∈、，且1941,x y x y+=+的最小值为__________ 6.等差数列{}n a 12a =，1015S =，记2482nn B a a a a=+++，则当n =__________时，nB 取得最大值7.函数arcsin(1)arccos(2)y x x =-+的值域是__________ 8.设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则1a d +=__________9.已知函数2318,3()(3x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记*()()n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是__________10.已知()sin 2cos2(,f x a x b x a b =+为常数），若对于任意x R ∈都有5()12f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则方程()0f x =在区间[]0,π内的解为__________11.函数()()g x x R ∈的图像如图所示，关于x 的方程[]2()()230g x m g x m +⋅++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是__________12.已知无穷数列{}n a 具有如下性质：①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时，12n n a a +=；当n a 为奇数时，112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，*1(2,)n a k k N >≥∈，则首项1a 可取数值的个数为__________第Ⅱ卷（共90分）二、选择题13.函数22log x y x =+的零点在区间( )内 A. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭ B. 12,35⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭14.已知a b 、为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件15.如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM 的面积y 的函数()y f x =的图像的形状大致是下图中的( )A. B. C.D.16.集合*{(,,)|,,S x y z x y z N =∈，且x y z y z x z x y <<<<<<、、恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈，则下列选项正确的是( )A. (),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉B. (),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈C. (),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知集合21|1,1x A x x R x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}|||1,B x x a x R =-≤∈. (1)求集合A ； (2)若R BC A B =,求实数a 的取值范围. 18.cos 0.5sin 0(0)1cos A x A A x A x>1121312M M -+， 记函数1121()f x M M =+，且()f x 的最大值是4. (1)求A ；(2)将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在11,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域. 19.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点. A B C 、分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C 在点A 的北偏东47方向，点B 在点C 的南偏西36方向，点B 在点A 的南偏东79方向，且A B 、两点的距离约为3海里. (1)求A C 、两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在A 点处因故障抛锚发出求教信号.一艘R 国舰艇正从点C 正东10海里的点P 处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P C A →→ (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点A 南偏西60方向20海里的点Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M 处，再折向点A 直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R 国舰艇赶到进行救助?说明理由.20.已知无穷数列{}a n 前n 项和为n S ，且满足2n n a S Aa Ba C =++，（A B C 、、是常数）.(1)若0,3,2A B C ===-，求数列{}a n 的通项公式； (2)若111,,216A B C ===，且0n a >，求数列{}a n 的前n 项和n S ； (3)试探究A B C 、、满足什么条件时，数列{}a n 是公比不为-1的等比数列. 21.已知函数2()log ()f x x a =+. (1)若10(12)()2f x f x <--<，当1a =时，求x 的取值范围； (2)若定义在R 上奇函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 在[]3,1--上的反函数()h x ；(3)对于(2)中的()g x ，若关于x 的不等式232()1log 382xx t g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.上海市2018届高考数学模拟练习试卷01答案一、填空题 1、2 2、125 3、3 4、-2 5、25 6、4 7、,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、34 9、5,43⎛⎫ ⎪⎝⎭10、6x π=或23x π=11、34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦12、22k - 二、选择题13.C 14.B 15.A 16.B 三、解答题 17.解：(1)由2111x x -≤+，得201x x -≤+ 所以(]1,2A =- (2)(](),12,R C A -∞-+∞[]1,1B a a =-+ 由R BC A B =，得R B C A ⊆所以11a +≤-或12a -> 所以a 的范围为(](),23,-∞-+∞18.解(1)11sin 0sin cos 1cos A x M A x x x==，221cos cos 221cos AA x A M A x x =-=-+()sin 2cos 2)224A A f x x x x π=-=-，max 4f ==，所以A =(2)向左移12π得4sin(2)12y x π=-，横坐标变为原来2倍得()4sin()12g x x π=- 因为11,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以5,1266x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以(]()4sin 2,412g x x π⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭19.解：(1)求得11CAB ∠=,115ABC ∠=，由14.25sin11sin115AB ACAC =⇒≈海里(2)R 国舰艇的到达时间为：14.25101.3518+≈小时在AQM 中，222240064cos602320AQ MQ AM AM AQ MQ +-+-==⋅⋅ 得17.44AM ≈海里，所以渔政船的到达时间为：17.4481.1622+≈小时. 因为1.16 1.35<，所以渔政船先到，答：渔政船能先于R 国舰艇赶到进行救助. 20.解：(1)由32n n S a =-，得11a =；当2n ≥时，1133n n n n n a S S a a --=-=-，即132n n a a -=，所以132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)由211216n n n S a a =++，得211111216a a a =++，进而114a =， 当2n ≥时，221111122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-得()11102n n n n a a a a --⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，因为0n a >，所以112n n a a --=， 进而2(1)444n n n n n S -=+= (3)若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，①当1q =时，11,n n a a S na ==由2n n n S Aa Ba C =++，得2111na Aa Ba C =++恒成立.所以10a =，与数列{}n a 是等比数列矛盾； ②当1,0q q ≠±≠时，11n n a a q -=，1111n n a aS q q q =---， 由2n n n S Aa Ba C =++恒成立，得2211112011n n a a a aA qB qC q q q q ⎛⎫⨯⨯+⨯-⨯++= ⎪--⎝⎭对于一切正整数n 都成立，所以0,11q A B q ==≠-或12或0,0C ≠事实上，当0A =,1B ≠或12或0,0C ≠时，n n S Ba C =+101C a B =≠-，2n ≥时，11n n n n n a S S Ba Ba --=-=-，得101n n a Ba B -=≠-或-14 所以数列{}n a 是以1C B -为首项，以1BB -为公比的等比数列. 21.解：(1)原不等式可化为2210log (22)log (1)2x x <--+<所以2211x x -<<+220x ->10x +>得133x -< (2)因为()g x 是奇函数，所以(0)0g =，得1a =①当[]3,2x ∈--时，[]220,1()(2)(2)log (1)x g x g x g x x --∈=-+=--=-- 此时[]()0,1g x ∈，()21g x x =--，所以[]()21(0,1)x h x x =--∈②当[]2,1x ∈--时，[]20,1x +∈，2()(2)log (3)g x g x x =-+=-+ 此时[]()1,0g x ∈-，()23g x x -=-，所以[]()23(1,0)x h x x -=-∈-综上，()g x 在[]3,1--上的反函数为[][]21,0,1()23,1,0xx x h x x -⎧--∈⎪=⎨-∈-⎪⎩ (3)由题意，当[]0,1x ∈时，()2()log 1g x x =+，在[]0,1上是增函数， 当[]1,0x ∈-，2()()log (1)g x g x x =--=--，在[]1,0-上也是增函数， 所以()g x 在[]1,1-上是增函数，设1213x x ≤<≤，则121221x x -≤-<-≤由12(2)(2)g x g x -<-，得12()()g x g x > 所以()g x 在[]1,3上是减函数，由()g x 的解析式知215()()1log 322g g -==- 设3211828(12)8x x x t t u +-+==-++ ①当1t >-时，1,88t u ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因为5()()2g u g >，所以582t ≤，即120t -<≤； ②当1t =-时，18u =-，满足题意；③当1t <-时，1,88t u ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因为1()()2g u g >-，所以182t ≥-，即41t -≤<- 综上，实数t 的取值范围为[]4,20-。
2018年5月最新优质市级模拟试卷快递：相阳教育“黉门云”2018届高三高考等值试卷模拟卷理数试题(解析版)
点睛： 通过三视图还原几何体是高考中的常见内容，注意根据三视图还原点线面的位置关系，这类问题属 于基础题 .
6． B【解析】 先根据约束条件画出可行域，
由 z 2x y ， y 2x z
一般
情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得
.
点睛： 对于曲边梯形的面积，我们可以用定积分来计算
.
8．D【解析】 分析：根据
为等边三角形得到 的坐标（可用 来表示），代入双曲线方程可以得到
的
方程，从中可解出离心率 .
将最大值转化为 y 轴上的截距，
当直线 y 2x z 经过点 B 时， z 最小，
x1
x1
1
由{
得： {
，代入直线 y=a(x - 3) 得， a=
2x y 1
y1
2
故选 B.
点睛： 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想
. 需要注意的是：一、准确无误地作出可行
域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、
1． D【解析】 分析：利用复数的除法求出 后得到它对应的点进而可判断其所处象限 .
详解：由题设
，该复数表示的点为
，它在第四象限，故选 D.
点睛： 本题考查复数的计算及复数的几何意义，属于基础题
.
2． C【解析】 分析：先解一元二次不等式得到 ，再求出 ，最后求出两者的交集 .
详解：
，
，所以
，故
点睛： 本题为一元二次不等式与集合的交、并、补运算的综合，属于基础题
.
，故选 C.
2018年上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018•上海）行列式的值为18．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018•上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018•上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018•上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018•上海）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n 项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，=q n．，a n+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018•上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018•上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018•上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P 点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018•上海）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n ∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，﹣b n=﹣＞0，可得b n+1则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，﹣1则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，+1b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．看似短暂的一生，其间的色彩，波折，却是纷呈的，深不可测的，所以才有人拼尽一切阻隔，在路漫漫中，上下而求索。
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上海市2018届5月高三高考数学模拟练习（二） 一.填空题 1.方程211log1log2xx的解是____________.
2.已知函数1113xfx，则14f______________. 3.若实数x.y满足1xy，则224xy的最小值为______________. 4.设12i34iz(i为虚数单位)，则z______________. 5.已知xR，则21cos1xxarxx的值为______________. 6.123101011111111111392733CCCC…除以5的余数是______________. 7.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M和N分别是矩形ABCD和11BBCC的中心，则过点A.M.N的平面截正方体的截面面积为______________. 8.等差数列na的前n项和为nS，则12lim32nnnnSnS→______________.
9.若关于x的方程sin2cos2xxk在区间π0,2上有两个不同的实数解，则k的取值范围为______________. 10.给定平面上四点O.A.B.C，满足4OA，3OB，2OC，3OBOC，则ABC△的面积的最大值为______________. 11.对于非空实数集A，定义*,AzxAzx对任意，设非空实数集,1CD，现给出以下命题： (1)对于任意给定符合题设条件的集合C.D，必有**DC； (2) 对于任意给定符合题设条件的集合C.D，必有*CD； (3) 对于任意给定符合题设条件的集合C.D，必有*CD； (4) 对于任意给定符合题设条件的集合C.D，必存在常数a，使得对任意的*bC，恒有*abD.
以上命题正确的是______________. 12.已知当12x时，有21124212nxxxx……，根据以上信息，若对任意12x，都有20123112nnxaaxaxaxxx……，则10a______________. 二.选择题 13.集合201xAxx，0Bxxaxb，若“2a”是“AB”的充分条件，则b的取值范围是( ) A.1b B.1b C.1b D.12b 14.函数11fxx，211fxxfx，…，11nnfxxfx，…，则函数2018fx是( ) A.奇函数但不是偶函数 B.偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 15.若.ππ,22，且sinsin0，则下列结论正确的是( )
A. B.0 C. D.22 16.设B.C是定点，且均不在平面上，动点A在平面上，且1sin2ABC∠，则点A的轨迹为( ) A.圆或椭圆 B.抛物线或双曲线 C.椭圆或双曲线 D.以上均有可能 三.解答题 17.如图，设SABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心，K是棱SC的中点，试求直线AK与平面SBC所成角的大小.
18.对于函数fx，若在定义域存在实数x，满足fxfx，则称fx为“局部奇函数”. (1)已知二次函数224,fxaxbxaabR，试判断fx是否为“局部奇函数”？并说明理由； (2)设2xfxm是定义在1,1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围.
19.已知a.b.c为正实数，0,π. (1)当a.b.c为ABC△的三边长，且a.b.c所对的角分别为A.B.C，若3a，1c，且60A∠°，求b的长； (2)若2222cosabcbc，试证明长为a.b.c的线段能构成三角形，而且边a的对角为.
20.已知抛物线24yx. (1)若圆心在抛物线24yx上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线10x相切，求所有的圆都经过的定点坐标； (2)抛物线24yx的焦点为F，若过F点的直线与抛物线相交于M.N两点，若4FMFN，求直线MN的斜率； (3)若过x正半轴上,0Qt点的直线与该抛物线交于M.N两点，P为抛物线上异于M.N的任意一点，记PM.QP.PN连线的斜率为PMk.QPk.PNk，试求满足PMk.QPk.PNk成等差数列的充要条件.
21.设等差数列na的公差为d，且1a.*dN，若设1M是从1a开始的前1t项数列的和，即1*11111,…tMaattN，112*
21221…tttMaaatN，如此下去，其中数列
iM是从第1010itt开始到1iitt项为止的数列的和，
即1*11,…iiittiiMaattN. (1) 若数列*113,nannnN，试找出一组满足条件的1M.2M.3M，使得： 2213MMM；
(2) 试证明对于数列*nannN，一定可通过适当的划分，使所得的数列nM中的各数 都为平方数； (3) 若等差数列na中，11a，2d，试探索该数列中是否存在无穷整数数列nt，
1231ntttt…，*nN，使得nM为等比数列，如存在，就求出数列nM；若 不存在，则说明理由. 【参考答案】 一.填空题 1.1 2.1 3.4 4.5 5.0 6.3 7.32 8.2 9.1,2 10.33272 11.14 12.455 二.选择题 13.B 14.A 15.D 16.D 三.解答题 17. 解：法1：设AK与平面SBC所成角为，因为223211SC， 所以112CK，所以22cos11SCA∠， 222272cos4AKACCKACCKSCA∠，
所以332AK，因为11223232SABCASCBVV， 所以63105SBChS△，因此230sin15hAK，则230arcsin15.
解法2：ACBDO，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系，则2,0,0A，0,2,0B，2,0,0C，0,0,3S.
所以0,2,3SB，2,0,3SC，23,0,22K，设m是平面SBC的法向量，
易求得33,,122m，设为AK与平面SBC所成的角， 因为323,0,22AK，所以：230sin15mAKmAK，230arcsin15. 18.解：(1)fx为“局部奇函数”等价于关于x的方程0fxfx有解， 即20240fxfxax，有解2x，∴fx为“局部奇函数”. (2)当2xfxm时，0fxfx可转化为2220xxm， 因为fx的定义域为1,1，所以方程2220xxm在1,1上有解， 令12,22xt，则12mtt，因为1gttt在0,1上递减，在1,上递增， ∴52,2gt，∴522,2m，即5,14m. 19.(1)解：由2312cos60bb°，∴231bb，即220bb，∴2b. (2)证明：由0,π，可得cos1,1，
所以22222222222cos2bcbcbcbcbcabcbcbc， 也就是bcabc，因此长为,,abc的线段能构成三角形，不妨记为ABC△， 在ABC△中，由余弦定理可设222coscos2bcaAbc，即coscosA， 又,0,πA，由cosyx的单调性可得A，所以边a的对角为. 20.解：(1)由定义可得定点1,0； (2)设11,Mxy，22,Nxy，由4FMFN，得124yy， 由方程组214ykxyx，得2440kyyk得121244yykyy联立上述方程可得：43k. (3)设直线MN的方程为xkyt，代入24yx，得：2440ykyt， 设11,Mxy，22,Nxy，则124yyk，124yyt， 若0102022222000122244444PMPKPQyyyyykkkyyyyyt
02010202114yyyyyyt，即0120220120120
224yyyyyyyyyyyt，
有00220002444ykyykytyt，即：22000002444ykytykyty， 由此得：2040kyt，∵2040yt，∴0k所以当直线MN的方程为xt时， 也就是2PMPNPQkkk成立的充要条件是直线MN与x轴相垂直.