适时链接 分类整合——首轮中考复习的实践与思考

中考指南》　乏　固　◇　Ｑ　ｊ　尊　…　．　

摘要：在首轮中考复习中，要“串”读教材，以　再现和弥补遗漏的知识点，掌握通法通则，感悟基本　的思想和方法．同时打破教材章节顺序，将相关概念、　定理链接，使新、旧知识衔接自然，使知识脉络化，　便于知识的提取和应用．复习离不开解题，此时可以　把要做的题和已做过的相关题进行链接，在分类中展　开类比、联想、转化和归纳等系列思维整合，感悟知　识之间的内在联系和转化，在问题的解决中使学生做　到举一反三．　关键词：中考复习；串读教材；通法通则；思想　方法：链接整合　首轮中考复习的一项重要任务就是教师引导学生　“串”读教材，在知识点的再现中，弥补遗漏的知识　点，在知识的细化中夯实基础知识，落实通法通则，　领悟基本思想和方法，同时打破教材章节顺序，将相　关概念、定理进行重新整合，使新、旧知识衔接自然，　形成知识的“板块”化和脉络化．知识是复习中的轴　心，而复习离不开解题这一环节，此时教师可以把要　做的题和已做过的类型相似、解法相通的题适时进行　链接，引导学生在分类中进行类比、联想、转化和归　纳等系列思维整合，从中寻求共性，感悟知识之间的　内在联系和转化，在问题解决的过程中，使学生力求　做到举一反三、触类旁通．　一、在相关知识的链接和整合中内化每　个知识点　式）．相关知识的链接就是打破教材章节顺序，依据知　识之间的内在联系进行组合，目的就是通过比较相关　知识的异同点，能准确理解概念的内涵，把握概念的　要点，能分清定理的题设和结论，将承载概念、定理　的文字语言、图形语言和符号语言融为一体，便于知　识的存储、提取和应用．在复习教学中引导学生依据　导学案养成看书的习惯，看懂书上的概念、定义、定　理和基本图形，抓住重要的字、词和句，细化和内化　每一个知识点．　现以“一元二次方程定义”的复习为例加以研究．　１．定义再现　填空：方程两边都是——，只含有——未知　数，并且未知数的最高次数是——的方程，叫做一　元二次方程．一般地，任何一个关于　的一元二次方　程，经过整理，都能化成——形式．这种形式　叫做一元二次方程的——．一个一元二次方程经　过整理化成ａｘ　＋６　＋ｃ＝Ｏ（０≠０）后，其中——是　二次项，——是二次项系数；——是一次　项，——是一次项系数；——是常数项．　【注】要透过关键的字、词和句的含义去再现和理　解概念的内涵．同时也能类比到“二次函数”的定　义上．　２．定义检测　（１）识别方程．　在下列方程中，一元二次方程的个数是（　）．　①３　＋７＝０；　②　＋６　＋Ｃ＝０：　基础知识包括基本概念和定理（包括法则和公　③（　一２）（　＋５）＝　一ｌ；　

收稿日期：２０１４—０２—２３　作者简介：刘家良（１９６６一），男，天津静海人，中学高级教师，主要从事初中数学学法探索、中考试题与解题研究　

匝　２　年…　④３　２一上＝０．　（Ａ）１个　（Ｂ）２个　（Ｃ）３个　（Ｄ）４个　解：略．　【注】一部分学生选择了选项Ｂ，将方程②和④误　认为是一元二次方程．原因就是没能把握一元二次方　程定义中的要点，以致混淆了概念的形式和本质．　（２）理解概念．　①关于　的方程（ａ一１）　十３ｘ＝０是一元二次方　程，则ａ的取值范围是——．　②关于　的方程：　（１）ｍ＋１）　一６ｍｘ＝３ｍ＋１；　（２）（　＋１）　＋ｋｘ—ｋ＝９．　是否为一元二次方程？若是一元二次方程，分别　指出二次项系数、一次项系数及常数项．　解：略．　【注】问题②从方程的形式和本质两个层面考查了　学生对一元二次方程一般式的理解程度，特别应强调　二次项系数不为Ｏ的条件．从“形”到“质”的认识　过程，就是概念逐步形成和完善的过程．　３．相关概念链接　理解一般式　ｚ＋６　＋Ｃ＝０（　≠０）及其派生的概念：　当口＝０，且ｂ≠０时，为一元一次方程，而这点常常　容易被忽视．　如，关于　的方程（ｍ　一４）　一（ｍ一２）　一１＝０，　当ｍ　时是一元二次方程；当ｍ——时是一元　

一次方程．　解：略．　【注】以概念为“重头戏”的课应注重相关概念之　间异同点的辨析．通过辨析，准确理解和把握相关概　念之间的联系和区别．　４．中考链接　（２０１３年四川・泸州卷）若关于　的一元二次方程　ｋｘ２—２ｘ一１＝０有两个不相等的实数根，则实数ｋ的取　值范围是（　）．　（Ａ）　＞一１　（Ｂ）ｋ＜１，且ｋ≠Ｏ　（Ｃ）ｋ≥一１，且ｋ≠０　（Ｄ）ｋ＞一１，且ｋ≠Ｏ　解：略．　【注】在中考链接中，结合学生出现的问题，使学　生意识到一元二次方程的二次项的字母系数往往隐藏　

《中考指南　……　．……………………………………………　……、．　０　０　｝管　｛　

在巳知条件中，其值不为０时的限制常易被忽视，此　时需要善于搜寻已知中隐藏信息的题眼（二次）去破　译和挖掘．　

二、在相关图形的链接和整合中寻求不变　的内容　

以平移、旋转、翻折等变换方式为特征的题，均　可以分类进行链接，从中让学生感知和体验图形变换　的特点，从变中探寻不变之处．　例１　（人教版《义务教育课程标准实验教科书・数　学》九年级上册第１０１页习题第４题）如图１，以点０　为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ＡＢ是小圆的切线，　点Ｐ为切点．求证：ＡＰ＝ＢＰ．　

图１　图２　分析：例１是学完切线性质之后的一道习题．　“见切线，连半径”是解与切线有关问题常见的一种添　加辅助线的方法．　证明：如图２，连接ＯＰ．　因为ＡＢ切小圆于点Ｐ，　所以ＯＰ上ＡＢ．　所以ＡＰ＝Ｂ　链接１　（人教版《义务教育课程标准实验教科书・　数学》九年级上册第１０１页习题２４．１第８题）如图３，　两个圆都以点０为圆心．求证：ＡＣ＝ＢＤ．　

图３　图４　分析：链接１是学完垂径定理后的一道习题．解　

答与弦有关的问题常需过圆心作弦的垂线段．　证明：如图４，过点０作ＯＰ＿ＬＡＢ于点Ｐ，　贝０　ＣＰ＝ＤＰ，ＡＰ＝ＢＰ．　所以ＡＣ＝肋．　【注】链接ｌ中的弦　Ｂ（与小圆相交）通过向下　

２０１４￣：－第６期韭　塑　圃　中考指南》　三一０　岛｝＜袅　…………………………………………………………　…　

平移就能得到例１中弦与小圆相切的情形．从图１到　图３是一个由特殊到一般的演变过程．　链接２　（人教版《义务教育课程标准实验教科　书・数学》八年级上册第８２页习题第６题）如图５，　点　、Ｅ在ＡＡＢＣ的边ＢＣ上，ＡＢ＝Ａ　Ｃ，ＡＤ＝ＡＥ求　证：口Ｄ＝ＣＥ．　

Ｂ　Ｄ　Ｅ　Ｃ　Ｂ　Ｄ　Ｍ　Ｅ　Ｃ　图５　图６　分析：链接２是考查等腰三角形（三线合一）性　

质的一道习题．解与底边有关线段相等的问题常需作　出底边上的高．　证明：如图６，过点　作Ａ　上ＢＣ于点　因为　Ｂ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，　所以ＢＭ＝ＣＭ，ＤＭ＝肌　所以ＢＤ＝ＣＥ．　【注】从表面上看，链接１和链接２似乎无关．但　将链接１中的两个圆“隐藏”，便可得到链接２．从链　接１到链接２让学生体验到垂径定理与等腰三角形　“三线合一”性质定理的相通性，从而感悟到相关知识　之间的内在联系；　在例１中可以用含弦长的式子表示出圆环面积　

ｆ　＂ＩＴ　ＡＢ　１，其过程体现了一个整体思想，即大圆半径、　＼叶　／　小圆半径和弦长的一半能构成一个直角三角形．　

链接３　（人教版《义务教育课程标准实验教科　书・数学》九年级上册第１０３页习题第１６题）如图７，　大半圆Ｏ与小半圆０　相切于点Ｃ，大半圆的弦ＡＢ与　小半圆相切于点　，且ＡＢ／／ＣＤ，ＡＢ＝４　ｃｍ，求阴影　部分的面积．　

一一　

图７　图８　分析：阴影部分的面积是大半圆的面积减去小半　圆的面积，而两个半圆的半径都是未知的（该题的难　

厦　壁　２…年第６期　

点所在）．此时，把小半圆向右平移，使两个圆心重　合，如图８，小半圆的面积不变，因而阴影部分的面　积未变．通过平移，此题就转化为形如例１的圆环面　积问题．　解：如图８，把小半圆向右平移，使两个圆心重　合．连接ＯＢ、ＯＦ．　则ＯＦ上　．　阴影部分的面积Ｓ：下，ｒｒＯＢ２一下，ｒｒＯＦ２

一＂

，ｒ

，ｒ（ＯＢｚ—　

ｏＦ）：孚日　：孚（　１　：２　．　【注】链接３通过将小半圆平移，使得大、小半圆　的圆心重合，这样转化到了例１的情形．例１及它的３　个链接中的图形之间虽然有某些变化，但通过类比、　联想和转化，都可归结到垂径定理的基本图形上．　“动中寻静”是解这类问题的基本思想．　链接４边长为１０的正十边形的外接圆和内切圆　组成的圆环的面积是——．　解：略．　【注】类异法同的链接所体现出的核心知识点是相　同的，它反映了学生对知识的正迁移能力．同时，这　里的正十边形可以改成任意正ｎ边形（凡≥３的整　数），而圆环面积仍为２５＇ｒｒ．　

三、在思想方法的链接和整合中触类　旁通　

某些习题虽承载的知识看上去不同，但蕴含的思　想方法是相同或相通的，基于此，可以把这类题链接　到一起，通过比较，做到异中求同，获取本质的认识．　例２　（人教版《义务教育课程标准实验教科书・　数学》九年级上册第１０３页习题２４．２第１５题）如　图９，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，　Ｃ＝９０。，ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的长　分别为ｃ、ｎ、ｂ，求ＡＡＢＣ的内切圆半径ｒ－　

图９　分析：例２中给出了直角三角形的三条边，并且