数学物理方法期末考试试题
数学物理方法期末考试答案.
天津工业大学（2009—2010学年第一学期）《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。
本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。
一填空题(每题3分,共10小题)1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ；三角形式为：)1sin 1(cos i e + .2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 .3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？).4. 给出矢量场旋度的散度值，即=⨯∇⋅∇f0 .-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------学院专业班学号姓名装订线装订线装订线5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 .7. δ函数的挑选性为⎰∞∞-=-)()()(00t f d t f ττδτ.8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和初始条件 .9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、输运方程 和 稳定场方程 .10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222=Θ++Θ-Θ-l l dx d x dxd x .二计算题(每小题7分，共6小题)1. 已知解析函数)(z f 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数(0)0(=f ).解： y x u x +=2，x y u y +-=2，2=xx u ，2-=yy u . 0xx yy u u +=, (,)u x y 是调和函数. 2分 利用柯西-黎曼条件x y u v =,x y v u =-, 即，x y v x -=2,y x v y +=2， 2分 于是，⎰+++-=),()2()2(y x Cdy y x dx x y v⎰⎰+++-+++-=)0,()0,0(),()0,()2()2()2()2(x y x x C dy y x dx x y dy y x dx x yC x y xy +-+=22222. 2分所以，)21()(2iz z f -=. 1分2. 给出如图所示弦振动问题在0x 点处的衔接条件. 解：),0(),0(00t x u t x u +=-, 2分 0sin sin )(21=--ααT T t F , 2分 又因为),0(sin 011t x u tg x -=≈αα, ),0(sin 022t x u tg x +-=≈αα, 2分 所以，)(),0(),0(00t F t x Tu t x Tu x x -=--+. 1分3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.解：三维输运方程为02=∆-u a u t (1分)分离时间变数t 和空间变数r,以)()(),(r v t T t r u= (2分) 上式代入方程,得v vTa T ∆='2 (1分)令上式等于同一常数2k -, 22k v vTa T -=∆=' (2分) 则得骇姆霍兹方程为02=+∆v k v (1分)4. 在00=z 邻域把m z z f )1()(+=展开(m 不是整数).解：先计算展开系数：m z z f )1()(+=， m f 1)0(=；)(1)1()(1z f zmz m z f m +=+='-； m m f 1)0(='； 2)1)(1()(-+-=''m z m m z f m m m f 1)1()0(-=''； 5分 )()1()1(2z f z m m +-=, 所以，m z )1(+在00=z 邻域上的泰勒级数为+-++=+21!2)1(1!11)1(z m m z m z m m m m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++= 2!2)1(!111z m m z m m . 2分5. 计算⎰=-22sin 21z zzdz.解： 因为4ππ±→n z (n 为整数，包括零)，有0)sin 21(2→-z ，因此，40ππ±=n z 是极点.但是，在2=z 圆内的极点只有4π±.又由于1分4]sin 21)4[(lim 24πππ-=--→z z z z ， 2分 4]sin 21)4[(lim 2πππ-=-+-→z z z z ， 2分 所以， i sf sf i z zdz z 222)]4(Re )4([Re 2sin 21ππππ-=-+=-⎰=. 2分6. 求拉氏变换][cos t L ω,ω为常数. 解: )(21cos t i t i e e t ωωω-+=, sp e L st -=1][ 2分 ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-)(21][cos t i t i e e L t L ωωω][21][21t i t i e L e L ωω-+= 2分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=ωωi p i p 1121 2分 22ω+=p p0Re >p 1分三计算题求解两端固定均匀弦的定解问题 02=-xx tt u a u 00==x u，0==lx u，)(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==.解: 设此问题的解为)()(),(t T x X t x u = 代入方程和初始条件，得 02=''-''T X a T X ，0)()0(=t T X ，0)()(=t T l X ， 可得，X X Ta T ''=''2，0)0(=X ，0)(=l X ， 令，λ-=''=''X X Ta T 2 所以，⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0l X X X X λ ，(本征值问题)02=+''T a T λ 下面先求解本征值问题：当0<λ时， xxe c e c x X λλ---+=21)(，由初始条件，得 021==c c ， 因此，0),(≡t x u ，解无意义.当0=λ时， 21)(c x c x X +=， 同样由初始条件，得 021==c c ， 因此，0),(≡t x u ，解无意义.当0>λ时， x c x c x X λλs i n c o s )(21+=， 由初始条件，得 01=c ，0sin 2=l c λ， 所以，0sin =l λ，即，πλn l = (n 为正整数)，因此本征值为：222ln πλ= ,3,2,1=n本征函数为：lxn c x X πsin)(2=， 2c 为任意常数. 10分 方程02=+''T a T λ的解为：latn B l at n A t T ππsin cos )(+=， 因此，l x n l at n B l at n A t x u n n n πππsinsin cos ),(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 此问题的通解为：l x n l at n B l at n A t x u t x u n n n n n πππsinsin cos ),(),(11⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∑∑∞=∞=， 代入初始条件得∑∞==1)(sin n n x l xn A ϕπ，∑∞==1)(s i n n nx lxn l a n B ψππ， 所以，⎰=l n d l n l A 0s i n )(2ξπξξϕ， ⎰=l n d ln a n B 0s i n )(2ξπξξψπ. 10分四简答题给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤.解：泊松方程为：),,(zyxfu=∆ 3分令wvu+=，取v唯一特解， 2分则0=-=∆-∆=∆fuvuw 2分然后求解拉氏方程0=∆w得w。
扬州大学数学物理方法期末试卷A
院 系 班级 学号 姓名--------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------扬州大学试题纸( 2010－2011学年第 二 学期)物 理 学院 微电、物理09级 课程 数学物理方法（A ）卷 题目 一 二 三 四 总分 得分一、填空题（共20分,2分/题）1. 数量场2322+=x z y z u 在点)1,0,2(-M 处沿2423=-+ l xi xy j z k 方向的方向导数为 .2. 设 A 为一矢性函数, ∇表示哈密顿算符, 则()∇⋅∇⨯=A .3. 在三维直角坐标系中，矢径=++r xi yj zk ,r r = ,∇表示哈密顿算符,则当0≠r 时，有3⎛⎫⎪⎝⎭∇⨯=r r .4. 在二维平面极坐标系下，调和量∆=u . 5．考虑长为l 的均匀细杆的导热问题，若杆0x =的一端保持为恒温零度，l x =的一端绝热，用u 表示温度，则对应的边界条件为 . 6．方程20,(,0)tt xx u a u x t -=-∞<<∞>的通解可以表示为()u x,t = .7. l 阶勒让德多项式的微分表示式为)(x P l = . 8. 设)(x P l 为l 阶勒让德多项式，则积分121002001()()-=⎰x P x P x dx .9. 常微分方程22(9)0'''++-=x y xy x y 为 阶Bessel 方程.10. 利用Bessel 函数的递推公式,计算积分1210()=⎰x J x dx .二、计算题（共40分，10分/题）1. 设矢量场(),x y z k A =++S 为圆锥面222(0)+=≤≤x y z z h 及平面z h =所围成的闭合曲面, ∇表示哈密顿算符.(1) 求A ∇⋅;(2) 求矢量场A从S 内穿出S 的通量Φ.2. 在圆形域内求下列定解问题：24(,)0,(,02)1sin 224=∆=<≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩a u a u a ρρϕρϕπϕ3. 求下列定解问题：2000sin (0,0)|0,|0|0,|0ttxx x x l t t t x u a u x l t lu u u u π====⎧-=<<>⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩4. 00x =在的邻域用级数法求解下列常微分方程:220-=''x y y--------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------三、应用题（共24分，12分/题）1. 用两手拉一长度为l的均匀杆，使杆伸长了3cos2cos+x xl lππ后放手任其自由振动，求解此杆作自由纵振动的运动规律.【要求：用a表示振动在杆上传播的速度，列出定解问题并求解】2. 半径为a的空心球，球内部区域没有电荷分布，球面上的电势为3sin2cosθϕ，求球内部稳定的电势分布.【要求：在球坐标系中列出定解问题并求解】第9页四、证明题（共16分，8分/题）1. 设矢量场(2)(42)(26)+=++++-A x y i x y z j y z k证明: A为调和场.2．圆柱型空腔内电磁振荡满足如下定解问题：20000,(,0)0===⎧∆+=<<<⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪∂∂⎪==⎪∂∂⎩z z hu k u z h u u u z z ρρρρ 试证明电磁振荡的固有频率为：22(0)0⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦n np x p ck c h πωρ.(0)1,2,3,;0,1,2,3,)== n x Bessel n p （其中是零阶函数的零点，---------------------------------------装---------------------------------------订-------------------------------------------线-----------------------------------------------。
数学物理方法期末考试模拟题
数学物理方法期末考试复习题1．复数1z =-z =_________________________________ 2．复数1iz e+=的三角表示为z =_________________________________3．由方程10z e +=可解得z =____________________ 4．由方程3z i =可解得z =____________________ 5．计算ln(1)-=____________________ 6．计算3(1)i -=____________________7．解析函数()f z 的实部22(,)u x y x y =-，则其导函数()f z '=____________________ 8．解析函数()f z 的虚部(,)2v x y y xy =-+，则其导函数()f z '=____________________ 9．沿着折线1i +到2i +，再到24i +的曲线积分2421iiI z dz ++=⎰=_______________________10．沿1i +到24i +的直线积分2421iiI z dz ++=⎰=_______________________11．级数01(1)nn z ∞=-∑的收敛区域为____________________ 12．级数(1)nn z ∞=-∑的收敛区域为__________13．级数0!nn z n ∞=∑的收敛区域为____________________14．级数∑∞=-1)1(n nn z 的收敛区域为____________________15．判断奇点的类型：0z =是函数1()f z z z =+的 16．判断奇点的类型：0z =是函数sin ()zf z z =的17．判断奇点的类型：0z =是函数2sin ()zf z z=的18．判断奇点的类型：0z =是函数3cos 1)(z zz f -=的19．函数1()f z z z=+，在0，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =_______；Res[(),]f z ∞=_____20．函数21()(1)f z z z =-，在0，1，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =__________；Res[(),1]f z =__________；Res[(),]f z ∞=__________21．函数241()ze f z z -=，在0，∞点的留数分别为Res[(),0]f z =________；Res[(),]f z ∞=______22．以0z =为中心展开()21()1f z z =-为泰勒级数：___________________________23．以0z =为中心展开()21()1f z z =+为泰勒级数：___________________________24．以0z =为中心展开()zf z e =为泰勒级数：___________________________ 25．以0z =为中心展开()ln(1)f z z =+为泰勒级数：___________________________ 26．计算积分：=-⎰∞∞-dx x e x )1(2δ27．计算积分：⎰+∞∞-=dk e ikx π2128．已知π=Γ)21(，则=+Γ)21(n 29．已知1)1(=Γ，则=+Γ)1(n 30．11()l P x dx -=⎰31．11()()lk P x P x dx -=⎰32．2)(x x f =以{})(x P l 为基，展开为广义傅里叶级数的形式为 ______________ 33．3()f x x =以{})(x P l 为基，展开为广义傅里叶级数的形式为 ______________34．勒让德多项式的生成函数(,)t x ψ= 35．厄米多项式的生成函数(,)t q ψ= 36．贝塞尔函数的生成函数(,)t z ψ= 37．计算拉普拉斯变换：[]sin t t =____________________ 38．计算拉普拉斯变换：[]cos t t =____________________39．计算拉普拉斯变换：t te α-⎡⎤=⎣⎦____________________40．计算拉普拉斯变换：[]sin ()t ωτ-=____________________41．计算拉普拉斯变换：[]cos ()t ωτ-=____________________42．计算拉普拉斯逆变换：1222(1)(1)1p p ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎡⎤-+⎣⎦⎣⎦－_____________________43．计算拉普拉斯逆变换：121(2)(1)p p ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦－_____________________ 44．计算拉普拉斯卷积：sin t t ⊗=____________________45．计算拉普拉斯卷积：cos t t ⊗=____________________ 46．计算拉普拉斯卷积：sin sin t t ⊗=____________________ 47．计算拉普拉斯卷积：cos cos t t ⊗=____________________48．利用行波法解2(,0)(,0)()(,0)()tt xxt u a u x t u x x u x x ϕψ⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________49．利用行波法解22(,0)(,0)sin (,0)tt xxt u a u x t u x x u x x ⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________ 50．利用行波法解23(,0)(,0)(,0)tt xxt u a u x t u x xu x x⎧=-∞≤≤+∞>⎪⎨==⎪⎩的解为(,)u x t =_____________________二、 解答题1．设(,)4u x y xy y =--。
数学物理方法(10)--期末考试试卷(4)答案
k 2
k 0
� w( z )
2c2 +
ﾥ
[(k + 2)(k +1)ck+2 - ck-1]zk
0
k 1
将代入方程
c2 0c,3ckkk+23kk((ck33kkk--+-33-12c)1)k-()1k + 1)
即亦即
c3k
c3k -3 3k(3k -1)
1 3k (3k
-1)
代换，有
f1
t -
e- pt dt
0
f1
e- p + d
0
f1 e-p d
0
f2
第e- p d1
页F(1共p F23 p页 )
f (x) lim
n e -nx2
n
3. 试证明：是函数的一种表达式。
答： 函数的傅里叶变换：，又称为的像函数；
F -1 G
f
xGfx21
G eixd
-
函数的傅里叶逆变换：，又称为的像原函数。
专业：
院（系）：
得分 评阅人 二、证明题：（共 3 题，每题 9 分，共 27 分）
1. 已知，试证明： （）
证明：将对 r 求导
ﾥ 1
1+ r2 - 2rx< 1)
(l +1)Pl+1(x) - (2l +l 1ﾥ)1xPl (x) + lPl-1(x) 0
ﾥ 1
1+ r2 - 2rx
ﾥ l0
Pl (x)rl
( x < 1)
北邮数学物理方法17-18期末试题A
北京邮电大学2017-2018学年第一学期《数学物理方法》期末试题（A ）注：本试卷有 六 道大题。
答题时，写清题号，不必抄题。
所有答案写在答题纸上，否则不计成绩。
一、解答下列各题（每题6分，共30分）1、长度为l 的均匀细杆，一端温度保持为1T ，另一端绝热，初始温度分布为()T x ，试写出杆上温度分布(),u x t 所满足的定解问题。
2、一根长度为l 的均匀细弦，两端固定，弦的初始位移为()(),0,h x x c c x h l x c x l l cϕ⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪-⎩，初始速度是0，试写出弦的位移函数(),u x t 所满足的定解问题。
3、求下列本征值问题的本征值和本征函数()()()()0,00,0.X x X x X X l λ''+=⎧⎪⎨'==⎪⎩4、用达朗贝尔公式求解下列定解问题()()()20,0,,0sin ,,0.tt xx t u a u x t u x x u x x ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩ 5、计算112018201811()?,()()?n xP x dx P x P x dx --==⎰⎰二、试证明微分方程()()()()()22200,1,2,R R m R m ρρρρλρρ'''++-==通过变换x =可以化成标准Bessel 方程()()()()2220x R x xR x x m R x '''++-=。
（8分）三、将Legendre 方程()2(1)210x y xy l l y '''--++=化成Sturm-Liouville 形式，并写成其核函数和权函数。
（8分） 四、 求解下列定解问题()()()222000,0,|0,|00,|0.x x x x l t u u a x l t t x u u t u x x l ===⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪=<<⎪⎪⎩ （20分）五、半径为a 高为h 的圆柱体，上底的电势分布为常数A ，下底和侧面的电势保持为零，求柱体内的电势分布。
数学物理方法试卷
数学物理方法试卷数学物理方法是一门重要的学科，它将数学和物理学相结合，以求解物理问题为目标。
本文档旨在提供一份针对数学物理方法的试卷，帮助学生加深对该学科的理解和应用能力。
一、选择题（共10题，每题2分）1. 下列哪个是四位数？A. 123B. 12345C. 123456D. 12342. 如何计算三角形的面积？A. 底乘高除以2B. 长乘宽C. 半径的平方乘以πD. 无法计算3. 下列哪个是速度的单位？A. 米/秒B. 千克C. 焦耳D. 牛顿4. 什么是牛顿第三定律？A. 物体的加速度和作用力成正比B. 物体的质量和加速度成正比C. 在力的作用下，物体会产生加速度D. 任何作用力都有一个相等且方向相反的反作用力5. 单位矩阵是什么？A. 所有元素都为1的矩阵B. 所有元素都为0的矩阵C. 对角线上元素都为1，其他元素为0的矩阵D. 所有元素都相等的矩阵6. 下列哪个是圆的面积公式？A. πr^2B. 2πrC. πd^2D. 0.5πr^27. 加速度的单位是什么？A. 米/秒^2B. 米/秒C. 十米/秒^2D. 千米/小时8. 下列哪个公式用于计算动能？A. F = maB. W = FdC. E = mc^2D. KE = 1/2mv^29. 如何计算两个向量的点积？A. 向量相乘再求和B. 向量相除C. 向量相减D. 无法计算10. 下列哪个没被广义相对论所解释？A. 引力B. 黑洞C. 宇宙膨胀D. 电磁力二、解答题（共3题，每题10分）1. 请用泰勒级数展开sin(x)，并计算在x=π/6时的近似值。
2. 请用微分方程求解y'' + 4y = 0，并给出其特解。
3. 请解释质心是什么，并说明为什么在某些问题中质心坐标系非常有用。
本试卷针对数学物理方法的知识进行了全面的考察。
选择题部分测试了学生的基础知识和概念理解能力，而解答题则要求学生能够运用所学的数学物理方法进行实际问题的求解和解释。
数学物理方法(11)--期末考试试卷(5)
得分 评阅人 四、计算题：（共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）
1. 试求有限波列 的傅里叶变换（式中为常量）。
f
(t)Leabharlann =� cosf%2n(0n)0t 0
y '' y '1 = 3e-y2yt((;pt)y)(0) = y '(0) = 0
2．已知常微分方程及初条件为：。试对该方程进行拉普拉斯变换，并求未知函数的像函数。
3．若半径为 a 的球面上电势分布为，求该球内、球外无电荷空间中的电势分布。
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华中师范大学 2014 –2015 学年第一学期 期末考试试卷（A 卷）
课程名称 数理方程 课程编号 47010004 任课教师 吴少平
题型 分值 得分
问答题 填空题 证明题 计算题 计算题
12 14 6 14 54
总分 100
得分 评阅人 一、问答题：（共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分）
ux (0,ut) = 0
1．在一维定解问题中，第二类齐次边界条件为。若代表位移，则该边界条件的物理意义为
u
；若代表温度，则该边界条件的物理意义为
。
2．积分
I =
1 -1
PlP(P2x0l1)(5Px(2x)01)5
山东大学物理学院 数学物理方法 2022-2023期末试题及解析
《数学物理方法》课程考试大纲2022-2023山东大学物理学院 数学物理方法期末试题一、 填空题(每题3分，共27分)1. 已知zz =cos (aa +iibb )，z 的代数表达式为________________2. 指出多值函数�(zz −aa )(zz −bb )的支点和阶数___________3. 已知级数∑aa nn xx nn ∞nn=0的收敛半径为A ，试问级数∑aa nn √1+bb nn nnxx nn ∞nn=0（|bb |<1）的收敛半径为_____________4.ssss nn 2zz zz 3的极点为_____，且为______ 阶极点5. 利用柯西公式计算∮zz 2−zz+1zz 2(zz−1)ddzz |zz |=2_______________6. 连带勒让德多项式的正交代数表达式为_______________7. 计算留数1(zz 2+1)2_________________________8. 从t=a 持续作用到t=b 的作用力ff (tt )，可以看作许多前后相继的瞬时力的总和，其数学表达形式为__________9. ∫3δδ(xx −ππ)[ee 2xx +cccccc xx ]ddxx 10−10=_________________ 二、 简算题(每题5分，共15分)1. 将函数ff (zz )=1zz 2−3zz+2，在区域0<|zz −1|<1上展开为洛朗级数 2. �cos mmxx(xx 2+aa 2)2d xx ∞−∞，m>03. 已知解析函数ff =uu +iiνν，而uu =xx 3−3xxyy 2，试求ff三、 (8分)用级数法解微分方程yy ′′+xxyy ′+yy =0四、 (10分)在圆域ρρ<ρρ0上求解泊松方程的边值问题�ΔΔuu =aa +bb (xx 2−yy 2)uu ρρ=pp 0=cc五、 (15分)设有一均匀球体，在球面上的温度为cos 2θθ，试在稳定状态下求球内的温度分布（已知，PP 0(xx )=1，PP 1(xx )=xx , PP 2(xx )=12(3xx 2−1)）六、 (10分)利用拉普拉斯变换解RC 电路方程：�RRRR +1CC �RR dd tt tt=EE 0sin ωωttRR (0)=0七、 (15分)计算：⎩⎨⎧ðð2uu ððtt 2−aa 2ðð2uuððxx2=AA cos ππxx ll sin ωωttuu |xx=0=0, uu |xx=ll =0uu |tt=0=φφ(xx ), uu tt |tt=0=ψψ(xx )2022-2023 数学物理方法期末试题 参考答案一、 填空题(每题3分，共27分)1.【正解】 12(ee bb +ee −bb )cos aa +i2(ee −bb −ee bb )sin aa 【解析】cos (aa +i bb )=ee ss (aa+ss bb )+ee −ss (aa+ss bb )2=12(ee −bb ee ss aa+ee bb ee −ss aa )=12[e −bb(cos aa +isin aa )+e bb (cos aa −isin aa )]=12[(e bb+e −bb )cos aa +i(e −bb −e bb )sin aa ]=12(ee bb +ee −bb)cos aa +i 2(ee −bb−ee bb )sin aa 2.【正解】支点：z=a 、b 、∞；皆为一阶支点【解析】注意到函数为12次，且当z=a 、b 时函数置零，z=∞为熟知的支点，阶数皆为2−1=1 3.【正解】A【解析】由根值判别法，幂级数的收敛区间为ll ii ll nn→∞�aa nn ⋅(1+bb nn )nn⋅xxxx (−1,1)而|bb |<1⇒ll ii ll nn→∞√1+bb nn nn=1故收敛半径保持不变，仍为A 4.【正解】zz =0；一阶 【解析】ll ii llzz→0ssss nn 2zz zz 3→∞，且ll ii ll zz→0zz ⋅ssss nn 2zz zz 3=1故zz =0为一阶极点5.【正解】2πi注意到原函数的极点为zz =0和zz =1，且分别为2阶与一阶极点，故上述积分即为II =2ππii �Re cc�ff (zz ),0]+Re cc [ff (zz ),1]��而Re cc [ff (zz ),0]=ll ii ll zz→0dd �zz 2−zz +1zz −1�ddzz=0Re cc [ff (zz ),1]=ll ii ll zz→1zz 2−zz +1zz 2=1因此II =2ππii6.【正解】�PP ll mm (xx )⋅PP kk mm (xx )ddxx =01−1(ll ≠kk ) 7. 【正解】Re cc [ff (zz ),ii ]=ll ii ll zz→ss dd �1(zz +ii )2�ddzz=−2[2ii ]−3Re cc [ff (zz ),−ii ]=ll ii ll zz→−ss dd �1(zz −ii )2�ddzz=−2[−2ii ]−38.【正解】∫ff (ττ)1−1δδ(tt −ττ)ddττ 9.【正解】ee 2ππ−1【解析】由δδ函数的挑选性，上述积分即为 (ee 2xx +cccccc xx )|xx=ππ=ee 2ππ−1 二、 简算题(每题5分，共15分)1.【解析】在区域0<|zz −1|<1内ff (zz )=1zz 2−3zz +2=−12⋅11−zz 2−1zz −1=−12⋅11−zz 2−1zz ⋅11−1zzff (zz )=−�12kk+1zz kk ∞kk=0−�zz −(kk+1)∞kk=0 =−�zz kk−1kk=−∞−�12kk+1zz kk∞kk=02.【解析】由约旦引理，从上半平面的半圆弧补全围道，上半平面有一个二阶极点zz 0=iiaa ，该点的留数为RReeccff (zz 0) =limzz→zz 0d d zz e immzz(zz +aa i)2=lim zz→zz 0[i ll e immzz (zz +aa i)2−2e ss nn zz (zz +aa i)3] =−llaa +14aa 3ie −mmaaII =ππi ⋅(−llaa +14aa 3ie −mmaa )=llaa +14aa3ππe −mmaa 3.【解析】根据C-R 条件,有∂uu ∂xx =3xx 2−3yy 2=∂νν∂yy−∂uu ∂yy =6xxyy =∂νν∂xxddνν=−(−6xxyy )d xx +3(xx 2−yy 2)d yy =d(3xx 2yy −yy 3) 有νν=3xx 2yy −yy 3+CC ,代入得ff (zz )=xx 3−3xxyy 2+i(3xx 2yy −yy 3+CC ) =(xx +i yy )3+i CC =zz 3+i CC 0三、(8分)【解析】设 yy =�aa nn xx nn ∞nn=0 是方程的解,其中 aa 0,aa 1 是任意常数,则yy ′=�nnaa nn xx nn−1∞nn=1yy ′′=�nn (nn −1)aa nn xx nn−2∞nn=2=�(nn +2)(nn +1)aa nn+2xx nn ∞nn=0方程 yy ′′+xxyy ′+yy =0,得�[(nn +2)(nn +1)aa nn+2+nnaa nn +aa nn ]xx nn ∞nn=0=0故必有(nn +2)(nn +1)aa nn+2+(nn +1)aa nn =0即aa nn+2=−aa nnnn +2(nn =0,1,2,⋯ ) 可见,当 nn =2(kk −1) 时aa 2kk=(−12kk )aa 2kk−2=(−12kk )(−12kk −2)⋯(−12)aa 0=aa 0(−1)kkkk !2kk当nn =2kk −1时aa 2kk+1=(−12kk +1)aa 2kk−1=(−12kk +1)(−12kk −1)⋯(−13)aa 1=aa 1(−1)kk (2kk +1)!�aa 2nn xx 2nn ∞nn=0与�aa 2nn+1xx 2nn+1∞nn=0的收敛域均为(−∞,+∞) 故yy =�aa κκxx κκ∞κκ=0=�aa 2κκxx 2κκ∞κκ=0+�aa 2κκ+1xx 2κκ+1∞κκ=0=�aa 0(−1)nn nn !2nn xx 2nn∞nn=0+�aa 1(−1)nn (2nn +1)!xx 2nn+1∞ss=0即yy =aa 0e −xx 22+aa 1�(−1)nn (2nn +1)!xx 2nn+1∞nn=0,xx ∈(−∞,+∞)四、 (10分)【解析】 首先找到满足方程的特解vv =aa 4(xx 2+yy 2)+bb 12(xx 4−yy 4)=aa 4ρρ2+bb 12(xx 2+yy 2)(xx 2−yy 2) =aa 4ρρ2+bb 12ρρ4cos 2φφ 令uu =vv +ww =aa 4ρρ2+bb 12ρρ4cos 2φφ+ww对于齐次方程，且满足球心为有限值的泊松方程通解为ww (ρρ,φφ)=�ρρnn (AA mm cos ll φφ+BB nn sin llφφ)∞mm=0代入边界条件，有 �ρρ0nn (AA mmcos ll φφ+BB nn sin llφφ)∞mm=0=cc −aa 4ρρ02−bb 12ρρ04cos 2φφ比较系数解得uu =vv +ww =cc +aa 4(ρρ2−ρρ02)+bb 12ρρ2(ρρ2−ρρ02)cos 2φφ 五、(15分)【解析】对于满足球心处为有限值的拉普拉斯方程通解为uu (rr ,θθ)=�AA ll rr l P ll (cos θθ)∞ll=0代入边界条件有�AA ll rr 0l P ll (cos θθ)∞ll=0=cos 2θθ=xx 2由于P 2(xx ) =12(3xx 2−1) ,有xx 2=13[1+2P 2(xx )]=13P 0(xx )+23P 2(xx )即�AA ll rr 0lP ll (cos θθ)∞ll=0=cos 2θθ=xx 2=13P 0(xx )+23P 2(xx )对比系数可得uu (rr ,θθ)=13+23⋅1rr 02⋅rr 2P 2(cos θθ)六、(10分)【解析】对方程进行拉普拉斯变换，有jj ‾RR +jj ‾ppCC =EE 0ωωpp 2+ωω2 解得jj ‾=ωωEE 0(RR +1ppCC )(pp 2+ωω2)再进行反演RR (tt )=EE 0ωωRR (−RRCC e llRRRRωω2RR 2CC 2+1+RRCC cos ωωtt +ωωRR 2CC 2sin ωωtt ωω2RR 2CC 2+1) =EE 0RR 2+1/CC 2ωω2(RR sin ωωtt +1CCωωcos ωωtt )−EE 0/CCωωRR 2+1/CC 2ωω2e −tt /RRRR七、(15分)【解析】应用冲量定理法，先求解vv uu −aa 2vv xxxx =0ννxx ∣x=0=0,vv x ∣x=l =0vv ∣tt=ττ+0=0,vv t ∣t=ττ+0=AA cos ππxxllsin ωωττ根据通解的一般形式并代入边界条件，可得vv (xx ,tt ;ττ)=AAllππaasin ωωττsin ππaa (tt −ττ)ll cos ππxx ll uu (xx ,tt )=�vv (xx ,tt ;ττ)tt=AAll ππaa cos ππxx ll �sin ωωττsin ππaa (tt −ττ)ll d ττtt 0=AAll ππaa 1ωω2−ππ2aa 2/ll 2(ωωsin ππaa ll tt −ππaa ll sin ωωtt )cos ππxx ll。
兰州大学——数学物理方法期末试卷A
数学物理方法常用的公式（注：仅供参考）：拉普拉斯算子作用于标量场在圆柱坐标系和球坐标系下的表示：22222211u u uuzρρρρρϕ⎛⎫∂∂∂∂∇=++⎪∂∂∂∂⎝⎭；22222222111sinsin sinu u uu rr r r r rθθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭勒让德多项式的微分表示：()()21P12!lll l ldx xl dx=-勒让德-傅里叶级数展开：定义在x的区间[]1,1-的至少分段光滑函数()f x可以展开为广义傅里叶级数：()()Pl llf x a x+∞==∑其中，系数()()1121P2l lla f x x dx-+=⎰勒让德多项式的生成函数：()()()()11P cos,0P cos,llllllllrr RRRr Rrθθ+∞+=+∞+=⎧≤<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩∑∑在球坐标下下的梯度表示()()()(),,,,,,11,,sinru r u r u ru r e e er r rθϕθϕθϕθϕθϕθθϕ∂∂∂∇=++∂∂∂r r r一、（本题10分，每小题5分）（1）证明：()k r k∇•=r rr，其中x y zr xe ye ze=++r r r r，kr为常矢量。
（2）计算矢量场2sinx y zA xye z ye yz e=++r r r r的旋度。
二、（本题10分，每小题5分)将下列复数写成代数形式，其中i 为虚数单位，（1 （2）cos 23i π⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、（本题10分)已知解析函数()f z 的实部323u x xy =-，且满足()00f =，求该解析函数()f z 。
四、（本题10分) 将函数()2132f z z z =-+以01z =为中心的邻域内做洛朗级数展开。
五、（本题10分) 计算实变函数积分2212cos dxI x πεε=-+⎰， ()01ε<<六、（本题10分)设有一根均匀的柔软的细弦，当它做微小的横振动时，除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为k ，即单位长度的弦所受阻力(),du x t f kv k dt=-=-。
数学物理方法试卷与答案
数学物理方法试卷与答案《数学物理方法》试卷一、选择题（每题4分，共20分）1．柯西问题指的是（）A．微分方程和边界条件.B.微分方程和初始条件.C．微分方程和初始边界条件.D.以上都不正确.2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（）A．存在性和唯一性.B.唯一性和稳定性.C.存在性和稳定性.D.存在性、唯一性和稳定性.2u0,3．牛曼内问题u有解的必要条件是（）nfA．f0.B．u0.C．fdS0.D．udS0.某''(某)某(某)0,0某l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题某(0)某(l)0的解是（）nnnn某).B．(某).A．(,co,inllll(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)某).D．(某).C．(,co,in2l2l2l2l22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（）A．u某某4u某y5uyyu某2uy0.B．u某某4u某y4uyy0.C．某2u某某2某yu某yy2uyy某yu某y2uy0.D．u某某3u某y2uyy0.二、填空题（每题4分，共20分）2u2u220,0某,t0t某1．求定解问题u某02int,u某2int,t0的解是_______________ut00,utt02co某,0某______________________.2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(某,y)u某某2b(某,y)u某yc(某,y)uyydu某euyfu0其特征方程为________________________________________________________.3．二阶常微分方程y''(某)1'13y(某)(2)y(某)0的任一特解y__________某44某_______________________________________________.4．二维拉普拉斯方程的基本解为________________________________________，三维拉普拉斯方程的基本解为__________________________________________.5．已知J1(某)222in某,J1(某)co某，利用Beel函数递推公式求某某2J3(某)_______________________________________.2三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22u2ut2a某20,0某l,t0uu0,0,t0某某l某某0u某,utt00,0某l.t02四、（10分）用行波法求解下列问题2u2u2u320,y0,某,22某yy某u2u3某,0,某.y0yy0五、（10分）用Laplace变换法求解定解问题：u2u2,0某2,t0,t某u某0u某20,t0,ut0in某,0某2.3六、（15分）用格林函数法求解下定解问题2u2u某2y20,y0,uf(某),某.y0七、（10分）将函数f某某在区间[0，1]上展成Beel函数系{J1(m(1)某)}m1的级数，其中m(1)为Beel函数J1(某)的正零点，m1,2,.42022—2022学年第二学期《数学物理方法》试卷B答案一、选择题（每题4分，共20分）1．柯西问题指的是（B）A．微分方程和边界条件.B.微分方程和初始条件.C．微分方程和初始边界条件.D.以上都不正确.2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（D）A．存在性和唯一性.B.唯一性和稳定性.C.存在性和稳定性.D.存在性、唯一性和稳定性.2u0,3．牛曼内问题u有解的必要条件是（C）fnA．f0.B．u0.C．fdS0.D．udS0.某''(某)某(某)0,0某l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题某(0)某(l)0的解是（B）nnnn某).B．(某).A．(,co,inllll(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)某).D．(某).C．(,co,in2l2l2l2l22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（D）A．u某某4u某y5uyyu某2uy0.B．u某某4u某y4uyy0.C．某2u某某2某yu某yy2uyy某yu某y2uy0.5D．u某某3u某y2uyy0.二、填空题（每题4分，共20分）2u2u220,0某,t0t某1．求定解问题u某02int,u某2int,t0的解是(2intco某).ut00,utt02co某,0某2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(某,y)u某某2b(某,y)u某yc(某,y)uyydu某euyfu0其特征方程为(a(某,y)(dy)22b(某,y)d某dyc(某,y)(d某)20).3．二阶常微分方程y''(某)或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ln1（）.r1），三维拉普拉斯方程的基本解为r1'13y(某)(2)y(某)0的任一特解y（J某44某1(某)3225．已知J1(某)222in某,J1(某)co某，利用Beel函数递推公式求某某23J3(某)（221221din某(in某co某)某()()）.某某某d某某三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22u2ut2a某20,0某l,t0uu0,0,t0某某某l某0u某,utt00,0某l.t06解：第一步：分离变量(4分)设u(某,t)某(某)T(t)，代入方程可得某''(某)T''(某)某(某)T(t)a某(某)T(t)某(某)a2T(某)''2''此式中，左端是关于某的函数，右端是关于t的函数。
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数学物理方法期末考试试题
一、单项选择题（每小题2分）
1． 齐次边界条件的本征函数是_______。
A） B)
C) D）
2． 描述无源空间静电势满足的方程是________。
A） 波动方程 B)热传导方程
C) Poisson方程 D）Laplace方程
3． 半径为R的圆形膜，边缘固定，其定解问题是
其解的形式为,下列哪一个结论是错误的______。
A)
B）圆形膜固有振动模式是
和
C）是零阶Bessel函数的第m个零点。
D）满足方程
4． 是下列哪一个方程的解_________.
A) B）
C) D）
5． 根据整数阶Bessel函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的________。
A） B）
C） D）
二、填空题（每题3分）
1． 定解问题
用本征函数发展开求解时,关于T（t)满足的方程是：__________
2． Legendre多项式的x的值域是____________。
Bessel函数的x的值域是______________________.
3． 一圆柱体内的定解问题为
1)则定解问题关于ρ满足的方程是:_____________________________；
相应方程的解为___________________________；
2）关于z满足的方程是_______________________________________；
4． 计算积分
5． 计算积分
三、（10分）长为的弦，两端固定,初始位移为,初始速度为4x，写出此物理问题的定解问题。
四、（10分)定解问题
，
若要使边界条件齐次化，，求其辅助函数，并写出相应的定解问题
五、（10分)利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题
六、（15分）用分离变量法求解定解问题
计算积分
七、（15分)有一半径为R的薄圆盘，若圆盘的上下面绝热,圆盘边缘的温度分布为
，试求圆盘上稳定的温度分布。
八、(15分）设有一半径为R的球壳，其球壳的电位分布,写出球外的电位满足的定解问
题，并求球外的电位分布
参考公式
（1） 柱坐标中Laplace算符的表达式
（2) Legendre多项式
(3） Legendre多项式的递推公式
（4） Legendre多项式的正交关系
（5） 整数阶Bessel函数
（6) Bessel函数的递推关系