指数与指数函数讲义

指数与指数函数课前双击巩固1.根式n 次方根概念如果x n=a,那么x叫作a的,其中n>1,n∈N*性质当n是时,a的n次方根为x= √a n 当n是时,正数a的n次方根为x=±√a n,负数的偶次方根0的任何次方根都是0,记作√0n=0根式概念式子√an叫作,其中n叫作,a叫作性质当n为奇数时,√a nn=当n为偶数时,√a nn=|a|=2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:a mn=√a mn(a>0,m,n∈N*且n>1).②正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=√a mn(a>0,m,n∈N*且n>1).③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质① a r a s=(a>0,r,s∈Q);②(a r)s=(a>0,r,s∈Q);③ (ab )r = (a>0,b>0,r ∈Q ). 3.指数函数的图像与性质y=a x(a>0且 a ≠1)a>10<a<1图像定义域 R 值域性质过定点当x>0时, ;当x<0时, 当x>0时, ;当x<0时, 在R 上是在R 上是常用结论1.指数函数y=a x+b(a>0且a ≠1)的图像恒过定点(0,1+b). 2. 指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的图像以x 轴为渐近线. 题组一 常识题1. 若x+x -1=3,则x 2-x -2= .2. 已知2x-1<23-x,则x 的取值范围是 .3. 函数y=a x-1+2(a>0且a ≠1)的图像恒过定点 . 4.下列所给函数中值域为(0,+∞)的是 .(填序号) ①y=-5x,②y=(13)1−x,③y=√(12)x-1,④y=√1−2x .题组二 常错题◆索引:忽略n 的范围导致式子√a n n(a ∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题隐含指数函数值域大于零的情况.5.计算√(1+√2)33+√(1-√2)44= .6.若函数f (x )=(a 2-3)·a x为指数函数,则a= .7.若函数f (x )=a x在[-1,1]上的最大值为2,则a= .8.设函数f (x )=ax 2+bx+c (a>0)满足f (1-x )=f (1+x ),则f (2x)与f (3x)的大小关系是 .课堂考点探究探究点一 指数幂的化简与求值例题1 (1) 已知a-1a =3(a>0),则a 2+a+a -2+a -1的值为 ( )A.13-√11B.11-√13C.13+√11D.11+√13(2)计算0.02713+2560.75-(41727)-13-72916= .[总结反思] 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 变式题 (1)计算:(19)-3×27-23+3π0= .(2)已知a ,b 是方程x 2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则√a -√b√a+√b= .探究点二 指数函数的图像及应用 例题2 (1)函数y=1-e |x|的图像大致是 ( )图2-8-1(2)已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.2-a<2cD.1<2a+2c<2[总结反思](1)研究指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解. 变式题(1)在同一平面直角坐标系中,函数y=a x(a>0且a≠1)与y=(1-a)x的图像可能是( )图2-8-2(2)已知函数y=(12a-4)x的图像与指数函数y=a x的图像关于y轴对称,则实数a的值为( )A.1B.2C.4D.8探究点三指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小例题3 (1)已知a=243,b=425,c=2513,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若-1<a<0,则3a,a 13,a 3的大小关系是 (用“>”连接).[总结反思] 指数式的大小比较,靠的就是指数函数的单调性,当所比较的指数式的底数小于0时,要先根据指数式的运算法则把底数化为正数,再根据指数函数的性质比较其大小. 考向2 解简单的指数方程或不等式例题4 (1)已知函数f (x )={2x -1,x >1,1,x ≤1,则不等式f (x )<f (2x )的解集是 .(2)方程4x+|1-2x|=11的解为 .[总结反思] (1)a f (x)=a g (x)⇔f (x )=g (x ).(2)a f (x)>a g (x),当a>1时,等价于f (x )>g (x );当0<a<1时,等价于f (x )<g (x ).考向3 指数函数性质的综合问题 例题5 (1)函数f (x )=a+be x +1(a ,b ∈R )是奇函数,且图像经过点ln 3,12,则函数f (x )的值域为( )A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数a 的取值范围是 .[总结反思] 指数函数性质的重点是其单调性,解题中注意利用单调性实现问题的转化. 强化演练1.【考向1】已知a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a2.【考向2】若存在正数x 使2x(x-a )<1成立,则a 的取值范围是 ( )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞) D .(-1,+∞)3.【考向2】已知实数a ≠1,函数f (x )={4x ,x ≥0,2a -x ,x <0, 若f (1-a )=f (a-1),则a 的值为 .4.【考向2】若偶函数f (x )满足f (x )=2x-4(x ≥0),则不等式f (x-2)>0的解集为 .5.【考向3】已知函数f (x )=b ·a x(其中a ,b 为常数且a>0,a ≠1)的图像经过点A (1,6),B (3,24).若不等式(1a )x +(1b)x-m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数m 的取值范围为 .参考答案1.n 次方根 奇数 偶数 没有意义 根式 根指数 被开方数 a {a(a ≥0),-a(a <0)2.(1)0 没有意义 (2)a r+sa rsa rb r3.(0,+∞) (0,1) y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数1.±3√5 [解析] 把x+x -1=3两边平方,可得x 2+x -2=7,则(x-x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以x-x -1=±√5,所以x 2-x -2=(x+x -1)(x-x -1)=±3√5.2.(-∞,2) [解析] 根据指数函数性质,得x-1<3-x ,解得x<2,所以x 的取值范围是(-∞,2).3.(1,3) [解析] 令x-1=0,得x=1,此时y=a 0+2=3,所以函数图像恒过定点(1,3). 4.② [解析] 对于②,∵1-x ∈R ,∴y=(13)1−x的值域是(0,+∞);①的值域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④的值域为[0,1).5.2√2 [解析] √(1+√2)33+√(1-√2)44=1+√2+|1-√2|=2√2. 6.2 [解析] 由指数函数的定义可得{a 2-3=1,a >0,a ≠1,解得a=2.7.2或12[解析] 若a>1,则f (x )max =f (1)=a=2;若0<a<1,则f (x )max =f (-1)=a -1=2,得a=12.8.f (3x)≥f (2x) [解析] ∵f (x )满足f (1-x )=f (1+x ),∴f (x )的图像关于直线x=1对称.由a>0知,f (x )图像的开口向上.当x<0时,2x <1,3x <1,2x >3x ,且f (x )为减函数,故f (2x )<f (3x);当x>0时,2x >1,3x >1,3x >2x ,且f (x )为增函数,故f (3x )>f (2x );当x=0时,f (3x )=f (2x ).故f (3x )≥f (2x).【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用完全平方公式找到a-1a,a 2+1a2,a+1a之间的关系即可求解;(2)根据分数指数幂的运算法则进行计算.(1)D (2)60.7 [解析] (1)由a-1a =3,得a-1a 2=9,即a 2+1a 2-2=9,故a 2+a -2=11.又(a+a -1)2=a 2+a -2+2=11+2=13,且a>0,所以a+a -1=√13.于是a 2+a+a -2+a -1=11+√13,故选D.(2)原式=0.3+(44)34-(12527)-13-(36)16=0.3+43-35-3=60.7.变式题 (1)84 (2)√55 [解析] (1) 原式=(3-2)-3×(33)-23+3=3-2×(-3)×33×(−23)+3=36×3-2+3=36-2+3=34+3=84.(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以(√a -√b√a+√b)2=2√ab a+b+2√ab =√46+24=15. 因为a>b>0,所以√a >√b ,所以√a -√b a+√b =√55. 例2 [思路点拨] (1)结合解析式和图像,分析奇偶性和值域可得结论;(2)作出函数f (x )的图像,再重点分析a 与c 的情况.(1)A (2)D [解析] (1)将函数解析式与图像对比分析,函数y=1-e |x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A 选项满足上述两个性质,故选A.(2)作出函数f (x )=|2x-1|的图像,如图所示,因为a<b<c ,且有f (a )>f (c )>f (b ),所以必有a<0,0<c<1,且|2a -1|>|2c -1|,所以1-2a >2c -1,则2a +2c <2,且2a +2c>1.故选D.变式题 (1)C (2)C [解析] (1)若a>1,则1-a<0,函数y=a x单调递增,y=(1-a )x 单调递减;若0<a<1,则1-a>0,函数y=a x 单调递减,y=(1-a )x 单调递增.所以y=a x与y=(1-a )x 单调性相反,排除A ,D ;又y=a x的图像过定点(0,1),所以排除B.故选C.(2)由两函数的图像关于y 轴对称,可知12a -4与a 互为倒数,即a2a -4=1,解得a=4.例3 [思路点拨] (1)化为同底指数式,结合指数函数的单调性比较;(2)先将底数在a>0且a ≠1范围内进行转化,再结合指数函数的单调性比较.(1)A (2)3a>a 3>a 13 [解析] (1)由a 15=(243)15=220,b 15=(245)15=212,c 15=255>220,可知b 15<a 15<c 15,所以b<a<c.(2)易知3a>0,a 13<0,a 3<0,又由-1<a<0得0<-a<1,所以(-a )3<(-a )13,即-a 3<-a 13,所以a 3>a 13,因此3a >a 3>a 13.例4 [思路点拨] (1)结合函数的单调性,分x ≥2,1<x<2,0<x ≤1,x<0四种情况求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.(1)(0,√2) (2) x=log 23 [解析] (1)当x ≥2时,2x ≤1,不等式无解;当1<x<2时,1<2x <2,结合函数的单调性,由不等式f (x )<f (2x )得x<2x ,得1<x<√2;当0<x ≤1时,2x ≥2,不等式恒成立;当x<0时,2x <0,不等式无解.综上可得,不等式f (x )<f (2x )的解集是(0,√2).(2)当x ≤0时,1-2x≥0,原方程即为4x-2x-10=0,可得2x=12+√412,此时x>0,故舍去.当x>0时,1-2x<0,原方程即为4x+2x-12=0,可得2x=3,则x=log 23.故原方程的解为x=log 23.例5 [思路点拨] (1)根据条件先确定a ,b 的值,再依据指数函数的值域确定函数f (x )的值域;(2)分离参数,根据指数函数单调性和不等式恒成立得出关于a 的不等式,解之即可. (1)A (2)(-34,+∞) [解析] (1)函数f (x )为奇函数,则f (0)=a+b2=0,①函数图像过点ln 3,12,则f (ln 3)=a+b 4=12.②结合①②可得a=1,b=-2,则f (x )=1-2e x +1.因为e x>0,所以e x+1>1,所以0<2e x +1<2,所以-1<1-2e x +1<1,即函数f (x )的值域为(-1,1).(2)从已知不等式中分离出实数a ,得a>-[(14)x+(12)x].∵函数y=(14)x 和y=(12)x在R 上都是减函数,∴当x ∈(-∞,1]时,(14)x≥14,(12)x≥12,∴(14)x +(12)x≥14+12=34,从而得-(14)x +(12)x≤-34.故实数a 的取值范围为a>-34. 强化演练1.D [解析] ∵y=(25)x在R 上为减函数,35>25,∴b<c.又∵y=x 25在(0,+∞)上为增函数,35>25,∴a>c ,∴b<c<a.2.D [解析] 因为2x>0,所以由2x(x-a )<1得a>x-(12)x .令f (x )=x-(12)x,则函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以f (x )>f (0)=0-(12)0=-1,所以a>-1.3.12 [解析] 当a<1时,41-a=21,所以a=12;当a>1时,代入可知不成立.所以a 的值为12.4.{x|x>4或x<0} [解析] f (x )为偶函数,当x<0时,-x>0,f (x )=f (-x )=2-x-4,所以f (x )={2x -4,x ≥0,2-x -4,x <0. 当f (x-2)>0时,有{x -2≥0,2x -2-4>0或{x -2<0,2-x+2-4>0, 解得x>4或x<0.所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.5.(-∞,56] [解析] 把(1,6),(3,24)代入f (x )=b ·a x,得{6=ab,24=b·a 3, 结合a>0且a ≠1,解得{a =2,b =3,所以f (x )=3·2x.要使(12)x +(13)x ≥m 在x ∈(-∞,1]时恒成立,只需函数y=(12)x +(13)x在(-∞,1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y=(12)x +(13)x在(-∞,1]上为减函数,所以当x=1时,y=(12)x+(13)x取得最小值56,所以只需m ≤56即可,即m 的取值范围为-∞,56.。