证明向量组a1a2a3线性相关的充要条件
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向量组的线性相关性
实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam
则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．
引言
问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？
问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？
P.83 定理1 的结论：
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
b11 b12
b1n
则
c1,c2,
, cn a1, a2 ,
, al
b21
b22
b2n
bl1 bl 2
bln
结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵．
当 a 不是零向量时，线性无关．
向量组 A：a1, a2, …, am (m ≥2) 线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性表示．
设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即
b1 k11a1 k21a2 b2 k12a1 k22a2
km1am km2am
bl k1la1 k2la2 kmlam
线性表示的 系数矩阵
k11 k12
b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
b1 1 0 0
则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．
引言
问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？
问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？
P.83 定理1 的结论：
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
b11 b12
b1n
则
c1,c2,
, cn a1, a2 ,
, al
b21
b22
b2n
bl1 bl 2
bln
结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵．
当 a 不是零向量时，线性无关．
向量组 A：a1, a2, …, am (m ≥2) 线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性表示．
设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即
b1 k11a1 k21a2 b2 k12a1 k22a2
km1am km2am
bl k1la1 k2la2 kmlam
线性表示的 系数矩阵
k11 k12
b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
b1 1 0 0
关于向量组线性相关性的教学
要证明 向量组线性相关 ，就 需要找 到一组不全为零的数
相关性知识是本课程 的一个重点与难 点，它贯 穿于线性代数课 ｋ１，ｋ２，…，ｋｍ，使它们的线性组合等于 ０，而对于证明向量组线
程 的始终 。向量 组的线性相关和线性无关的判定这个课题 ，实 性无关 ，不可能对所有不全为零的数 ｋ１，ｌ【２，… ，ｋｍ，验证（１）式
必要性 若 ｎ维 向量 组 ａ１，ａ２，…，ａｎ 线性无关，又任 意 ｎ＋１
定 理 是 说 ，ｎ维 空 间 中 的 ｍ 个 向量 ，若 ｍ ＞ １＂１，必 线性 相 关 。按 个 ｎ维向量必线性相关 ，设 ａ是任一 ｒｌ维 向量 ，则 向量组 ａ，ａｌ，
上面 的理解 ，这 个定理就 是：一条直线上 只能有一个互不共线 ａ２，…，ａｌｌ线性相关 ，故 ａ可 以由 ａ１，ａ２，…，ａｌｌ线性表示 。
Ｂ＝ｋ１＋ｋ２＋…＋ｋｍ （２）
ｅ２＋１２７＊ｅ３所以 ａ和 ｅｌ，ｅ２，ｅ３是线性相关的。但是 ｅ１，ｅ２与
则称单个 向量Ｂ可 由向量组线性表 出。
ｅ３这三个之间不能由其余两个线性表 出（比如 ｅ２与 ｅ３组合 出
实质上，向量组线 性相关所具有的充分必要条件是 向量组 来 的第 一个 分量永远是 ０，不 能变为 １），所 以ｅ１，ｅ２，ｅ３是线性
３）线 性无 关，他 们不在同一平 面内。ｎ个 向量 线性 无关就是他
而 ｎ维单位坐标 向量组是线性无关组 ，从而 向量组 ａ１，ａ２，
们都 各 占一个 空间维度 ，不能互相加减抵消 ，共 同张成 了一个 … ，ａ ｎ 也 是 线 性 无 关 组 。
１１维空间（想象一下空 间直角坐标系 中的三个坐标轴）。有一个
高等代数是数学专业必修课程 的专业基础课程 ，能够在一 当中必须要有一个向量可 以由其他部分线性表 出，其中需要注
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
4.1向量组的线性组合和线性相关性
线性表示的充分必要条件是：
矩阵A=（
）的秩等于矩阵B=（
，b）的秩
2.向量组B:
能由向量组A：
线性表示充要条件是
矩阵A=（ （
）的秩等于矩阵（A,B）= ）
的秩，即R(A)=R(A,B)
推论: 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是： R(A)=R(B)=R(A,B)
3.设向量组B：
能由向量组A：
R（
一定线性相关，特别的n+1个n维向量也一定线性相关
3. 设向量组A：
线性无关，而向量组B：
线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且唯一表示
对于定理2.1：可以简单记为小的线性相关，大的才线性相关 大的线性无关，小的才线性无关
线性相关性定 义和定理
已知
讨论
及向量组 线性相关性
解：
可见R(
)=2，故向量组
）≤R（
）
线性表示，则：
3个定理
•设
证明向量 组
与向量组
证明:证出 R(A)=R(B)=R(A,B)即可
等价。
容易看出R（B）≤R(A,B)=2
R(A)=2
所以R(A)=R(B)=R(A,B)
因此证明向量 组
与向量组
等价。
线性组合例题
• 定义：给定向量组A： 使：
如果存在不全为0的数 则称向量组A是线性相关的
• 定理1：向量组A：
线性相关的充分必要条件是它
所构成的矩阵A=（
）的秩小于向量个数m；
向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m
线性相关性定义 和定理
• 定理2：
1. 若向量组A：
线性相关，则向量组B：
线性相关的等价条件
线性相关的等价条件
1.向量组的线性相关性的定义∶若存在一组不全为零的数入;=(i = 1,2，…, n)，使得, A +A2a+…+入n a。
=入a =o,则称向量组A线性相关，否则，称向量组A线性无关。
2.若向量组(或矩阵)A的秩R(A)= r，则r<m时，向量组A线性相关，r = m时，向量组线性无关。
3.若齐次线性方程组XA=0有非零解,则向量组A线性相关，否则(方程组只有零解)，向量组A线性无关。
4.若m = n，若矩阵A可逆，则向量组A线性无关，否则向量组A线性相关。
[1][2]
5. m > n时，向量组A必线性相关。
6.若矩阵A有一个m阶非零子式，则向量组A线性无关。
7.向量组等价的概念:若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向曩组A线性表示;若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称向量组A与向量组B等价，记为A ~B。
8.所含向量个数相等的两个等价的向量组具有相同的线性相关性。
9.矩阵乘积后秩不可能变大，即对任意矩阵A和B，有R( AB)≤R( A)， R(AB)≤R(B)[1][2]
10.矩阵A乘一个非奇异阵(可逆阵)P后，不改变矩阵A的秩，从而不改变向量组A的线性相关性。
11.对任意实矩阵A，有矩阵ATA 与矩阵A秩相等，即R( ATA)
12.设有n维列向量组A:aj, a2，…,à,线性无关，显然r<n。
即
矩阵A=(&, a2,…, az)= ( aj)..的秩六, . 4TA是,阶非奇异的对称阵。
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
1 2 s
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
线性代数
思考· ：能否给出一个线性无关的充要条件？
三、向量组线性相关性的判定
由定理1及矩阵的秩可以得到如下一个很 实用的线性相关性判定定理： a1 j 补充定理 设有列向量组 j
a2 j a nj
( j 1,2,, s ),
则向量组 1 , 2 ,, s 线性相关的充要条件是: 矩阵 A (1 , 2 ,, s ) 的秩小于向量的个数 s. 证 （由于矩阵A的某一列可全化为零）
二、线性相关性的概念
定义8 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
成立. 因而存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,, kr ,0,,0
使 k1 1 k2 2 kr r 0 r 1 0 n o 成立, 即 1 , 可叙述如下:
线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关. 例如, 含有零向量的向量组线性相关.
因零向量线性相关, 由定理可知, 该向量组也线性相关.
定理4
a1 j a1 j a2 j a2 j j , b j , ( j 1,2,, m ), a rj a rj a r 1, j 即 j 添上一个分量后得向量 b j .若向量组 A： 1 , 2 ,
1 a3 2 , 4
2a1 a2 a3 0,
因此 a1 , a2 , a3 是3个线性相关的3维向量.
向量组的线性相关性
r2 2r1
~
r3 r1
0 0
1 3
2 6
3 9
r3 3r2
~
r2 (1)
0 0
1 0
2 0
3 0
得
x1 x2
3x3 2x3
4x4 3x4
令自由未知数 x3 c1 ， x4 c2 ，得通解
x1 3 4
x2 x3 x4
c1
2
1
0
c2
3
第四章 向量组的线性相关性
§１ 向量组及其线性组合
定义 1：
向量： n 个有次序的数 a1, a2,L , an 所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向
量称为复向量。 定义 2：
线性组合：给定的向量组 A : k1a1 k2a2 ,L , kmam ，对于任何一组实数 k1, k2 ,L , km ，表达
证明： n 维单位坐标向量组 e1, e2 ,L , en 能由向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性表示的充分必要条 件是 R(A) n .
证：根据定理 2，向量组 e1, e2,L , en 能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是 R(A) R A, E. 而 R A, E R(E) n ， 又 矩 阵 A, E 含 n 行 ， 知 R A, E n 合 起 来 有 R A, E n ， 因 此 条 件 R(A) R A, E就是 R(A) n .
a21x1
a22 x2
a2n xn 0
am1x1 am2 x2 amn xn 0
若记
A
a11 a21
线性代数：3.2 向量的线性相关性
,
是线性无关的.
n
例：判断向量组
1 1, a, a2, a3 ,2 1, b, b2, b3 , 4 1, c, c2, c3 ,4 1, d, d 2, d 3
线性相关还是线性无关。（a, b, c, d各不相同）
考虑齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 ax1 bx2 cx3 dx4 0 a2 x1 b2 x2 c2 x3 d 2 x4 0 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 其系数行列式是范德蒙德行列式
即齐次线性方程组有非零解，
所以向量 1,2 ,3 线性相关。
而向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
例： 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关,
1 1 2, 2 2 3,3 3 1
试证 : 1 , 2 , 3线性无关.
证明: 设 k11 k2 2 k3 3 0 k1(1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0
设 k11 k22 l11 l22
两式相减得
kmm lmm
（k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0
因为1,2 ,,m线性无关，
所以系数k1 l1 0, k2 l2 0,, km lm 0, 于是有ki li , i 1, 2, , m.
k11 k22 kmm 0
不妨设ki 0，于是
i
k1 ki
1
ki 1 ki
i 1
ki 1 ki
i 1
即i可由其余m-1个向量线性表示。
km ki
m
（充分性）设i可由其余m 1个向量线性表示， 即i l11 li1 i1 li1 i1 lmm
于是l11 l i1 i1 (1) i l i1 i1 lm m 0
线性代数3-2
1 , 2 ,, m 线性表示，且表示式是唯一的.
定理3 改变向量的个数时，部分相关，整体也相关； 整体无关，部分也无关.
定理4 同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变. 定理5 改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；
高维相关，低维也相关.
定理6 向量组 a1, a2 , , an 线性相关的充分必要条
证 设 A1 组为 A 组的最大无关组，B1 组为 B 组 的最大无关组，则 A1 组、B1 组中所含的向量 个数分别为 r1，r2 .
因为 A 组能由 B 组线性表示，故 A1 组也能由 B1 组线性表示.（请思考为什么？）
于是由引理知 r1≤ r2 .
证毕
定理7的若干推论
推论 1 等价的向量组有相同的秩.
m
am1
am 2
a1 s
1
a2 s
2
ams
s
⑶传递性 若A组与B组等价，B组与C组等价， 则A组与C组等价.
证 （不妨设为行向量情形）
因 A 组与 B 组等价，故存在矩阵 K1、T1， 使得 A=K1B，B=T1A， 又 B 组与 C 组等价，故存在矩阵 K2、T2 ， 使得 B=K2C，C=T2B， 于是有 A= K1K2C，C=T2T1A， 即 A 与 C 等价.
矩阵：
b11 b12
（ c1 , c2 ,
, cn ) （1,2 ,
,
s
)
b21
b22
bs1 bs2
b1n
b2n
bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A
定理3 改变向量的个数时，部分相关，整体也相关； 整体无关，部分也无关.
定理4 同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变. 定理5 改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；
高维相关，低维也相关.
定理6 向量组 a1, a2 , , an 线性相关的充分必要条
证 设 A1 组为 A 组的最大无关组，B1 组为 B 组 的最大无关组，则 A1 组、B1 组中所含的向量 个数分别为 r1，r2 .
因为 A 组能由 B 组线性表示，故 A1 组也能由 B1 组线性表示.（请思考为什么？）
于是由引理知 r1≤ r2 .
证毕
定理7的若干推论
推论 1 等价的向量组有相同的秩.
m
am1
am 2
a1 s
1
a2 s
2
ams
s
⑶传递性 若A组与B组等价，B组与C组等价， 则A组与C组等价.
证 （不妨设为行向量情形）
因 A 组与 B 组等价，故存在矩阵 K1、T1， 使得 A=K1B，B=T1A， 又 B 组与 C 组等价，故存在矩阵 K2、T2 ， 使得 B=K2C，C=T2B， 于是有 A= K1K2C，C=T2T1A， 即 A 与 C 等价.
矩阵：
b11 b12
（ c1 , c2 ,
, cn ) （1,2 ,
,
s
)
b21
b22
bs1 bs2
b1n
b2n
bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A
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证明向量组a1a2a3线性相关的充要条件
向量组a1a2a3线性相关即指a1，a2，a3是张成直线的，其满足如下的充要条件：
1. 线性组合。
a1，a2，a3可用常数α1, α2, α3表示，称
α1a1+α2a2+α3a3为a1，a2，a3的线性组合。
2. 非零系数。
要使向量组a1，a2，a3张成直线，α1, α2, α3其中至少有
一个不为0。
3. 等式成立。
α1a1+α2a2+α3a3=0。
4. a1, a2, a3均不能为零向量。
若现有向量a1，a2，a3，要判断它们是否线性相关，首先要检验以上4个条件中
的前三条，满足则可以令α1a1+α2a2+α3a3=0：
1. 首先，检测a1，a2，a3的线性组合。
当α1=1，α2=2，α3=3时，可以令
α1a1+α2a2+α3a3=7a1+14a2+21a3=0。
所以，a1，a2，a3的线性组合是存在的。
2. 检验α1, α2, α3其中至少有一个不为0，α1，α2，α3均不为0，所
以此条件也满足。
3. 检查等式成立。
α1a1+α2a2+α3a3=7a1+14a2+21a3=0，说明此条件也成立。
4. 最后，检测a1，a2，a3均不能为零向量，其中
a1=(3,1),a2=(5,2),a3=(7,3)。
此三向量显然均不为零向量，所以最后一个条件也满足了。
综上所述，经过检测，现有的向量a1，a2，a3满足向量组a1a2a3线性相关的
充要条件，他们张成了一条直线。
回顾一下我们判断a1，a2，a3线性相关的充要条件，有4个条件：线性组合，非零系数，等式成立，向量均不能为零向量，当考虑到这4个条件时，就可以验证向量组a1a2a3的线性相关性，并作出正确的判断。
综上所述，尽管向量a1，a2，a3线性相关的定义比较抽象，但只要我们能正确理解和掌握其中的4个充要条件，就可以很容易地验证向量组a1a2a3的线性相关性，从而为我们求解数学问题提供有效的依据。